小学六年级总复习之立体几何
小学六年级总复习之立体几何
数学问题中的立体几何应用
计算几何图形面积和体积 判断几何图形的形状和大小 解决几何图形的最值问题 确定几何图形的位置关系
科学问题中的立体几何应用
天文学：行星、 恒星和星系的形 状和运动规律可 以用立体几何来
描述。
物理学：电磁场、 引力场等物理现 象可以用立体几
何来描述。
化学：分子结构 可以通过立体几 何来描述，如分 子的键角、键长
立体几何中的基本概念
点、线、面的定义
平面几何的性质
空间几何体的构造
空间几何体的表面积和体积
03
立体图形的性质和 分类
立体图形的性质
定义：立体图 形是三维空间 中占据一定空 间的图形，具 有长度、宽度
和高度。
分类：根据几 何形状，立体 图形可以分为 多面体、旋转 体和组合体等。
性质：立体图 形具有三维性、 封闭性、占有 空间等性质。
特征：立体图 形具有空间感、 立体感和三维
性等特征。
立体图形的分类
柱体：包括圆柱、棱柱等 锥体：包括圆锥、棱锥等 球体：包括实心球、空心球等 其他多面体：包括长方体、正方体、三棱锥等
常见立体图形介绍
立方体：具有六个面，每个面都是正方形 球体：只有一个曲面，没有平面 圆柱体：由两个平行圆形面和一个曲面组成 圆锥体：由一个圆形底面和一个曲面组成
定义：立体几何是研究三维空间中图形和物体性质的一门学科。 基础概念：点、线、面、体等基本元素，以及它们的性质和关系。 目的：培养空间想象能力和逻辑思维能力。 应用：在建筑、工程、科学等领域有广泛应用。
立体几何中的基本元素
点：表示空间中的一个位置 直线：表示空间中一条无限延伸的线 平面：表示空间中一个无限延展的面 空间：表示三维的立体空间
立体几何复习知识点
立体几何复习知识点在数学的学习中，立体几何是一个重要且富有挑战性的部分。
它要求我们具备空间想象能力、逻辑推理能力以及对各种几何概念和定理的熟练掌握。
接下来，让我们一起系统地复习一下立体几何的相关知识点。
一、空间几何体（一）棱柱棱柱是由两个互相平行且全等的多边形底面，以及侧面都是平行四边形的多面体。
棱柱根据侧棱与底面的关系可分为直棱柱和斜棱柱。
直棱柱的侧棱垂直于底面，斜棱柱的侧棱不垂直于底面。
（二）棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个有公共顶点的三角形侧面所组成的多面体。
如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫做正棱锥。
（三）棱台棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
（四）圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
（五）圆锥以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴为圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线。
（六）圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台。
（七）球以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
二、空间几何体的表面积和体积（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。
（二）圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积圆柱的侧面积公式为＼（S_{侧}＝2\pi rh\），表面积公式为＼（S ＝ 2\pi r(r ＋ h)＼）；圆锥的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi rl\），表面积公式为＼（S ＝＼pi r(r ＋ l)＼）；圆台的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi （r ＋ R)l\），表面积公式为＼（S ＝＼pi （r^2 ＋R^2 ＋ rl ＋ Rl)＼）。
六年级总复习立体图形的整理与复习
2、 一个圆柱形油桶，从里面量底面半 径是2分米，高5分米。这个油桶的容积是 多少立方分米？
3、一个圆锥和一个正方体等底等高，已知它 们的体积之和是120立方分米，求圆锥体的 体积是多少立方分米？
4、一个圆柱形水池,直径是20米,深2米. ①这个水池占地面积是多少?
②挖成这个水池,共需挖土多少立方米? ③在池内四周和池底抹一层水泥,水泥 面的面积是多少平方米?
立体图形—
整理和复习
1、上面这些立体图形各有什么特点？ 2、长方体与正方体有什么相同点和不同点？ 3、圆柱与圆锥可以各由什么平面图形旋转而成？ 4、圆柱与圆锥之间有什么关系？
立体图形
圆柱体 长方体
都是 有
曲面
平面围成的
圆锥体
正方体
.o
球
上 后 左 前 下
6个面都是长方形。
右
后 上
左 前 下 右
1 〔（18.84÷3.14÷2）×3.14×2× 〕÷（5×0.02） 3
2
2厘米＝0.02米
＝18.84÷0.1 ＝188.4（米） 200米＞188.4米 答：够铺200米长的路。
12、一个圆锥形黄沙堆，底面周长18.84米， 高2米，把这些沙在5米宽的公路上铺2厘米 厚，够铺200米长的路吗？
3、圆柱的底面半径扩大3倍，高缩小3倍，圆柱的体积不变。 （ ）
4、圆柱体积比它等底等高的圆锥的体积多2倍。
5、圆锥的高有1条，圆柱的高有两条。
（
（
）
）
5、每相邻的两个体积单位之间的进率是 1000。 √ （ ） 1 6、圆锥的体积是圆柱的 3 。（ × ） 7、一个正方体的棱长是6分米，它的表面积与体 积一样大。（ ×） 8、两个圆柱的体积相等，它们的形状完全相同。 （ ） × 9、等底等高的长方体与圆柱体的体积相等。（√ ）
六年级总复习 立体图形
六年级总复习 立体图形一. 教学内容：总复习：立体图形 基本内容及知识点1、长方体的特征2、长方体的表面积3、长方体的体积4、正方体的特征二. 教学重点：知识与能力上的要求①使学生能熟练的辨别长方体、正方体、圆柱体、圆锥体，能依照它们面的特点分成两大类．②进一步熟练掌握长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的特征，加深理解长方体、正方体、圆柱体表面积的计算方法，能根据已知条件计算这些立体图形的表面积．③加深理解和掌握长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的体积计算方法，进一步了解体积计算公式的推导过程以及它们之间的相互联系，并能正确运用公式解答有关的实际问题．一、知识网络表面积体积长方体2(ab+ac +bc)abh正方体圆柱体圆锥体表面积体积表面积体积 体 积6a 2 a 3 2ΠR 2+Ch Sh1/3Sh二、长方体1、长方体的特征长方体有六个面，每个面都是长方形（有可能两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；有12条棱，相对的棱的长度相等；有8个顶点． 2、长方体的长、宽、高由长方体的一个顶点引出的3条棱分别叫做长方体的长、宽、高． 3、长方体的表面积长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2 S ＝2（ab+ac+bc ） 4、长方体的体积长方体的体积＝长×宽×高 V ＝abh 5、正方体的表面积6、正方体的体积7、圆柱体的特征以及表面积8、圆柱体的体积9、圆锥体的特征以及体积例1. 一个长方体的棱长之和是36厘米，长、宽、高的比是3：2：1．这个长方体的体积是多少立方厘米？ 分析：棱长之和是36厘米，一组长、宽、高的和就是36÷4 36÷4＝9（厘米） 3+2+1＝69×63＝4.5（厘米） 9×62＝3（厘米） 9×61＝1.5（厘米）4.5×3×1.5＝20.25（立方厘米）答：这个长方体的体积是20.25立方厘米．例2. 如图1，一个密封的长方体玻璃缸中的水深3厘米．如果把玻璃缸按图2放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）分析：长方体玻璃缸中的水的体积没有变化，长也没有变化，只是宽和水深相应的变化了，设长是a ，图2水深是h ，则：a ×8×3＝a ×4×h →8×3＝ 4×h 8×3＝24（平方厘米） 24÷4＝6（厘米）答：如果把玻璃缸按图2放置，里面的水深是6厘米． 三、正方体1、定义：长、宽、高都相等的长方体叫做正方体．2、正方体的特征正方体有6个面，每个面都是正方形，6个面面积都相等；有12条棱，所有棱的长度都相等；有8个顶点． 3、正方体的表面积正方体的表面积＝棱长×棱长×6 S ＝6a2 4、正方体的体积正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 V ＝a 3例3. 两个棱长都是4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积和体积各是多少？ 分析：两个棱长都是4厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了两个面，体积没变． 4×4×（12－2）＝160（平方厘米）例4. 在一个长是25厘米，宽是20厘米，高是30厘米的长方体水槽中，水深是15厘米，现在要在水槽中放入一个长和宽都是10厘米，高是20厘米的铁块，水面上升多少厘米？分析：第一种情况：铁块横着放 10×10×20＝2000（立方厘米）25×20＝500（平方厘米）2000÷500＝4（厘米）答：水面上升4厘米．第二种情况：铁块竖着放长方体水槽底面积是25×20＝500平方厘米，水深15厘米，根据这两个条件可以求出水的体积，如果将一个底面积是10×10＝100平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，由于高20厘米，可能仍有一部分铁块露在外面，那么相当于水槽的底面积减少100平方厘米，也就是还剩下500－100＝400平方厘米，把原来的水放进底面积是400平方厘米的容器中，现在水深就很容易求出来了，再减去原来水深，上升高度就求出来了．25×20×15＝7500（立方厘米）25×20－10×10＝400（平方厘米）7500÷400＝18.75（厘米）18.75－15＝3.75（厘米）答：水面上升3.75厘米．四、圆柱体1、圆柱体的特征以及表面积底面侧面高底面圆柱体的特征：圆柱的上、下两个面叫做底面，它们是面积相等的两个圆．两底面之间的距离叫做高．圆柱的两个底面面积相等，圆柱有无数条高．圆柱体的表面积：圆柱的侧面积＝底面的周长×高字母表示： S＝Ch圆柱的侧面积与两个底面积的和，就是圆柱的表面积．2、圆柱体的体积圆柱体的体积＝底面积×高例5. 一个圆柱形游泳池的底面直径是40米，深是2米．①这个游泳池的占地面积是多少平方米？②围绕这个游泳池的一周，围上护栏，护栏的长是多少米？③挖成这个游泳池，共需要挖土多少立方米？④在游泳池的侧面、池底抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？①40÷2＝20（米）3.14×202＝1256（平方米） ②40×3.14＝125.6（米） ③1256×2＝2512（立方米） ④125.6×2＝251.2（平方米） 1256+251.2＝1507.2（平方米）答：①这个游泳池的占地面积是1256平方米．②围绕这个游泳池的一周，围上护栏，护栏的长是125.6米． ③挖成这个游泳池，共需要挖土2512立方米．④在游泳池的侧面、池底抹上一层水泥，抹水泥的面积是1507.2平方米．例6. 一个圆柱体的侧面积是100平方厘米，底面半径是3厘米，它的体积是多少立方厘米？分析：换个角度思考，根据圆柱体和长方体间的关系，长方体底面积是圆柱体侧面积的一半，高是圆柱的半径，求出长方体的体积也就求出圆柱体的体积了． 100÷2×3＝150（立方厘米） 答：它的体积是150立方厘米．五、圆锥体1、圆锥体的特征顶点侧面底面h高圆锥由一个平面和一个曲面组成，顶点到底面的垂直线段的长叫做高，圆锥有一条高． 2、圆锥体的体积圆锥体的体积＝底×高÷3 V 锥＝13Sh例7. 在一个底面半径是10厘米的圆柱形状的容器中装水，水里放一个底面半径是5厘米的圆锥形状的铅锤，当铅锤从容器中取出后，容器中水面下降5毫米．铅锤的高是多少？分析：当铅锤从容器中取出后，容器中水面下降5毫米，说明铅锤的体积就是高5毫米容器中水的体积，求出铅锤的体积，根据圆锥的体积公式求出铅锤的高． 5毫米＝0.5厘米 3.14×102×0.5 ＝314×0.5＝157（立方厘米）157×3＝471（立方厘米） 3.14×52＝78.5（平方厘米） 471÷78.5＝6（厘米） 答：铅锤的高是6厘米．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、正确填空1、一个圆柱体底面半径是5厘米，高是8厘米，沿它的高剪开，得到的侧面展开图是（）形，展开的侧面积是（）平方厘米．2、一个长50米，宽40米，深3米的蓄水池占地（）公顷，这个蓄水池容水（）立方米．3、一个圆柱和一个圆锥，它们的底面半径相等，圆柱的高是圆锥高的3倍．如果圆锥的体积是2立方米，圆柱的体积是（）立方米．4、一个圆柱体表面积60平方厘米，底面积15平方厘米，把2个这样的圆柱体拼成一个大圆柱体，这个大圆柱的表面积是（）平方厘米．二、准确判断．（对的在括号里打“√”，错的打“×”）1、圆锥体的体积是圆柱体的体积的三分之一．（）2、正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍．（）3、把圆柱的侧面展开是一个长方形，也可能是一个正方形．（）三、精挑细选（选择正确的答案序号填入括号）1、一个棱长6分米的正方体，它的表面积和体积（）（A）不能比大小（B）同样大（C）体积大于表面积2、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，这个圆柱和圆锥的底面积比是（）（A）1：3 （B）3：1 （C）1：1 （D）无法确定3、长方体和正方体都是由（）围成的立体图形．（A）平面（B）曲面（C）线段4、把直径2厘米，高4厘米的圆柱体木棒截成两个小圆柱体，表面积增加了（）平方厘米．（A）16 （B）3.14 （C）8 （D）6.28四、解决问题．1、把一个长8厘米，宽和高都是4厘米的长方体木料截成两个正方体，表面积比原来增加多少平方厘米？2、做一个棱长0.5米的无盖正方体油箱，至少需要多大的铁皮？这个油箱能装汽油多少千克？（每升汽油重0.8千克）3、一个圆柱的侧面展开图是正方形．这个圆柱的高是6.28分米，体积是多少立方分米？4、一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米，每立方米小麦约重750千克，这堆小麦约重多少千克？立体图形——提高拓展部分知识点一：基本知识1、立体图形的相关计算公式名称图形特征计算公式表面积（C）体积（S）长方体（1）有8个顶点。
小学数学六年级毕业复习之《14立体图形的认识》
也不符合“2-2-2型”。
答：一共有4种不同的添法。
（2）一根长8厘米、宽6厘米、高5厘米的木料，把它锯成棱长为2厘米的正
方体木块，可以锯成几块？
长： 8÷2=4（块）
5cm 2cm
宽： 6÷2=3（排） 高： 5÷2=2（层）……1厘米
4×3×2=24（块）
6cm 8cm
答：可以锯陈成24块。
（3）华阳玩具厂要将长，宽各为10厘米、高为5厘米的长方体玩具盒装入棱
如图，占地面积就是台阶 上面的面积和。
0.3米0.2米
铺地砖的面就是台阶的上 面和前面。
（1）占地面积： 8×0.3×5=12（平方米）
8米
（2）铺地砖面积：
（8×0.3+8×0.2）×5=20（平方米）
答：占地面积12平方米，铺地砖面积20平方米。
③ 把一个长18.84厘米、宽12.56厘米的长方形铁皮能卷成的圆柱形（卷口处 不重叠），它能穿过边长5厘米的正方形墙洞吗？
7
展开图——长方体、圆柱、圆锥
（知识点）
高 上面
左 面
前面
右 面
后面
下面
长宽
长方体展开图
侧面 圆锥展开图
底面
底面 侧面
底面 圆柱展开图
高 底面周长
（1）一个长方体，长、宽、高分别是 a、b、h 厘米， 长、宽、高的和是
（
a+b+h
）厘米，棱长的和是（ 4(a+b+h)
）厘米。
（2）一个正方体的棱长是 a 厘米，棱长的和是（ 12a ）厘米。如果a=5，那
叫作高。
圆锥的底面是一个 圆，侧面是一个曲面。 高
从圆锥的顶点到底面 圆心的距离是圆锥的高。
(完稿)六年级5·28专题春季第一讲立体几何1
1.在中国古代数学中，两个形状相同的圆柱以垂直的方向相互穿插，如图所示，中间重合部分所构成的几何体称为牟合方盖．从正上方俯视牟合方盖，呈现的图形是什么样子的？画出该图形.2.左下图为主视方向的几何体，它的俯视图是（）．立体几何11模块一三视图与展开图3.如图，有一个边长是10的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是10，5，3的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?4.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？5.（2016年师大附5·28押题）将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开.涂上红色的部分，面积是多少平方厘米？6.用14个棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，这个立体图形的表面积是多少？7.（2016年高新一中5·28押题）如图是一个由几块相同的小正方体搭成的立方体图形的三视图，则这堆立体图形中的小正方体共有__________块.8.一个用立方体块搭成的立体图形，新新从前面和上面看到的图形均如下图所示，那么搭成这样一个立体图形至少需要__________个小立方块.9.（2013高新一中综测）一个立体图形由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看到和左面看到的，那么要搭成这样的立体图形，至少要用_________个小正方体.10.小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从左面看如右下图，那么他最多用了__________块木块，最少用了__________块木块.11.左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面，请在右下方的展开图中画出APQC的四条边.12.用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色，如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成一个长方体，试回答：每个小正方体中，哪些颜色分别涂在相对的面上？模块二切分问题13.一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，那么，这60块长方体表面积的和是多少？14.将一个棱长为6的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体的表面积的2倍，则切割成的小正方体的棱长是______.15.一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米.求长方体的表面积与体积各是多少？16.一个长方体木块，分别从上部和下部截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成了一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？17.两个大小不同的正方体粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是搭积木的粘贴面各边的一个三等分点，如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为________.18.两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体的两个面上，构成如图所示的立体图形，其中，每个小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个五等分点，如果每个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，则这个立体图形的表面积为________.模块三染色问题19.把一个长、宽、高分别为7、6、5的长方体的表面染上红色，然后把这个长方体切成棱长为1的小立方体，请问其中恰有1面是红色的小立方体有多少个？20.64个同样大小的小正方体，其中34个位白色的，30个为黑色的.现将它们拼成一个4×4×4的大正方体，大正方体表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最小是________.21.将一个棱长为整数分米的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体；在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一个面涂红色的有__________块，原来长方体的体积是__________立方分米.学习札记1.分别由6、6、15个棱长为1的小正方体堆叠成如图所示的几种立体图形，它们的表面积是多少？2.在正方形的表面上画有如图1所示的线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（）.A .B .C .D.图2图1115·28专题·春季·立体几何1·学生版3.一个几何体是由一些大小相同的小正方体块摆成的，其主视图、俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体块最多__________个，最少有__________个.4.由许多小正方体堆积成的一个几何体，其主视图和左视图如图所示，要摆成这样的图，至少需要__________块正方体.5.有30个棱长为1米的正方体，在地面上摆成如右图的形式，然后把露出的表面涂成红色，求被涂成红色的的面积.125·28专题·春季·立体几何1·学生版6.左图是一个正方体的展开图，右图的四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是________.7.右图为一正方体的展开图，其外部涂有红、黄、蓝、绿、橙、紫六色，将它折合成如左图后，阴影部分会呈现哪一种颜色？（颜色在外部）（）A.黄B .红C .紫D .橙8.下图是一个正方体，它的六个面分别编号1、2、3、4、5、6，根据下面三种情况，把相对的面的编号填在一起，_______对_________，__________对__________，__________对__________，①②③④135·28专题·春季·立体几何1·学生版9.有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀．三刀、四刀后，成为60个小长方体，这60个小长方体的表面积总和为多少平方米？10.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下如所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最低层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最低层正方体的底面积）超过30，则该塔形中正方体的个数至少是________.。
最新人教版数学六年级下册总复习3(空间与图形立体图形)
a 棱长×棱长×棱长
a
3
V=a
a
正方体
V=sh
圆柱的体积= h 底面积×高
V=sh
s
圆锥体积= 1 ×底面积×高
3
圆锥体
长方体、 正方体、 圆柱体的体积=
底面积×高 or
V=sh
V= 1 sh
3
球
圆柱体
应用练习：
1、计算下列立体图形的表面积和 体积； 单位：厘米
4 5
10
5 5
5
10 2
一、填空；
（2）做一只圆柱形通风管要用多少铁皮， 是求它的（侧面积）。
（3）下雨时,给打谷场上的圆锥形谷堆盖上 塑料防雨布,所需防雨布的最小面积是指圆 锥的(侧面积 )。
实验、转化
推导体积计算公式
转化
推导体积计算公式
立体图形体积计算
长方体的体积=
s a
h 长×宽×高
b V=abh
长方体
V=sh
正方体的体积=
4.学校微机室铺了1800块长40cm, 宽20cm,厚1cm的地砖,这个微机室 的面积是多少平方米?
？ 思考题
1. 把一根长3m，底面直径2 dm的 圆柱形钢管截3段，表面积增加了 多少?
下课了， 再见！
结束语
谢谢大家聆听！！！
37
人教版数学六年级下册总复习 3(空间与图形立体图形)
立体图形
.o
长方体
正方体 圆柱体
圆锥体
球
立体图形
长方体
正方体
(特殊的长方体）
圆柱体
圆锥体
球
立体图形
长方体 正方体
圆柱体
都是平面围成的
圆锥体
六年级期末复习第七讲 立体几何
第七讲 立体几何一、知识梳理 四种立体图形的特征长方体和正方体都是由平面围成的图形，圆柱和圆锥是由平面和曲面一起围成的图形 长方体与正方体相同点：都有_____个顶点，_____条棱，_____个面，长方体相对的面完全相同，相对的棱长度相等，正方体6个面完全相同，12条棱长度相等。
不同点：面的形状，面的面积，棱长与棱长和，长方体与正方体的关系圆柱与圆锥圆柱底面是两个完全相同的圆，侧面 是曲面，侧面展开图是长方形或正方形，有无数条高；圆锥底面是一个圆，侧面是曲面，侧面展开图是扇形，有一条高（顶点到底面圆心）长方体与正方体的棱长和、表面积与体积欧拉公式：点＋面－棱＝2，棱长和，表面积，侧面积，体积，容积圆柱与圆锥的表面积（侧面积）与体积（容积）等底等高的圆柱和圆锥体积比为3:1二、方法归纳立体图形表面积与体积的计算公式总结总结：长方体、正方体和圆柱的体积都可以表示为V＝S h三、课堂精讲例1如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？例2、在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？变式训练11．右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）例3一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？例4如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)变式训练2有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？1110.511.5例5如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)变式训练3有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)例6一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)(单位：厘米)变式训练4一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？例7如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC ∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)CBA43四、讲练结合题1.一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？(π取3)2.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？3.个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm ，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm ．(π取3.14)2530154.如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水多少升．五、课后自测练习1.一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？2.如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？3.一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3 )4.如右图，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?5cm【答案】一．课堂精讲【变式训练1】1.原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米【变式训练2】【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)【变式训练3】【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2π1062.8⨯⨯=(厘米)， 原来的长方形的面积为：10462.81022056⨯+⨯⨯=（）（）(平方厘米)． 【变式训练4】液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的623÷=倍．所以酒精的体积为326.4π62.17231⨯=+立方厘米，而62.172立方厘米62.172=毫升0.062172=升．二．讲练结合1.观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm ，因为酒瓶深30cm ，这样所剩空间为高5cm 的圆柱，再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯= 瓶中剩余空间的体积1010(3025)π125π22-⨯⨯=，酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==） 2.该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是22212421++=平方米，从上面观察到的面积是2416=平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是21416100⨯+=平方米． 3.根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．设圆柱体底面半径为r ，高为h ，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：2222008(cm )r h ⨯⨯=，所以2502(cm )r h ⨯=，所以，圆柱体侧面积为： 22π2 3.145023152.56(cm )r h ⨯⨯⨯=⨯⨯=．4.圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器容积是水的体积的8倍，即508400⨯=升．小升初学习交流群：679138162 11三．课后自测练习1.圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56÷=(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=(平方厘米)，两个底面积是：()23.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=(平方厘米)． 2.大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454-2400)÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．3.设圆锥的高为x 厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：()22215π611π6π63x x ⨯⨯=-⨯⨯+⨯⨯⨯，解得9x =， 所以容器的容积为：221π612π69540π16203V =⨯⨯+⨯⨯⨯==(立方厘米)．4.我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l =1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．。
六年级数学立体图形的总复习
立体图形的表面积和体积长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 V=(ab+ah+bh)×2长方体的体积 =长×宽×高 V =abh正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a=直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr圆的面积=圆周率×半径×半径Ѕ=圆柱的侧面积=底面周长×高 S=ch =2πrh圆柱的表面积=2个底面面积+侧面积 s=圆柱的体积=底面积×高 V=Sh v=圆锥的体积=底面积×高÷3 v=1、天天游泳池，长25米，宽10米，深1.6米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖的边长是1分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少块？2、一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮?3、一个圆柱形蓄水池，底面周长是25.12米，高是4米，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。
如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？4、在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？5、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。
这堆沙约重多少吨？6、一个圆柱形容器，高5厘米，底面半径是2厘米，，装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。
这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？。
小学六年级总复习之立体几何
一、习题精选。
1、一堆小麦堆成圆锥形，底面周长是18. 84米，高1.8米，这堆小麦的体积是（）。
2、用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。
3、一个圆柱体比和它等底等高的圆锥体体积大18立方厘米，那么圆柱体和圆锥体体积的和是（）。
4、一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加（）平方厘米或（）平方厘米。
5、一个长方形长15厘米，宽10厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
6、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（）个小立方块。
7、一个半圆的周长是12.56厘米，将这个半圆扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。
8、把一个棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。
锻成的钢材长度为（）。
9、把一个高为18厘米的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和这个圆锥形容器等底的圆柱形容器里，水的高度是（）厘米。
二、判断题1、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。
（）2、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比2：1. （）3、一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米（）4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。
（）5、一个长方体和一个圆柱，它们的体积和高都相等，那么，它们的底面积也相等。
（）三、选择题。
1、甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍(容器直立放置)。
现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？(容器内的水都未加满) （）A.1∶2B.2∶1C.4∶1D.1∶42、.如果一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大( )倍。
A.3B.9C.273、一个长方体油箱，里面长60厘米，宽50厘米，高40厘米，这个油箱可以装油（）A.120升B. 12升C. 1.2升4、.把棱长2厘米的正方体木块装入长8厘米，宽6厘米，高3厘米的长方体盒子里，一共可以装（ ）块。
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一、习题精选。
1、一堆小麦堆成圆锥形，底面周长是18. 84米，高米，这堆小麦的体积是（）。
2、用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。
3、一个圆柱体比和它等底等高的圆锥体体积大18立方厘米，那么圆柱体和圆锥体体积的和是（）。
4、一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加（）平方厘米或（）平方厘米。
5、一个长方形长15厘米，宽10厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
6、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这
样一个立体图形最少要（）个小立方块。
7、一个半圆的周长是厘米，将这个半圆扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。
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8、把一个棱长是米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。
锻成的钢材长度为（）。
9、把一个高为18厘米的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和这个圆锥形容器等底的圆柱形容器里，水的高度是（）厘米。
二、判断题
1、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。
（）
2、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比2：1. （）
3、一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米（）
4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。
（）
5、一个长方体和一个圆柱，它们的体积和高都相等，那么，它们的底面积也相等。
（）
（
三、选择题。
1、甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍(容器直立放置)。
现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是(容器内的水都未加满)（）
∶2 ∶1∶1 ∶4
2、.如果一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大( )倍。
3、一个长方体油箱，里面长60厘米，宽50厘米，高40厘米，这个油箱可以装油（ ）
升 B. 12升 C. 升
4、.把棱长2厘米的正方体木块装入长8厘米，宽6厘米，高3厘米的长方体盒子里，一共可以装（ ）块。
5、. 如图，按“上、右、前、左、后、下”的顺序在正方体的6个面上分别写上“喜迎澳门回归”字样，在以下几种表面积展开图中，( )是正确的。
[
6、下面三个图形中(每格都是正方形)，不是正方体表面展开图的是 [ ]
7、一个圆锥体的体积是立方分米，高是分米，它的底面积是 （ ）
A 135 平方分米
B 15平方分米
C 5平方分米
D 3
5平方分米 8、用黄铜熔铸成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，共重千克，圆柱重（ ）千克，圆锥重（ ）千克。
四、解答题。
1、测得一个磁带盒的长是14厘米，宽11厘米，厚3厘米。
现有4盒，按图（1）、图（2）摆放的方式进行包装，哪种包装方式更节约包装纸为什么还有其他的包装方式吗试再画出一种并与前两种进行比较。
…
（1） （2）
2、有一块长方形的铁皮，按照左图剪下阴影部分，制成一个圆柱形状的油漆桶，这个油漆桶的容积是多少升制作100个这样的圆柱体油桶共需铁皮多少平方米
3.小刚的家和学校相距2200米，他每天骑自行车上学，车轮的直径是70厘米，如果他以每分钟转105圈的速度向学校骑去，大约需要几分钟能到达学校（得数保留整数）
，
4．学校生物小组做了一个昆虫箱（如图）。
昆虫箱的一下、左、右面是木板，前、后两面装防蝇纱网。
制作这样一个昆虫箱，至少需要木板和纱网各多少平方厘米。
5.一个长方体容器，长是26厘米，宽是10厘米，高是8厘米，里面装有4厘米深的水，现将一块石头浸没水中，水面升高3厘米，这个石头的体积是多少立方厘米
；
6、牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。
这支牙膏可用36次。
该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。
这样，这一支牙膏只能用多少次
！
7、一个长方体的木块，它的所有棱长之和为108厘米，它的长、宽、高之比为4：3：2。
现在要将这个长方体削成一个体积最大的圆柱体，这个圆柱体体积是多少立方厘米
8、在一个底面直径是10厘米，高是9厘米的圆柱形量杯内，水面高5厘米，把一个小球沉浸在水里，水满后还溢出克，求小球的体积多少(1立方厘米的水重1克)。