【高考数学】2018最新版本高考理科第一轮复习(6.5合情
2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．由已知，θ在第三象限， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－（－45）2＝－35.－355.教材习题改编 已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1D.1625(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3， 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．角度一 知弦求弦1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13C (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.角度二 知弦求切2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三 知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．(2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225C ．－1225D ．－2425D 由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．sin(－1 071°)si n 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________． 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin (3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.3．已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．【解析】 法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.法二：同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2 θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.【答案】 －125(1)本题利用方程思想法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25 B.25C.25或－25D ．－15A 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcosα＝－25，故选A.1．tan(－233π)的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33A A tan(－233π)＝tan(－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋π2)＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79C.89D ．－89A 法一：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(±223)2－(－13)2＝79，故选A.法二：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 因为f (2 016)＝5.所以a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________． 原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 08．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________． 因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，于是1＋tan 2A ＝1＋29＝119＝1cos 2A ，cos 2A ＝911，cos A ＝31111，sin A ＝tan A cos A ＝2211. 2211 9．sin 43π·cos 56π·tan(－43π)的值是________． 原式＝sin(π＋π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π3) ＝(－32)×(－32)×(－3)＝－334. －33410．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α， 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. －2311．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．(1)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝925.又π2<θ<π，所以cos θ＝－35.所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为() A ．－32 B.32C ．－34 D.34B 因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， 所以cos α－sin α＝32. 14．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40° ＝1.115．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．(1)因为sin A ＋cos A ＝15，① 所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， 所以sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，② 所以由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 16．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值． (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第五章
感悟考题
试一试
3.(2016·滨州模拟)已知等比数列{an}的公比q大于1,
a3a7=72,a2+a8=27,则a12= ( A.96 B.64 C.72 ) D.48
(n}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n 项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列,则 an=________.
【解题导引】(1)根据a3+a5+a7与a1+a3+a5的联系求解. (2)将已知条件转化为a2的方程组,求得a2,再利用S3=7 求得公比q,进而求解.
(2)由an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还 要验证a1≠0.
(3)等比数列中奇数项的符号相同,偶数项的符号相同.
2.等比数列{an}的单调性 (1)满足
a1 0, q 1 0 q 1 a1 0, 或 a1 0, 时,{a }是递减数列. (2)满足 n q 1 0 q 1 a1 0, 时,{a }为常数列. (3)当 n q 1 a1 0, 或
解得a2=2.设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得a1= 2 ,
q
a3=2q.又S3=7,可知 2 +2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得
q1=2,q2= 1 .由题意得q>1,所以q=2,所以a1=1.
所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48.
答案:12,48
2.(必修5P62习题2.5B组T2改编)设等比数列{an}的前n 项和为Sn,若 S6 1 , 则 S9 =________________.
2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节归纳与类比教师用书文北师大版
第四节归纳与类比[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式．(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．(2)特点：①是两类事物特征之间的推理．②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．3．合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．4．演绎推理(1)定义：是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．以上都不是B [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．]3．(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1 C [a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.]4．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提错误导致结论错误A [“指数函数y ＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]5．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A [由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.](1)(2016·武汉4月调研)数列12，13，23，14，24，34，…，1m ＋1，2m ＋1，…，mm ＋1，…的第20项是( )A.58B ．34C ．57D ．67(2)(2016·山东高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. (1)C (2)43n (n ＋1) [(1)数列m m ＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝m m ＋1 2项，当m ＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57，故选C. (2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．] [规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．2．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．[变式训练1] (1)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝__________. (2)下面图形由小正方形组成，请观察图641(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是__________.【导学号：66482303】图641(1)n n (n ∈N *) (2)n n ＋1 2(n ∈N *) [(1)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .(2)由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n n ＋1 2(n∈N *)．]n 数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n(2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图642)，DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________.【导学号：66482304】图642(1)D (2)AE EB ＝S △ACD S △BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝n c 1·c 2·…·c n .法二：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －1 2d ，∴b n ＝a 1＋ n －1 2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n n －1 2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD.] [规律方法] 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．[变式训练2] 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”；④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1.”其中类比结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [类比结论正确的有①②.]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .【导学号：66482305】[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 2分∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)5分(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)8分又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12分[规律方法] 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．[变式训练3] 如图643所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来).图643【导学号：66482306】[证明] (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提)所以DF ∥EA .(结论)5分(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论)8分(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以ED ＝AF .(结论)上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒ 四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF . 12分[思想与方法]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[易错与防范]1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．。
【课堂新坐标】2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式
1 1 1 1 1 C 正确；函数 y＝x 在(0，＋∞)上为减函数，由 x>y>0⇒x < y⇒x－y<0，
故 A 错误；函数 y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当 x>y>0 时，不能比较 sin x 与 sin y 的大小，故 B 错误；x>y>0⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故 D 错误．]
－3x＋4>0 的解集为(－4,1)．]
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高三一轮总复习
5．若不等式 mx2＋2mx＋1>0 的解集为 R，则 m 的取值范围是__________. 【导学号：01772195】
[0,1) [①当 m＝0 时，1>0 显然成立；
m>0， 时，由条件知 2 Δ ＝ 4 m －4m<0，
1 ac<bd， 故②不正确； 因为函数 y＝x3是单调递增的， 所以③正确； 对于④， 由 a>b>0 1 1 可知 a >b >0，所以a2<b2，所以④不正确．]
2 2
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3．(2016· 吉林长春二模)若 a，b∈R，且 a>b，则下列不等式恒成立的是( A．a >b
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高三一轮总复习
1 1 ①当 a＝1 时，a＝1，x－a(x－1)<0 无解； 1 1 1 ②当 a>1 时，a<1，解 x－a (x－1)<0 得a<x<1； 1 1 1 ③当 0<a<1 时，a>1，解 x－a(x－1)<0 得 1<x<a.10 分
高考数学新人教A版(理科)一轮复习课件：第二篇函数、导数及其应用第5节对数函数
则需 22＜a＜1(如图所示)．
当
a＞1
时，不符合题意，舍去．所以实数
a
的取值范围是
22，1.故
选 B.
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考点三 对数函数的性质及应用 考查角度 1：比较大小．
设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则( )
(A)a＞b＞c
(B)a＞c＞b
(C)b＞a＞c
(D)b＞c＞a
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(2)B 由题意得，当 0＜a＜1 时，要使得 4x
＜logax0＜x≤12，即当 0＜x≤12时，函数 y＝4x 的图 象在函数 y＝logax 图象的下方．
又当 x＝12时，412＝2，即函数 y＝4x 的图象过
点12，2，把点12，2代入函数 y＝logax，得 a＝ 22， 若函数 y＝4x 的图象在函数 y＝logax 图象的下方，
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【反思归纳】 (1)logaf(x)＞logag(x) ⇔
或
.
(2)有关形如 y＝logaf(x)的单调性：先求定义域，根据复合函数 y＝
logau，u＝f(x)的单调性(判断)求解．
(3)对于形如 y＝logaf(x)(a＞0 且 a≠1)的复合函数的值域的求解步骤
为：①分解成 y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求 f(x)的定义域；③求 u
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考查角度 4：与对数函数有关的参数取值(范围)问题． 高考扫描：2013 高考新课标全国卷Ⅰ
函数 (A)(－∞，2) (C)(2,3)∪(3，＋∞)
的定义域是( ) (B)(2，＋∞) (D)(2,4)∪(4，＋∞)
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C 解析：要使函数有意义就满足
,
高考数学一轮复习 第六章 数列 第5讲 数列的综合应用 理(2021年最新整理)
2018版高考数学一轮复习第六章数列第5讲数列的综合应用理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第六章数列第5讲数列的综合应用理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第5讲数列的综合应用一、选择题1．已知｛a n｝为等比数列．下面结论中正确的是 ( )．A．a1＋a3≥2a2B．a2，1＋a错误!≥2a错误!C．若a1＝a3,则a1＝a2D．若a3>a1，则a4〉a2解析设公比为q，对于选项A,当a1〈0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确;选项D，当a1＝1,q＝－2时不正确;选项B正确,因为a错误!＋a错误!≥2a1a3＝2a错误!.答案B2．满足a1＝1,log2a n＋1＝log2a n＋1（n∈N＊）,它的前n项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是 ( )．A．9 B．10 C．11 D．12解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1（n∈N＊），所以a n＋1＝2a n，a n＝2n－1,S n＝2n－1，则满足S n〉1 025的最小n值是11.答案C3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝错误!n（n＋1）（2n＋1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害．为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( ）．A．5年B．6年C．7年D．8年解析由已知可得第n年的产量a n＝f(n）－f（n－1）＝3n2。
系统集成2018高考数学理一轮总复习教案：第一章 集合
第一章集合与常用逻辑用语高考导航知识网络1.1 集合及其运算考点诠释重点：集合的表示、集合间的基本关系与基本运算.难点：自然语言，图形语言，集合语言之间的相互转化，集合元素确定性，互异性的理解及运用.典例精析题型一 集合的基本概念【例1】设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a 等于( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2【思路分析】解题时根据集合中的对应元素相等，列出方程组，求出a ，b 的值，注意集合中元素的互异性.【解析】C.解法一：因为1≠0，所以a ＋b 和a 中必有一个为0，当a ＝0时，b a无意义，故a ＋b ＝0，所以两个集合分别为{1,0，a }，{0，－1，b }，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.解法二：由{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，得a ≠0， 所以⎩⎨⎧1＋a ＋b ＋a ＝0＋b a ＋b ，1·(a ＋b )·a ＝0·b a ·b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 【方法归纳】(1)根据集合相等的定义，首先分析已知元素与另一个集合中的哪一个元素相等，有几种可能，然后列方程组求解；(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要检验是否满足集合中元素的互异性.【举一反三】1.(1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( C )A.1B.3C.5D.9 (2)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，若9∈(A ∩B )，则实数a 的值为 5或－3 .【解析】(1)C.B ＝{－2，－1,0,1,2}.(2)5或－3.因为9∈(A ∩B )，所以9∈A 且9∈B ，所以2a －1＝9或a 2＝9，所以a ＝5或a ＝±3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，符合题意；当a ＝3时，A ＝{－4,5,9}，B ＝{－2，－2,9}，不满足集合中元素的互异性，所以a ≠3； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，符合题意.所以a ＝5或a ＝－3.题型二 集合间的关系【例2】已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( )A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3【思路分析】将A ∪B ＝A 转化为B ⊆A ，用分类讨论的方法求解.注意集合中元素互异性的检验.【解析】B.因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m .若m ＝3，则A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足A ∪B ＝A .若m ＝m ，解得m ＝0或m ＝1.若m ＝0，则A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，满足A ∪B ＝A .若m ＝1，则A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，显然不成立.综上，m ＝0或m ＝3，故选B.【方法归纳】已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行分类讨论.【举一反三】2.若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为 {m |m ≤3} .【解析】当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝，满足B ⊆A ；若B ≠，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，所以2≤m ≤3.m ≤3，故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}.题型三 集合的运算【例3】已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )为( )A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}【思路分析】根据补集的定义求出∁U A ，∁U B ，再根据交集的定义得出结论，也可利用Venn 图解决.【解析】B.解法一：因为全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，所以∁U A ＝{2,4,6,7,9}，∁U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{7,9}.故选B.解法二：集合(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}.如图所示：【方法归纳】解决这类问题常见的思路有三种：一是利用交、并、补的定义求解；二是利用Venn 图；三是如果与不等式有关，常用数轴解决.【举一反三】3.已知全集为R ，集合A ＝，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁RB 等于(C )A.{x |x ≤0}B.{x |2≤x ≤4}C.{x |0≤x ＜2，或x ＞4}D.{x |0＜x ≤2，或x ≥4}【解析】A ＝＝{x |x ≥0}， B ＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x ＜2，或x ＞4}，此时A∩∁R B＝{x|0≤x＜2，或x＞4}.题型四以集合为载体的新定义问题【例4】设集合S＝{0,1,2,3,4,5}，集合A是S的子集，若当x∈A时，都有x－1A 且x＋1A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元素子集的个数为()A.4B.5C.6D.7【思路分析】先研究“孤立元素”的定义，再判断集合S中无“孤立元素”的4元素子集的个数.【解析】C.依据题中新定义的规定可知：当x∈A时，都有x－1A且x＋1A，则称x 为A的一个“孤立元素”，那么x∈A时，如果x－1∈A或x＋1∈A，则称x为A的一个非“孤立元素”，集合S中的4元素子集A中无“孤立元素”，需满足条件当x∈A 时，有x－1∈A或x＋1∈A，依此要求可得符合条件的集合A为{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，故符合条件的集合的个数为6，故选C.【方法归纳】集合新定义问题近年来经常出现在高考选择题与填空题中，这类试题的特点是通过给出新的概念或运算方法，在新的情境下完成某种推理证明，常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.【举一反三】4.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”.其中，正确结论的个数是( C )A.1B.2C.3D.4【解析】2 016＝2 015＋1＝403×5＋1∈[1]，①正确；由－3＝－5＋2∈[2]可知②不正确；根据题意可知③正确；若整数a，b属于同一类，不妨设a，b∈[k]＝{5n＋k|n∈Z}，则a ＝5n＋k，b＝5m＋k，n，m为整数，a－b＝5(n－m)＋0∈[0]，反之也成立，④正确，故①③④正确.体验高考(2015新课标Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B等于()A.{－1,0}B.{0,1}C.{－1,0,1}D.{0,1,2}【解析】A.因为B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，A＝{－2，－1,0,1,2}，所以A∩B ＝{－1,0}.故选A.【举一反三】(2015湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x 1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为( C )A.77B.49C.45D.30【解析】当x1＝0时，y1∈{－1,0,1}，而x2，y2∈{－2,－1,0,1,2}，此时x1＋x2∈{－2,－1,0,1,2}，y1＋y2∈{－3,－2,－1,0,1,2,3}，则A B中元素的个数为5×7＝35.当x1＝±1时，y1＝0，而x2，y2∈{－2,－1,0,1,2}，此时x1＋x2∈{－3,－2,－1,0,1,2,3}，y1＋y2∈{－2,－1,0,1,2}.由于x1＋x2∈{－2,－1,0,1,2}，y1＋y2∈{－2,－1,0,1,2}时，A B中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素个数为2×5＝10，所以A B中元素的个数为35＋10＝45.1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考点诠释重点：四种命题的真假判定，充分条件、必要条件与充要条件的判定及其应用.难点：充分条件、必要条件、充要条件的判定，等价命题的转化.典例精析题型一四种命题的关系及其真假判断【例1】给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A.3B.2C.1D.0【思路分析】先写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断其是否正确.【解析】C.易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个.【方法归纳】四种命题的关系及其真假判断(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性.(2)判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断.要判断一个命题是假命题，只需举出反例.【举一反三】1.设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.【解析】“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc.因此它的逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b.它是真命题；否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.题型二充分必要条件的判定【例2】(2015北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα.“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【思路分析】m∥β并不能得到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，才能得到α∥β，而α∥β，并且mα，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项.【解析】B.由两平面平行的判定定理可知，当一个平面内的两条相交直线均平行于另一平面时，两平面平行，所以“m∥β”不能推出“α∥β”；若两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，所以“α∥β”可以推出“m∥β”.因此“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.【方法归纳】充分条件、必要条件、充要条件的判定方法(1)定义法①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据推式及定义下结论.(2)等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.【举一反三】2.(2015重庆)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的( B )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】当x＞1时，x＋2＞3＞1，又y＝x是(0，＋∞)上的减函数，所以(x＋2)＜1＝0，则x＞1⇒(x＋2)＜0；当(x＋2)＜0时，x＋2＞1，即x＞－1，则(x＋2)＜0x＞1.故“x＞1”是“(x＋2)＜0”的充分而不必要条件.故选B.题型三充分必要性的证明【例3】设数列{a n}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1 a n－1a n ＝n－1a1a n成立的充要条件是{a n}为等差数列.【思路分析】首先清楚条件是“{a n}为等差数列”，结论是“对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝n－1a1a n成立”，充分性证条件⇒结论，必要性证结论⇒条件.【证明】(1)(充分性)若{a n}为等差数列，设其公差为d，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝1d⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a1－1a2＋⎝⎛⎭⎫1a2－1a3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n－1－1a n＝1d⎝⎛⎭⎫1a1－1a n＝a n－a1da1a n＝n－1a1a n.(2)(必要性)若1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝n－1a1a n，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，两式相减得1a n a n＋1＝na1a n＋1－n－1a1a n⇒a1＝na n－(n－1)a n＋1.①于是有a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2，②由①②得na n－2na n＋1＋na n＋2＝0，所以a n＋1－a n＝a n＋2－a n＋1(n≥2).又由1a1a2＋1a2a3＝2a1a3⇒a3－a2＝a2－a1，所以对任意n∈N*,2a n＋1＝a n＋2＋a n，故{a n}为等差数列.【方法归纳】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求.【举一反三】3.已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为[－1,6].【解析】设p，q表示的范围分别为集合A，B，则A＝(a－4，a＋4)，B＝(2,3).由于q是p的充分而不必要条件，则有B A，即解得－1≤a≤6.体验高考1.(2015四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】B.“3a＞3b＞3”等价于“a＞b＞1”，“log a3＜log b3”等价于“a＞b＞1或0＜a＜1＜b或0＜b＜a＜1”，从而“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的充分不必要条件.故选B.2.(2015陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】A.由sin α＝cos α，得cos 2α＝cos 2α－sin 2 α＝0，即充分性成立.由cos 2α＝0，得sin α＝±cos α，即必要性不成立.故选A.【举一反三】(2015安徽)设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的( A )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由2x ＞1，得x ＞0，因为{x |1＜x ＜2}{x |x ＞0}，所以p 是q 成立的充分不必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词考点诠释重点：复合命题的真假判断，对含有一个量词的命题的否定.难点：对全称命题、特称命题的真假判断和对含有一个量词的命题的否定的理解. 典例精析题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧⌝q ”是假命题；③命题“⌝p ∨q ”是真命题；④命题“⌝p ∨⌝q ”是假命题.其中正确的是( )A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④【思路分析】先判断命题p ，q 的真假，然后对其与逻辑联结词构成的复合命题进行真假判断.【解析】D.命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )是真命题，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}也是真命题，故①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧⌝q ”是假命题；③命题“⌝p ∨q ”是真命题；④命题“⌝p ∨⌝q ”是假命题，故选D.【方法归纳】判断“p ∧q ”“p ∨q ”“ ⌝p ”形式命题真假的步骤(1)准确判断简单命题p ，q 的真假；(2)根据真值表判断“p ∧q ”“p ∨q ”“ ⌝p ”命题的真假.【举一反三】1.已知命题p ：函数y ＝e |x －1|的图象关于直线x ＝1对称，q ：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则下列命题中的真命题为( A ) A.p ∧q B.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝p ∨⌝q【解析】函数y ＝e |x －1|＝的图象如图所示.由图形可知图象关于直线x ＝1对称，所以命题p 正确；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝0，所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，所以命题q 正确，所以p ∧q 正确.题型二 全称命题、特称命题的真假判断【例2】下列命题中的假命题是( )A.∀x ∈R ,2x －1＞0B.∀x ∈N *，(x －1)2＞0C.∃x 0∈R ，lg x 0＜1D.∃x 0∈R ，tan x 0＝2【思路分析】理解“∀”“ ∃”的含义，依据相关数学知识进行分析、判断.【解析】B.A 正确；对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，错误；对于C ，当x 0＝1时，lg x 0＝0＜1，正确；对于D ，∃x 0∈R ，tan x 0＝2，正确.故选B.【方法归纳】1.判断全称命题真假的方法(1)定义法：对给定的集合中的每一个元素x ，p (x )都为真，则全称命题为真；(2)特值法：在给定的集合内找到一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假.2.判定特称命题真假的方法(1)定义法：对给定的集合中的每一个元素x ，P (x )都为假，则命题为假；(2)特值法：在给定的集合中找到一个x 0，使p (x 0)为真，则特称命题为真.【举一反三】2.下列命题中，真命题是( C )A.∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B.∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC.∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞1＋xD.∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1【解析】对于选项A ，∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故A 为假命题； 对于选项B ，当x ＝π6时，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x ＜cos x ，故B 为假命题； 对于选项C ，构造函数g (x )＝e x －1－x ，g ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上为增函数，则g (x )＞g (0)＝0，得e x ＞1＋x 在(0，＋∞)上恒成立，故C 为真命题；对于选项D ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＞0恒成立，所以不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1，故D 为假命题.综上可知，C 为真命题，故选C.题型三 含有一个量词的命题的否定【例3】(1)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数(2)命题“存在x0∈R,2≤0”的否定是()A.不存在x0∈R,2＞0B.存在x0∈R,2≥0C.对任意的x∈R,2x≤0D.对任意的x∈R,2x＞0【思路分析】首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同形式加以否定.【解析】(1)D.全称命题的否定是特称命题，“所有”对应“存在一个”，同时否定结论“能被2整除的整数都是偶数”，变为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故选D.(2)D.根据特称命题的否定是全称命题知，命题“存在x0∈R,2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”.【方法归纳】(1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定.而命题的否定，则直接否定结论即可；(2)要判断⌝p的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，利用p与⌝p的真假相反作出判断.【举一反三】3.(1)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则⌝p为( C )A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0(2)命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( D )A.x∈R，x3－2x＋1≠0B.不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C.x∈R，x3－2x＋1＝0D.∀x∈R，x3－2x＋1≠0【解析】(1)由于对任意的x1，x2∈R，都有[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，要否定这个命题，则只要存在x1，x2∈R，使[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0不成立即可，即使得[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0，故已知命题的否定是“∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0”.故选C.(2)“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”属于特称命题，它的否定为全称命题，从而其否定为：∀x∈R，x3－2x＋1≠0.故选D.题型四命题真假的综合运用【例4】已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x 0∈R，＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()A.{a|a≤－2或a＝1}B.{a|a≥1}C.{a|a≤－2或1≤a≤2}D.{a|－2≤a≤1}【思路分析】解答本题的关键是根据“p且q”是真命题来确定关于a的不等式，从而求出a的取值范围.【解析】A.由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题.若p为真命题，则a≤x2恒成立，因为x∈[1,2]，所以a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.综上可知，所求实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}.【方法归纳】解决这类问题时，应先根据题目条件，即复合命题的真假情况，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)，然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.【举一反三】4.已知命题p：对任意x∈R，存在m∈R，使4x＋2x m＋1＝0.若命题⌝p 是假命题，则实数m的取值范围是( C )A.[－2,2]B.[2，＋∞)C.(－∞，－2]D.[－2，＋∞)【解析】因为⌝p 为假，故p 为真，即求原命题为真时m 的取值范围.由4x ＋2x m ＋1＝0，得－m ＝4x ＋12x ＝2x ＋12x ≥2. 所以m ≤－2.体验高考(2015新课标Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则⌝p 为( )A.∀n ∈N ，n 2＞2nB.∃n ∈N ，n 2≤2nC.∀n ∈N ，n 2≤2nD.∃n ∈N ，n 2＝2n【解析】C.命题的否定是：∀n ∈N ，n 2≤2n ，故选C.【举一反三】(2015山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1 .【解析】因为0≤x ≤π4，所以0≤tan x ≤1， 因为“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题， 所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第五章 数列 5-5 精品
考向二 数列中的图表问题 【典例2】(1)(2016·德州模拟)将全体正整数排成一 个三角形数阵:
1 23 456 7 8 9 10 …………… 按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数 为________.
(2)(2016·太原模拟)下表是一个由正数组成的数表,
数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且
【解题导引】10次还款连同利息之和等于本金10年后 的本息.
【规范解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还 款利息情况如下: 第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清; 第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息 之和为x(1+10%)元;
第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息 之和为x(1+10%)2元; … 第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息 之和为x(1+10%)9元. 10年后应还款总数为20000(1+10%)10.
91
又b13=
2 ,所以q=2.
1314
记表中第k(k≥3)行所有项的和为S,
则 S bk 1 qk 2 1 2k
1 q
k k 1 1 2
k
2
k 1
1
2k
(k
3).
考向三 数列的实际应用问题 【典例3】(2016·日照模拟)某大学张教授年初向银行 贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利 计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要 分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年 年初开始归还,问每年应还多少元?
【变式训练】(2016·青岛模拟)下面给出了一个三角 形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一 行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j 列数为aij(i,j∈N*),则a43=______.
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第六章
明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步
n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到 A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1 C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1 ( )
D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1
【小题快练】 链接教材 练一练
1.(选修2-2P99习题B组T1改编)在应用数学归纳法证
明凸n边形的对角线为 1 n(n-3)条时,第一步检验n等
2
于
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.三角形是边数最少的凸多边形,故第一步 应检验n=3.
2.(选修2-2P96习题2.3A组T1(3)改编)用数学归纳法证
6
左边＝右边，等式成立.
(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立， 即12＋22＋…＋k2＝ k(k 1)(2k 1) ，
6
则当n＝k＋1时， 12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
k(k 1)(2k 1) 2 ＝ ＋ k＋ 1 6 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] ＝ , 6
所以当n＝k＋1时，等式仍然成立, 由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．
【加固训练】 1.用数学归纳法证明:对任意的n∈N*, 1 1
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.7 精品
所以选项A,C不正确.
当x∈(-1,0)时,g(x)=x- 是1 增函数,
x
因为y=lnx是增函数,
所以函数f(x)=ln(x- 1)是增函数.所以D不正确,B正确.
x
命题方向2:借助实际情景探究函数图象 【典例3】(2015·全国卷Ⅱ)如图,长方形ABCD的边 AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ∠BOP=x.将动点P到A,B两点 距离之和表示为x的函数f(x), 则f(x)的图象大致为 ( )
y=f(2x)的图象的对称轴是 ( )
Hale Waihona Puke A.x=1B.x=-1
C.x=- 1
2
D.x= 1
2
【解析】选D.因为函数y=f(2x+1)是偶函数,所以其图
象关于y轴对称,而函数y=f(2x)的图象是将函数y=f(2x
+1)的图象向右平移 1 个单位,所以对称轴也向右平移
2
1 个单位,所以函数y=f(2x)的图象的对称轴为x= 1 .
【特别提醒】 1.函数对称的重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中 心对称.
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x) =f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
对于B:T<2π,故a>1,所以函数y=ax是增函数,故错;
对于C:T=2π,故a=1,故错;
对于D:T>2π,故a<1,所以y=ax是减函数,正确.
4.(2016·聊城模拟)如图,点P是以O为圆心,AB为直径的 半圆上的动点,AB=2,设弦AP的长为x,△APO的面积为y, 则下列选项中,能表示y与x的函数关系的大致图象是