数学建模

数据
30%
代入模型计算可得综合评价值由高到低排序为：万人拥有量比例、里程利用率、出租车 占用路面交通量、出租车空驶率、人均消费水平（乘车） 、等车时长、不同区域出租车 数量。因此可得结论：万人拥有量比例、里程利用率、出租车占用路面交通量、出租车 空驶率合理性较高，可以以此为指标来分析不同时空出租车资源的“供求匹配”问题。 4.2 模型二的建立与求解 4.2.1 模型的建立 我们选取的四个指标为出租车空驶率，出租车占用路面交通量，万人拥有量比例， 里程利用率。为了将四个指标进行糅合，我们采用求平均值的方法得出一个综合指标， 以此来解决出租车供求问题。 首先引用第一个个供求平衡系数，分子为空驶率 e （即出租车的供给量） ，分母为出 租车占用路面交通量 c （即人员需求出租车量） 。空驶率，也就是空驶里程与总行驶里程 的比例，换个角度来讲，便可反映出租车的运营情况，知道运营情况以后便知道了出租 车的供给量。一般情况下，空驶率采用抽样调查的方法在测量出。出租车占用路面交通 量，也可测出，即出租车数量 a 占客运汽车总量的比例。即 ab a 1 a 则供求平衡系数一 f 为： e ea eb f 2 c a 然后，引入另外一个供求平衡系数，出租车的另外两个供求指标，万人拥有量比例 和里程利用率`。这是两个重要因素，一般情况下，万人拥有量比例和里程利用率越高， 出租车需求量越高。我们将二者求平均值。即 1 j (h i ) 3 2 之后，再将两个供求平衡系数再取均值，这样通过两次求均值使得结论更具有可信 度。最终得出综合评价系数 g 。
d1 司机服务态度额外补贴 d 2 乘客乘车时段额外补贴 w1 乘客里程补贴 w2 乘客下单量补贴 w3 司机订单量补贴 F1 乘客补贴总获益 F2 司机补贴总获益
4.模型的建立与求解
4.1 模型一的建立与求解 4.1.1 模型一的建立 我们选取了与出租车资源相关的七个因素，即出租车空驶率、等车时长、不同区域
j 1
k
， 选取 Dk 85% 的特征值
1 , 2 ,..., m (m p) 对应的几பைடு நூலகம்主成分。
（5）解释各主成分所反映的指标含义。 由于主成分是原始变量的线性组合，包含了比原始变量更复杂的内容，因此对 主成分所反映的指标含义作出合乎实际的解释，这样有利于对被评价对象作出合理 的定性分析。 特征向量系数值表明了主成分与原始变量之间的关系，一个主成分在某个变量 上的系数比较大，则说明该主成分主要代表了该变量的信息；系数的符号表明了主 成分与原始变量之间的作用关系， 正号表示主成分与变量作用同向， 负号表示逆向。 （6）计算主成分指标权重 W j 。 把第 m 个主成分特征值的累积贡献率 Dm 定为 1 ，计算出 T1 , T2 ,...., Tm 所对应的新的
5
g
fj 2
4
fj 2 ea eb 1 (h i ) a 2 2 1 ea eb h i ( ) 2 a 2
将以上 1 2 3 4 联合，即
g
5
4.2.2 模型二求解 （1）首先确定地点，不同时间段。 我们收集了 2014 年 05 月 19 日，在北京中关村的某路口，从 13:30 到 20:30 时段 由东向西的汽车行使数目。分别记录了出租车数目和其它载人汽车数目，进而求出出租 车占有路面交通量，即出租车比率。数据在表 2 中（见附录） ，并画出折线图（图 1） 。
（3）求 R jk 矩阵的特征值 k (k 1, 2,..., p) 和特征向量 Lk (k 1, 2,..., p) 。 根据特征方程 R I 0 计算特征值 k ，并列出特征值 k 的特征向量 Lk 。
（4）计算贡献率
Tk
k
j
j 1
p
和累计贡献值 Dk
Tj
, T1, , T2, ,..., Tm 即为主成分指标的权重值。
（7）计算主成分得分矩阵 Yij (i 1, 2,,..., m) 。
4
（8）根据多指标加权综合评价模型 Fi W j .Yij (i 1, 2,..., n; j 1, 2,..., p) 计算综合
j 1
p
评价指标，其中 W j 为第 j 个主成分指标的权重， Yij 表示第 i 个区域单元的第 j 个指 标的单项评价值，此时 W j Tj, ( j 1, 2,..., m) ，Yij (i 1, 2,..., n; j 1, 2,..., m) 即是主成分 得分矩阵。 4.1.2 模型的求解 收集数据如表 1 所示： 因素 空驶率 表 1 因素指标统计表 占 用 路 万 人 拥 里 程 利 等 车 时 区 域 差 人 均 消 面 交 通 有 量 比 用率 长 异 费 水 平 量 例 （乘车） 31% 22% 65% 12 分钟 1.2 元 / 20 元 公里
6
图 2 各比率与系数折线图 如图 2 所示，最上边一条折线为供求平衡系数一，我们发现出租车利用率和空驶率 都对供求平衡有着严重影响。也可以发现其走势与这两个指标走势相差不太大。 下面我们计算供求平衡系数二，以上数据均在北京测出。我们分别统计五个地区出 租车的万人拥有量比例和里程利用率（表 3） 。 表 3 万人拥有量比例和里程利用率统计表 地区 北京 郑州 上海 南京 杭州 人均拥有率（乘 100） 0.34 0.14 0.22 0.23 0.19 里程利用 率 0.68 0.75 0.62 0.65 0.69 供求平衡系数 2 0.51 0.445 0.42 0.44 0.44
关键词：加权平均 综合供求平衡系数 层次分析法 补贴方案
1
1.问题重述
社会飞速发展，出租车成为市民出行的首选交通工具，同时也出现了“打车难”的 现象。 “互联网+出租车”是多家公司利用移动互联网建立的新颖打车形式，并出台了许 多“打车”的补贴方案，且打车软件的使用也拉进了乘客与出租车司机的距离。 我们搜集了一些相关数据，建立数学模型研究如下问题： (1) 建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。 (2) 分析各公司的出租车补贴方案是否能缓解打车难。 (3) 创建一个新的打车软件服务平台，设计合理的补贴方案，并论证其合理性。
3
出租车数量、出租车占用路面交通量、人均消费水平（乘车） 、万人拥有量比例、里程 利用率进行分析，通过采用主层次分析的方法，建立了综合评价模型，对结果进行合理 性检验得到了出租车空驶率，出租车占用路面交通量，万人拥有量比例，里程利用率这 四个指标， 故将之作为评判出租车资源供求匹配的合理指标。 为了将四个指标进行糅合， 我们采用求平均值的方法得出一个综合指标，以此来解决出租车供求问题。 采取主层次分析法其原理和步骤如下（参考文献 2） ： （1）建立 n 个区域 p 个指标的原始数据矩阵 M ij (i 1, 2,..., n; j 1, 2,..., p ) ， 并对其进
, 矩阵。 行无量纲化或标准化处理，一般采用 Z score 法无量纲化，得到 M ij
对正指标有： Zij
( X ij X J ) SJ
, Sj

i 1
n
( X ij X j ) 2 n
（2）计算指标的相关系数矩阵 R jk 。
1 n ( X ij X j ) ( X ik X k ) 1 n R jk . Zij .Zik ，且有 Rij 1, R jk Rkj 。 n i 1 Sj Sk n i 1
“互联网 +”时代的出租车资源配置
摘要
本文主要讨论出租车的供求匹配问题以及对打车软件的定量评估问题。我们立足于 对出租车有关数据的准确调查，分别建立了 2 个初等模型和 1 个综合评价模型。 针对问题一，我们选取了与出租车资源相关的七个因素，即出租车空驶率、等车时 长、不同区域出租车数量、出租车占用路面交通量、人均消费水平（乘车） 、万人拥有 量比例、里程利用率 进行分析，通过采用主层次分析的方法，建立了综合评价模型， 对结果进行合理性检验得到了出租车空驶率， 出租车占用路面交通量， 万人拥有量比例， 里程利用率这四个指标，故将之作为评判出租车资源供求匹配的合理指标。结合实际生 活，从时间和空间两方面考虑，建立初等模型，列出表达式，分别求出 2 个供求平衡系 数，再采用加权取均值的方法，求出最终的综合供求平衡系数。从而发现，出租车在大 多数地区及各高峰期时间段内供给量远少于乘客的需求量。 针对问题二，我们引入层次分析法，首先，选择了“滴滴打车”和“快的打车”两 家软件公司的补贴方案，以及传统出租车无补贴的方案作为方案层；接着，建立了司机 利益、里程、等待时长、客运量、乘客利益五个准则，以“缓解打车难”为目标，建立 综合评价模型，对 2 个软件公司的补贴方案进行了综合评价，得出了滴滴打车公司和快 的打车公司的补贴方案在一定程度上可以缓解“打车难”的结论，且在许多指标中强于 传统无补贴方案。 针对问题三，在各公司推出的补贴方案不够完善的情况下，我们根据收集到的一些 数据，从司机服务态度、里程补贴、乘客下单量、乘车时段、司机订单量补贴这些角度 入手，利用线性组合的方法，设计了一些新的方案，并建立初等模型对所设计方案进行 合理性的检验，表明了设计的新方案给市民带来经济效益和生活便利，同时推广了打车 软件，缓解“打车难”的问题和交通压力。
3.模型假设与符号说明
3.1 模型假设 1.假设出租车数量不受交通事故，恶劣天气等突发状况的影响。 2.假设出租车不受城市经济发展水平，城市自然地理环境的影响。 3.假设出租车不受驾驶员行为， 出租车车价， 出租车车辆性能， 交通部门管制的影响。 4.假设收集的数据及选取的样本具有一定的准确性和代表性。 3.2 符号说明
图 1 北京地区不同时间段出租车比率折线图 从表 2 和图 1 可以看出， 前面三个时间段， 出租车和其它客运汽车数目都相对稳定， 且出租车比率大约在百分之三十左右。从而得出，路面交通拥堵程度适中。在之后的三 个时间段，16:30 到 19：30，各载客汽车数量明显减少，则交通拥挤度明显增加，交通 处于高峰期。这是明显的 U 型变化趋势。同理，可判断出在最后的一个时间段道路交通 拥挤度减少。 从上可以看出，出租车占用路面交通量与道路拥堵程度密切相关，也从侧面反映了 人们需求量大，这与以上分析结果一致，验证了准确性。 对于空驶率，我们也在此路口观察了空车数目。绘制了以下折线图（图 2） ，也与 出租车比率相比较。