高中数学第一章三角函数章末小结与测评教学案新人教A必修4

第一章 三角函数1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r ＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ；cos α＝x r ；tan α＝yx.2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P 在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．[典例1] 已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：r ＝（12m ）2＋（－5m ）2＝13|m |， 若m >0，则r ＝13m ，α为第四象限角， sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513，cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.若m <0，则r ＝－13m ，α为第二象限角， sin α＝y r ＝－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.[对点训练]1．(1)α是第四象限角，P (5，x )为其终边上一点，且sin α＝24x ，则cos α的值为( )A.104 B.64 C.24 D ．－104(2)若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：(1)选A 由定义可得sin α＝x x 2＋5＝24x ，x <0，可得x ＝－3，∴cos α＝522＝104. (2)选B ∵－π2<α<0，∴tan α<0，cos α>0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限.三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：(1)先用诱导公式化为同角三角函数． (2)再用同角三角函数关系化简．用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．[典例2] 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)＝sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＋3sin θcos θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1 ＝4×2－22－322＋1 ＝15. [对点训练]2．化简下列各式：(1)sin 3（π＋α）cos （－α）cos （π－α）tan 3（π＋α）cos 3（－α－π）＋ cos （α＋3π）sin 2（α＋3π）cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （α＋5π）tan （π＋α）cos 3（π＋α）；(2)tan （－510°）cos （－210°）cos 120°tan （－600°）sin （－330°）＋sin 29°cos 61°－tan 36°·tan 54°.解：(1)原式＝－sin 3αcos α（－cos α）tan 3α（－cos α）3＋（－cos α）sin 2αsin 2αtan αtan α（－cos α）3＝－sin 3αcos 2αsin 3αcos 3α·cos 3α＋cos αsin 4αsin 2αcos 2α·cos 3α＝－cos 2α＋sin 2α ＝2sin 2α－1. (2)原式 ＝－tan 510°cos 210°cos 120°－tan 600°（－sin 330°）＋sin 29°cos 61°－tan 36°·tan 54°＝－tan （360°＋150°）cos （180°＋30°）cos （180°－60°）tan （2×360°－120°）sin （360°－30°）＋1－tan 36°tan 54°＝－tan 150°（－cos 30°）（－cos 60°）tan （－120°）（－sin 30°）＝tan （180°－30°）cos 30°cos 60°tan （－180°＋60°）sin 30°＝（－tan 30°）cos 30°cos 60°t an 60°sin 30°＝－36.(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x 轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．周期变换ω(ω>0)→周期变换ω(ω>0)→振幅变换A (A >0)和周期变换ω(ω>0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A (A >0)．注意二者平移量的不同．(3)由已知条件确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，需要确定A ，ω，φ，其中A ，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．①平衡点法由y ＝A sin(ωx ＋φ)＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω知它的平衡点的横坐标为－φω，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x 1＝－φω，则可求φ.②确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程． ③利用单调性将函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与y ＝sin x 的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.[典例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，⎭⎪⎫0<φ<π2的图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)由题可知T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又f (x )min ＝－2，∴A ＝2.由f (x )的最低点为M ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. ∵0<φ<π2，∴4π3<4π3＋φ<11π6. ∴4π3＋φ＝3π2.∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，∴g (x )＝2sin x . (3)∵0≤x ≤π12，∴π6≤2x ＋π6≤π3.∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π6＝1，当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π3＝ 3.[对点训练]3．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象大致是( )解析：选D 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，sin x ≥0，tan x ≤0，∴tan x －sin x ≤0.∴y ＝tan x ＋sin x －(sin x －tan x )＝2tan x . 同理，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，sin x <0，tan x >0， 故tan x －sin x >0.∴y ＝tan x ＋sin x －(tan x －sin x )＝2sin x . 综上可知，选项D 正确．4．如图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ 解：(1)由图象知 A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象.(1)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的周期是2π，y ＝tan x 的周期是π；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期是2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期是π|ω|.(2)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的有界性为：－1≤sin x ，cos x ≤1，函数y ＝tan x 没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．(3)函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π上递减；函数y ＝cos x 在[－π＋2k π，2k π]上递增，在[2k π，2k π＋π]上递减；函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π上递增，以上k ∈Z .(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f (ωx ＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx ＋φ视为整体求解相应x 的范围即可，注意ω的符号及f 对单调性的影响．[典例4] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ∈(0，7π)内取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y 有最大值3，当x ＝6π时，y 有最小值－3.(1)求此函数解析式；(2)写出该函数的单调递增区间． 解：(1)由题可知A ＝3，T2＝5π，∴T ＝10π.∴ω＝2πT ＝15，15π＋φ＝π2.∴φ＝3π10.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10.(2)令2k π－π2≤15x ＋3π10≤2k π＋π2，得10k π－4π≤x ≤10k π＋π，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为{x |10k π－4π≤x ≤10k π＋π，k ∈Z }． [对点训练]5．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C .①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C ①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3，∴直线x ＝11π12为对称轴，①对；②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内单调递增，②对； ③f (x )＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，而由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，得不到图象C ，③错．(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°解析：选B 因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°. 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．－63 B ．－12C.12D.63解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B.2sin 1C ．2sin 1D ．sin 2解析：选B 如图，由题意知θ＝1，BC ＝1，圆的半径r 满足sin θ＝sin 1＝1r，所以r ＝1sin 1，弧长AB ＝2θ·r ＝2sin 1.4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4， 当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 2 解析：选C1＋2sin （π－2）·cos （π－2）＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2， ∵π2<2<π，∴sin 2－cos 2>0. ∴原式＝sin 2－cos 2.6．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.8．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B ∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z .∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2是第二象限的角．9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2 C ．0 D.34解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π， 解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4.12．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a解析：选A 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________． 解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12. sin α＝32， 所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214．设f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于________．解析：f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π4的周期T ＝4， 且f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－22， f (3)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π4＝22，f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝22. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－22.答案：－2215．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），例如1*2＝1，则函数f (x )＝sin x *cos x 的值域为________．解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75， 所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．解：(1)列表如下：x－π4 π4 3π4 5π4 7π4 x ＋π4π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π41－13sin⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 0 3 0 －3 0(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π， 对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合． 解：(1)因为函数图象过点(0，1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z .(3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12， 所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ， 则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个根． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6， 所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 所以m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1. 所以m ∈[33＋1，7)．22．(12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0，0≤θ ⎭⎪⎫≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值． 解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6. ∵T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.∵点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6. ∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.。