湖北省黄冈中学2013-2014学年高二上学期期末考试+数学理试题
湖北省黄冈市高二数学上学期期末考试试题理(扫描版)
2015年秋季高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题 DADBB DCBAC AD二、 13．16 14．13a -≤≤. 15．3 16．① ④ 17．（1）检测数据的频率分布直方图如图：...........................................5分（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是210.1520+=...............................6分 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．...............................8分 估计检测数据中酒精含量的平均数是0.01510250.020⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010650.01510750.01010850.005109555+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.....................10分18．（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x <<． ...............................2分当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<．...............................3分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或得23x <≤，即q为真时实数x 的取值范围是23x <≤． ...............................4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，.. .............................5分 所以实数x 的取值范围是23x <<． ...............................6分 （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝推不出p ⌝． 即q是p的充分不必要条件，2,3]⊂即（（a,3a) ...............................8分则332a a >⎧⎨≤⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是12a <≤．.............................12分19．（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：121323{,},{,},{,},x x x x x x 121323{,},{,},{,},y y y y y y 111213{,},{,},{,},x y x y x y 212223{,},{,},{,},x y x y x y 313233{,},{,},{,}x y x y x y ，共1个，...............................3分其中可使||1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(||1)155P a b ->==.……………6分 （Ⅱ）因为着弹点若与A B C 、、的距离都超过1cm ，则着弹点就不能落在分别以A B C、、为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分................................7分 因为43cos sin 55C C =∴=则1=2ABC S C ∆⨯⨯⨯=...............................9分满足题意部分的面积为211922ABC S S ππ∆'=-⨯⨯=-，...............................11分故所求概率为118ABCS p S π∆'==-. ……………12分20（1）∵()0,2F ，4p =， ∴ 抛物线方程为y x 82=，...............................1分与直线22y x =+联立消去y 得： 016162=--x x ，设),(),,(2211y x B y x A (2)分 则16,162121-==+x x x x ，...............................3分 ∴=++=++=)42)(42()2)(2(||||2121x x y y BF AF 80；...............................5分（2）假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ，0,∆>则p x x p x x 4,42121-==+，...............................7分)24,2(+p p P),2,2(p p Q (8)分方法一,22+=∴p PQ ...................................................9分p p p p AB +⋅=+⋅=225416)4(5 又...............................10分∴=AB PQ 21且01342=-+p p )(141舍或-==p p ...............................11分 故存在14p =0.∆>且满足 ......................12分 方法二：由=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ................9分即1212(2)(2)(222)(222)0x p x p x p x p --++-+-=，...............................10分 ∴0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ， ...............................11分代入得01342=-+p p ，)(141舍或-==p p ．故存在0.∆>且满足 14p =.........12分 21.试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，,BA PD ABCD ⊥为正方形，所以在图中，,2SA AB SA ⊥=，四边形ABCD 是边长为2的正方形， ........................................2分 因为S B⊥，AB⊥BC ，所以BC⊥平面SAB ， . .............................4分又SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABCD ， ........6分 （2）方法一：建立空间直角坐标系，以AB x AD y AS 为轴，为轴，为Z 轴，.....7分(000),(220),(020),(002)A C D S ，，，，，，，， 124,(0)333SE SD E =∴ ，， (8)分24(220),(0),(002)(,,)33AC AE AS AEC n x y z ==== 则，，，，，，设平面的法向量为0,0(2,2,1)n AC n AE n ⋅=⋅==-得.....................10分,ACD AS θ又平面的法向量为设二面角为，则1cos ,tan 2 2.3n AS n ASθθ⋅==∴=⋅ 即二面角E —AC —D 的正切值为22..............12分方法二：在AD 上取一点O ，使13AO AD =，连接EO因为13SE SD =，所以EO//SA 所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， ...7分则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH 。
湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线与轴垂直，则为（ ） ():1340l a x ay a +-++=y a A ． B ．0C ．D ．或01-4-1-【答案】A【分析】由直线与轴垂直得到方程和不等式，求出的值. y a 【详解】因为与轴垂直， ():1340l a x ay a +-++=y 所以直线的斜率为0，l 所以，且，解得. 10a +=30a -≠1a =-故选：A.2．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ） {}n a n n S 24S =3214S a a =+5S =A ．40 B ．120C ．121D ．363【答案】C【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，由，可得， q 3214S a a =+321124a a a a a +=++所以，所以， 323a a =323a q a ==由，可得，即，所以，24S =114a a q +=144a =11a =所以. ()5515113121113a q S q--===--故选：C.3．年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生2013素数猜想是希尔伯特在年提出的个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得190023p 是素数，素数对称为孪生素数.从以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的2p +(),2p p +10概率为（ ）A ．B ．C ．D ．16131223【答案】B【分析】列举出以内的素数，以及任取两个不同的素数构成的数对，确定孪生素数的个数，利用10古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】以内的素数有、、、，102357任取两个不同的素数有、、、、、，共个， ()2,3()2,5()2,7()3,5()3,7()5,76其中孪生素数有、，共个，故所求概率为. ()3,5()5,722163P ==故选：B.4．如图，已知空间四边形，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点满足，设OABC G 2MG GN =，，，则（ ） OA a= OB b = OC c = OG =A ．B ．C ．D ．111333a b c ++ 111633a b c ++ 111366a b c ++ 111666a b c ++【答案】B【分析】根据向量的线性运算一步步将向量化为关于，，，即可整理得出答案. OGOA OB OC 【详解】， ()12122323OG OM MG OA MN OA MA AB BN =+=+=+++ ， 12112322OA OA OB OA BC ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， ()12112322OA OA OB OA OC OB ⎡⎤=++-+-⎢⎥⎣⎦， 111633OA OB OC =++. 111633a b c =++ 故选：B.5．已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范()1,0A -()10B ,()2y k x =-P 90APB ∠=︒k 围为（ ）A ．B ． ⎡⎢⎣⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝C ．D ． ⎛ ⎝,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据题意分析可得直线与圆：有公共点（公共点不能是、），()2y k x =-O 221x y +=A B 结合直线与圆的位置关系分析运算.【详解】若，则点在以，为直径的圆上（点不能是、）， 90APB ∠=︒P ()1,0A -()10B ,P A B ∵以，为直径的圆的圆心为，半径，则圆的方程为， ()1,0A -()10B ,()0,0O 1r =O 221x y +=即直线与圆：有公共点（公共点不能是、）， ()2y k x =-O 221x y +=A B当直线与圆：，解得；()2y k x =-O 221x y +=1≤k ⎡∈⎢⎣当直线与圆：的公共点为A 或B 时，则直线即为x 轴，即()2y k x =-O 221x y +=()2y k x =-；0k =综上所述：实数的取值范围为. k ⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝ 故选：B.6．已知是双曲线右支上一点，记到双曲线左焦点的距离为，到P ()222210,0x y a b a b -=>>P 1F 1d P 双曲线一条渐近线的距离为，若的最小值等于双曲线的焦距长，则双曲线的渐近线方程为2d 12d d +（ ） A ．B ．C ．D ．43y x =±34y x =±53y x =±45y x =±【答案】A【分析】由双曲线定义得到，故，数形结合得到当点为线段122d PF a =+21222PF d a d d +=++P 与双曲线的交点时，此时取得最小值，从而列出方程，求出，得到渐近线方2F M 22PF d +43a b =程.【详解】由双曲线定义可知：， 122PF PF a -=故，故， 122d PF a =+21222PF d a d d +=++过点作渐近线的垂线，垂足为，2F 1:b l y x a=M当点为线段与双曲线的交点时，此时取得最小值， P 2F M 22PF d +最小值即为，2F M，解得：，22a c =22b a c +=两边平方得：， 222444b ab a c ++=又， 222+=a b c 所以， 43a b =渐近线方程为. 43b y x x a =±=±故选：A 7．已知在大小为的二面角中，，，于点，于点，且3πl αβ--A α∈B β∈AC l ⊥C BD l ⊥D ，则直线与所成角的余弦为（ ）22CD DB AC ===AB CD ABCD ．12【答案】B【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出CD BD CDBE AE AE BE ，利用勾股定理可求得的长，即可求解BE AE ⊥AB 【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，CD BD CDBE AE因为，，则，BD CD ⊥//CE BD CE CD ⊥又因为，，，故二面角的平面角为， AC CD ⊥AC α⊂CE β⊂l αβ--π3ACE ∠=因为四边形为平行四边形，则，，CDBE 2CE BD ==2BE CD ==所以在中，，则 ACE △222π2cos3AE AC CE AC CE =+-⋅AE =，则，，，平面，//BE CD BE CE ⊥BE AC ⊥AC CE C = ,AC CE ⊂ACE 故平面，BE ⊥ACE因为平面，则，故.AE ⊂ACE BE AE ⊥AB =，所以直线与所成角相当于直线与所成角，即，//BE CD AB CD AB BE ABE ∠所以， cos ABE ∠==故选：B8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A ，B 两()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F 2F点，，且，椭圆，则实数（ ）22AF F B λ= 120AF AF ⋅= C λ=A ． B ．2 C ． D ．32313【答案】D【分析】设，根据椭圆的定义求出，，利用22(0)AF B t t F λ==> 1=2AF a t -1=2aBF a λ-即可求解.12AF AF ⊥【详解】因为，设，由椭圆的定义可得：，则22AF F B λ=22(0)AF B t t F λ==> 12=2AF AF a +，因为，所以，1=2AF a t -120AF AF ⋅=12AF AF ⊥所以，即，又因为椭圆， 2221212=AF AF F F +222(2)4a t t c -+=C所以，则有，a =2222(2)42a t t c a -+==所以，则，则，t a =2a F B λ= 2F B aλ= 由，所以，因为，所以，12=2BF BF a +1=2aBF a λ-120AF AF ⋅=12AF AF ⊥所以，即，解得：，22211=AF AB BF +22221(1(2a a a a λλ++=-3λ=故选：.D二、多选题9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现3点”，“第A =B =的有（ ）A ．A 与B 不互斥且相互独立 B ．A 与D 互斥且不相互独立C ．B 与C 不互斥且相互独立D ．B 与D 互斥且不相互独立【答案】ABC【分析】根据给定条件，求出事件A ，B ，C ，D 的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：，(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，共36个不同结果，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)事件A 所含的结果有：，共6个，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6事件B 所含的结果有24个，事件C 所含的结果有18个，事件D 所含的结果有：()()()4,6,5,5,6,4，共3个， 因此， 6124218131(),(),(),()3663633623612P A P B P C P D ========对于A ，事件A 与B 都含有，共4个结果，即事件A 与B 可以同时发生， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4)而，A 与B 不互斥且相互独立，A 正确； 41()()()369P AB P A P B ===对于B ，事件A 与D 不能同时发生，，A 与D 互斥且不相互独立，B 正确； ()0()()P AD P A P D =≠对于C ，事件B 与C 都含有，共12(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3)个结果，即事件B 与C 可以同时发生，，B 与C 不互斥且相互独立，C 正确； 121()()()363P BC P B P C ===对于D ，事件B 与D 都含有，即B 与D 可以同时发生，， (6,4)121()()()36312P BD P B P D =≠⨯=因此B 与D 不互斥且不相互独立，D 错误. 故选：ABC10．已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为{}n a n n S 6135S S S <<121n n n n b a a a ++={}n b n nT .则下列说法正确的有（ ） A ．，B ．当且仅当时，取得最小值 90a <80b >9n =n SC ．当时，的最大值为17D ．当且仅当时，取得最大值0n S <n 8n =n T【分析】由结合等差数列的角标性质判断ABC ；由裂项相消求和法判断D. 6135S S S <<【详解】对于A ：设等差数列的公差为，因为，所以， {}n a d 6135S S S <<6560S S a -=<因为，所以.136789101112131070S S a a a a a a a a +-==+++++>100a >因为，所以. 1312111098711603594()0a a a a a S a a a a a S -=+++++++=+<1090a a +<由，可得，因为，所以，故A 正确；100a >1090a a +<90,0a d <>890a a d =-<8891010b a a a =>对于B ：因为，，所以当且仅当时，取得最小值，故B 正确； 90,0a d <>100a >9n =n S 对于C ：，即当时，的最大值不是17，故C 错误； ()()118910181818022a a a a S ++==<0n S <n 对于D ：1211211112n n n n n n n n b a a a d a a a a +++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭122323341121212111111111122n n n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a a a +++++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以当最小时，最大.0d >121n n a a ++n T 当时，，，此时最小，即当时，取得最大值，故D 正确；8n =90a <100a >121n n a a ++8n =n T 故选：ABD11．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点是棱的中1111ABCD A B CD -1CC t =Q 1CC 点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）P ABCDA ．存在点使得平面P 1//A P 11BCC B B ．当时，存在点使得直线与平面所成的角为 2t =P 1A P ABCD π6C ．当时，满足的点有且仅有两个 2t=1A P PQ ⊥P D ．当的点t =1A P PQ ⊥P【分析】根据直棱柱的性质及面面平行的性质判断A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断B 、C 、D.【详解】解：如图建立空间直角坐标系D -xyz ，则，，，，()12,0,A t 0,2,2t Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,0,0D ()2,2,0B 对于A ：由直棱柱的性质可知平面平面，当时平面，故A 正11//A D DA 11B C CB P AD ∈1//A P 11BCC B 确；对于B ：当时，设，，则， 2t =(),,0P x y [],0,2x y ∈()12,,2P x A y =--显然平面的法向量可以为，ABCD ()0,0,1n =设直线与平面所成的角为，则1A P ABCD θ11sin P nP n A A θ⋅==⋅若直线与平面所成的角为，则，1A P ABCD π61sin 2θ==4=所以，因为，所以，，()22212x y -+=[],0,2x y ∈()[]220,4x -∈[]20,4y ∈所以，故不存在使得，()[]2220,8x y -+∈[],0,2x y ∈()22212x y -+=即不存在点使得直线与平面所成的角为，故B 错误； P 1A P ABCD π6对于C ：由，， ()12,,2P x A y =-- (),2,1PQ x y =--因为，所以，1A P PQ ⊥()()12220A P PQ x x y y ⋅=--+--=所以，所以，即，所以满足的点有且仅有个，故C()()22110x y -+-=11x y=⎧⎨=⎩()1,1,0P 1A P PQ ⊥P 1错误；对于D ：当时，，，， t =1A⎛ ⎝12,,A P x y ⎛=- ⎝,2PQ x y ⎛=-- ⎝ 因为，所以，即，1A P PQ ⊥()()1220P PQ x x A y y ⋅=--+-= ()()224113x y -+-==又，则圆心轴、轴分别交于点、[],0,2x y ∈()1,1E x y 1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎛过点作交于点，则，所以，则，又E EF AD ⊥AD F MF =1sin 2MF MEF ME ∠==π6MEF ∠=， π4DEF ∠=所以，所以，π12MED DEF MEF ∠=∠-∠=π26MEN MED ∠=∠=圆弧的长度，所以点D 正确；MN π6l ==P故选：AD12．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，点，直线24y x =F F l ,A B ()2,0T 与抛物线的另一个交点分别为，则下列说法正确的有（ ）,AT BT ,C D A ．直线过定点CD ()3,0B ．与的面积之比为ATB A CTD△1:4C ．若直线，斜率都存在，且分别为，，则 AB CD 1k 2k 2112k k =D ．与的面积之和的最小值为ATF △CTD △【答案】BCD【分析】可通过特殊情况，直线斜率不存在时求得直线不过定点，排除A ，也可以通过l CD ()3,0设出的方程与抛物线方程联立，求得纵坐标关系，两点式写出方程，化简,,AC BD AB ,,,A B C D CD 整理可得方程过定点，用纵坐标表示两个三角形面积之比，直线，斜率化简()4,0,,,A B C D AB CD 可判断B ，C 正确，与的面积之和用纵坐标表示，化简后利用基本不等式CTD △,,,A B C D可求得最小值.【详解】当与垂直时，，又， l x (1,2),(1,2)A B -(2,0)T ， :24=24AT y x BT y x ∴=-+-，：与抛物线方程联立，得， AT 2244y x y x =-+⎧⎨=⎩(4,4)C -与抛物线方程联立，得， BT 2244y x y x =-⎧⎨=⎩(4,4)D ，不过定点，所以A 错误.:4CD x ∴=()3,0如图：设，交轴于，11223344(,),(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y CD x E 设，得，222,4x ty AC x ty y x =+⎧=+∴⎨=⎩：2480y ty --=则， 131388,y y y y -=-=设，得， 222,4x my BD x my y x =+⎧=+∴⎨=⎩：2480y my --=则， 242488,y y y y -=-=设，得，211,4x ny AB x ny y x =+⎧=+∴⎨=⎩：2440y ny --=则， 121244,y y y y -=-= 123434348864()(4,16,y y y y y y y y --∴===-=-直线 CD()()()()()34444434223434344:14y y x x x x x x y y y y x x y y y y -----=-==-+-()()()()2444x x x x y y y x x y y y --++-++，443434344()1644164(4)x x x x x y y y y y y --+--===+++所以直线过定点CD ()4,0， 43123434434334438()881()11()44121()2()2164()2ATBDTCy y y y FTy y y y S S y y y y y y y y TE -----⋅⋅-⋅--======-⋅-⋅--⋅A A 所以B 正确.()()4322214343432212221143212143211414y y y y x x y y y y k x x y y k x x y y y y y y x x ------==⋅=⋅------, 214343434388281y y y y y y y y y y ++-==++⋅-==-所以C 正确.1431112()22ATF CTD S S y y y +=⨯⨯+⨯⨯-A A , 1433333318162022y y y y y y y y ---=+-=⨯+-=-333200,ATF CTD y S S y y -<∴+=-≥=A A 所以D 正确. 故选：BCD三、填空题13．是空间向量的一组基底，，，，已知点在{},,a b c 2OA a mb c =++ 2OB a b =+OC a b c =++ O 平面内，则______. ABC m =【答案】3【分析】根据空间向量共面定理可得存在与 使得,从而可求解.λμOC OA OB λμ=+【详解】因为点在平面内，所以，，共面， O ABC OA OB OC所以存在与 使得,λμOC OA OB λμ=+即，()()()()2222a b c a mb c a b a m b c λμλμλμλ++=++++=++++所以，解得.21211m λμλμλ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩113m λμ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩故. 3m =故答案为:3.14．已知圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，且圆上恰有三个不同的点到直线的C l 1:2C l 距离为，则直线被圆所截得的弦长为______. 1l C 【答案】【分析】设圆的半径为，作出图形，计算出圆心到直线的距离为为，根据题意可得出关C r C l 2r于的等式，解出的值，利用勾股定理可求得直线被圆所截得的弦长.r r l C 【详解】设圆的半径为，因为圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，C r C l 1:2则劣弧所对的圆心角为，所以，圆心到直线的距离为，120C l 120cos 22rd r ==将直线平移，使得平移后的直线与直线之间的距离为，如下图所示：l l 1假设平移后的直线为、，则这两条直线一条与圆相切，一条与圆相交， 1l 2l C C 不妨设直线与圆相切，则直线与之间的距离为，可得， 1l C l 1l 12rr -=2r =所以，直线截圆所得弦长为l C=故答案为：15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为8，过的直线与该椭圆1F 2F ()222210x y a b a b+=>>1F 交于M ，N 两点，若的最小值为，则周长为______.MN 1852F MN A 【答案】20【分析】根据焦距为8，的最小值为可得：，，结合椭圆的定义进而求解. MN 1854c =5a =【详解】由题意可知：，解得：，， 2222282185c b a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩4c =5a =由椭圆的定义可得：周长为， 2F MN A 420a =故答案为：.2016．已知的前项和为，，，则______.{}n a n n S ()()1221n n n n a a n +++-=50600S =12a a +=【答案】12-【分析】根据题意令和，代入整理可得43,n k k =+∈N 44,n k k =+∈N ，利用并项求和结合等差数列求和运算求解. 4645444378k k k k a a a a k ++++++=++【详解】当时，则为偶数，43,n k k =+∈N ()()()143222n n k k +=++为偶数，()()()()1222452n n k k ++=++可得，，()()4543122143k k n n n n a a a a k +++++-==++()()()122314644144n n n n k k a a a a k +++++++-+==+两式相加可得：，4645444378k k k k a a a a k ++++++=++故 ()()()()5012501234567891047484950......S a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=++++++++++++++，()()()()12121212795715 (956126002)a a a a a a +=+++++=++=++=解得. 1212a a +=-故答案为：.12-【点睛】方法点睛：本题中出现，故应讨论的奇偶性，根据题意把相邻的四项合()()121n n +-()12n n +并为一项，组成一个新的数列，再进行求和运算，同时注意对的处理.12a a +四、解答题17．某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为，，，在面试部分合格的452334概率分别为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.122335(1)假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录取的可能性最大?(2)当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其它因素，求三人中至少有一人被录取的概率.【答案】(1)丙 (2) 4960【分析】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，且A ，B ，C 相互独立，甲、乙、丙三人被录取即三人即通过笔试部分又通过面试部分，由独立事件概率的乘法公式计算得出，()P A ，，比较概率的大小即可得出答案；()P B ()P C （2）记三人中至少有一人被录取为事件，则与互为对立事件，从而根据对立事件的D D A B C 计算公式与独立事件概率的乘法公式计算得出答案.【详解】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立，则，，，()412525P A =⨯=()224339P B =⨯=()3394520P C =⨯=，()()()P A P B P C << 丙被录取的可能性最大.∴（2）记三人中至少有一人被录取为事件， D 则与互为对立事件，D A B C .()()()()()24949111111592060P D P C P P P C A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18．已知直线，，且. ()1:2220l a x y a ---=2:410l x ay a -+-=12l l ∥(1)求与之间的距离；1l 2l (2)一束光线从出发经反射后平行于轴射出，求入射光线所在的直线方程. ()2,3P 1l x【答案】(2) 43170x y +-=【分析】（1）由平行条件得出的值，再由距离公式求解；a （2）由关于的对称点得出反射光线的方程，并与直线联立得出入射点，进而由()2,3P 1l ()00,P x y '1l 两点式写出方程.【详解】（1）由可得：，解得：或 12l l ∥()()()22140a a -⋅---⋅=2a =1-当时，，，此时与重合，舍去1a =-1:420l x y --+=2:420l x y +-=1l 2l当时，，，此时，符合题意 2a =1:240l x y --=2:4210l x y -+=12l l ∥故与之间的距离为.1l 2ld ==（2）设关于的对称点为，则()2,3P 1l ()00,P x y ' 解得：，∴ 000032122324022y x x y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪--=⎪⎩0022595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩229,55P '⎛⎫ ⎪⎝⎭联立，解得：，∴入射点为. 24095x y y --=⎧⎪⎨=⎪⎩291095x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩299,105⎛⎫ ⎪⎝⎭故入射光线所在的直线方程为，即. 9335292210y x --=--43170x y +-=19．已知数列的前项和为，且，，数列是等差数列. {}n a n n S 11a =223a =(){}423n n nS n a ++(1)求证数列为等比数列；n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)求.n S 【答案】(1)证明见解析 (2) 9691443nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式整理可得，由与的关系整23944n n n S a n +=-+n a n S 理得，根据等比数列的定义分析理解； ()11231n n a a n n n -=⋅≥-（2）根据等比数列通项公式可得，法一：根据题意直接代入运算；法二：利用错位相减13n n na -=法求和；法三：整理可得，利用裂项相消法求和.()19919911243243nn n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭【详解】（1）对于等差数列可得：(){}423n n nS n a ++当时，则；当时，则； 1n =11459S a +=2n =22128781518S a a a +=+=∴是以9为首项，9为公差的等差数列，(){}423n n nS n a ++则，即①， ()()4239919n n nS n a n n ++=+-=23944n n n S a n +=-+当时，②， 2n ≥1219444n n n S a n -+=-+-得：， -①②12321444n n n n n a a a n n -++=-+-整理得：，且， ()11231n n a a n n n -=⋅≥-1101a =≠∴是以为首项，为公比的等比数列.n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =13（2）方法一：由（1）可知，，则， 1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭13n n na -=∴；11239239923144434443n n n n n n n n S a n n --+++⎛⎫=-+=-⋅+=-⋅ ⎪⎝⎭方法二：由（1）可知，，则， 1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭13n n na -=①，()0122111111123133333n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， ()12311111111231333333n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：-①②0121211111333333n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1113131133111323322313n n n n nn n n ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∴； 1333192312223443n n n n S n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦方法三：由（1）可知，，则， 1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭13n n na -=设，()()111133nn n a An B A n B +⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭22111333333nnAn B A n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭比较系数得：，解得：，23321033A B A ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩9294A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()19919911243243n n n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭∴(121223991991991991991912232432432432432432...nn n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯++-+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-+⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣-++. 9691443nn +⎛⎫=- ⎪⎝⎭20．在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，ABCDEF ABCD ABEF //AF BE ，，平面平面.AF AB ⊥22AB BE AF ===ABEF ⊥ABCD(1)证明：⊥平面；BD ACF (2)若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成角的余弦值. DA ACF ACF CEF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而得到，结合，得到线面垂直； AF BD ⊥BD AC ⊥（2）在第一问的基础上，得到直线与平面所成的角为，故，建立空DA ACF DAO ∠60DAO ∠=︒间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面，平面平面ABEF ⊥ABCD AF AB ⊥AF ⊂ABEF ABEF ⋂，ABCD AB =∴平面，又平面， AF ⊥ABCD BD ⊂ABCD ∴，AF BD ⊥∵四边形为菱形， ABCD ∴，BD AC ⊥又，平面， AF AC A = ,AF AC ⊂ACF ∴⊥平面；BD ACF （2）设，由（1）可知，平面，则直线在面内的射影为，AC BD O = DO ⊥ACF DA ACF OA故直线与平面所成的角为， DA ACF DAO ∠∴，60DAO ∠=︒和均为边长为2的等边三角形，ACD A ACB △以为原点，，为，轴建立空间直角坐标系，如下图：O OC OB xy由⊥平面，可得平面的法向量为，而，，BD ACF ACF ()10,1,0n =()1,0,0C ()1,0,1F-()2E ，∴，，()2,0,1CF =-()CE =- 设平面的法向量，则， CEF ()2,,n x y z =u ur 222020n CF x z n CE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，可得，1x =2,z y ==()21,n = ∴平面与平面夹角的余弦值为ACF CEF 121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅21．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形1111D C B A的面积为，往里第二个正方形的面积为，…，往里第个正方形的面积11a =2222A B C D 2a n n n n n A B C D 为.n a(1)求的通项公式；{}n a(2)已知满足，问是否存在最大项?若存在，求出最大项；{}n b ()2*12122N n nb b b n n n a a a ++⋅⋅⋅+=-∈{}n b 若不存在，请说明理由.【答案】(1)()1*5N 9n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭(2)存在， 23259b b ==【分析】（1）由图形可得即，则为等比数列，结合等222=+159n n a a +={}n a 比数列的通项公式求解即可； （2）当时，，结合题设条件可得，从而得出2n ≥()()2121121211nn b b b n n a aa --++⋅⋅⋅+=---43n nb n a =-，然后利用数列的单调性求出结果.n b 【详解】（1）由图形可得：，即222=+159n n a a +=∴是以1为首项，为公比的等比数列{}n a 59∴.()1*5N 9n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭（2）① 212122n nb b bn n a a a ++⋅⋅⋅+=-当时，，∴1n =111b a =11b =当时，② 2n ≥()()2121121211n n b b b n n a a a --++⋅⋅⋅+=---得，，∴ -①②43n nb n a =-()()154329n n b n n -⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭经检验，当时，也满足上式，1n =11b =∴()()1*543N 9n n b n n -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭令，解得： ()()()()11541541919435439nn n n n n b b n n +-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==>-⎛⎫- ⎪⎝⎭2n <∴当时，；当时，；当时，1n =21b b >2n =32b b =3n ≥1n n b b +<∴当或3时，的最大项为. 2n =n b 23259b b ==22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，椭圆的一条以()2222:10x y C a b a b+=>>1A 2A 124A A =C 为中点的弦所在直线的方程为. 11,2⎛⎫⎪⎝⎭3240x y +-=(1)求椭圆的方程；C (2)点为直线上一点，且不在轴上，直线，与椭圆的另外一个交点分别为M ，P 4x =P x 1PA 2PA C N ，设，的面积分别为，，求的最大值，并求出此时点的坐标. 12PA A △PMN A 1S 2S 12S S P 【答案】(1)22143x y +=(2)， 43()4,3P ±【分析】（1）由点差法得出，进而由得出椭圆的方程； 2234b a =1224A A a ==C （2）设，，，联立直线（）与椭圆方程，求出，，()()4,0P t t ≠()11,M x y ()22,N x y 1PA 2PA 1y 2y 再由面积公式结合相似三角形的性质得出，令，由二次函数的性质得()()()2212222739t t S S t ++=+29m t =+出的最大值以及点的坐标. 12S S P 【详解】（1）设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=所以，即 2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+2222AB y b k x a ⋅=-中中即，∴223122b a-⋅=-2234b a =又，所以，1224A A a ==2a =b =所以椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）设，， ()()4,0P t t ≠()11,M x y ()22,N x y 则：，： 1PA ()26ty x =+2PA ()22t y x =-联立，消去得 22623412x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩x ()2212182718027t t y ty y t +-=⇒=+同理，联立，消去得 22223412x y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩x ()222263603t t y ty y t -++=⇒=+所以 121212121sin 0021sin 2PA PA P PA PA S t t S PM PN t y t y PM PN P ∠--==⋅=⋅--∠. ()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭令，则299m t =+> ()()2212221861210811110812109m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即，即时，取得最大值. ()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭18m =3t =±12S S 43综上所述，当时，取得最大值. ()4,3P ±12S S 43。
湖北省黄冈中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试题
黄冈中学2013年高二年级期中考试数学试题（理）命题：胡华川 审题：汤彩仙 校对： 袁进本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1．下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据B ．一组数据不可能有两个众数C ．一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数据D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动程度越大 2．下列关于随机抽样的说法不正确．．．的是（ ） A ．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样B ．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等C ．有2008个零件，先用随机数表法剔除8个，再用系统抽样方法抽取抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为1/2000D ．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样3．从一批产品中取出三件产品，设{A =三件产品全是正品}，{B =三件产品全是次品}，{C =三件产品不全是次品}，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．A 与B 互斥且为对立事件 B ．B 与C 为对立事件C ．A 与C 存在着包含关系D ．A 与C 不是互斥事件 4．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．61．5万元B ．62．5万元 C ． 63．5万元D ． 65．0万元5．给出的四个程序框图，其中满足WHILE 语句结构的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6．若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ． 3(,]24ππB ． 3[,)24ππC ． 3(,)34ππD ． 3(,)24ππ7．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：A ．A 5B ．BFC ．165D ．B 98．张三和李四打算期中考试完后去旅游，约定第二天8点到9点之间在某处见面，并约定先到者等候后到者20分钟或者时间到了9点整即可离去，则两人能够见面的概率是（ ）A ．49B ．59C ．79D ．699．已知直线:10l ax by ++=，圆22:220M x y ax by +--=，则直线l 和圆M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）10．已知a b ≠且2sin cos 10a a θθ+-=、2sin cos 10b b θθ+-=，则连接2(,)a a 、2(,)b b 两点的直线与单位圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．) 11．若数据组128,,,k k k 的平均数为3，方差为3，则1282(3),2(3),,2(3)k k k +++的平均数为_____，方差为_____．12．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学．如果每次走出一个同学，则第2位走出的是男同学的概率是________．13．如图给出的是计算11112462014++++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是________．14．已知532()231f x x x x x =-+-+，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为________．．15．在平面直角坐标系中， ABC ∆的三个顶点(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段AO 上（异于端点）．设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E F 、．一同学已正确算出直线OF 的方程：1111()()0x y c b p a-+-=． 请你写出直线OE 的方程：（ ）011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x ． 三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16．（本小题12分）已知直线1l ：60x my ++=，2l ：(2)320m x y m -++=， 求当m 为何值时，1l 与 2l ： （I ）平行； （Ⅱ）相交； （Ⅲ） 垂直．17．（本小题12分）下列程序的输出结果构成了数列{}n a 的前10项．试根据该程序给出的数列关系，（I ）求数列的第3项3a 和第4项4a ；（Ⅱ）写出该数列的递推公式，并求出其通项公式na；18．（本小题12分）圆M 的圆心在直线x y 2-= 上，且与直线1=+y x 相切于点)1,2(-A , （I ）试求圆M 的方程；（Ⅱ）从点(3,1)P 发出的光线经直线y x =反射后可以照在圆M 上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围． 19．（本小题12分）某校高一的一个班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在[50,60)的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高； （Ⅲ）试用此频率分布直方图估计这组数据的众数和平均数．20．（本小题13分）已知函数22()24,,f x x ax b a b R =-+∈．（Ⅰ）若a 从集合{}3,4,5中任取一个元素，b 从集合{}1,2,3中任取一个元素，求方程()0f x =有两个不相等实根的概率；（Ⅱ）若a 从区间[]0,2中任取一个数，b 从区间[]0,3中任取一个数，求方程()0f x =没有实根的概率．21．（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=， 圆222:(3)(4)1C x y -+-=．（Ⅰ）若过点1(1,0)C -的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程； （Ⅱ）圆D 是以1为半径，圆心在圆3C ：22(+1)9x y +=上移动的动圆 ，若圆D 上任意一点P 分别作圆1C 的两条切线,PE PF ，切点为,E F ，求四边形1PEC F 的面积的取值范围 ；（Ⅲ）若动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长， 如图所示，则动圆C 是否经过定点？若经过，求出定 点的坐标；若不经过，请说明理由．期中考试数学（理）参考答案1．答案：D 解析：一组数据的平均数介于这组数据中的最大数据与最小数据之间，所以A 错；众数是一组数据中出现最多的数据，所以可以不止一个，B 错；若一组数据的个数有偶数个，则其中中位数是中间两个数的平均值，所以不一定是这组数据中的某个数据，C 错；一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，D 对． 2．【答案】C 解析： C 选项中每个零件入选的概率应该12008。
湖北省黄冈中学2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理试题 含答案
湖北省黄冈中学2013年秋季高二数学（理）期末考试试题(含答案)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列结论不正确．．．的是 ( ) A ．若ln3y =，则0y '= B．若y =，则y '= C．若y =y '= D ．若3y x =，则3y '=2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：计算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 参照附表一（见Ⅰ卷后），得到的正确．．结论是（ ） A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”3．若曲线()y f x =在点(5,(5))P f 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+=（ ） A ． 5B ． 4C ． 3D ． 24．设~(100.8)X B ，，则2+1D X （）等于（ ）Ａ．1.6B ．3.2C ．6.4D ．12.85．两变量y 与x 的回归直线方程为23y x ∧=-，若17101=∑=i ix,则∑=101i i y 的值为（ ）A ．3B ．4C ．4.0D ．406．右图实线是函数()(02)y f x x a =≤≤的图象，它关于点),(a a A 对称. 如果它是一条总体密度曲线，则正数a 的值为（ ） AB ．1C ．2 D7.ABCD 为长方形，2=AB ，1=BC ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( ) A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π-8．如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，()f x '为函数()f x 的导函数，则不等式()0x f x '⋅<的解集为（ ）A．(,-∞B．C ．)+∞D ．(,-∞(0,3)9．已知函数2()3f x x ax =-+在(0,1)上为减函数，函数2()ln g x x a x =-在(1,2)上为增函数，则a 的值等于（ ） A ．1 B C ．2 D ．310．已知()f x 为R 上的可导函数，且对x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（ ）A. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -<<B. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -<>C. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -><D. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f ->>附表一：第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知随机变量X 服从正态分布2(1,),(2)0.72N P x σ≤=，则(0)P x ≤= ． 12．从4名女生和2名男生中选出3名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是 ． 13．若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ． 14．现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币两张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是 ．15．设)(''x f 是函数)(x f y =的导函数)('x f 的导数，定义：若32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，且方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点())(,00x f x 为函数)(x f y =的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题： 设32115()33212g x x x x =-+-，则 （1）函数()g x 的对称中心为 ； （2）1232014()()()()2015201520152015g g g g ++++= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图，已知直线1:10l x y +-=以及1l 上一点(23)P -，,直线2:40l x y +=，求圆心在2l 上且与直线1l 相切于点P 的圆的方程．17．（本小题满分12分）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点(0,2)P ,且在点(1,(1))M f --处的切线方程为076=+-y x .（1）求函数)(x f y =的解析式； （2）求函数)(x f y =的单调区间． 18．（本小题满分12分）一组数据4、7、10、6、9,n 是这组数据的中位数,设()21()nf x x x=-.（1）求()x f 的展开式中1-x 的项的系数；（2）求()x f 的展开式中系数最大的项和系数最小的项．19．（本题满分12分）黄冈中学学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回． （1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．20．（本小题满分13分）在淘宝网上，某店铺专卖黄冈某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，51≤<x ）满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x bx a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，70490y x =-+.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.（1）求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大（x 精确到0.01元/千克）.21．（本小题满分14分）已知函数211()ln()22f x ax x ax =++-（a 为常数,0a >）. （1）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （2）当02a <≤时，判断()f x 在1[, )2+∞上的单调性；（3）若对任意．．的(1, 2)a ∈，总存在．．01[, 1]2x ∈，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围.期末考试数学参考答案（理科）1、答案：B解析：若y =，则'12y =-，选B 2、答案：D解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选D. 3、答案：D 解析(5)3,(5)1,(5)(5)2f f f f ''==-∴+=4、答案：C 解析：(2x 1)4D(x)4100.8(10.8) 6.4D +==⨯⨯⨯-=，选C ；5、答案：B 解析：1011 1.7,2 1.730.410i i x x y ===∴=⨯-=∑，101104i i y y ===∑6、答案：A 解析：曲线与x 轴围成的面积为1，=∴=⋅⋅∴a a a ,122217、答案：B 解析：:长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2π,因此取到的点到O 的距离小于1的概率为2π， 取到的点到O 的距离大于1的概率为14π-8、答案：D 解析：当x∈(,-∞时，()0f x '>，则0x <，故(,-∞是解集的一部分；同理也是解集的一部分.故选D. 9、答案：C 解析：()f x 在(0,1)上单减，则1,2,2aa ≥∴≥()g x 在(1,2)上单增，则()20ag x x x'=-≥在(1,2)上恒成立，即22a x ≤恒成立，故 2.a ≤，故2a =. 10、答案：C解析：构造函数()()x f x F x e =，求导得2()()()()()0()x x x xf x e f x e f x f x F x e e ''--'==<，故函数()F x 是定义在R 上的减函数，故(2014)(0)(2014)F F F ->>，即201402014(2014)(0)(2014)f f f e e e-->>，即20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f ->< 11、答案：0.28 解析：(0)=P x ≤(2)=1(2)0.28P x P x ≥-≤=12、答案：35解析：抽样比为3162=，故应抽取女生2人，男生1人，所以组成此课外学习小组的概率是214236C C C ⋅35= 13、答案：-∞（，0） 解析：120ax x+=有正实数解，即2210ax +=有正实数解，0a ∴< 14、答案：23 解析：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有323123⨯-=种. 15、答案：1(,1)2；2014解析：32115()33212f x x x x =-+-，则又2()3f x x x '=-+，()21f x x ''=-．令()0f x '=得12x =．故函数()f x 的对称中心为1(,1)2．设00(,)P x y 在()f x 上可知P 关于对称点1(,1)2的对称点00(1,2)P x y --也在函数()f x 上，∴00(1)2f x y -=-．∴0000()(1)(2)2f x f x y y +-=+-=．∵122014()()()201520152015f f f +++=1201420072008()()()()2015201520152015f f f f ⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦210072014=⨯=．16、解： 设圆心为(,)C a b ，半径为r ，依题意，4b a =-.设直线2l 的斜率21k =-，过,P C 两点的直线斜率PC k ，因2PC l ⊥，故21PC k k ⨯=-，∴3(4)12PC a k a--==--，解得1,4a b =-=.||r PC =所求圆的方程为22(1)(4)2x y ++-=.17、解：（1）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知 .6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故32()332f x x x x =--+的单调增区间为(,1-∞和),21(+∞+， 单调减区间为)21,21(+-.18、（1）解：依题意有：这组数据的中位数是7，即7n =，故()f x 的展开式中17237177()()(1)r r r r r r r T C x x C x ---+=-=-，由371r -=-可知2r =，故展开式中1-x 的项的系数为()211227=-C ．．．．．．．6分 （2）()x f 的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大，而第5项的系数等于第5项二项式系数，故第5项的系数最大，即最大项为()()5423147535x x xC T =-=-，第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，故第4项的系数最小，即最小项为()()2324137435x x xC T -=-=- ．．．．．．．12分19、解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ．．．．．．． 1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ， ．．．．．．．3分 53)1()(2613131====C C C P A P ξ， ．．．．．．． 4分51)2()(26232====C C P A P ξ． ．．．．．．． 5分 所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ的数学期望为1525150=⨯+⨯+⨯=ξE ． ．．．．．．．6分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ．则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件12A B A B +．而事件B A 1、B A 2互斥， 所以，1212()()()P A B A B P A B P A B +=+．由条件概率公式，得2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ） 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）．所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 128129()+=251575P A B A B +=那么在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，第二次训练时恰好取到一个新球的概率29429=75560P =÷20、解：（1）因为x =2时，y =700；x =3时，y =150，所以1502700ba b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得400,300a b == 每日的销售量2300400(3)(13)170490(35)x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩ ； ．．．．．．．5分 （2）由（I ）知， 当13x <≤时：每日销售利润2300()[400(3)](1)1f x x x x =-+--2400(3)(1)300x x =--+32400(7159)300x x x =-+-+（13x <≤） '()f x =2400(31415)x x -+，当53x =或3x =时'()0f x = 当5(1,)3x ∈时'()0f x >，()f x 单增；当5(,3)3x ∈时'()0f x <，()f x 单减．∴53x =是函数()f x 在(1,3]上的唯一极大值点，532()400300327f =⨯+700>；．．．9分 当35x <≤时：每日销售利润()(70490)(1)f x x x =-+-=270(87)x x --+()f x 在4x =有最大值，且(4)630f =5()3f <． ．．．．．．．．．12分综上，销售价格51.673x =≈元/千克时，每日利润最大． ．．．．．．．．．．13分＇21、解：2212()22()211122a ax x a a f x x a ax ax --'=+-=++.（1）由已知，得 1()02f '=且 2202a a-≠，220a a ∴--=，0a >，2a ∴=. （2）当02a <≤时，22212(2)(1)02222a a a a a a a a ----+-==≤,21222a a-∴≥, ∴当12x ≥时，2202a x a--≥.又201ax ax >+，()0f x '∴≥，故()f x 在1[, )2+∞上是增函数.（3）(1, 2)a ∈时，由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]2上的最大值为11(1)ln()122f a a =++-， 于是问题等价于：对任意的(1, 2)a ∈，不等式211ln()1(1)022a a m a ++-+->恒成立.记211()ln()1(1)22g a a a m a =++-+-，（12a <<） 则1()12[2(12)]11a g a ma ma m a a'=-+=--++， 当0m =时，()01ag a a-'=<+，()g a ∴在区间(1, 2)上递减，此时，()(1)0g a g <=， 由于210a ->，0m ∴≤时不可能使()0g a >恒成立， 故必有0m >,21()[(1)]12ma g a a a m'∴=--+. 若1112m ->，可知()g a 在区间1(1, min{2, 1})2m-上递减， 在此区间上，有()(1)0g a g <=与()0g a >恒成立矛盾， 故1112m-≤，这时()0g a '>，()g a 在(1, 2)上递增，恒有()(1)0g a g >=，满足题设要求，01112m m>⎧⎪∴⎨-≤⎪⎩，即14m ≥，所以，实数m 的取值范围为1[, )4+∞.。
湖北省黄冈市重点中学高三数学上学期期末考试 理 新人
湖北省黄冈市重点中学2013-2014学年上学期期末考试高三年级数学试题（理科）考试时间 120分钟 满分150分 第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设不等式20x x -≤的解集为M ,函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为（ ）A ． [0，1）B ．（0，1）C ．[0，1]D ．（-1，0]2．如果复数21z i =-+，则（ ）.A |z|=2 .B z 的实部为1 .C z 的虚部为﹣1 .D z 的共轭复数为1+i3.已知等比数列{}n a 的公比2q =,且42a ，6a ,48成等差数列,则{}n a 的前8项和( )A ．127B ．255C ．511D ．10234.设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥5.已知菱形ABCD 的边长为4，150ABC ∠=o，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）A. 4πB.14π- C. 8π D. 18π-6.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-u u u r u u u r ，且O A u u u r 与OB u u u r在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 ( )A ．43B ．52 C ．25 D ．347.已知点(,)a b 在圆221x y +=上，则函数2()cos sin cos 12af x a x b x x =+--的最小正周期和最小值分别为（ ）A.2π，3-2B. π，3-2C. π，5-2D. 2π，5-28.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)22A ππωϕ≠>-<<的图像关于直线23x π=对称，它的周期是π，则（ ）A ．()f x 的图象过点1(0,)2 B ． ()f x 在2123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数[C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12πD ．()f x 的最大值是A9．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．45ASC BSC ∠=∠=︒则棱锥S —ABC 的体积为 ( )A． B． C． D．10.函数()cos f x xπ=与()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为A.2B.4C.6D.811．如图，A ，F 分别是双曲线2222C 1 (0)x y a b a b -=：，＞的左顶点、右焦点，过F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y 轴分别交于P ，Q 两点．若AP ⊥AQ ，则C 的离心率是( )AB． D．14+12.在三棱锥P ABC -中，PA 垂直于底面ABC ，090ACB ∠=AE PB ⊥于E ，AF PC ⊥于F ，若2PA AB ==，BPC θ∠=，则当AEF ∆的面积最大时，tan θ的值为（ ）A ．2B ．12 CD．2第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
湖北省黄冈中学2015-2016上学期高二期末试卷(数学理)
湖北省黄冈中学2015-2016上学期高二期末试卷数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人参加志愿活动，某男生被抽到的概率为A ．1100 B ．125 C ．15D ．14【答案】C 【解析】201.1005p == 2．已知,αβ为平面，l 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//l β”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当//l β时，//αβ或α与β相交.3．已知向量()(1,1,0),1,0,2a b ==-，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k =A ．1B ．15C ．35D ．75【答案】D【解析】()()1,,2,23,2,2ka b k k a b +=--=-,因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()()20ka b a b +⋅-= ，解得7.5k =4．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知在两个人的试验中，变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s. 变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t .那么下列说法正确的是A ．直线l 1和l 2相交，但是交点未必是点(s ，t )B ．直线l 1和l 2有公共点(s ，t )C ．直线l 1和l 2由于斜率相等，所以必定平行D ．直线l 1和l 2必定重合 【答案】B【解析】线性回归直线方程过点(),x y .5．“若0a ≠或0b ≠，则0ab ≠”的否命题为A ．若0a ≠或0b ≠，则0ab =B ．若0a ≠且0b ≠，则0ab =C ．若0a =或0b =，则0ab =D ．若0a =且0b =，则0ab = 【答案】D【解析】否命题:条件和结论都否定.6．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1,F 2. P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为A ．3B ．212C ．16D ．21 【答案】D【解析】12121210,21.4PF PF PF PF PF PF ⎧+=⎪∴⋅=⎨-=⎪⎩7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如右：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为A ．9.4,0.484B ．9.4,0.016C ．9.5,0.04D ．9.5,0.016 【答案】D 【解析】()19.49.49.49.69.79.55x =++++=, ()()()()()22222219.49.59.49.59.49.59.69.59.79.50.016.5s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦8．已知1F 、2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ABC1 D．2【答案】C【解析】设P 为1MF 中点，在正三角形12MF F中，12122,,,F F c PF c PF ===所以)1212,PF PF c a +==所以 1.c e a ===9．某人有5把钥匙，其中2把能打开门.现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉. 则恰好在第3次才能开门的概率为849444679第7题图A ．110 B ．15 C ．310 D ．25【答案】B【解析】2132351.5A A P A ==10．已知双曲线22219x y a-=的一条渐近线方程为320x y -=.1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线右支交于A ，B 两点. 若10AB =，则△1F AB 的周长为 A ．18 B ．26 C ．28 D ．36 【答案】C【解析】因为渐近线方程为320x y -=，所以双曲线的方程为22149x y -=.△1F AB 的周长为()()1122222428.AF BF AB AF a BF a AB AB a ++=++++=+=11．如图，△ADP 为正三角形，四边形ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD . M 为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC .则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（O 为正方形ABCD 的中心）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】在空间中，存在过线段PC 中点且垂直线段PC 的平面，平面上点到P ，C 两点的距离相等，记此平面为α,平面α与平面ABCD 有一个公共点D ，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B ，可排除选项B ，故选A.12. 如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内，且直线BC 与平面α所成的角为45 ，第11题图顶点B在平面α上的射影为点O.当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于A.B.C.D.【答案】C【解析】∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β，∵BO⊥α，BO⊂β，∴β⊥α. 过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，∴∠BCO = 45°，结合∠HCB = 30°得∠HCO = 75°，因此，H到平面α的距离等于HC sin75°= ，过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角，∵DH⊥β，α⊥β且DH⊄α，∴DH∥α，由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE= ，∴Rt△CDE中，sin∠DCE=DECD=，即直线CD与平面α二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．阅读如图所示的程序，当输入2a=，4n=时，输出s=【答案】2468【解析】22222222222468s=+++=.14．在半径为r的圆周上任取两点,A B，则AB r≥的概率为【答案】23第12题图第13题图【解析】如图，选定点A 后，以A 为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r ，当B 点落在劣弧 PQ上时，有AB r ≥，则所求概率为23.15．已知三棱锥S ABC -的底面为以AB 斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===， 2,AB =设,,,S A B C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为【解析】如图，设AB 的中点为D ，连接SD.,SA SB SC == △ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SD ∴⊥面ABC ，且SD 上任意一点到面ABC 的距离都相等，从而点O 在SD 上.设OD x =，则,SO x OB SO OB =，解得x .16．已知F 是双曲线C ：222x y -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，()0,2A .当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 【答案】3【解析】设左焦点为()12,0F -，右焦点为()2,0F .△APF 周长为()1122AF AP PF AF AP PF a AF AP PF a ++=+++=+++ 12AF AF a ≥++，当且仅当1,,A P F 三点共线，即P 位于0P 时，三角形周长最小.此时直线1AF 的方程为2y x =+，代入222x y -=中，可求得031,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.0101111424 3.222AP F AF F P F F S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50), [50,60),… [80,90), [90,100].（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；（Ⅱ）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.【解析】（Ⅰ）()0.0040.0220.0280.0220.018101,0.006.a a +++++⨯=∴=0.04450.06550.22650.28750.22850.189576.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）由频率分布直方图可知：在[)40,50内的人数为0.00440502⨯⨯=（人）， 在[)50,60内的人数为0.00610503⨯⨯=（人），设[)40,50内的两人分别为12,a a ；[)50,60内的三人为123,,.A A A第17题图则从[)40,60的受访职工中随机抽取2人，基本事件有()()()()12111213,,,,,,,,a a a A a A a A()()()()()()212223121323,,,,,,,,,,,a A a A a A A A A A A A 共10种；其中2人评分都在[40,50)内的基本事件有()12,a a 共1种..所以所求的概率为110. 18．（本小题满分12分） 已知命题2:,10p x R ax ax ∃∈+-≥，3:11q a>-，:r ()()10a m a m --->. （Ⅰ）若p q ⌝∧为假命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若q ⌝是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.【解析】2:,10p x R ax ax ∃∈+-≥⇔①0a =，不满足题意；②0a >，显然成立；③0a <，240,a a ∆=+≥即 4.a ≤-综上①②③可知p 为真⇔0a >或4a ≤-；【也可以从反面考虑，即p 为假，p ⌝为真，即2,10x R ax ax ∀∈+-<，①0a =，满足题意；②0a <，240,a a ∆=+>即40.a -<<综上①②可知p ⌝为真⇔40.a -<≤ 从而，p 为真⇔0a >或 4.a ≤-】 332:110021111a q a a a a+>⇔->⇔>⇔-<<---； :r ()()10a m a m a m --->⇔<或1a m >+.（Ⅰ）若p q ⌝∧为真命题，则,p q ⌝均为真命题，即p 为假，q 为真. 即402021a a a -<≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩；则当p q ⌝∧为假命题时，2a ≤-或0a >.（Ⅱ）“q ⌝是r ⌝的必要不充分条件”⇔“r 是q 的必要不充分条件”令(2,1)A =-，()(),1,B m m =-∞++∞ ，即A B ⊂≠，所以1m ≥或12,m +≤-即1m ≥或 3.m ≤- 19．（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为11A D 和11A B 的中点.（Ⅰ）求二面角11B FC B --的余弦值；（Ⅱ）若点P 在正方形ABCD 内部及边界上，且//EP 平面1BFC ，求EP 的最小值.【解析】以D 为坐标原点，以1DA DC DD ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.则111(1,1,0),(0,1,1),(,0,1),(1,,1)22B C E F .（Ⅰ）由图可取面11FC B 的一个法向量()10,0,1n =；第19题图()111,0,1,0,,12BC BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，设面1BFC 的法向量为2n ，则21200n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取()21,2,1n = .所以121212cos ,n n n n n n ⋅=11B FC B --. （Ⅱ）因为P 在正方形ABCD 内部及边界上，所以可设()(,,0)01,01P x y x y ≤≤≤≤， 则1,,12EP x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为//EP 平面1BFC ，所以2EP n ⊥ ，即1,,12x y ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭()1,2,10=，所以322x y =-+，01,01,x y ≤≤≤≤∴ 313021,01,244y y y ≤-+≤≤≤∴≤≤，所以EP25y =时，min EP . 20．（本小题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，准线l 与坐标轴交于点M.过焦点且斜率的直线交抛物线于,A B 两点，且12AB =. （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）若点P 为该抛物线上的动点，求PF PM的最小值.【解析】（Ⅰ）由题可知，焦点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为l ：2p x =-，点M,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设直线AB 的方程为2px =+，联立22y px =，消去x 可知220y p --=， ()2224120p p ∆=-+=>.所以12,A B AB y =-=解得2p =，所以抛物线的标准方程为24y x =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知F ()1,0，M ()1,0-.设P (),x y ，则PF PM===令()2441012616x m x x x x x==≠≤++++（1x =时取等号），即m 有最大值12，此时PF PM 有最小值，且PFPM==综上：PFPM.21．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，//,,4AB CD AB AD AD⊥=，点P在平面ABCD上的射影为点O，且PA PD==，二面角P AD B--为45 .（Ⅰ）求直线OA与平面PAB所成角的大小；（Ⅱ）若8AB BP+=，求三棱锥P ABD-的体积.解：（Ⅰ）方法1：∵P A P D=，∴P点在平面ABCD上的射影O在线段A D的中垂线上.设A D的中点为E，连接,EP EO，∴ADEPADEO⊥⊥,，∴PEO∠为二面角P A D B--的平面角，∴45P E O∠= .在等腰△PAD中，∵4AD=，∴2==EDEA.又32==PDPA，∴22=PE.在Rt△PEO中，得2O P O E==.以O为原点，分别以平行于A D，A B的直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2)P，(2,2,0)A-，∴)0,2,2(-=OA，(2,2,2)P A=--.∵//AB y轴，故可取一个A B的平行向量()0,1,0m=.设平面PAB的法向量是),,(z yxn=，则0,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩PA nm n即2220,0,x y zy--=⎧⎨=⎩取(1,0,1)n=.∴直线A O与平面PAB所成角θ满足sin12，∴直线O A与平面PAB所成角为30.方法2：过O点作O H A B⊥，垂足为H，连接P H.过O作O K P H⊥，垂足为K，连接A K．PO⊥平面ABCD，∴P O A B⊥．第21题图O H A B ⊥ ，∴AB ⊥平面POH ． 又OK ⊂平面POH ，∴A B O K ⊥， 又O K P H ⊥，∴OK ⊥平面PAB ． ∴OAK ∠就是O A 与平面PAB 所成角．∵P A P D =，∴P 点在平面ABCD 上的射影O 在线段A D 的中垂线上，设A D 的中点为E ，连接,EP EO ， ∴AD EP AD EO ⊥⊥,， ∴PEO ∠为二面角P A D B --的平面角， ∴45P E O ∠= .在等腰△PAD 中，∵4AD =， ∴2==ED EA ，又32==PD PA ，∴22=PE . 在Rt △PEO 中，得2O P O E ==，∴OA =又2OH AE ==，2PO =，在Rt △POH 中，可得O K =.∴1sin 2OK OAK OA ∠==，∴30O A K ∠= ． ∴直线O A 与平面PAB 所成角为30 ． （Ⅱ）设AB x =，则8P B x =-，连接O B .在Rt △POB 中，222OB PO PB +=,又由（Ⅰ）得OE AE ⊥，OE AE =， ∴45O A E ∠= ，∴45O A B ∠= ．在△OAB 中,222OB AO AB =+-2cos AO AB OAB ⋅∠284x x =+-，又22)8(x PB -=，∴22)8()48(4x x x -=-++,得13=，即133A B =.∴三棱锥P A B D -的体积13-∆=⋅P ABD ABD V S OP 111352423239=⨯⨯⨯⨯=. 22．（本小题满分12分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD同向.（Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）若AC BD =，求直线l 的斜率.【解析】（Ⅰ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)， 因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -= ①.又1C 与2C 的公共弦长为，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C x y =，第 11 页 共 11 页 由此易知1C 与2C的公共点的坐标为3()2， 229614a b∴+= ②. 联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为22198y x +=. （Ⅱ）如图，设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y因AC 与BD 同向，且AC BD =，所以AC BD = ，从而3142x x x x -=-，即3412x x x x -=-，于是2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+- ③.设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，由12,x x 是这个方程的两根，12124,4x x k x x ∴+==-④. 由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(98)16640k x kx ++-=，而34,x x 是这个方程的两根， 3434221664,9898k x x x x k k+=-=-++，⑤. 将④、⑤代入③，得()()222222164641619898k k k k ⨯+=+++， 即22222169(1)16(1)(98)k k k ⨯++=+， 所以22(98)169k +=⨯，解得k =l的斜率为。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年湖北省黄冈中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）A．B．C．D．2．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1 B．C．D．4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合5．“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为（）A．若a≠0或b≠0，则ab=0 B．若a≠0且b≠0，则ab=0C．若a=0或b=0，则ab=0 D．若a=0且b=0，则ab=06．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．B．84 C．3 D．217．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如图：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.0168．巳知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形PF1F2，若边PF1的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（）A．﹣1 B． +1 C．D．9．某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．则恰好在第3次才能开门的概率为（）A．B．C．D．10．已知双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0．F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线右支交于A，B两点．若|AB|=10，则△F1AB的周长为（）A．18 B．26 C．28 D．3611．如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A．B．C．D．12．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．阅读如图所示的程序，当输入a=2，n=4时，输出s=14．在半径为r的圆周上任取两点A，B，则|AB|≥r的概率为．15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．16．已知F是双曲线C：x2﹣y2=2的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，2）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…[80，90），[90，100]．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；（Ⅱ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率．18．命题p：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，q：＞1，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若￢p∧q为假命题，求实数a的取值范围；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．19．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和A1B1的中点．（Ⅰ）求二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值；（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且EP∥平面BFC1，求|EP|的最小值．20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M，过焦点且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=12．（I）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=4，点P在平面ABCD上的射影中点O，且，二面角P﹣AD﹣B为45°．（1）求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）若AB+BP=8求三棱锥P﹣ABD的体积．22．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．2015-2016学年湖北省黄冈中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】用随机数表法从100名学生中抽选20人，属简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为【解答】解：本抽样方法为简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为，故某男学生被抽到的机率是故选C【点评】本题考查简单随机抽样、等可能事件的概率等知识，属基础知识的考查．2．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．【专题】规律型．【分析】利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．【点评】主要是考查了空间中面面平行的性质定理的运用，属于基础题．3．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1 B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k ﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．∴k=，故选D．【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合【考点】变量间的相关关系．【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是（s，t），回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过（s，t）．【解答】解：∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点都是（s，t）∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，∴回归直线l1和l2都过点（s，t）∴两条直线有公共点（s，t）故选：B．【点评】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．5．“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为（）A．若a≠0或b≠0，则ab=0 B．若a≠0且b≠0，则ab=0C．若a=0或b=0，则ab=0 D．若a=0且b=0，则ab=0【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义进行判断即可．【解答】解：同时否定条件和结论得否命题：若a=0且b=0，则ab=0，故选：D．【点评】本题主要考查四种命题的关系，比较基础．注意否命题和命题的否定的区别．6．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．B．84 C．3 D．21【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|﹣|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|pF1|•|pF2|的表达式．【解答】解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=10|PF1|﹣|PF2|=4所以|PF1|=7|PF2|=3∴|pF1|•|pF2|=21故选D．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质．7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如图：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用茎叶图性质、平均数和方差公式求解．【解答】解：由茎叶图得去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值：，方差．故选：D．【点评】本题考查一组数据的平均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．8．巳知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形PF1F2，若边PF1的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（）A．﹣1 B． +1 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设边PF1的中点为Q，连接F2Q，Rt△QF1F2中，算出|QF1|=c且|QF2|=c，根据椭圆的定义得2a=|QF1|+|QF2|=（1+）c，由此不难算出该椭圆的离心率．【解答】解：由题意，设边PF1的中点为Q，连接F2Q在△QF1F2中，∠QF1F2=60°，∠QF2F1=30°Rt△QF1F2中，|F1F2|=2c（椭圆的焦距），∴|QF1|=|F1F2|=c，|QF2|=|F1F2|= c根据椭圆的定义，得2a=|QF1|+|QF2|=（1+）c∴椭圆的离心率为e===﹣1故选：A【点评】本题给出椭圆与以焦距为边的正三角形交于边的中点，求该椭圆的离心率，着重考查了解三角形、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于中档题．9．某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．则恰好在第3次才能开门的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出恰好在第3次才能开门包含的基本事件个数，由此能求出恰好在第3次才能开门的概率．【解答】解：∵某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．∴恰好在第3次才能开门的概率为．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．已知双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0．F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线右支交于A，B两点．若|AB|=10，则△F1AB的周长为（）A．18 B．26 C．28 D．36【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线方程利用双曲线定义，转化求解三角形的周长即可．【解答】解：因为渐近线方程为3x﹣2y=0，所以双曲线的方程为．△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=（|AF2|+2a）+（|BF2|+2a）+|AB|=2|AB|+4a=28．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．【解答】解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．【点评】本题是轨迹问题与空间线面关系相结合的题目，有助于学生提高学生的空间想象能力．12．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=，即得直线CD与平面α所成角的正弦值．【解答】解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β∵BO⊥α，BO⊂β，∴β⊥α过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC=∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75°因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×=过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角∵DH⊥β，α⊥β且DH⊄α，∴DH∥α由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE=∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于故选：A【点评】本题给出正四面体的一条棱与平面α成45°，在顶点A与B在平面α内的射影点O的距离最大时，求直线CD与平面α所成角的正弦值，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．阅读如图所示的程序，当输入a=2，n=4时，输出s= 2468【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的p，s，i的值，当i=5时满足条件i＞n，退出循环，输出s的值为2468．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，n=4，s=0，p=0，i=1p=2，s=2，i=2不满足条件i＞n，p=22，s=24，i=3不满足条件i＞n，p=222，s=246，i=4不满足条件i＞n，p=2222，s=2468，i=5满足条件i＞n，退出循环，输出s的值为2468．故答案为：2468．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的p，s，i的值是解题的关键，属于基础题．14．在半径为r的圆周上任取两点A，B，则|AB|≥r的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题；数形结合；转化法；概率与统计．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，求出对应的概率即可．【解答】解：如图所示，选定点A后，以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，则所求概率为P==．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，解题的关键是根据题意画出对应的示意图形，是基础题目．15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH⊥平面ABC，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得结论．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，∴S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．∵SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心．∵SC=2∴SM=1，∠OSM=30°∴SO=，∴OH=，即为O与平面ABC的距离．故答案为：【点评】本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定OHO与平面ABC的距离是关．键16．已知F是双曲线C：x2﹣y2=2的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，2）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 3 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积【解答】解：设左焦点为F1（﹣2，0），右焦点为F（2，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（|PF1|+2a）=|AF|+|AP|+|PF1|+2a≥|AF|+|AF1|+2a，当且仅当A，P，F1三点共线，即P位于P0时，三角形周长最小．此时直线AF1的方程为y=x+2，代入x2﹣y2=2中，可求得，故．故答案为：3．【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…[80，90），[90，100]．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；（Ⅱ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a，由此能估计该企业的职工对该部门评分的平均值．（Ⅱ）由频率分布直方图可知在[40，50）内的人数为2人，在[50，60）内的人数为3人，由此能求出此2人评分都在[40，50）的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，∴a=0.006．估计该企业的职工对该部门评分的平均值：=0.04×45+0.06×55+0.22×65+0.28×75+0.22×85+0.18×95=76.2．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：在[40，50）内的人数为0.004×40×50=2（人），在[50，60）内的人数为0.006×10×50=3（人），设[40，50）内的两人分别为a1，a2，[50，60）内的三人为A1，A2，A3．则从[40，60）的受访职工中随机抽取2人，基本事件有（a1，a2），（a1，A1），（a1，A2），（a1，A3），（a2，A1），（a2，A2），（a2，A3），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共10种，其中2人评分都在[40，50）内的基本事件有（a1，a2）共1种，所求的概率为p=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．命题p：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，q：＞1，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若￢p∧q为假命题，求实数a的取值范围；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q，r为真时的a的范围，（1）由￢p∧q为假命题，则p真q假，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为r是q的必要不充分条件，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：关于命题p：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，a＞0时，显然成立，a=0时不成立，a＜0时只需△=a2+4a≥0即可，解得：a＜﹣4，故p为真时：a（0，+∞）∪（﹣∞，﹣4]；关于q：＞1，解得：﹣2＜a＜1，关于r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0，解得：a＞m+1或a＜m，（1）若￢p∧q为假命题，则p真q假，∴，解得：a≥1或a≤﹣4；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，即r是q的必要不充分条件，即q⇒r，∴m+1≤﹣2或m＞1，即m≤﹣3或m＞1．【点评】本题考察了充分必要条件，考察复合命题的判断，考察二次函数的性质，是一道中档题．19．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和A1B1的中点．（Ⅰ）求二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值；（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且EP∥平面BFC1，求|EP|的最小值．【考点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．求出B，C1，E，F的坐标，（Ⅰ）求出面FC1B1的一个法向，面BFC1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值．（Ⅱ）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），利用EP∥平面BFC1，推出，求出x，y的关系，利用空间距离结合二次函数的最值求解即可．【解答】解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．则．（Ⅰ）由图可取面FC1B1的一个法向量；，设面BFC1的法向量为，则，可取．所以，即二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值为．（Ⅱ）因为P在正方形ABCD内部及边界上，所以可设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），则．因为EP∥平面BFC1，所以，即（1，2，1）=0，所以，∵0≤x≤1，0≤y≤1，∴，∴，所以=，当时，．【点评】本题看v我没觉得平面角的求法，空间距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M，过焦点且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=12．（I）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）求出抛物线的焦点坐标，写出直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出写出，即可求此抛物线方程；（Ⅱ）过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，则==sin∠PMA，故当PA和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．【解答】解：（I）因焦点F（，0），所以直线l的方程为y=（x﹣），与抛物线y2=2px联立，消去y得4x2﹣20px+p2=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=5p，∴|AB|=x1+x2+p=6p=12，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，则==sin∠PMA，∠PMA为锐角．故当∠PMA最小时，最小，故当PM和抛物线相切时，最小．设切点P（a，2），则PM的斜率为=（2）′=，求得a=1，可得P（1，2），∴|PA|=2|PM|=2sin∠PMA=【点评】本题考查抛物线与直线方程的综合应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=4，点P在平面ABCD上的射影中点O，且，二面角P﹣AD﹣B为45°．（1）求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）若AB+BP=8求三棱锥P﹣ABD的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）过O点作OH⊥AB，垂足为H，连接PH．过O点作OK⊥PH，连接AK，证明∠OAK 就是OA与平面PAB所成的角，求出OK、OA的长，即可求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）利用AB+BP=8，求出AB的长，利用三棱锥P﹣ABD的体积V=，即可求三棱锥P﹣ABD的体积．【解答】解：（1）过O点作OH⊥AB，垂足为H，连接PH．过O点作OK⊥PH，连接AK．∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AB．∵OH⊥AB，∴AB⊥平面POH．∵OK⊂平面POH，∴AB⊥OK，∵OK⊥PH，∴OK⊥平面PAB．∴∠OAK就是OA与平面PAB所成角．∵PA=PD，∴P点在平面ABCD上的射影O在线段AD的中垂线上，设AD的中点为E，连接EP，EO，∴EO⊥AD，EP⊥AD，∴∠PEO为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠PEO=45°．在等腰△PAD中，∵AD=4，∴EA=ED=2，∵PA=PD=2．∴PE=2．在Rt△PEO中，OP=OE=2，∴OA=2，又∵OH=AE=2，PO=2，在Rt△POH中，可得OK=∴sin∠OAK==，∴∠OAK=30°，∴直线OA与平面PAB所成的角为30°．（2）设AB=x，则PB=8﹣x，连接OB．在Et△POB中，PB2=PO2+OB2，∵OE⊥AE，OE=AE，∴∠OAE=45°，∴∠OAB=45°．在△OAB中，OB2=AO2+AB2﹣2AO•AB•cos∠OAB=8+x2﹣4x∴4+8+x2﹣4x=（8﹣x）2，∴x=，即AB=∴三棱锥P﹣ABD的体积V==【点评】本题考查线面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．22．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末考试试题(理科)
湖北省黄冈中学2008-2009学年度高二数学上学期期末考试试题（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．给出下列命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．过点P （-1，1）的直线l 与圆2240x y x ++=相交于A 、B 两点，当|AB |取最小值时，直线l 的斜率k 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．123．若a, b ∈R ，则|a |+|b |>1是|a+b |>1成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，B 1C ∩BC 1=O ，若1AO xAB yAD zAA =++，则x y z ++等于（ ） A ．1 B ．56C ．52D ．25．对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得 ( )A ．,a b αα⊂⊂B ．,a b αα⊥⊥C ．,//a b αα⊂D ．,a b αα⊂⊥ 6．设抛物线24x y =的焦点为F ，经过点(1,2)P 的直线与抛物线交于A 、B 两点，又知点PABDO C A 1 D 1 C 1B 1恰好为AB 的中点，则AF BF +的值是 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．1787．曲线221259x y +=和曲线221(925)259x y k k k+=<<--的（ ） A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．准线相同 D ．焦点到准线距离相等8．下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）错误！未找到引用源。
湖北省三校2013-2014学年高二上学期期末联考数学(理)试题
考试时间：2014年1月19日下午14:30-16:30 试卷满分：150分一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．把(2)1010化为十进制数为 （ ）A ．20B ．12C ．10D ．112．某大学数学专业一共有160位学生，现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知40号、72号、136号同学在样本中，那么样本中还有2位同学的编号应该为 （ ）A ．104,10B ．104,8C ．106,10D ．106,83．若直线22(23)()41m m x m m y m +-+-=-与直线2350x y --=平行，则实数m 的值为 （ ）A ．98-B ．1C ．1或98-D ． 1-4．圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程为 （ ）A．20x +-= B．40x +-= C．40x += D．20x -+=5．2014年巴西世界杯某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( ) A ．18种 B ．36种 C ．48种 D ．72种 6．某调查机构调查了当地100个新生婴儿的体重，并根 据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则 新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是 ( )A ．30B ．40C ．50D ．557．随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，且函数()ξ++=x x x f 42没有零点的概率为21,则=μA ．4B ．2C ．0D ．88如回归方程y b x a =+的斜率是b ，则它的截距是( )A.a ^＝11b ^－22； B. a ^＝11－22b ^； C. a ^＝22－11b ^； D.a ^＝22b ^－11.（第6题图）ABC D EF （第14题图） 10．已知点P 是椭圆221(0)168x y xy +=≠上的动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且10F M MP ⋅=,则OM 的取值范围是A ．（0，3）B ．（）C ．（0，4）D ．（0，）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若3)1(-ax 的展开式中各项的系数和为27，则实数a 的值是 ▲ 12．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于x 轴对称，直线2l 的斜率是 ▲13．NBA 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示：则中位数与 众数分别为 ▲ 和 ▲ ．14．给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有 ▲ 种不同的染色方案． 15．下图中椭圆内的圆的方程为122=+y x ，现借助计算机利用如下程序框图来估计该椭圆的面积，已知随机输入该椭圆区域内的1000个点()y x ,时，输出的800=i ，则由此可估计. 16．（本小题满分12分）y已知二项式2(n x +(n ∈N *)展开式中，前三项的二项式系数．．．．．和是56，求： （Ⅰ）n 的值；（Ⅱ）展开式中的常数项．17．（本小题满分12分）号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球．（Ⅰ）若1号球只能放在1号盒子中，2号球只能放在2号的盒子中，则不同的放法有多少种？（Ⅱ）若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有多少种？（Ⅲ）若5、6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？（Ⅰ）求出这个样本的合格率、优秀率;（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出2名.①求这2名医生的能力参数K 为同一组的概率;②设这2名医生中能力参数K 为优秀的人数为X ,求随机变量X 的分布列和期望.19. （本小题满分12分）已知向量).,(),1,2(y x =-=b a（Ⅰ）若y x ,分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足1-=⋅b a 的概率.（Ⅱ）若y x ,在连续区间[1,6]上取值，求满足0<⋅b a 的概率. 20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=，圆222:(3)(4)1C x y -+-=．（Ⅰ）若过点1(1,0)C -的直线l 被圆2C 截得的弦长为65（Ⅱ）圆D 是以1为半径，圆心在圆3C ：22(+1)9x y +=上移动的动圆 ，若圆D 上任意一点P 分别作圆1C 的两条切 线,PE PF ，切点为,E F ，求11C E C F 的取值范围 ； （Ⅲ）若动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长， 如图所示，则动圆C21．(本小题满分14分)如图，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C ，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ．（Ⅰ ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）若直线EA 、EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P 、M . ②求证：直线MP 经过一定点；②试问：是否存在以(,0)m 为半径的圆G ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交？若存在，请求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。
【数学】湖北省黄冈市中学2013-2014学年高二上学期期末考试(文)
湖北省黄冈中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学文试题、选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.） 1 .命题：“对任意的 x. R,x 3 -xA.不存在 x 三 R, x 3 -X 2 1 < 02 2 2.椭圆丁 L 1的焦距为（长是（ ）8.已知函数f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数f （X ）的图象 如图所示，则该函数的图象是（）1< 0”的否定是B.存在C.存在 x^ R, x 3 - X 2 1 0D.对任意的 x 三 R,x 3 -x 2 1 . 0A. 1B. 、7C. 2D. 2、73.对于常数m 、n ，“ mn • 0 ”是"方程mx22• ny -1的曲线是椭圆”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4•已知函数f (x) =(x -3)e x ，则f (0)=(A.2B.C. 3D.45.斜率是1的直线经过抛物线=4x 的焦点, 与抛物线相交于 A 、B 两点，则线段AB 的A . 2B.C. 4,2D . 86.在区间 [0,4]内随机取两个实数a,b ,则使得方程x 2 ax b 2 = 0有实根的概率是（）A.-47.过椭圆 是()A. C.D. §6B .-322— y 1内的一点P （2,-1）的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程 6 5C.- 65x ~3y 「13 = 0 B. 5x 3y-13=0 5x-3y 13=0D. 5x 3y 13 = 0A. (—R , -2) 一(2,：：)B.(-匚：-,2] 一 [2,：：)C. (-2,2)C. 32、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡相应位置上. ）11. 在区间［-1,2］上随机取一个数x ，则x € ［0,1］的概率为.2 212. “若x y ，则x y ”的逆否命题是13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在I 时,拱顶离水面2米，水面宽4米， 水位下降2米后，水面宽米.14 .函数f （x ） =¥「,x 可-2,2］的最大值是 __________ ，最小值是 ________x +12 2x V15 .已知O 为原点，在椭圆1上任取一点P ，点M 在线段0P 上,36 279.已知函数f （x ） =x 3 -3x a 有三个零点，则a 的取值范围为（ ） 则C 2的离心率是（10.如图,F I ,F 2是椭圆C i : 分别是G , C 2在第二、 且0M= 3|0P ,当点P 在椭圆上运动时，点3M 的轨迹方程为D [-2,2]A. 22 216•若点O和点F分别为椭圆—11的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，贝U4 3OP FP的最大值为.17•若直线^kx 1与曲线x-.y21有两个不同的交点，则实数k的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题，共65分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. )18. (本小题满分12分)设p :方程x2・mx，1=0有两个不等的负根，q :方程4x2 4(m -2)x ^0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.2 219. (本小题满分13分)已知双曲线C1:笃一爲“(a • 0,b • 0 )的与双曲线a bC2 : 3x2 - y2=1有公共渐近线，且过点A(1,0).(1 )求双曲线C1的标准方程(2)设F1、F2分别是双曲线C1左、右焦点.若P是该双曲线左支上的一点，且Z F1PF2 = 60，求-F|PF2的面积S.20.(本小题满分13分)设f(x)=6lnx • ax2-10ax • 25a ,其中a，R,曲线y 二f x 在点1, f 1处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)求a的值；(2)求函数f x的单调区间与极值•21. (本小题满分13分)已知抛物线C:y2=2px(p .0)的准线方程为x = _2 .(1)求此抛物线的方程；(2)已知点B(_1,0)，设直线I :y二kx • b(k =0)与抛物线C交于不同的两点P(N,y i),Q(X2,y2)，若x轴是.PBQ的角平分线，证明直线I过定点，并求出该定点坐标.22.(本小题满分14 分)如图，点P(0, -1)是椭圆G ：务每=1(a b 0)的一个顶点,G a b的长轴是圆C2:x2 y-4的直径.hl是过点P且互相垂直的两条直线,其中斜率为k的直线h交圆C2于A,B两点，12交椭圆G于另(1)求椭圆G的方程；(2)试用k表示厶ABD的面积S;(3)求ABD面积S取最大值时直线l1的方程.参考答案2 2(第22题图)1-10 CCBBD,A ABCD- 2m -4 0— 小则 ：m .2-m ■. 0若 q 为真，则.：=16(m —2)2 —16 =16(m —1)(m —3) ：：：0= 1 ：：：m ：：：3 由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 和q —真一假 ①若p 真q 假，则m 2=• m > 3②若p 假q 真，则m = km < 2m w 1 或 m > 3 1cmc3综上知1 ::: m w 2或m > 3219.解：(1) x 2 1 ,3(2)设 PF 2 =m, PF 』=n ，则 m — n =21 1 , 3 — -mn =12. S msni n 6 0 1 2 3 32 2 220. ( 1)因为 f(x)=2a(x -5)—令 xh ，得f ⑴=16a, f ⑴=6-8a,所以曲线y = f(x) x 在点(1,f (1))处的切线方程为 y -16a =(6 _8a)(x-1)1由点(0,6)在切线上可得 6 _16a =8a -6，故a 二—.2(2)由(1)知，f(x)-5)2 6ln x(x 0)， f (x)=x _5 • § =(x_2)(x-3)2xx令 f (x) =0，解得 X 1 =2,血=3当 0 ：: x ::: 2 或 x 3 时，f (x) 0，故 f (x)在(0,2),(3,二)上为增函数；当 2：:x ：:3 时， f (x) <0，故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知，f (x)在X =2处取得极大值f (2) 6ln 2，在x =3处取得极小值f (3) =2 6ln 3221. 解：(1) y 2⑵ 将 y = kx b 代入 y 2 =8x 中，得 k 2x 2 (2bk —8)x b 2 = 0，11.扣若x 2< y 2，贝U x 乞 y 13. 4.214. 2；—215. 2 2x y116. 617 . 72 ：：: k ：：: -1 4318. p 为真,在.F 1PF 2中，由余弦定理有 16 二 m 2 n 2Q 2— 2mn cos60 = m — n +2m n — mn其中：：=J32kb 64 0由根与系数的关系得，■ x2 =8 2bk,①x1x^ =^2.②k k••• x轴是/ PBQ的解平分线，•••」乞，即y1(x2 1) y2(x1 1^0,x+1 x2+1•- (kx b)(x21) (kx, 6(人1) = 0 ,• 2ax2 (b 冷)2b = 0,③将①②代入③并整理得2kb2 - (k - b)(8 -2bk) • 2k2b = 0 ,• k - J D，此时△>0「.直线I的方程为y=k(x_1)，即直线l过定点(1,0).22. 解:(1)由已知得到b =1,且2a =4. a =2,所以椭圆的方程是一y4l x ky k = 0, 2 2 2由x22二k X 4x 8kx = 0,7y =1所以X D +X P J(1 + 4) ?4k2k +4 V k (k + 4)所以S」|AB||D P"2丄药8厂8冲2 2 k2 4 k2 4S』4k23 4 52 3k2 4 4k2 3 1332 3224k _3 _13 一32一-4k2 3 .4k2 313 2 13=16•.也13-4k2 3=1；(2)因为直线h _ 12,且都过点P(0, -1),所以设直线h : y二kx -1= kx- y_1 = 0, 直线12：x1 : x k y0所< 二以圆心(h : y 二kx -1 =1 2 2kx - y -1二0的距离为d ---------- ,所以直线h被圆x2y= 4所截的弦AB =2、4 -d2 2 3 4k"x1 k28\ k2 1k2 4当6為=k2k=时等号成立,此时直线，2h：y〜x-i2。
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湖北省黄冈中学2013年秋季高二数学（理）期末考试试题命题：陈思锦 审稿：汤彩仙 校对：袁 进第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列结论不正确．．．的是 ( ) A ．若ln3y =，则0y '= B．若y =，则y '= C．若y =y '= D ．若3y x =，则3y '=2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：计算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 参照附表一（见Ⅰ卷后），得到的正确．．结论是（ ） A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”3．若曲线()y f x =在点(5,(5))P f 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+=（ ） A ． 5B ． 4C ． 3D ． 24．设~(100.8)X B ，，则2+1D X （）等于（ ）Ａ．1.6B ．3.2C ．6.4D ．12.85．两变量y 与x 的回归直线方程为23y x ∧=-，若17101=∑=i ix,则∑=101i i y 的值为（ ）A ．3B ．4C ．4.0D ．406．右图实线是函数()(02)y f x x a =≤≤的图象，它关于点),(a a A 对称. 如 果它是一条总体密度曲线，则正数a 的值为（ ） AB ．1C ．2 D7.ABCD 为长方形，2=AB ，1=BC ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( ) A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π-8．如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，()f x '为函数()f x 的导函数，则不等式()0x f x '⋅<的解集为（ ）A．(,-∞B．C ．)+∞D ．(,-∞(0,3)9．已知函数2()3f x x ax =-+在(0,1)上为减函数，函数2()ln g x x a x =-在(1,2)上为增函数，则a 的值等于（ ）A ．1BC ．2D ．310．已知()f x 为R 上的可导函数，且对x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（ ）A. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -<< B. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -<> C. 20142014(2014)(0),(2014)(0)ef f f e f ->< D. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f ->>附表一：第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知随机变量X 服从正态分布2(1,),(2)0.72N P x σ≤=，则(0)P x ≤= ．12．从4名女生和2名男生中选出3名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是 ． 13．若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．14．现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币两张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是 ．15．设)(''x f 是函数)(x f y =的导函数)('x f 的导数，定义：若32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，且方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点())(,00x f x 为函数)(x f y =的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题： 设32115()33212g x x x x =-+-，则 （1）函数()g x 的对称中心为 ； （2）1232014()()()()2015201520152015g g g g ++++= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图，已知直线1:10l x y +-=以及1l 上一点(23)P -，,直线2:40l x y +=，求圆心在2l 上且与直线1l 相切于点P 的圆的方程．17．（本小题满分12分）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点(0,2)P ,且在点(1,(1))M f --处的切线方程为076=+-y x .（1）求函数)(x f y =的解析式； （2）求函数)(x f y =的单调区间． 18．（本小题满分12分）一组数据4、7、10、6、9,n 是这组数据的中位数,设()21()nf x x x=-.（1）求()x f 的展开式中1-x 的项的系数；（2）求()x f 的展开式中系数最大的项和系数最小的项．19．（本题满分12分）黄冈中学学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回． （1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．20．（本小题满分13分）在淘宝网上，某店铺专卖黄冈某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，51≤<x ）满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x bx a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，70490y x =-+.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.（1）求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大（x 精确到0.01元/千克）.21．（本小题满分14分）已知函数211()ln()22f x ax x ax =++-（a 为常数,0a >）. （1）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （2）当02a <≤时，判断()f x 在1[, )2+∞上的单调性；（3）若对任意．．的(1, 2)a ∈，总存在．．01[, 1]2x ∈，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数 m 的取值范围.期末考试数学参考答案（理科）1、答案：B解析：若y =，则'12y =-，选B2、答案：D解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选D. 3、答案：D 解析(5)3,(5)1,(5)(5)2f f f f ''==-∴+=4、答案：C 解析：(2x 1)4D(x)4100.8(10.8) 6.4D +==⨯⨯⨯-=，选C ；5、答案：B 解析：1011 1.7,2 1.730.410i i x x y ===∴=⨯-=∑，101104i i y y ===∑6、答案：A 解析：曲线与x 轴围成的面积为1，=∴=⋅⋅∴a a a ,122217、答案：B 解析：:长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2π,因此取到的点到O 的距离小于1的概率为2π， 取到的点到O 的距离大于1的概率为14π- 8、答案：D 解析：当x∈(,-∞时，()0f x '>，则0x <，故(,-∞-是解集的一部分；同理也是解集的一部分.故选D.9、答案：C 解析：()f x 在(0,1)上单减，则1,2,2a a ≥∴≥()g x 在(1,2)上单增，则()20ag x x x'=-≥在(1,2)上恒成立，即22a x ≤恒成立，故 2.a ≤，故2a =.10、答案：C解析：构造函数()()x f x F x e =，求导得2()()()()()0()x x x xf x e f x e f x f x F x e e ''--'==<，故函数()F x 是定义在R 上的减函数，故(2014)(0)(2014)F F F ->>，即201402014(2014)(0)(2014)f f f e e e-->>，即20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f ->< 11、答案：0.28 解析：(0)=P x ≤(2)=1(2)0.28P x P x ≥-≤=12、答案：35解析：抽样比为3162=，故应抽取女生2人，男生1人，所以组成此课外学习小组的概率是214236C C C ⋅35= 13、答案：-∞（，0） 解析：120ax x+=有正实数解，即2210ax +=有正实数解，0a ∴< 14、答案：23 解析：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有323123⨯-=种. 15、答案：1(,1)2；2014解析：32115()33212f x x x x =-+-，则又2()3f x x x '=-+，()21f x x ''=-．令()0f x '=得12x =．故函数()f x 的对称中心为1(,1)2． 设00(,)P x y 在()f x 上可知P 关于对称点1(,1)2的对称点00(1,2)P x y --也在函数()f x 上，∴00(1)2f x y -=-．∴0000()(1)(2)2f x f x y y +-=+-=．∵122014()()()201520152015f f f +++=1201420072008()()()()2015201520152015f f f f ⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦210072014=⨯=．16、解： 设圆心为(,)C a b ，半径为r ，依题意，4b a =-.设直线2l 的斜率21k =-，过,P C 两点的直线斜率PC k ，因2PC l ⊥，故21PC k k ⨯=-，∴3(4)12PC a k a--==--，解得1,4a b =-=.||r PC ==所求圆的方程为22(1)(4)2x y ++-=.17、解：（1）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知 .6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f（2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故32()332f x x x x =--+的单调增区间为(,1-∞和),21(+∞+， 单调减区间为)21,21(+-.18、（1）解：依题意有：这组数据的中位数是7，即7n =，故()f x 的展开式中17237177()()(1)r r r r r r r T C x x C x ---+=-=-，由371r -=-可知2r =，故展开式中1-x 的项的系数为()211227=-C ．．．．．．．6分 （2）()x f 的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大， 而第5项的系数等于第5项二项式系数，故第5项的系数最大，即最大项为()()5423147535x x xC T =-=-，第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，故第4项的系数最小，即最小项为()()2324137435x x xC T -=-=- ．．．．．．．12分19、解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ．．．．．．． 1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ， ．．．．．．．3分 53)1()(2613131====C C C P A P ξ， ．．．．．．． 4分 51)2()(26232====C C P A P ξ． ．．．．．．． 5分 所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ的数学期望为1525150=⨯+⨯+⨯=ξE ． ．．．．．．．6分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ．则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件12A B A B +．而事件B A 1、B A 2互斥， 所以，1212()()()P A B A B P A B P A B +=+．由条件概率公式，得2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ） 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）．所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 128129()+=251575P A B A B +=那么在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，第二次训练时恰好取到一个新球的概率29429=75560P =÷ 20、解：（1）因为x =2时，y =700；x =3时，y =150，所以1502700ba b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得400,300a b == 每日的销售量2300400(3)(13)170490(35)x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩ ； ．．．．．．．5分 （2）由（I ）知， 当13x <≤时：每日销售利润2300()[400(3)](1)1f x x x x =-+--2400(3)(1)300x x =--+32400(7159)300x x x =-+-+（13x <≤） '()f x =2400(31415)x x -+，当53x =或3x =时'()0f x = 当5(1,)3x ∈时'()0f x >，()f x 单增；当5(,3)3x ∈时'()0f x <，()f x 单减．∴53x =是函数()f x 在(1,3]上的唯一极大值点，532()400300327f =⨯+700>；．．．9分 当35x <≤时：每日销售利润()(70490)(1)f x x x =-+-=270(87)x x --+()f x 在4x =有最大值，且(4)630f =5()3f <． ．．．．．．．．．12分综上，销售价格51.673x =≈元/千克时，每日利润最大． ．．．．．．．．．．13分＇21、解：2212()22()211122a ax x aa f x x a ax ax--'=+-=++.（1）由已知，得 1()02f '=且 2202a a-≠，220a a ∴--=，0a >，2a ∴=.（2）当02a <≤时，22212(2)(1)02222a a a a a a a a ----+-==≤,21222a a-∴≥, ∴当12x ≥时，2202a x a--≥.又201ax ax >+，()0f x '∴≥，故()f x 在1[, )2+∞上是增函数. （3）(1, 2)a ∈时，由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]2上的最大值为11(1)ln()122f a a =++-， 于是问题等价于：对任意的(1, 2)a ∈，不等式211ln()1(1)022a a m a ++-+->恒成立. 记211()ln()1(1)22g a a a m a =++-+-，（12a <<） 则1()12[2(12)]11a g a ma ma m a a'=-+=--++， 当0m =时，()01ag a a-'=<+，()g a ∴在区间(1, 2)上递减，此时，()(1)0g a g <=， 由于210a ->，0m ∴≤时不可能使()0g a >恒成立， 故必有0m >,21()[(1)]12ma g a a a m'∴=--+. 若1112m ->，可知()g a 在区间1(1, min{2, 1})2m-上递减， 在此区间上，有()(1)0g a g <=与()0g a >恒成立矛盾， 故1112m-≤，这时()0g a '>，()g a 在(1, 2)上递增，恒有()(1)0g a g >=，满足题设要求，01112m m>⎧⎪∴⎨-≤⎪⎩，即14m ≥，所以，实数m 的取值范围为1[, )4+∞.。