089期末复习——必修三 概率
概率论与数理统计期末复习
概率统计期末知识点复习一、概率计算⒈事件的关系和运算⑴ 子事件(事件的包含)B A ⊂：若A 发生，则B 必然发生； ⑵ 相等事件A B =：B A ⊂且A B ⊃； ⑶ 并事件B A ：“,A B 中至少发生一个”； ⑷ 交（积）事件AB ：“,A B 都发生”； ⑸ 互不相容（互斥）事件:AB =∅； ⑹ 对立事件：若AB =Ω，且AB =∅，称B 为A 的对立事件，记为A B =．⑺ 差事件B A -：“A 发生，而B 不发生”． ⑻ 事件的运算律 ①交换律：A B B A =，AB BA =；②结合律：()()A B C A B C =，()()AB C A BC =； ③分配律：()A B C ACBC =，()()()AB C A C B C =；④摩根律：AB A B =，AB A B =．⒉概率计算的基本公式⑴非负性：设A 为任一随机事件，则0()1P A ≤≤． ⑵规范性：()1P Ω=，()0P ∅=． ⑶并事件概率计算公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-；()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+．如果事件12,n A A A ,,两两互不相容，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．⑷差事件概率计算公式：()()()()()P A B P AB P A AB P A P AB -==-=-； 若B A ⊂，则①()()()P A B P A P B -=-； ②()()P B P A ≤． ⑸对立事件概率计算公式：()1()P A P A =-．1A 2A 3A nA 21(|)P A A 1()P A 312(|)P A A A11(|)nnP A AA -B2A ∙1A nA 1()P A 2()P A ()n P A 1()P B A 2()P B A ()n P B A ⒊条件概率公式、乘法公式 ⑴条件概率：()P B A ．①公式法：()(),()0()P AB P B A P A P A =>；②代入法：改变样本空间直接计算．⑵乘法公式：()0P A >，有()()()P AB P A P B A =． 设12()0n P A A A >，2n ≥，则12()n P A A A 12131211()(|)(|)(|)-=n n P A P A A P A A A P A A A ．适用范围：链式结构⒋全概公式、逆概公式 ⑴全概率公式：1,,n A A 为一完备事件组，则1()()()ni i i P B P A P B A ==∑．适用范围：并列结构⑵贝叶斯公式(逆概公式):1()()()()()i i i nkkk P A P B A P A B P A P B A ==∑．⒌古典概型、几何概型、贝努里概型 ⑴古典概型：()A P A =事件所含样本点的个数所有样本点的个数．掌握简单的排列组合．⑵几何概型：()A P A =Ω的几何测度的几何测度，其中几何测度分别为长度或面积．对比均匀分布．⑶贝努里概型：在n 重贝努里试验中事件A 恰好发生k 次的概率为(1)kkn kn C p p --，其中0,1,2,,k n =，()p P A =，01p <<．对比二项分布．⒍事件的独立性⑴事件A 和B 相互独立的直观理解为事件A 和B 各自发生与否没有任何关系．并会根据实际问题判断事件A 和B 的独立性．⑵事件,A B 相互独立()()()P AB P A P B ⇔=(|)()(()0)P B A P B P A ⇔=>.⑶,,A B C 两两独立⇔()()(),()()(),()()().P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⑷,,A B C 相互独立⇔,,()()()().A B C P ABC P A P B P C ⎧⎨=⎩两两独立,⑸独立性的有关结论：①设()0P B >，则事件A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A =．②设,A B 为两个随机事件，如果A 和B 相互独立，则A 和B 相互独立；A 和B 相互独立； A 和B 也相互独立．③设,A B 为两个随机事件，且0()1P B <<，则A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A B =．④如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则12,,,n A A A 的任一部分事件（至少两个事件）也相互独立．⑤如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则分别将i A 不变或换成i A 后所得事件仍相互独立．例如12,,,n A A A ，12,,,n A A A 等也分别相互独立．⑥如果随机事件1212,,,,,,,m n A A A B B B 相互独立，则由12,,,m A A A 组成的随机事件与由12,,,n B B B 组成的随机事件相互独立．⒎切比雪夫不等式（估计概率） 设μ=EX，2σ=DX ，则对任意的0ε>，有22{}1P X σμεε-<≥- 或22{}P X σμεε-≥≤．⒏利用分布计算概率⑴利用分布函数计算概率：①{}()()P a X b F b F a <≤=-，000{}()(0)P X x F x F x ==--等等． ②1212{,}<≤<≤P x X x y Y y 22211211(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y =--+． ⑵利用分布律计算概率：①{}P X L ∈=i ix Lp ∈∑． ②(,){(,)}i j ij x y DP X Y D p ∈∈=∑．⑶利用密度函数计算概率：①{}{}P a X b P a X b <≤=≤≤{}P a X b =≤<{}P a X b =<<()b af x dx =⎰．②{(,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰．③00{}()X Y LP X L Y y f x y dx ∈==⎰；00{}()Y X LP Y L X x f y x dy ∈==⎰．二、随机变量的分布⒈分布函数及性质⑴一维随机变量的分布函数：(){},F x P X x x =≤-∞<<+∞． ⑵一维随机变量分布函数的性质：①0()1F x ≤≤； ②()0F -∞=，()1F +∞=； ③()F x 处处单调不减； ④()F x 处处右连续． ⑶二维随机变量的分布函数：(,){,}=≤≤F x y P X x Y y ，2(,)x y R ∈． ⑷二维随机变量分布函数的性质： ①0(,)1F x y ≤≤，其中2(,)x y R ∈；②(,)1,(,)(,)(,)0F F x F y F +∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞=； ③(,)F x y 分别为关于变量x 和y 单调不减的函数； ④(,)F x y 分别关于变量x 和y 处处右连续． ⒉分布律及性质⑴一维离散型随机变量的分布律：{}i i P X x p ==，1,2,i =；或1212~i ix x x X p p p ⎛⎫⎪⎝⎭． ⑵一维离散型随机变量分布律的性质：①0i p ≥，1,2,i =； ②1iip=∑．⑶二维离散型随机变量的分布律：{,}i j ij P X x Y y p ===，1,2,,1,2,i j ==；或2j y121j p⑷二维离散型随机变量分布律的性质： ①0ij p ≥，1,2,,1,2,i j ==； ②1ijijp=∑∑．⒊密度函数及性质⑴一维连续型随机变量的密度()f x ：()f x 满足()()x F x f t dt -∞=⎰，x -∞<<+∞．⑵一维连续型随机变量密度函数的性质： ①()0,(,)f x x ≥∈-∞+∞； ②()1f x dx +∞-∞=⎰．⑶二维连续型随机变量的密度(,)f x y ：(,)f x y 满足(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰，2(,)x y R ∈．⑷二维连续型随机变量密度函数的性质： ①(,)0≥f x y ，2(,)x y R ∈； ②(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰．⒋常见分布及其数字特征⑴01-分布~(1,)X B p ：1{}(1)k k P X k p p -==-，0,1;,k EX p DX pq ===． ⑵二项分布(,)B n p ：{}(1),0,1,2,,,01kkn kn P X k C p p k n p -==-=<<；,EX np DX npq ==．应用背景．．：记X 为n 重贝努利试验中A 发生的次数．．,则(,)X B n p .⑶泊松分布()P λ：{},0,0,1,2,!kP X k e k k λλλ-==>=，EX DX λ==.⑷均匀分布~[,]X U a b ：1,,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.()2,212b a a b EX DX -+==. ⑸指数分布()E λ：,0,()00,0.x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩,211,EX DX λλ==.⑹正态分布X ~),(2σμN：22()2()x f x μσ--=，x -∞<<+∞；2,EX DX μσ==.5．常见分布的性质⑴（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(,),1,2,,i i X B n p i n =，则11~(,)nnii i i XB n p ==∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),1,2,,i X B p i n =，则1~(,)nii XB n p =∑．反之，服从二项分布(,)B n p 的随机变量X 可以分解为n 个相互独立，且均服从(1,)B p 的随机变量12,,n X X X 之和．⑵（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X P i n λ=，则11~()nnii i i XP λ==∑∑．⑶（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X E i n λ=，则121min{,,,}~()nn i i X X X E λ=∑．⑷（了解）设随机变量12~[,]X U θθ，则12~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++>；21~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++<．⑸（了解）设二维随机变量(,)X Y 服从均匀分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从均匀分布．⑹设随机变量2~(,)X N μσ，则22~(,)Y aX b N a b a μσ=++，其中0a ≠．特别地，~(0,1)X N μσ-．⑺设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i i i X N i n μσ=，12,,,n a a a 是不全为零的常数，则22111~(,)n n ni i i i i i i i i a X N a a μσ===∑∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i X N i n μσ=，则211~(,)n i i X N n nσμ=∑． ⑻设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从二维正态分布．⑼设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=．⒌边缘分布 ⑴离散型{}i ij jP X x p ==∑，1,2,i =；{}j ijiP Y y p==∑，1,2,j =．关于X 的边缘分布律可对表中的i j p 进行纵向求和即得；关于Y 的边缘分布律可对表中的i j p 进行横向求和即得．⑵连续型()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰,x -∞<<+∞；()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．()X f x 可通过在给定点x 处，),(y x f 的纵向积分（对y 从-∞到+∞积分）求得，()Y f y 可通过在给定点y 处，),(y x f 的横向积分（对x 从-∞到+∞积分）求得．⒍条件分布 ⑴离散型1212()~i jj ij j jjjx x x p p p X Y y p pp⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；1212()~j ij i i i iiiy y y p Y X x p p p p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． ⑵连续型(,)()()X Y Y f x y f x y f y =，x -∞<<+∞；(,)()()Y X X f x y f y x f x =，y -∞<<+∞．⒎随机变量的独立性⑴随机变量X 和Y 相互独立的直观意义是指X 和Y 的各自取值情况没有任何关系． ⑵利用分布函数：(,)()()X Y F x y F x F y =． ⑶利用分布律：ij i j p p p =，1,2,,1,2,i j ==．⑷利用密度函数：(,)()()X Y f x y f x f y =． ⑸随机变量独立性的有关结论①设随机变量X 与Y 相互独立，则对任意实数集合12,L L ，有1212{,}{}{}P X L Y L P X L P Y L ∈∈=∈∈．②如果随机变量12(,,,)m X X X 和12(,,,)n Y Y Y 相互独立，,g h 分别为m 元连续函数和n 元连续函数，则随机变量12(,,,)m g X X X 与12(,,,)n h Y Y Y 也相互独立．特别地，设随机变量X 与Y 相互独立，(),()g x h y 是连续函数，则随机变量()g X 与()h Y 也相互独立．⒏随机变量函数的分布⑴离散型随机变量函数的分布可直接列表求得． ⑵连续型随机变量函数分布采用分布函数法①()Y g X =：先求()(){}{()}()Y X g x yF y P Y y P g X y f x dx ≤=≤=≤=⎰,②(,)Z g X Y =：先求(,)(){}{(,)}(,)Z g x y zF z P Z z P g X Y z f x y dxdy ≤=≤=≤=⎰⎰，然后对y 或z 进行讨论然后求导数.⑶熟记1max i i nM X ≤≤=和1min i i nN X ≤≤=的分布函数和密度函数公式.①若随机变量12,,,n X X X 相互独立，i X 的密度函数为()i f x ，分布函数为()i F x ，1,2,,i n =，则M 和N 的分布函数(),()M N F x F x 和密度函数(),()M N f x f x 分别为12(){}()()()M n F x P M x F x F x F x =≤=，()()M Mf x F x '=； ()()()12(){}1[1][1][1]N n F x P N x F x F x F x =≤=----，()()N Nf x F x '=． ②当12,,,n X X X 独立同分布时，()()i f x f x =，()()i F x F x =，1,2,,i n =，则 ()[()]n M F x F x =，1()[()]()n M f x n F x f x -=；()1[1()]n N F x F x =--，1()[1()]()n N f x n F x f x -=-．⒐数字特征计算⑴数学期望(均值)：①一维随机变量函数的数学期望：1(),(())()().i i i g x p E g X g x f x dx ∞=+∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰注: 2,()EX E X 为其特例．②二维随机变量函数的数学期望：11(,),((,))(,)(,).i j i j i j g x y p E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞==+∞+∞-∞-∞⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩∑∑⎰⎰注: 22,(),,(),()EX E X EY E Y E XY 为其特例．⑵方差：222()()()DX E X EX E X EX =-=-．⑶协方差：ov(,)[()()]()C X Y E X EX Y EY E XY EXEY =--=-．⑷相关系数：XY ρ=．⑸数字特征的性质（见教材）． ⑹不相关：①若0XY ρ=，称X 与Y 不相关；X 与Y 不相关的直观意义指X 与Y 没有线性关系． ②X 与Y 不相关ov(,)0C X Y ⇔=()D X Y DX DY ⇔±=+()E XY EXEY ⇔=．③设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 与Y 的相关系数XY ρρ=．④设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=⇔X 与Y 不相关．⑤如果X 与Y 相互独立，且X 与Y 的相关系数XY ρ存在，则X 与Y 不相关．反之未必．⒑中心极限定理的应用 ⑴设12,,n X X X 独立同分布，且2,0i i EX DX μσ==≠(1,2,)i =，则当n 充分大（30n ≥）时，有21~(,)nii XN n n μσ=∑近似．⑵设~(,)X B n p ，则当n 充分大（30n ≥）时，~(,(1))X N np np p -近似．三、计算过程中需要分段讨论的几种类型与方法⒈已知X 的分布律，求X 的分布函数()F x ．三个特征： ⑴分1n +段；⑵每段上，将概率逐次累加（初始值为0，终值为1）； ⑶每个区间为左闭右开． ⒉已知X 的密度函数()f x （分段函数），求X 的分布函数()F x ． ⑴分1n +段；⑵每段上，将()f x 在(,]x -∞上积分；⑶由于()F x 为连续函数，故每个区间为开闭均可．⒊已知(,)X Y 的密度函数(,)f x y （分段函数），求X 的分布函数(,)F x y ． ⑴结合(,)F x y 的原理图和(,)f x y 特征图，将全平面分若干块； ⑵每块上，将(,)f x y 在区域(,](,]x y D -∞⨯-∞上积分．⒋连续型随机变量函数的分布⑴一维连续型随机变量函数()Y g X =的分布函数()Y F y ：①先确定()Y g X =取值范围；例如m Y M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当y m <时，()0Y F y =．③当m y M <≤时，利用定积分()()()Y X g x yF y f x dx ≤=⎰计算．④当y M ≥时，()1Y F y =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Y 为连续型随机变量，则Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=． ⑵二维连续型随机变量函数(,)Z g X Y =的分布函数()Z F z ：①确定(,)Z g X Y =的取值范围；例如m Z M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当z m <时，()0Z F z =．③当m z M <≤时，利用二重积分(,)()(,)Z g x y zF z f x y dxdy ≤=⎰⎰计算．④当z M ≥时，()1Z F z =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Z 为连续型随机变量，则Z 的密度函数()()Z Z f z F z '=． ⒌二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘密度 ⑴()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，x -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用垂直直线x m =和x M =将D 夹住． ③当x m <或x M >时，()0X f x =． ④当m x M ≤≤时，()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论． ⑵()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用水平直线y m =和y M =将D 夹住． ③当y m <或y M >时，()0Y f y =． ④当m y M ≤≤时，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论．四、数理统计的基础知识⒈总体X ，样本12(,,,)n X X X 和观察值的概念．关注简单随机样本的独立性和代表性．⒉常用统计量：样本均值∑==n i i X n X 11，样本方差2211()1n i i S X X n ==--∑， 顺序统计量*11min i i nX X ≤≤=，*1max n i i nX X ≤≤=．⒊常见分布⑴正态分布：见概率论中的内容． ⑵2χ分布：设12(,,,)n X X X 为来自总体~(0,1)X N 的一个样本，就称统计量22222121ni ni X X X X ===+++∑χ服从自由度为n 的2χ分布，记作)(~22n χχ． ①设)(~22n χχ，则2()E n =χ，2()2D n =χ． ②设~(0,1)X N ，则22~(1)X χ．③设22~()i i n χχ，1,2i =，且2212,χχ相互独立，则2221212~()n n ++χχχ．⑶ t 分布：设随机变量~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X 与Y 相互独立，就称T =服从自由度为n 的t 分布，记作)(~n t T ．⑷F 分布：设随机变量)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且X 与Y 相互独立，就称21n Y n X F =服从第一自由度为1n ，第二自由度为2n 的F 分布，记作),(~21n n F F ． ①如果~()T t n ，则2~(1,)T F n ． ②如果12~(,)F F n n ，则211~(,)F n n F． ⒋上侧分位点p x ：{},{}1p p P X x p P X x p ≥≥≤≥-． 如U α，2()t n α，21()n αχ-，2121(,)Fn n α-等等（下标为该点处右侧的面积）． 注意：1U U αα-=-，1()()t n t n αα-=-，112211(,)(,)F n n F n n αα-=．⒌单正态总体2~(,)X N μσ中X 和2S 的分布（其中12(,,,)n X X X 为样本）： ⑴2~(,)X N nσμ，或nX /σμ-~)1,0(N ；⑵nS X /μ-～)1(-n t ；⑶2212()()nii Xn μχσ=-∑；⑷222122()(1)(1)nii XX n Sn χσσ=--=-∑,且X 与2S 相互独立．五、参数估计⒈点估计 ⑴矩估计：①原理：用样本矩估计理论矩．②方法：建立方程（组）11()n rr i i X E X n ==∑，1,2,r =，解出θ，得θ的矩估计θ．⑵最大似然估计：①原理：概率最大的事件最有可能出现． ②方法：构造似然函数)(L θ=12)(,,,;n L x x x θ（似然函数体现了样本12(,,,)n X X X 出现的概率大小），求似然函数L 的最大值点，即为θ的极大使然估计θ． ③步骤：第一步：写出似然函数)(L θ．如果连续型总体X 的密度函数为(;)f x θ，则1()(;)n i i L f x θθ==∏．如果离散型总体X 的分布律为(;)p x θ，则1()(;)ni i L p x θθ==∏． 第二步：取对数ln )(L θ，并令ln 0)(d d L θθ=，或ln 0)(i L θθ∂=∂，1,2,,i k =，建立方程(组)．如果从中解得惟一驻点θˆ，则θˆ即为θ的最大似然估计； 第三步：如果上述方程无解，则通过单调性的讨论，在某边界点处，求出θ的最大似然估计量θˆ． ⒉估计量的评价标准⑴无偏性：如果E θθ=，就称θ为θ的无偏估计．主要结论有：①如果总体X 的数学期望EX 存在，则X 是μ的无偏估计，即E X μ=． ②如果总体X 的方差DX 存在，则2S 是2σ的无偏估计，即22()E S σ=．③设估计量12ˆˆˆ,,m θθθ均为θ的无偏估计，12,,,m c c c 为常数，且11mi i c ==∑，则1ˆmi i i c θ=∑仍为θ的无偏估计．注意：即使ˆθ为θ的无偏估计，而ˆ()g θ未必为．．．()g θ的无偏估计． ⑵（较）有效性：设21ˆ,ˆθθ均为θ的无偏估计，如果12ˆˆD D θθ<，就称1ˆθ比2ˆθ有效．⑶一致性（相合性）：设ˆθ为θ的估计量，如果对任意的0ε>，均有ˆl i m {}1n P θθε→∞-<=，就称θˆ为θ的一致估计量或相合估计量． ⒊单正态总体2(,)N μσ中2,σμ的区间估计⑴2σ已知，μ的置信度1α-的置信区间为22X u X u αα⎛⎫-+ ⎝． ⑵2σ未知，求μ的置信度为1α-的置信区间为2(X t n α⎛⎫±- ⎝． ⑶2σ的置信度为1α-的置信区间为2222122(1)(1),(1)(1)n Sn S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭． 六、假设检验⒈假设检验的有关概念了解假设检验的背景，假设的提法，假设检验中的反证法思想，假设检验的基本原理，显著性检验，双侧检验和单侧检验等相关内容．⒉假设检验的两类错误⒊假设检验的四个步骤⑴根据给定的问题，建立假设检验问题01(,)H H ． ⑵根据检验问题01(,)H H 及条件，选择检验统计量12(,,,)n g X X X ．当0H 为成立时，确定该统计量12(,,,)n g X X X 的分布．⑶根据显著性水平α，确定临界值和原假设0H 的拒绝域W ． ⑷通过样本值12(,,,)n x x x ，计算统计量12(,,,)n g X X X 的值12(,,,)n g x x x ．若12(,,,)n g x x x W ∈，则拒绝0H ，否则接受0H ．⒋单正态总体中均值和方差的假设检验。
人教版数学选择性必修三综合复习：概率、离散型随机变量及其分布课件
[例4] (课标全国Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打
成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、
乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲
得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,
.
✓ 由题意可知七场四胜制且甲队以4∶1获胜,则共比赛了5场,且第5场甲胜,
前4场中甲胜3场.第一类:第1场、第2场中甲胜1场,第3场、第4场甲胜,则
3
1
3
P1= 21 ×0.6×0.4×0.52=2× × × = ;第二类:第1场、第2场甲胜,
5
5
4
第3场、第4场中甲胜1场,则P2=0.62×
的概率为
12
13
.
✓ 设事件“从8件产品中取出的2件产品中有1件不是一等品”为A,
✓ 事件“从8件产品中取出的2件产品中有1件是一等品”为B,
✓ 则P(A)
21 61 +22
82
=
13
,
28
P(AB)=
61 21
82
=
1
28
✓ 所以另1件是一等品的概率为P(B|A)=
=
3
7
✓ 恰转动2次中奖为事件A2,恰转动3次中奖为事件A3.
1
3
✓ 每次抽奖相互独立,每次抽奖中奖的概率均为 ,
✓ ∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
1
2
1
+ ×
3
3
3
+
2
2
1
× ×
新课标高中数学必修三《概率》知识点(最新整理)
高中数学必修3（新课标）第三章 概 率（知识点）3.1 随机事件的概率及性质1、基本概念：（1）必然事件：一般地，在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件；（5）确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母表示A 、B 、C……表示.（6）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=为事件A n n A 出现的频率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（7）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，nn A 这种摆动幅度越来越小，接近某个常数。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率（8）任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，它度量该事件发生的的可能性.2 概率的基本性质1）一般地、对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作 不可能事件记作Ø，B ⊇A (或A ⊆B ).任何事件都包含不可能事件.2）如果事件C 1发生，那么事件D 1一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作C 1=D 1.一般地，若，且，那么称事件A 与事件B 相等，记作A=B.B ⊇A A ⊇B 3）若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 或事件B 的并事件（或和事件），记作(或A+B).A ∪B 4）若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作(或AB).A ∩B 5）若为不可能事件（Ø），那么称事件A 与事件B 互斥.不可能同时发生.A ∩B A ∩B =6）若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件.A ∩B A ∪B 有且仅有一个发生.任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．3.2 古典概型基本概念：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；基本事件有如下特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.⑵古典概型的特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
(完整版)新课标高中数学必修三《概率》知识点(最新整理)
高中数学必修3（新课标）第三章 概 率（知识点）3.1 随机事件的概率及性质1、基本概念：（1）必然事件：一般地，在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件；（5）确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母表示A 、B 、C……表示.（6）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=为事件A n n A 出现的频率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（7）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，nn A 这种摆动幅度越来越小，接近某个常数。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率（8）任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，它度量该事件发生的的可能性.2 概率的基本性质1）一般地、对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作 不可能事件记作Ø，B ⊇A (或A ⊆B ).任何事件都包含不可能事件.2）如果事件C 1发生，那么事件D 1一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作C 1=D 1.一般地，若，且，那么称事件A 与事件B 相等，记作A=B.B ⊇A A ⊇B 3）若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 或事件B 的并事件（或和事件），记作(或A+B).A ∪B 4）若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作(或AB).A ∩B 5）若为不可能事件（Ø），那么称事件A 与事件B 互斥.不可能同时发生.A ∩B A ∩B =6）若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件.A ∩B A ∪B 有且仅有一个发生.任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．3.2 古典概型基本概念：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；基本事件有如下特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.⑵古典概型的特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
高中数学必修三第12章-概率初步-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学必修3-第12章：概率初步-知识点
1、①概率：事件发生的 可能性大小 ；②随机现象：具有 不确定性 的现象；③随机试验：可随意重复 的实验。
2、样本空间：一个随机实验中所有可能出现的结果 所组成的集合 ，用Ω 表示。
其中的元素称为 基本事件 或者 样本点 ，事件是样本空间的 子集 。
3、常见的三种事件：①必然发生的 必然 事件，②必然不发生的不可能 事件，③可能发生也可能不发生的 不确定 事件，也叫 随机 事件。
4、古典概率模型：①包含 有限个 基本事件，②每一个事件的发生都 等可能 。
古典概率中，随机事件A 发生的概率P （A ）= 总个数样本空间中基本事件的中的基本事件个数
事件A 。
5、事件的相互关系：若事件A 发生，事件B 必发生，则A 是B 的子集 ，表示为
6
7
8
9
10
11
件是否相互独立。
12。
人教版高三数学复习必修三知识点：数学概率
1、基本概念：(1)必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對於條件S的必然事件;(2)不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫相對於條件S 的不可能事件;(3)確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對於條件S的確定事件;(4)隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對於條件S的隨機事件;(5)頻數與頻率：在相同的條件S下重複n次試驗，觀察某一事件A 是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數;稱事件A出現的比例fn(A)=為事件A出現的概率：對於給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P(A)，稱為事件A的概率。
(6)頻率與概率的區別與聯繫：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數nA與試驗總次數n的比值，它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。
我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。
頻率在大量重複試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3概率的基本性質1、基本概念：(1)事件的包含、並事件、交事件、相等事件(2)若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那麼稱事件A與事件B互斥;(3)若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那麼稱事件A與事件B互為對立事件;(4)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B);若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，於是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性質：1)必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1;2)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B);3)若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，於是有P(A)=1—P(B);4)互斥事件與對立事件的區別與聯繫，互斥事件是指事件A與事件B 在一次試驗中不會同時發生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發生且事件B不發生;(2)事件A不發生且事件B發生;(3)事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形;(1)事件A發生B不發生;(2)事件B發生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。
概率单元复习1__课件全集(人教A必修三)
9.几何概型 每个事件发生的概率只与构成该事
件区域的长度（面积或体积）成比例.
10.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P（A）=
试验的全部结果所构成的区域长度 （面积或体积）
古典概型
几何概型
基本事件 的个数
基本事件 的可能性
有限个 相等
A包含基本事件的个数
概率公式
P(A)=
基本事件的总数
4.事件的关系与运算 （1）包含事件：如果当事件A发生时， 事件B一定发生，则 B Ê A（或 A Í B ）.
（2）相等事件：若 B Ê A ，且 A Ê B ， 则A=B.
（3）并事件（和事件）：当且仅当事件 A发生或事件B发生时，事件C发生，则 C=A∪B（或A+B）.
（4）交事件（积事件）：当且仅当事件 A发生且事件B发生时，事件C发生，则 C=A∩B（或AB）.
第三章 概率 单元复习
知识结构
随机事件 频率
概率的意义与性质
古典概型
概
率
的
几何概型
实 际
应
用
随机数与随机模拟
知识梳理
1.事件的有关概念
（1）必然事件：在条件S下，一定会发 生的事件.
（2）不可能事件：在条件S下，一定不 会发生的事件.
（3）随机事件：在条件S下，可能发生 也可能不发生的事件.
2.事件A出现的频率
4
变式：在面积为S的 △ABC内任选一点P，
则 △PBC的面积小于S/2 的概率是 _______.
练习（1某）射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的 概率是0.19，不够8环的概率0.29，计算这个射手在一次 射击中命中9环或10环的概率
人教B版高中数学必修三课件：模块复习课3 概率
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变式训练2有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在 这四人均未留意,在四个席位上随便坐下时求:
(1)这四人恰好都坐在自己的席位上的概率; (2)这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率; (3)这四人恰有1位坐在自己的席位上的概率.
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即 S1+S3+S2+S3=πa2.② 由①-②得 S3=S4.
又由图可知 S3=S 扇形 EOD+S 扇形 COD-S 正方形 OEDC=12πa2-a2,
∴S 阴影=πa2-2a2.
故由几何概型概率公式可得, 所求概率 P=������扇������阴 形影������������������ = π������π2���-���22������2=1-π2,故选 A.
(5)由(4)的分析知,事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能, 事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.
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反思感悟1.互斥事件与对立事件的联系与区别: (1)不可能同时发生的两个事件称为互斥事件. (2)对立事件则要同时满足两个条件:一是不可能同时发生;二是 必有一个发生. (3)在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一 个发生,而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生. (4)对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件. 2.互斥事件与对立事件的概率计算: (1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
是(500-x)m,则该物品能被找到的概率为550000-������,所以有550000-������ = 45,解得 x=100.
高中数学教案之必修三：第3章概率复习与小结
教学目标：通过复习，使学生在具体情景中：1．了解概率的某些基本性质和简单的概率模型；2．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性；3．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；4．能运用实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率；5．培养学生的理性思维能力和辩证思维能力，增强学生的辩证唯物主义世界观．教学重点：求解一些简单古典概型、几何概型．教学难点：古典概型、几何概型的对比．教学方法：谈话、启发式．三、建构数学随机事件注意点：1．要搞清楚什么是随机事件的条件和结果．2．事件的结果是相应于“一定条件”而言的．因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果．3．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性．概率注意点：（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件 A 的概率；（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此0 P A 1．四、数学运用（一）随机现象例1 指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？（1）若a，b，c都是实数，则 a bc ab c ；（2）没有空气，动物也能生存下去；（3）在标准大气压下，水在温度90 c 时沸腾；（4）直线y k x 1 过定点1,0 ；（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1 个球则为白球．（二）古典概型与几何概型的对比．古典概型的概率公式：P( A) 事件A 所包含的基本事件的个基本事件的总数数＝nAn几何概型的概率公式P( A)构成事件A的区域长度（面积或体积等）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积等）相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．例2 掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率．分析：先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间Ω和掷得偶数点事件A，再确定样本空间元素的个数n，和事件 A 的元素个数m．最后利用公式即可．解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}∴n＝6而掷得偶数点事件A＝{2，4，6}∴m＝3∴P(A) ＝3612点评枚举法是计算古典概型中事件的重要方法，同时也要能熟练地运用图表法和树形图对某些等可能事件进行列举，教材例 3 的图表法采用坐标系的形式，横、纵轴分别表示第一、二次抛掷后向上的点数，此表能清楚直观地表现出各种情况，树形图对于元素不多而又易于分类的计数问题很有效，例4中画出了三“树”，其实只要画出一个树即可推知其余两个树的情况．例3如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)．（1）求点P到原点距离小于1的概率；（2）求以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率．解析（1）所有的点P构成正方形区域D，若点P到原点距离小于1，0<x<1，0<y<1，则2＋y2<1，x所以符合条件的点P构成的区域是圆2＋y2＝1在第一象限所围的平面部分．x∴点P到原点距离小于1的概率为：12 4·π·1π＝．π4 21＝4（2）构成三角形的点P在△ABC内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cosα＝2＋y2－12x＞0，x2＋y2＞1，2＋y2＞1，2xy即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外，∴点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内，∴其概率为：π22 14·1－π2＝．14答：点P到原点距离小于1的概率为π4；以x，y，1为边长能构成锐角三角形π的概率为1－4．（三）互斥事件1．互斥事件概率的理解．（1）互斥事件概率的加法公式，是在事件 A 和事件B 互斥的前提下进行的．事件A，B 互为对立事件的条件是：A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，且有P(A) ＋P(B)＝1．（2）对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件，只有当两个互斥事件中有一个发生时，它才能成为对立事件．（3）从集合的角度来看，若将总体看成全集U，将事件A 看成由A 所含的结果组成的集合，则 A 是U 的子集，这时 A 的对立事件可看成是 A 的补集；判断两个事件是否为对立事件，首先要判断它们是否互斥；其次要确定它们中必定要有一个发生．2．从正面解决问题较困难时，可转换思维视角从其反面考虑，即从事件的对立事件考虑，往往可以降低解题的难度，简化运算．此技巧为“正难则反”策略，此策略在互斥事件的概率中应用相当广泛和频繁，应引起我们足够的重视．例4 一只蚂蚁在边长分别为3，4，5 的三角形ABC 区域内任意爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于 1 的地方的概率是．答：1π12．（四）练习．1．从装有 2 个红球和2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的事件是( )A．至少有 1 个白球和全是白球B．至少有 1 个白球和至少有 1 个红球C．恰有1个白球和恰有 2 个白球D．至少有 1 个红球和全是白球2．如果事件A，B 互斥，那么( ) A．A＋B 是必然事件B． A B 是必然事件C．A与 B 一定互斥D． A 与B 一定不互斥3．下列命题中，真命题的个数是( )①将一枚硬币抛两次，设事件 A 为“两次出现正面”，事件 B 为“只有一次出现反面”，则事件 A 与B 是对立事件；②若事件 A 与B 为对立事件，则事件 A 与B 为互斥事件；③若事件 A 与B 为互斥事件，则事件 A 与B 为对立事件；④若事件 A 与B 为对立事件，则事件A+B 为必然事件．A．1 B． 2 C．3 D．44．甲，乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲，乙两人下成和棋的概率为( ) A．60％B．30％C．10％D．50％5．某射击运动员在一次射击训练中，命中10 环，9 环，8 环，7 环的概率分别为0．21，0．23，0．25，0．28．则这名运动员在一次射击中:命中10 环或9 环的概率是__________，少于7 环的概率是____________．6．在区间上任取一个数，求x<3 或x>6 的概率______．7．有5 张1 角，3 张2 角和2 张5 角的邮票，任取 2 张，求其中两张是同价格的概率___________．9 ．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多在 5 年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21％的进口商品恰好 5 年关税达到要求，18％的进口商品恰好 4 年关税达到要求，其余的进口商品将在 3 年或3 年内达到要求，求进口汽车在不超过 4 年的时间内关税达到要求的概率．10．袋中有2 个伍分硬币，2 个贰分硬币，2 个壹分硬币，从中任取 3 个，求总数超过7 分的概率．11．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过 4 分钟的概率是________．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：指导学生阅读有关资料，了解人类认识随机现象的过程．结合概率的教学，进行偶然性和必然性对立统一观点的教育．让学生感受数学与现实世界的重要联系，崇尚数学的理性精神，逐步形成辨证的思维品质；养成准确、清晰、有条理地表述问题的习惯，提高学生的数学表达和交流的能力；进一步拓宽学生的视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．。
2019年秋高中数学人教版必修三第三章 章末复习课(共39张PPT)
解析：这是一几何概型，所求概率为 1 2A·ABB·A·ADD＝12. 答案：C
归纳升华 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的 认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题 时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见 的几何概型的概率求解方法，主要有下面两种类型： 1．线型几何概型：基本事件受一个连续的变量控制． 2．面积几何概型：基本事件受两个连续的变量控 制．一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐 标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借 助平面区域解决．
解：(1)由茎叶图可知：甲班同学身高集中于 160～179 cm， 而乙班同学身高集中于 170～179 cm.因此乙班平均身高高于 甲班．
(2)－x 甲＝ 158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182
10 ＝170(cm)． 甲班的样本方差 s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163 －170)2＋(168－170)2＋ (168－170)2＋(170－170)2＋(171－ 170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.
专题二 古典概型 古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型 的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题 时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等 可能性． 对于古典概型概率的计算，关键是分清基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ事件个 数 n 与事件 A 中包含的结果数 m，有时需用列举法把基 本事件一一列举出来，再利用公式 P(A)＝mn 求出事件的 概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按 某一顺序做到不重复、不遗漏．
随机抽取 2 名学生的分数 m，n 满足|m－n|≤8 的基 本事件有(94，88)，(94，86)，(88，86)，(88，80)，(86， 80)，(80，77)，共 6 个．
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高一数学089 高一 年级 班 教师 方雄飞 学生
期末复习——必修三 概率
一、知识回顾：
1 事件的定义：
随机事件：_________________________________________事件；
必然事件：_________________________________________事件；
不可能事件：_______________________________________事件;
确定事件：_________________________________________事件.
2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn总是接近某个常
数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作()PA．
3．概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率()fA近似地作为它的概率；
4． 概率的性质：必然事件的概率为___，不可能事件的概率为____，随机事件的概率为____________，
必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
5．互斥事件、对立事件
（1） 互斥事件：.()()().ABABABPABPAPB设、为两个事件，若、不可能同时发生，则、为互斥事件U
（2） 对立事件：事件Ａ和事件B必有一个发生的互斥事件 A、B对立，即事件A、B不可能同时发
生，但A、B中必然有一个发生这时P(A•B)=０, P(A+B)=P（A）+ P(B)＝１ 一般地,APAp1
6．古典概型的两个基本特点是：
（1）____________________________________
（2）____________________________________.
（3） 古典概型计算公式是______________________.
7．几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则
称这样的概率模型为几何概率模型；
（1）几何概型的概率公式：P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A；
（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件
出现的可能性相等．
二、学习过程
(一)典型例题
例1．（1）下列事件中，随机事件的个数是( )
①在学校2010年的田径暨游艺运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在一个标准大气压下，水在4℃时结冰．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排头”
C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
练习1.某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订
一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判
断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C (2)B与E (3)B与D (4)B与C (5)C与E
练习2．如图，A、B、C为某随机试验中的三个事件，它们的对立事件分别为A－、B－、C－，则图
中阴影部分表示的事件可以为________．
例2.一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A为“恰
有一个红球”，事件B为“第3个是红球”．求
(1)不放回时，事件A，B的概率．
(2)每次抽后放回时，A，B的概率．
例3．连续抛掷两颗骰子，设第一颗点数为m，第二颗点数为n，则求
(1)m＋n＝7的概率；
(2)m＝n的概率；
(3)m·n为偶数的概率．
练习3. 今有四张卡片上分别写有“好”、“ 好”、“ 学”、“ 习”四个字，现将其随机排成一行，则恰好排成 “好好学习”的概率是 ． 练习4．某校高一年级要从3名男生a，b，c和2名女生d，e中任选3名代表参加学校的演讲比赛．求： (1) 男生a被选中的概率； (2) 男生a和女生d至少有一人被选中的概率． (3) 男生a或女生d被选中的概率． 例4．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为ba,. （1）求直线05byax与圆122yx相切的概率； （2）将5,,ba的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
练习5：甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻
是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头
空出的概率．
练习6：将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过21的概率