(完整版)等差、等比数列公式总结

一、等差数列

1.定义：)(1常数d a a n n =-+

2.通项公式：d n a )1(a 1n -+=

3。变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --=

4。前n 项和:2)(1n a a S n n +=

或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5。几何意义:

①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2

(212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6。}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-⇔+=

⇔+=⇔+=⇔++-11122 7。性质

① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+

② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+

③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a

④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差

⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则

n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-=

-n S a n n 二、等比数列

1。定义：常数）(a 1q a n

n =+ 2。通项公式：11a -=n n q a

3。变式： m n m n q a -=a m n m

n q a a -=

4. ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1( 1)1()1( 11q q

q a q na S n n 前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q

q a S n n --=11()

1 )1(≠q 5。变式：m n

m n q

q S S --=11 )1(≠q 6。性质：

① r p n m +=+则 r p n m a a a a ⋅=⋅

② p n m 2=+ 则 2

p n m a a a =⋅

③ =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a

④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比

⑤ }{n a 等比,有12+n 项

偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a

三、等差与等比的类比

{}n a 等差

{}n b 等差 和

积 差

商 系数

指数 “0”

“1”

四、数列求和

1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可

或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和：前如求n n n )}1({+

)2)(1(3

1 )1(21)12)(1(61 )321()321( )

()22()11(]

)1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n

2．裂项相消法．

).11(11}{1 1

11+++-=⋅⋅n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通

从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分常见的拆项方法有： ).2()7(!)!1(!)6()5()(11)4(])

2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3()1

21121(21)12)(12(1)2(1

11)1(1)

1(111≥-=-+=⋅-=--=+++-+=+++--=+-+-=+-+-n S S a n n n n C C C b a b a b

a n n n n n n n n n n n n n n n n n n m n m n m n ；

；

；；；； 3。错位相减法．

列的求和．

数列对应项相乘所得数列和一个等比可解决形如一个等差数的推导方法求解，一般利用等比数列求和公式 项和公式的推导：前如：等比数列n a n }{

11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S .)1(11)1()1( 111⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=⇒q q q a a q

q a q na n n