如何把连续系统
4-6连续系统的表示和模拟
Y (s) E (s)G(s) F (s) H1 (s)Y (s) G(s)
G(s) F (s) H1 (s)G(s)Y (s)
即 从而
1 G(s)H1(s)Y (s) G(s)F (s)
Y ( s) G( s) H ( s) F ( s) 1 G( s) H1 ( s)
2. 连续系统的信号流图表示
信号流图是由点（节点）和有向线段（支路）组 成的线图。
(1) 信号流图常用术语 •节点：表示信号或变量的点。
• • • • • • • • • • •
支路：连接两个节点的有向线段。 支路增益（传输函数）：写在支路旁边的函数。 源点(输入节点)：只有信号流出的节点。 汇点（阱点、输出节点）：只有信号流入的节点。 通路：沿支路传输方向通过各相连支路的途径。 开路：与经过的任一节点只相遇一次的通路。 环(回路)：起点和终点为同一节点的开路。 环路增益：环路中各支路增益的乘积。 不接触环路：两环路之间无任何公共节点。 前向通路：从输入到输出的开路。 前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘积。
i 1
...
Hn(s) (b) 复频域形式
...
n
复合系统的系统函数H(s)
H ( s ) H1 ( s ) H 2 ( s ) H n ( s ) H i ( s )
• 两个子系统反馈连接（混合连接）
F(s) + ± E(s) Y(s) G(s)
i 1
n
H1(s)
L1
L2
R U3 sC
L3
L4
R U4
L5
-sC
-R
I2
-sC -R
I3
-sC
1 5sCR 6(sCR) (sCR)
第4章 连续系统模拟
4.2 连续系统数学模型的求解
将其写成一般递推式，即 yn1 yn h2(K1K2)
式中，
K 1 f( tn ,y n ) ,K 2 f( tn h ,y n K 1 h )
这里，由于在(4.6)式中进行泰勒级数得展开时，只保留到h2项，它
yn (0 )1ynhf(tn,yn)
上式中第一式称yn 为 1预估yn公式h 2，f第(tn 二,y式n)称为f(校tn 正1,公yn (k 式1 ))。欧拉法每计
算一步只要调用函数f(t, y(t)) 一次，改进的欧拉法由于增加了校正 过程，使计算量增加了一倍，但是精度也大大的增加了。
4.2 连续系统数学模型的求解
y
( n
k
) 1
)
4.2 连续系统数学模型的求解
每迭代一次，判断yn+1相邻两次近似值之差的是不是小于给定的误 差ε，若不等式成立，停止迭代过程，将 作为yn+1的近似值，即作 为所求得的解；否则，继续迭代过程，直到得到满足不等式的值。
一般为了简化计算，只迭代一次。这样，就有了预估校正法，有 了如下改进的欧拉公式
记 Kf(tnh,y(tnh))，称之为区间[tn, tn+1]上的平均斜
率。
4.2 连续系统数学模型的求解
如果设法在区间上多预报几个点的斜率值Ki，然后将它们的加权 平均值作为平均斜率 的近似值，代入上式，再用待定系数法就可
以构造出精度更高的计算公式。这就是龙格—库塔法的基本思想， 是由德国数学家C. Runge和M. W. Kutta先后提出的。
下面以二阶龙格—库塔公式的计算为例来进行说明。
连续系统的建模设计与仿真
图5-2
•
相似理论在工程上很有用处，在处理复杂的非电系统时，如果能将其转化成相似
的电系统，则更容易通过实验进行研究。元件的更换、参数的改变及测量都很方便，且
可应用电路理论对系统进行分析和处理。
•
另外，尽管各种物理系统的结构不一样，输
入量、输出量以及中间变量可以是各种不同的物理 量，但它们的运动方程却有下列几点共同之处。
图5-3
• 记系统的输入量为外力x，输出量为质量m的位移y。我们的目标是求系统输出量y与输 入量z之间所满足的关系式，即系统的微分方程。取质量m为分离体，根据牛顿第二定 律有：
（5-2）
（5-3）
• 以上推出的各种系统的运动方程(数学模型)，尽管它们的物理模型不同，但却可能具 有相同的数学模型，这种具有相同的微分形式的系统称为相似系统。在微分方程中占 据相同位置的物理量称为相似量，比较方程式(5—1)和方程式(5—3)可以看出它们具 有相同的数学模型，是相似系统。
1．状态变量图 系统传递函数是描述线性定常(时不变)系统
输入与输出间微分关系的另一种方法。为便于实现 计算机数字仿真，应将传递函数变换为状态空间模 型。由系统传递函数导出系统状态空间模型的方法 是先将传递函数用状态变量图描述，然后根据状态 变量图中积分器的输出确定系统状态变量及状态方 程。
(图5-5(b))
• (4)消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出 量的方程，这就是系统的微分方程。
例5-1 图5-2
图5-2 （5-1）
例5-2 机械平移系统。
设有一个弹簧一质量一阻尼器系统 ，如图5—3所示。阻尼器是一种产生黏 性摩擦或阻尼的装置。它由活塞和充满 油液的缸体组成，活塞杆与缸体之间的 任何相对运动都将受到油液的阻滞，因 为这时油液必须从活塞的一端经过活塞 周围的间隙(或通过活塞上的专用小孔) 而流到活塞的另一端。阻尼器主要用来 吸收系统的能量，被阻尼器吸收的能量 转变为热量而散失掉，而阻尼器本身不 储藏任何动能或热能。
连续系统与离散系统的概念
连续系统与离散系统的概念连续系统和离散系统是系统控制理论中两种基本的模型类型。
连续系统是指系统的输入和输出信号是连续变化的，并且系统的状态可以在任意时间点进行测量和控制。
而离散系统则是指系统的输入和输出信号是离散的，即只在离散的时刻进行测量和控制，而在两个离散时刻之间的信号变化是未知的。
首先，我们来详细介绍连续系统。
连续系统可以用微分方程来描述，通常采用微分方程的求解方法来求得系统的时域响应。
连续系统可以是线性的，也可以是非线性的。
线性连续系统的特点是具有叠加性质，即输入的线性组合对应于输出的线性组合。
而非线性连续系统则是具有非线性性质，输入的线性组合对应于输出的非线性组合。
连续系统的状态可以通过求解微分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
在连续系统中，我们可以利用传递函数来描述系统的频域特性，传递函数是输入和输出的拉普拉斯变换的比值。
传递函数可以用来分析系统的稳定性、频率响应、阻尼特性等。
接下来，我们来介绍离散系统。
离散系统可以用差分方程来描述，通过求解差分方程可以得到系统的时域响应。
离散系统也可以是线性的或非线性的，线性离散系统满足叠加性质，非线性离散系统则不满足叠加性质。
离散系统的状态可以通过迭代差分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
离散系统的频域特性可以用离散时间傅里叶变换（DTFT）或离散傅里叶变换（DFT）来描述，这些变换可以将系统的输入和输出信号从时域转换到频域。
离散系统的稳定性、频率响应等也可以通过这些变换来进行分析。
在实际应用中，连续系统和离散系统都有各自的优缺点。
连续系统具有高精度和高灵敏度的特点，适用于需要高精度控制和测量的应用，如机器人控制、飞行器导航等。
而离散系统则具有较低的复杂度和较好的实时性，适合于计算机控制、数字信号处理等应用。
此外，由于实际系统中往往存在传感器采样和控制执行的离散性，所以很多情况下需要将连续系统进行离散化，从而使用离散系统进行建模和控制。
连续系统模型表示方法
连续系统模型表示方法
连续系统模型表示方法是指将连续系统的动态行为和特征用数
学语言进行抽象和描述的过程。
这种模型表示方法在控制系统的设计和分析中具有重要作用。
在连续系统模型表示方法中，有两种广泛采用的表示方法，分别是微分方程表示法和传递函数表示法。
微分方程表示法是将系统的动态行为描述为一组微分方程或偏微分
方程的形式。
这种方法通常适用于连续时间域中的系统分析与控制，可以直接反映出系统的物理过程和机理。
但是，它需要对微分方程进行求解，计算复杂度较高。
传递函数表示法是将系统的输入和输出之间的关系表示为一个复数
函数，即传递函数。
这种方法适用于频域中的系统分析与控制，可以直接计算系统的频率响应和稳定性。
但是，它对系统的物理过程和机理的反映较弱。
除了微分方程表示法和传递函数表示法，还有其他表示方法，例如状态空间表示法和拉普拉斯变换表示法。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题和应用场景选择最合适的方法。
总之，连续系统模型表示方法是控制系统分析和设计中的重要工具，应该根据具体情况选择最合适的方法来描述系统的动态行为和特征。
系统仿真技术_Chapter 1 连续系统模型描述
状态空间描述
X AX BU
Y CX
1.2 模型结构变换
状态空间描述
X AX BU
Y CX
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x a x a x a x b u 2 21 1 22 2 2n n 2 xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bn u 1 x1 x y c1 c2 cn 2 xn
1.2.1 输入/输出水平模型到内部模型的变换
假设一连续系统，它的数学模型如(5)式所示
dny d n 1 y a1 n 1 an y b0u (t ) n dt dt
（a0=1）(5)
2
1 1 dy 1d y , x3 x2 , 今引进n个 x`1 y, x2 x1 2 b0 b0 dt b0 dt 状态变量： 1 d n 1 y xn xn 1 n 1 b0 dt
……..(2) (2)式称为系统的传递函数。
1.1.3状态空间描述----状态结构水平
系统内部模型――状态空间模型。状态空间描述 的一般形式为： 状态方程 : X AX BU (3) 输出方程 : (4) Y CX
1.1.4 离散时间模型
(1) 差分方程
y(n k ) a1 y(n k 1) an y(k ) b1u (n k 1) b2 u(n k 2) bn y(k )
u
x3
x3
x2
x1
y
6
6
0 x 0 7 y 6 0 1
连续系统模型表示方法
连续系统模型表示方法
连续系统模型表示方法是指利用数学方法将连续系统的动态行
为进行建模、分析和控制。
在现实生活中，很多系统都是连续的，例如机械系统、电气系统、化学反应系统等。
因此，连续系统模型表示方法在工程控制和科学研究中具有重要的应用价值。
一般来说，连续系统模型表示方法可以分为两类：微分方程模型和传递函数模型。
微分方程模型是根据物理原理推导出来的，通常采用微分方程组来描述系统的动态行为。
而传递函数模型则是经验公式，通过试验数据拟合得到的一个数学表达式，可以快速地掌握系统的动态特性。
微分方程模型常用于描述动态系统，例如机械振动系统、电路系统和热传输系统等。
传递函数模型则常用于描述线性系统的频率响应特性，例如滤波器、控制系统等。
除了以上两种常用的模型表示方法，还有其他一些方法，例如状态空间模型和拉普拉斯变换模型等。
状态空间模型是一种描述系统动态行为的方法，它能够描述系统的状态和控制输入之间的关系，并且能在此基础上进行系统分析和控制设计。
拉普拉斯变换模型则是一种将微分方程转化为代数方程的方法，可以方便地进行系统分析和控制设计。
总之，连续系统模型表示方法是掌握和应用连续系统动态行为的重要工具，不同的模型表示方法适用于不同的系统类型和应用场景，工程师和科学家需要根据具体情况选择适合的模型表示方法来进行分析和设计。
如何把连续系统教学课件.ppt
H (T ) 0 (t)dtB 0 0
(1-
e2t ) e2t
/
2 0 dt 1
1 4
2T - (1- e2T
2(1- e2T )
)
于是该连续系统的离散化状态方程为
1 (1- e2T )/2
T/2 - (1- e2T )/4
x(k 1) 0
e2T
x(k)
(1- e2T )/2
u(k)
➢ 离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样 周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。
线性定常连续系统的离散化(3/3)
在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态 空间模型。 ➢ 下面介绍两种离散化方法: ✓ 精确法、 ✓ 近似法。
精确离散化方法(1/4)
1. 精确离散化方法
如何把连续系统 转化为离散系统
参看 第一 章第 4节
2.3.0 线性连续系统状态空间模型的离散化
u(t) 保持器 u(k)
连续系统 x(t)
x(k) D/A 数字 A/D
计算机
y(t) 保持器 y(k)
为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足 如下条件和假设。
➢ 在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。
BT
0
T
x(k
1)
1 0
T 1- 2T
x(k
)
T0 u(k
)
近似离散化方法(5/6)—例3-12
对上述近似离散化法的精度可检验如下:
1. 当T=1s时,精确法的计算结果为
G
1 0
0.432332 0.135335
近似法的计算结果为
连续系统模型表示方法
连续系统模型表示方法
连续系统模型表示方法是指用数学方式表达连续时间的物理系
统的行为和特性。
这种模型表示方法在控制理论、信号处理和系统工程等领域得到广泛应用。
连续系统模型表示方法可以使用微分方程、差分方程、状态空间法和传递函数法等不同的数学工具。
微分方程方法是一种基本的连续系统模型表示方法，它可以用一组微分方程来描述系统的动态特性。
这种方法在控制理论和电路分析中得到广泛应用，特别是对于灵敏度分析和参数优化等问题具有很大的帮助。
差分方程方法是一种用于离散时间信号和系统建模的方法。
这种方法可以将连续时间信号离散化，从而得到离散时间信号和系统的模型。
差分方程方法通常用于数字信号处理和数字控制系统中。
状态空间法是一种基于状态变量的连续系统模型表示方法。
这种方法可以将物理系统的状态表示为一组偏微分方程或常微分方程，并通过矩阵运算来描述系统的动态特性。
状态空间法在控制理论和机械工程中得到广泛应用。
传递函数法是一种用于描述连续时间系统的频率响应的方法。
这种方法将输入信号和输出信号之间的关系表示为一个分子和分母多项式
的比值。
传递函数法通常用于电路分析和控制系统设计中。
总之，不同的连续系统模型表示方法各有特点，选择适当的方法可以更好地描述和分析物理系统的行为和特性。
第3章 连续系统仿真方法
3.2连续系统仿真算法
3.2.1线性连续系统仿真算法
3.2.1.1线性连续系统数学模型的几种表示方法
⑴高阶微分方程
⑵传递函数
⑶状态方程
⑴、⑵只能给出输入输出的关系，⑶可描述中间的状态。
以上只是对SISO系统。
对于MIMO系统：分别为微分方程组，传递函数阵，状态方程。
方法的阶数可以作为衡量算法精度的一个标志。
截断误差的阶次越高，其求解的精度越高，不同算法的截法
亚当姆斯法
舍入误差：
由计算机的有限字长引起。
舍入误差会积累，随着积分时间的增加和积分法阶次的增高而增加，并且随着积分步长的减小而变得更加严重，原因是对于给定的积分时间，使用更小的步长就意味着更多的积分步数。
此时，系统仿真模型中将会有两种频率的采样开关：
离散部分的采样周期Ts；
连续部分的仿真步长T。
为了便于程序实现，一般取Ts=NT，N为正整数。
这种情况下的仿真流程见下图（计算方法）：
还有一种情况：采样控制系统中有多个回路，且每个回路的采样周期不同。一般内回路的采样周期较小，外回路的相对较大。如双环调速、飞行器控制等。
绝对误差准则：
相对误差准则：
-表示规定的误差量
快速性：数字仿真是一步一步推进的，每一部的计算时间决定了仿真速度。
连续系统数字仿真算法：
数值积分方法：单步、多步
离散相似方法：适用范围较窄
数值积分方法采用递推方式进行计算，不同的方法会引进不同的计算误差；为了提高计算精度，会增加运算量。对同一种积分方法，为提高计算精度，可减小积分步距，但又降低了计算速度。
龙格-库塔法的截断误差为步长的n+1次方（n为算法的阶数）。
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1 (1 - e 2t ) / 2 0 1 2T - (1 1 - e 2T ) e 0
于是该连续系统的离散化状态方程为
1 (1 - e 2T ) / 2 T/ 2 - (1 - e 2T ) / 4 x(k 1) x( k ) u( k ) 2T 2T e 0 (1 - e ) / 2
由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的 一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方 法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。
近似离散化方法(3/6)—例3-12
由上述推导过程可知,一般说来,采样周期T越小,则离散化精 度越高。 但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜 太小。 例 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的 状态方程:
( k 1)T kT
Φ[(k 1)T , τ ]B(τ )dτu(k )
可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下
G (k ) Φ[(k 1)T , kT ] H (k )
( k 1)T kT
Φ[(k 1)T , τ ]B( τ )dτ
线性时变连续系统的离散化(4/6)
1 1 G 0 1
0 H 1
2. 当T=0.001s时,精确法的计算结果为 0.5 106 1 0.000999 G H 0.000999 0 0.998002
近似离散化方法(6/6)—例3-12
近似法的计算结果为 1 0.001 G 0 0.998
近似离散化方法(2/6)
将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
H (T ) Φ(t )dtB e At dtB
0 0
T
T
上两式即为精确离散化法的计算式。
精确离散化方法(3/4)—例3-11
例 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的 状态方程:
0 1 0 x x 1u 0 2
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
线性时变连续系统的离散化(6/6)
将上述计算所得的G(k)和H(k)代入,则求得离散化状态 方程如下
T (k 1)T 2 (k 1)T 1 1 (kT T 1)(kT 1) x (k ) (k 1)T 1 ln kT 1 u(k ) x (k 1) 1 0 T
近似离散化方法(1/6)
2. 近似离散化方法
所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指
在采样周期较小,
且对离散化的精度要求不高的情况下, 用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。 即,由于 x’(kT)=LimT0[x((k+1)T)-x(kT)]/T 故当采样周期较小时,有 x’(kT)[x((k+1)T)-x(kT)]/T
0 H 0.001
从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期 。
线性时变连续系统的离散化(1/6)
2.3.2 线性时变连续系统的离散化
线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定 的采样周期T下,将连续系统的状态方程
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t )
t0
t
现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态 响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ
精确离散化方法(2/4)
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dtBu(kT )
0
T
比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为 G(T)=(T)=eAT
变换成线性时变离散系统的如下状态方程:
x((k 1)T ) G(kT ) x(kT ) H (kT )u(kT )
线性时变连续系统的离散化(2/6)
线性时变连续系统的状态方程的离散化,就是利用时变系统 的状态轨迹求解公式来进行离散化。
可知,连续系统状态方程的解可表示为:
x (t ) Φ(t , t0 )x (t0 ) Φ(t , τ )B( τ )u( τ )dτ
0 1 0 x x 1u 0 2
近似离散化方法(4/6)—例3-12
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G (T ) I AT 0 1 2T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H (T ) BT T
线性时变连续系统的离散化(5/6)
因此,由上述离散化计算公式，可分别计算
T 1 (kT T 1)(kT 1) G (k ) Φ[(k 1)T , kT ] 1 0 kT T ( k 1)T 1 1 (kT T 1)( 1) dτ H (k ) kT 1 1 0 kT T 1 ( k 1)T (kT T 1)( 1) dτ kT 1 (k 1)T 2 (k 1)T 1 ln (k 1)T 1 kT 1 T
1 (1 - e 2t ) / 2 s -1 Φ(t ) L1[( sI - A) 1 ] L1 0 s 2 0 e 2t
1
精确离散化方法(4/4)—例3-11
根据精确法计算式有
1 (1 - e 2T ) / 2 G (T ) (T ) 2T e 0 H (T ) (t )dtB
x(k 1) Φ[(k 1)T , kT ]x(k )
( k 1)T kT
Φ[(k 1)T , τ ]B(τ )dτu(k )
线性时变连续系统的离散化(3/6)
比较下述两式
x(k 1) G(k ) x(k ) H (k )u(k )
x(k 1) Φ[(k 1)T , kT ]x(k )
t0 t
现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态 响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是
x(k 1) Φ[(k 1)T , kT ]x(k )
( k 1)T kT
Φ[(k 1)T , τ ]B(τ )u(τ )dτ
考虑到u(t)在采样周期内保持不变,所以有
例 试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态方程。
1 0 1 2 (t 1) x u x 1 0 0
解 由前例可知,该系统的转移矩阵函数为
1 (t , t0 ) 0 t t0 (t 1)(t0 1) 1
2.3.1 线性定常连续系统的离散化
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型: x((k 1)T ) Gx(kT ) Hu(kT ) y (kT ) Cx(kT ) Du(kT )
参看 第一 章第 4节
如何把连续系统 转化为离散系统
2.3.0 线性连续系统状态空间模型的离散化
u(t) 连续系统 x(t) 保持器 x(k) D/A 数字 计算机 A/D 保持器 y(t)
u(k)
y(k)
为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足 如下条件和假设。 在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。 保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采 样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有 u(t)=u(kT) kT≤t<(k+1)T 采样周期T的选择满足Shannon采样定理,即 采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。
与前面的差 分方程不同：T
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变。 离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样 周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。
线性定常连续系统的离散化(3/3)
在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态 空间模型。 下面介绍两种离散化方法:
精确法、
近似法。
精确离散化方法(1/4)
1. 精确离散化方法
所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是
利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状 态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。
连续系统的状态方程的求解公式如下:
x(t ) Φ(t t0 )x(t0 ) Φ(t τ ) Bu(τ )dτ
1 T 0 x(k 1) x(k ) T u(k ) 0 1 - 2T