高一数学(人教B版)-平面与平面垂直的概念-3学习任务单
人教B版高中数学必修二学案：1.1.2 第2课时 平面与平面垂直
第2课时.平面与平面垂直[学习目标].1.掌握平面与平面垂直的定义.2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.3.理解线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系.[知识链接]1.直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面； 推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 2.直线与平面垂直的性质定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直. 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . [预习导引]1.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直. 3.平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.要点一.平面与平面垂直判定定理的应用例1.如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC .证明.连接AC，BC，则BC⊥AC，又P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，又BC⊂平面PBC，∴平面P AC⊥平面PBC.规律方法.面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.跟踪演练1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PDB.证明.设AC∩BD＝O，连接OE，∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.要点二.面面垂直性质定理的应用例2.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.解.已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.方法一.在γ内取一点P，作P A垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则P A⊥α，PB⊥β.∵l＝α∩β，∴l⊥P A，l⊥PB.又P A∩PB＝P，且P A⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.方法二.在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β，∴m∥β.又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l.∴l⊥γ.规律方法.面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质.跟踪演练2.如图，在三棱锥P ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明.在平面P AB内，作AD⊥PB于D.∵平面P AB⊥平面PBC，且平面P AB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，又P A∩AD＝A，∴BC⊥平面P AB.又AB⊂平面P AB，∴BC⊥AB.要点三.线线、线面、面面垂直的综合应用例3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面P AD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.证明.(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD, 平面P AD∩平面ABCD＝AD，BG⊥平面P AD.(2)连接PG，如图，∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.规律方法.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点；(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪演练3.如图，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC ＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：P A⊥BD.证明.如图，取BC的中点O，连接PO、AO.∵PB＝PC.∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.∵BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面P AO，又P A⊂平面P AO，∴BD⊥P A.1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(..)A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能答案.D解析.以正方体为模型；相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.2.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(..)A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在答案.C解析.由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.3.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则(..)A.ME⊥平面ACB.ME⊂平面ACC.ME∥平面ACD.以上都有可能答案.A解析.由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.4.如图，设P是正方形ABCD外一点，且P A⊥平面ABCD，则平面P AB与平面PBC、平面P AD的位置关系是(..)A.平面P AB与平面PBC、平面P AD都垂直B.它们两两垂直C.平面P AB与平面PBC垂直，与平面P AD不垂直D.平面P AB与平面PBC、平面P AD都不垂直答案.A解析.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC.又BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面P AB.由AD⊥P A，AD⊥AB，P A∩AB＝A，得AD⊥平面P AB.∵AD⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面P AB.由已知易得平面PBC与平面P AD不垂直，故选A.5.下列四个命题中，正确的序号有________.①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.答案.①②解析.③④不正确，当α⊥β，γ⊥β时，α，γ可以平行、相交或垂直.1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：2.运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.。
高一数学(人教B版)-平面与平面垂直的概念
α2
β2 l2
α1
βl11
例.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面, 那么这两个二面角的大小关系为______无__关_____．
α2 α1β1l1
墙
门 墙
l2
β2
地
平面几何中的命题：“在平面内，如果一个角的两边分别平行于另一 个角的两边，那么这两个角相等或互补”．
平面几何中的命题：“在平面内，如果一个角的两边分别垂直于另一 个角的两边，那么这两个角相等或互补”．
平面与平面垂直的概念
高一年级 数学
空m
间
中
的 平
n
行
m
n
β
线线平行
线面平行
m’
m
α
O
β
面面平行
空m
间 中
的n
平 行
α
m
nβ
线线平行
线面平行
mα
n
β
面面平行
直
定义 直线垂直于平面内与其具有公共点的所有直线
线
与
平
面
垂
直
充要 直线垂直于平面内的任意直线.
直 线
条件 l m ,l m
与 判定 直线与平面内两条相交直线垂直,则直线与平面垂直.
3.作垂线：做出半平面的垂线,利用线面垂直的知识
例.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面, 那么这两个二面角的大小关系为________．
例.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面, 那么这两个二面角的大小关系为________．
β1
1
β2 2
l1
α1
（2）求二面角B1-AC-B的正切值,A1
人教新课标版数学高一- 人教B版必修2学案 1.2.3(2) 平面与平面垂直
1.2.3 空间中的垂直关系(2)——平面与平面垂直自主学习学习目标1．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直．2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．自学导引1．如果两个相交平面的交线与第三个平面______，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______，就称这两个平面互相垂直．2．如果一个平面过另一个平面的__________，则两个平面互相垂直．3．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．对点讲练知识点一面面垂直的证明例1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.点评将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90°(如例1)．变式训练1如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA 和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.知识点二面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.知识点三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3在直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC.能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．1．面面垂直的证法(1)定义法；(2)判定定理法．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．至此判定线面垂直的方法主要有以下五种：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α b ⊥α.(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥αa ⊥β.课时作业一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( ) A ．a ⊥β B ．a ∥β C ．a 与β相交 D ．以上都有可能2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．无数条3．已知m 、n 为不重合的直线，α、β、γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．m ⊥α，n β，m ⊥n α⊥β B ．α⊥γ，β⊥γα∥βC ．α∥β，m ⊥α，n ∥βm ⊥nD ．α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m n ⊥β 4.如图所示，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，则在平面PAB 、平面PAD 、平面PCD 、平面PBC 及平面ABCD 中，互相垂直的有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对5.如图所示，在立体图形D —ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；③若lβ，且l⊥α，则α⊥β；④若mα，lβ，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是________．7．空间四边形VABC的各边及对角线均为1，M是VB的中点，则平面ACM与平面VAB的位置关系是________．8.如图所示，已知，PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中面面垂直的共有________对．三、解答题9．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.10.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【答案解析】自学导引1．垂直垂直2．一条垂线3．交线对点讲练例1证明连接AC，设AC、BD交点为F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.变式训练1证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.例2证明(1)连接PG，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.变式训练2证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.例3证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，PA平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．变式训练3解假设能够找到符合题意的点E.如图所示，作EM⊥A1C于点M.因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C，所以EM⊥侧面AA1C1C.取AC的中点N，连接MN，BN，因为AB＝BC，所以BN⊥AC.又因为AA1⊥BN，所以BN⊥侧面AA1C1C，所以BN∥EM.因为平面BEMN∩平面AA1C1C＝MN，BE∥平面AA1C1C，所以BE∥MN∥A1A.因为AN＝NC，所以A1M＝MC.因为四边形BEMN为矩形，所以BE＝MN＝12A1A.所以当E为BB1的中点时，平面A1EC⊥侧面AA1C1C.课时作业1．D2．A3．C4．C5．C6．①③7.垂直8.39.证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB. 又AB平面PAB，∴BC⊥AB.10．证明(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.∵EC⊥BC，DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故ED＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则12EC.∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MBD内，∴平面MBD⊥平面ECA.(3)∵BD 12EC，MN12EC，∴MNBD为平行四边形．∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.。
11.4.2平面与平面垂直-人教B版高中数学必修第四册(2019版)教案
11.4.2 平面与平面垂直-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案一、知识点1. 平面与平面垂直的定义平面与另一平面垂直，当且仅当其中一个平面上的任意一条直线，都与另一个平面上的任意一条直线垂直。
2. 平面与平面垂足平面与平面相交于直线 l 上，同时在直线 l 的两侧分别取一点 A 和 B。
在交点处垂直于直线 l 作飞镖形，其中顶点为交点，底部为 AB 之间的线段。
垂直于直线 l 的这条线段与直线 l 所在平面就是平面与平面的垂足。
3. 平面与平面垂直的判定如果用方向余弦求出一个平面与另一个平面的法向量，判断这两个法向量是否互相垂直，即可确定两个平面是否垂直。
二、教学目标1.理解平面与平面垂直的定义，能够运用定义判断平面是否垂直。
2.了解平面与平面垂足的构造方法。
3.掌握使用方向余弦判断平面与平面垂直的方法。
三、教学过程1. 引入新知识提问：什么是平面？两个平面什么情况下垂直？引入平面与平面垂直的定义。
2. 讲解平面与平面垂足的构造方法展示飞镖形并进行解释，引导学生自己画出飞镖形。
3. 讲解使用方向余弦判断平面与平面垂直的方法讲解方向余弦和两个平面的法向量，引导学生进行计算并判断两个平面是否垂直。
4. 练习（1）判断两个平面是否垂直已知平面 A 的法向量为 (1,2,-1)，平面 B 的法向量为 (-2,4,1)，判断平面 A 与平面 B 是否垂直。
解：计算方向余弦可得：cosθ= (1(-2) + 24 + (-1)*1) / √(1^2 + 2^2 + (-1)^2) √((-2)^2 + 4^2 + 1^2) = 0因为cosθ = 0，所以平面 A 和平面 B 是垂直的。
（2）构造平面与平面的垂足现给出一平面平面 P： 3x - 2y + 5z - 8 = 0。
在 P 的上方取一点 A：(1,2,1)，在P 的下方取一点 B：(3,4,-2)，现构造 P 上的点 C 和 P 下的点 D，使得 CD 垂直于 P。
高一数学(人教B版)直线与平面垂直的概念
O 的直径，
O 上不同于 A, B 任意一点，求证：BC 平面 PAC .
练习1 如图，已知 PA垂直于
C是
O 所在的平面， AB是
O 的直径，
O 上不同于 A, B 任意一点，求证：BC 平面 PAC .
证明：因为 PA 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，
所以 PA BC .又因为 AB是
所以 BC AC. 又 PA
O 的直径，
AC A，
PA, AC 平面 PAC，所以 BC 平面 PAC .
引申探究1 若练习1中其他条件不变，
作 AE PC 于点 E ，求证：AE 平面 PBC .
引申探究1 若练习1中其他条件不变，
作 AE PC 于点 E ，求证：AE 平面 PBC .
引申探究2若引申探究1中其他条件不变，过点 A 作 AF PB 于 F ，
求证： PB 平面 AEF .
证明：由引申探究1知 AE 平面 PBC .
因为PB 平面PBC，所以 AE PB ，
又 AF PB ，且 AE
AF A，
AE , AF 平面 AEF，所以 PB 平面 AEF .
2.如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线
是否和平面垂直？
思考探究
请思考：直线和平面垂直如何判定?
1.利用直线与平面垂直定义能检验旗杆垂直于地面吗?
2.如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线
是否和平面垂直？
3.如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线
是否和平面垂直？
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内
又 AB∥CD ，所以 CD PA．
人教高一数学教学设计之《2.3.4 平面与平面垂直的性质》
人教高一数学教学设计之《2.3.4 平面与平面垂直的性质》一. 教材分析《2.3.4 平面与平面垂直的性质》是人教高一数学必修2第二章第三节的内容。
本节主要介绍平面与平面垂直的性质，包括两个平面垂直的判定和性质。
通过学习，学生能够理解平面与平面垂直的概念，掌握判定和性质，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析高一学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的认识和推理能力有一定的基础。
但学生对立体几何的理解可能还不够深入，需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的判定和性质。
2.能够运用平面与平面垂直的知识解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.平面与平面垂直的概念理解。
2.平面与平面垂直的判定和性质的掌握。
3.运用平面与平面垂直的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、操作来探索平面与平面垂直的性质。
2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解平面与平面垂直的概念。
3.采用小组合作学习，让学生通过讨论、交流、分享来加深对平面与平面垂直的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。
2.练习题和实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如墙角的垂直线，引发学生对平面与平面垂直的思考。
提问学生对垂直的理解，引导学生从平面几何过渡到立体几何。
2.呈现（10分钟）利用多媒体课件和实物模型，呈现平面与平面垂直的判定和性质。
通过动画演示和实物模型的旋转，让学生直观地理解平面与平面垂直的概念。
3.操练（10分钟）学生分组进行操作，利用准备好的实物模型，进行平面与平面垂直的判定和性质的练习。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成一些相关的练习题，巩固对平面与平面垂直的理解。
教师选取一些学生的作业进行讲解和点评。
5.拓展（10分钟）学生分组讨论，思考平面与平面垂直在实际问题中的应用。
高中数学第一章立体几何初步1.2.3第2课时平面与平面垂直学案新人教B版必修2[1]
C．直线AC上D．△ABC内部
4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________。
5。如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
求证：平面EBD⊥平面ABCD。
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD。
∴BG⊥平面PAD。
（2)由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD。
又BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG,又PB⊂平面PBG，
∴AD⊥PB。
例3 解 (1）取CE的中点F，连接DF,易知DF∥BC,
因为CE⊥平面ABC，
所以CE⊥BC，
1．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：
2．运用平面垂直的性质定理时,一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
问题导学
知识点二
思考 都是垂直．
梳理 垂线a⊂β
2．结论:两个平面互相垂直．
3．记法：平面α,β互相垂直，记作α⊥β.
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
梳理 平面与平面垂直的判定定理
类型二 面面垂直的性质定理及应用
例2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC。
高一数学(人教B版)平面与平面垂直的判定与性质
长．
α
C
lA
B
β
D
课堂小结
1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面 2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义 ⑵判定定理 3、面面垂直的性质定理：线面垂直的判断方法
一、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直. 2.过一点可作____个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.
平面与平面垂直的判定与性质
高一年级 数学
定义 从一条直线出发的两个半平面组成的图形称为二面角 二 面 范围 [0,π] 角
作法 作（定义、棱的垂面、面的垂线）、证、指、算
平面与平面垂直的概念 直二面角
思考1.在二面角α-m-β中,AO , 如果AO⊥β于点O,那么二面角α-m-β
是直二面角吗？
（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.
（× ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（3）. 如果平面α内的一条直线 l 垂直于平面β内的两条相交直线, 则
α⊥β.（ √ ）
l⊥β ，l ⸦ α，则α⊥β.
（4）.如果α⊥β,那么平面α内的所有直线都垂直于平面β.（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（5）.若两个平面垂直，分别在这两个平面内直线互相垂直.（ × ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（6）.若两个平面垂直,分别在两个平面内且互相垂直的两条直线一定分别
高中数学平面垂直教案人教版
高中数学平面垂直教案人教版
1. 理解平面垂直的概念及性质
2. 掌握平面垂直的判定方法
3. 能够运用平面垂直的性质解决实际问题
教学重点：
1. 理解平面垂直的概念
2. 掌握平面垂直的判定方法
教学难点：
1. 运用平面垂直的性质解决实际问题
2. 理解平面垂直的性质
教学准备：
1. 教材《高中数学（人教版）》
2. 黑板、彩色粉笔
3. 相关练习题
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示两条互相垂直的线段，引导学生探讨平面垂直的性质及应用场景。
二、讲解（15分钟）
1. 介绍平面垂直的概念及性质。
2. 讲解平面垂直的判定方法，包括两条直线斜率之积为-1、两组线段边的斜率之积为-1、两组相互及相交线段的长度之积为0等。
三、练习（20分钟）
1. 学生进行练习，对平面垂直的判定方法进行实际操作。
2. 教师指导学生如何解题，帮助学生加深对平面垂直性质的理解。
四、实践（10分钟）
学生分组进行小组讨论，提出实际问题，探讨如何运用平面垂直的性质解决问题。
五、总结（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结，强调学生应掌握的重点和难点，并鼓励学生在课后多加练习，巩固所学知识。
六、作业（5分钟）
布置相关作业，帮助学生巩固课堂知识。
教学反思：
在教学中要注重引导学生主动思考，帮助学生建立自己的知识体系，提高学生的学习兴趣和学习能力。
同时，要及时给予学生反馈，及时调整教学策略，帮助学生成长。
人教高一数学教案之《2.3.4 平面与平面垂直的性质》
人教高一数学教案之《2.3.4 平面与平面垂直的性质》一. 教材分析《2.3.4 平面与平面垂直的性质》这一节主要讲述了平面与平面垂直的性质。
通过这一节的学习，学生能够理解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的判定方法，以及熟练运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的几何思维能力。
但是，对于平面与平面垂直的概念和判定方法可能还存在一定的困惑，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.了解平面与平面垂直的概念。
2.掌握平面与平面垂直的判定方法。
3.能够运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.平面与平面垂直的概念理解。
2.平面与平面垂直的判定方法的运用。
五. 教学方法采用讲授法、实例分析法、练习法、小组讨论法等教学方法，通过生动的实例和丰富的练习，引导学生理解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的判定方法，并能够灵活运用。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入平面与平面垂直的概念，激发学生的兴趣。
例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD与平面A1B1C1D1的位置关系是什么？2.呈现（15分钟）通过多媒体展示平面与平面垂直的判定方法，引导学生直观地理解平面与平面垂直的概念。
同时，给出平面与平面垂直的性质，并进行解释和证明。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的练习题来运用平面与平面垂直的性质，加深理解。
例如：判断下列命题的真假：（1）若两个平面相交，则这两个平面一定垂直。
（2）若两个平面垂直，则这两个平面的交线一定垂直于这两个平面。
4.巩固（10分钟）通过进一步的练习题，巩固学生对平面与平面垂直的概念和判定方法的理解。
例如：在空间直角坐标系中，判断点P(2,3,4)是否在平面x+y-z=0上？5.拓展（10分钟）引导学生思考平面与平面垂直的性质在实际问题中的应用，提高学生的应用能力。
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《平面与平面垂直的概念》学习任务单
【学习目标】
1．联系生活实例，理解二面角的概念、面面垂直的定义，发展直观想象，逻辑推理素养；
2．能在具体的问题中找出二面角的平面角，体会线面位置关系知识之间的内在逻辑联系，在知识应用的过程中，感受转化的数学思想和方法；
3．在知识的学习过程中，继续熟悉自然语言、图形语言、以及符号语言之间的转化，并能够利用这些语言表述平面与平面垂直的定义，培养和发展学生的空间想象能力、逻辑推理能力、以及运用图形语言进行交流的能力.
【课上任务】
1.空间中线、面平行的位置关系之间是如何转化的？
2.空间中线、面垂直的位置关系是如何定义的，判定定理、性质定理的内容是什么?
3.平面几何中角是如何定义的？如何定义平面内相交直线所成的角？
4.类比平面角的定义，如何刻画两个平面所成的角呢？
5.利用二面角的平面角刻画二面角，其大小唯一吗？
6.二面角的取值范围是什么？
7.二面角的平面角都有哪些作法？分别适用什么样具体情境？
8.你能否利用二面角的平面角，定义两个平面垂直的位置关系？
9.你能画出不同视角下的平面与平面垂直的示意图吗？
10.通过本节课的学习，你获得了哪些新的知识和解决问题的方法？在学习的过程中，又有怎样的体会？
【学习疑问】
11.在本节课的学习中有哪个环节没弄清楚？
12．在本节课的学习中有什么困惑？
【课后作业】
13. 判断下列命题的真假：
（1）过平面外一点只可作一个平面与已知平面垂直；
（2）已知平面α，b，g满足α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ．
14.已知正四面体A-BCD中, 求：二面角A—DC—B的余弦值.
【课后作业参考答案】13. （1）错误
（2）错误
14. 1
3。