概率论多维随机变量及其分布函数
概率论多维随机变量及其分布函数
二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无 限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) , X 的取值为 x1， x2， ， xi， Y 的取值为 y1， y2， ， y j， i , j 1, 2,,
X (e )
e
Y (e )
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注意事项
(1) 向量 (X, Y)是一个整体, 其性质不仅与 X 、Y 有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
(2) 向量 (X, Y)从几何上看可以作为一个平面上随机点.
2.实例
实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 实例2 考查某一地 区学前儿 童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变 量 ( H, W ).
(2)分布函数的几何意义
F ( x , y ) 的函数值就是 随机点落在如图所示 区域内的概率.
y
( x, y)
X x ,Y y
o
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x
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(3) 分布函数的性质
1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y , 当 x2 x1 时 F ( x2 , y ) F ( x1 , y ),
Y X 1 2 3 4 1.5 0.1 0 0.05 0.15 2.5 0.05 0.15 0.05 0 3.5 0.1 0.2 0.05 0.1
求P{| X Y | 0.5}.
解 满足 | X Y | 0.5的( X ,Y )取值为
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
概率论与数理统计(多维随机变量及其联合分布)
0
1
2
0
0.16
0.32
0.16
1
0.08
0.16
0.08
2
0.01
0.02
0.01
【补充例 】袋中有2只黑球、2只白球、3只红球，在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数.(1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率
解: (1)X所有可能取的不同值为0,1,2;Y所有可能取的不同值为0,1,2. (X,Y)的分布律为
谢谢大家
3.1.2 二维随机变量及联合分布函数
3.1.2 二维随机变量及联合分布函数
容易证明分布函数F(x，y)具有以下的性质: (1) 单调性：F(x，y)分别对x或y是单调不减的，即 当 时，有 当 时，有 ． (2) 有界性：对任意的x和y，有 ，且
分布律也可写成以下表格的形式.
3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律
(2)
X Y
0
1
2
0
1/7
2/7
1/21
1
2/7
4/21
0
2
1/21
0
0
3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律
3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度定义3.4 如果存在二元非负函数f (x，y)，使得二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x，y)可表示为则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的概率密度，或X与Y的联合概率密度． 显然，在F(x，y)偏导数存在的点上有
3.1.2 二维随机变量及联合分布函数
(3) 右连续性：对每个变量是右连续的，即 对任意的x0，有 ； 对任意的y0，有 ． (4) 非负性：对任意的a < b，c < d有 事实上，具有上述四条性质的二元函数F(x，y)一定是某个二维随机变量的分布函数． 注意，一个二元函数F(x，y)满足前三条性质时不一定满足性质(4) ．(见例3.2)
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
概率论第三章
8 July 2010
联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y) ≥ 0. (非负性) (2) (正则性)
注意: P{(X,Y) ∈D} = ∫∫ p(x, y)dxdy
D
8 July 2010
3.1.5
一,多项分布
常用多维分布 常用多维分布
若每次试验有r 种结果:A1, A2, ……, Ar 记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, ……, r 记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为:
2x
+∞
1 2x +∞ 1 3y +∞ = A e × e 2 0 3 0
=A/6 所以, A=6
8 July 2010
例3.1.4
6e(2x+3y) , x ≥ 0, y ≥ 0 若 (X, Y) ～ p( x, y) = 其 它 0,
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
8 July 2010
注 意 点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态: 若 (X, Y) N ( ), 则 XN( ), YN( ).
二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.
8 July 2010
例3.2.1 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1} 上的均匀分布,求X 的边际密度p(x). 解: 由题意得
e y , 0 < x < y p( x, y) = 其 他 0,
求概率P{X+Y≤1}. 解: P{X+Y≤1}=
1/2
1x x
y=x
x+y=1
= ∫ dx∫
考研概率统计--多维随机变量及其分布笔记
若G为矩形，服从均匀；推：X服从均匀，Y服从均匀，X，Y独立立
2）二二维正态分布（the special one）
1.定义；
Note：1.淡化公式，强调性质
2.规律律：e的-x2，e的-y2，e的-xy
2.性质：
（1）联合可以推边缘；边缘不不能推联合
（2）（aX+bY，cX+dY）服从二二维正态分布（利利用用卷积公式证明）（只要求 5个参数即可）（联合的线性仍然正态）
（3）aX+bY服从正态（只要求2个参数）（二二维推一一维线性依然是正态的）
（4）X和Y相互独立立互推p=0（独立立性仅有数字特征决定）
四 二二维随机变量量函数的分布
1.二二维离散型：已知联合概率分布律律，求Z=g（X，Y）
第三章 多维随机变量量及其分布
知识点：一一 二二维随机变量量及其分布函数 二二 二二维离散型随机变量量 三 二二维连续型随机变量量 四 二二维随 机变量量函数的分布
一一 ห้องสมุดไป่ตู้二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个（X，Y）向量量
2.二二维随机变量量的联合分布函数
1）X，Y取积；
2）在离散型上的体现（1.出现0，一一定不不独立立；2.行行行或列列成比比例例）
三 二二维连续型随机变量量（积分积出来的就是连续的）
1.定义：概率密度积分（二二重积分）
2.联合概率密度
1）性质：1.非非负性；2.规范性
2）应用用：求P，就是求二二重积分
在f（x，y）的连续点上，分布求二二阶倒数就是概率密度
方方法：枚举，合并（相同量量合并）
Note：当然还有二二维
概率论-2-2多维随机变量及其分布(2),边缘分布-PPT课件
由于
( y μ ) ( x μ )( 2 2 2 y μ x μ ( x μ ) 2 2 1 1 ρ ρ , 2 σ σ σ 2 1 1
pij P {Y y j },
i 1
分别称 p i ( i 1, 2 , ) 和 p j ( j 1, 2 , ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
Y y 1 y 2 y j
X
x x 1 x 2 i
p p 11 p 21 i 1
x
p( x, y)d y]d x,
p( x, y)d y,
称其为随机变量 ( X, Y ) 关于X 的边缘概率密度 .
同理可得 Y 的边缘分布函数
F ( y ) F ( , y ) [ p ( x , y ) d x ] d y , Y
y
p ( y ) ( x ,y ) d x . Y p
Y 的边缘概率密度.
X 和Y 具有联合概率密度 例3 设随机变量 6, x2 y x, p(x, y) . 0, 其它 求边缘概率密度 pX (x), pY ( y).
解
p ( x ) ( x ,y ) d y X p
第二章
第二节 多维随机变量 及其分布(2)
一、边缘分布函数
二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、内容小结
一、边缘分布函数
问题 : 已知 ( X , Y ) 的分布 , 如何确定 X , Y 的分 ?
F ( x ) P { X x }, F ( x , y ) P { X x , Y y } ,
概率论第三章
例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从 袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以 X , Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 ( X , Y ) 的分布律。 解 X , Y 可能取值均为1,2,3.
p11 P{ X 1, Y 1}
p12 P{ X 1, Y 2}
F (,) 1.
③ 关于 右连续，即
例1. 设 ( X , Y ) 的分布函数为
x y F ( x , y ) A( B arctan )(C arctan ) 3 4 求常数 A, B, C 的值及概率 P{ X 3, Y 4}. 9 F (3, 4) 解 由分布函数的性质
第三章 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量
二、边缘分布
三、相互独立的随机变量 四、两个随机变量的函数的分布
第一节
二维随机变量
定义1 设随机试验 的样本空间是 设 和 是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一 个向量 定义2 设 二元函数 称为二维随机变量或二维随机向量。 是二维随机变量，对于任意实数
16
一、二维离散型随机变量
定义： 若二维随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值 ( xi , y j ),
i, j 1, 2, 是有限对或可列无限多对时，则称 ( X , Y ) 为 离散型随机变量。
P{ X xi , Y y j } pi j (i , j 1 , 2 , )
若存在 f ( x, y) 0 , 使得对任意实数 x , y , 总有
F ( x, y )
y
x
f (u , v )dudv
则称 ( X , Y ) 为二维连续型随机变量, f ( x, y ) 称为 ( X , Y ) 的 概率密度,或称为随机变量 X 和 Y的联合概率密度。 f (x,y)的性质: ① f ( x, y ) 0 ②
概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
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在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两
个以上的随机变量来描述.
如， 炮弹的弹着点的位置, (X, Y)是一个二维随
机变量.
又如，研究天气变化状况，令X, Y, Z分别表示
温度、湿度、风速，则(X, Y, Z)是一个三维随机变量.
研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整
二元函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P ( X x , Y y )
称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。
一维随机变量X的联合分布
函数F ( x ) P ( X x ).
多维随机变量及其分布
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F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
y
F ( , y ) 0,
o
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( , ) 1;
4 F ( x , y )关于x和y分别右连续；
x1
F ( x1 , y ) F ( x2 , y )
5 对于任意x1 x2 , y1 y2 , 有矩形公式
…
…
…
…
X
性质： 1 pij 0, i , j 1, 2, ;
2
p
i 1 j 1
多维随机变量及其分布
ij
1.
首页 返回 退出
例1 从1,2,3,4中任取一个数记为X、再从1,2, ⋯ ,
中任取一个数记为Y,求 ( X, Y ) 的联合分布律及P
( X=2Y ).
解：
可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。
概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第4章 多维随机变量(r.v.)及其分布
fY
(
y
)
=
π2
1− y2, 0,
− 1 ≤ y ≤ 1. 其它
28
2. 二维正态分布 p97
(X,Y)的概率密度为
f (x, y) =
1
e 2(
−1 1− ρ
2
)
(
x
− µ1 σ2
1
)2
−2
ρ
(
x
−
µ1 )( σ 1σ
y
2
−
µ2
)
+
(
y
− µ2 σ2
2
)2
2πσ σ 1 − ρ 2 12
f ( x, y)dy
−∞
称为(X,Y)关于X的边缘概率密度。
∫ fY ( y) =
+∞
f ( x, y)dx
−∞
称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度。
20
例p102 设 ( X ,Y )的概率密度是
f
(
x,
y)
=
cy(2 −
0,
x
),
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x ,
其它
求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度; (3) P{X<1/2}.
…
pi j
…
p.j
… … … … ….. … …
∑
p1 . p2 .
…
pi . …
1
18
3
例 将一枚硬币掷 3 次, 以X表示前 2 次中出现 H的次数, 以Y表示 3 次中出现H的次数. 求X,Y 的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律.
19
三、连续型(X,Y)的边缘概率密度
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所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1, 1 F ( x , y ) , 1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2, 3 1, x 2, y 2.
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练习 设 ( X ,Y )联合分布律为
X i X i e
e i 1， 2，
， X n e
， n
是该样本空间上的 n个随机变量．
则称 X 1， X 2， ， X n
X1 e， X 2 e，
e
或 n 维随机向量． 为样本空间上的 n 维随机变量． (2) n维随机变量的联合分布函数 设 X1， X 2， ， X n 是一个n维随机变量，则对于任 意一 n 维实数组 x1， x2， ， xn ， F x1， x2， ， xn PX 1 x1， X 2 x2， ， X n xn 我们称此函数为n维随机变量 X 1， X 2， ， X n 上页 下页 返回 为联合分布函数.
(2)分布函数的几何意义
F ( x , y ) 的函数值就是 随机点落在如图所示 区域内的概率.
y
( x, y)
X x ,Y y
o
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x
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(3) 分布函数的性质
1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y , 当 x2 x1 时 F ( x2 , y ) F ( x1 , y ),
(2) 向量 (X, Y)从几何上看可以作为一个平面上随机点.
2.实例
实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 实例2 考查某一地 区学前儿 童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变 量 ( H, W ).
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3. 二维随机变量的分布函数
解 ( X, Y ) 所取的可能值是 ( 0,0), ( 0,1), (1,0 ), (1,1), ( 0,2), ( 2,0).
0 0 2 C3 C2 C3 3 P{ X 0,Y 0} , C 82 28
抽取两支都是绿笔
抽取一支绿笔,一支红笔
0 1 1 C3 C 2C 3 3 P{ X 0,Y 1} , 2 14 C8
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13 13
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1 p12 p21 p22 , 3
下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时,
y
( 2, 2 )
( 2,1)
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } 2(1,2)
0;
(2)当1 x 2,1 y 2时,
F ( x , y ) p11 0;
二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无 限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) , X 的取值为 x1， x2， ， xi， Y 的取值为 y1， y2， ， y j， i , j 1, 2,,
设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 Ω 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量， 或二维随机变量。 图示
X (e )
e
Y (e )
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注意事项
(1) 向量 (X, Y)是一个整体, 其性质不仅与 X 、Y 有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
对于任意固定的 x ,当y2 y1时F ( x , y2 ) F ( x , y1 ).
2o 0 F ( x, y ) 1,
y
且有
F ( ,) x lim F ( x , y ) 0, F ( ,) x lim F ( x , y ) 1 .
u x v y
则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变 量, 函数 f ( x , y )称为二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度, 或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
可以证明 某一二元函数是二维随机变量分布函数 该函数具有以上四条性质。
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(4) 一个重要的公式
设：x1 x2，y1 y2，
则 Px1 X x2， y1 X y2
Y X 1 2 3 4 1.5 0.1 0 0.05 0.15 2.5 0.05 0.15 0.05 0 3.5 0.1 0.2 0.05 0.1
求P{| X Y | 0.5}.
解 满足 | X Y | 0.5的( X ,Y )取值为
(1,1.5);(2,1.5);(2, 2.5);(3, 2.5);(3,3.5);(4,3.5);
y
lim F ( x , y ) 0, 对于任意固定的 y , F ( , y ) x
对于任意固定的x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
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3o F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.
(1)分布函数的定义 设 ( X ,Y ) 是二维随机变量, 对于任意实数 x , y, 则
F ( x, y) P{ X x,Y y} P{( X x ) (Y y )}
是二元函数.称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数, 或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数.
j取不大于i的正整数.
由乘法公式得
1 1 P { Y j X i } P { X i } P{ X i ,Y j} , i 4 i 1,2,3,4, 于是 ( X ,Y ) 的分布律为
j i.
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1 1 P{ X i ,Y j} , i 4
1 1 0 3 C3 C 2C 3 P{ X 1,Y 1} , 2 14 C8
抽取一支蓝笔,一支红笔
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0 2 0 1 C3 C2 C3 P{ X 0,Y 2} , 2 28 C8 1 0 1 9 C3 C2 C3 P{ X 1,Y 0} , 2 28 C8 2 0 0 C C3 3 P{ X 2,Y 0} 3 C 2 , 2 28 C8
记
P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,,
称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
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二维随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律也可表示为
Y
X
y1
y2
yj
x1 x2 xi
p11
p12
i 1,2,3,4,
j i.
Y X
1
2
3
4
1 2
1 4
1 8
1 12 1 16
0
1 8
1 12
0
0
0
0
0
3
4
1 12
1 16
1 16
1 16
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例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔 的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示抽出 的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律.
1
(1,1)
o
1
2
x
( 3)当1 x 2, y 2时, F ( x , y ) p11 p12 1 3 ;
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y
2(1,2) 1 (1,1)
( 2, 2 )
( 2,1)
o
1
2
x
(4)当x 2,1 y 2时, F ( x , y ) p11 p21 1 3; (5)当x 2, y 2时, F ( x , y ) p11 p21 p12 p22 1.
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三、二维连续型随机变量
1.定义 对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F ( x , y ), 如果存在非负的函数 f ( x , y ) , 使得对于任意的 x, y有
F ( x , y ) f ( u, v ) d u d v ,
y x
f (u, v ) d u d v ,
4o 对于任意 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
证
P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1 , y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1 } P{ X x1 ,Y y2 } P{ X x1 ,Y y1 } 0,
பைடு நூலகம்
F ( x, y)
x i x， y j y
pij
一般不好写出！
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1 2 解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), ( 2,1), ( 2,2).