初三数学重难点专题复习：矩形折叠问题的常用解题方法
初三数学中考专题复习课件：矩形中的折叠问题
折叠后面积的求解
折叠后，矩形的面积可能 发生变化，需要求解新的 面积。
折叠问题的解题思路与技巧
分析图形特点
分析题目中给出的图形特点，确定折叠轴和 关键点。
利用勾股定理和三角函数
在解题过程中，可以利用勾股定理和三角函 数等数学知识进行计算。
建立数学模型
根据题目要求，建立相应的数学模型，如角 度、边长、面积等。
矩形的性质
对角都是直角
矩形的每个角都是直角，即90度。
对边平行且相等
矩形的两组对边平行且长度相等。
矩形的判定方法
01
02
03
定义法
根据矩形的定义，有一个 角是直角的平行四边形是 矩形。
对角线判定法
如果平行四边形的对角线 相等且互相平分，则它是 矩形。
技巧。
THANKS
感谢观看
GH的长为 _______．
02
答案
$frac{5}{2}$
03
练习题二
在矩形ABCD中，AB=4， BC=5，将矩形折叠，使点A 与点C重合，折痕为EF，则
△DEF的面积为 _______．
04
答案
$10$
05
总结与反思
本节课的重点与难点
重点
掌握矩形折叠问题的基本解题思路和方法，理解折叠前后图形的对应关系。
模拟试题解析
模拟题一
在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，将 矩形折叠，使点B与点D重合，折痕 为EF，则△DEF的面积为 _______．
模拟题二
在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将 矩形折叠，使点A与点C重合，折痕为 EF，则△DEF的周长为 _______．
练习题与答案
01
中考专题复习矩形折叠问题_2022年学习资料
思考题-A E-D-如图，把一张边长为4的正方形的纸-进行折叠，使B点落在AD上，问B点-G-M-落在AD 什么位置时，折起的面积-N-最小，并求出这最小值。
全等性-相等的边-本质-轴对称-相等的角-对称性-对称轴的-垂直平分-希-折叠问题-利用0-线段长面积-数 思想-方程思想-利用Rt△
二、在“位置”方面的应用-点的位置的确定-已知：如图，矩形AOBC,I-以O为坐标原-点，OB、OA分别在 轴、y轴上，点A坐标为-0,3,∠OAB=60°，-使C点落在D点处，-求D点坐标.
如图，将长8cm,宽-试一试-4cm的矩形纸片ABCD折-叠，使点A与C重合，则-折痕EF的长为-cm.知道△CEF的面积-CA-是多少吗？
3、求图形的面积-如图，矩形纸片ABCD中，AB=8,将纸片折-叠，使顶点B落在边AD上的E点，折痕的一端 G点在边BC上，BG=10,当折痕的另一端F在-AB边上时，试求△EFG的面积。-在矩形的折叠中，产生-了 仙因形，从而通过-有吴成比例线良来做计-算，也是在矩形折叠问-题中常见的美型之一。-同学的定予以关注1
相信你，一定行-在矩形折叠问-如图，a是长方形纸带，将纸-题中往往需要-将折叠后的图-图b,如果∠GEF0°，那么-形还原，然后-找到相等的量-A-进行计算。-B-图a-图c-如果再沿BF折叠成图c,则图c中的 CFE的-度数是120°
如图求线馨踉芳席的一边AD,点D落在BC边-的点F处，已知AB=8cm,AD=10cm3则-EC=--cm -在矩形折叠中，求线段的长度-时，往往利用轴对称转化为相-等的线段，然件集中到一Rt△中，-根据勾股定理得方程
直击中考-已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3.分别以-OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示 平-面直角坐标系.F是边BC上的一个动点（不与B,C-重合，过F点的反比例函数y二-k>0的图象-与AC边 于点E.连接AB。-请探索：1，的值是否为定值-2、是否存在这样的点-F,使得将△CEF沿EF对折-后，C 恰好落在OB上？-若存在，求出点F的坐标；-若不存在，请说明理由.-第24题
矩形折叠问题知识点总结
矩形折叠问题知识点总结1. 问题概述矩形折叠问题的基本情境是，给定一个长方形纸张，要求将其折叠成一个给定形状，通常是通过将纸张折叠后在两个边缘进行切割。
这个问题最早可以追溯到19世纪，由著名的数学家亨利·杜迪尼（Henri Dudeney）提出。
在这个问题中，关键点在于如何找到最优的折叠方法，使得得到的形状与目标形状最接近。
2. 解决方法矩形折叠问题涉及到了几何学、数学分析、最优化等多个学科知识，因此解决这个问题需要综合运用多种方法。
下面我将介绍一些常见的解决方法。
（1）分割法分割法是解决矩形折叠问题的一种常见方法。
首先将目标形状细分成若干个小矩形，然后将原始的长方形纸张按照这些小矩形进行折叠，最后再将边缘上多余的部分切掉，就可以得到最终的形状。
这种方法的关键在于如何将目标形状进行合理的分割，找到合适的折叠点和切割线。
（2）几何分析法几何分析法是另一种解决矩形折叠问题的常见方法。
通过对目标形状的几何特征进行分析，可以找到最优的折叠方法。
这种方法通常需要借助于数学工具，例如微积分、线性代数等，对目标形状进行数学建模，然后通过求解最优化问题，得到最佳的折叠方案。
（3）仿射变换法仿射变换法是一种比较高级的解决方法，它利用了几何变换的性质，将目标形状通过仿射变换映射成一个简单的形状，然后再将纸张按照这个简单的形状进行折叠，最后再通过逆变换将折叠后的纸张映射回原来的形状。
这种方法需要较强的数学功底和熟练的计算能力，但是可以得到非常优美的折叠结果。
3. 相关知识点解决矩形折叠问题需要涉及到很多相关的数学知识点，下面我将逐一介绍这些知识点。
（1）几何形状矩形折叠问题本质上是一个关于几何形状的问题，因此需要熟悉各种几何形状的性质，包括面积、周长、对称性等方面的知识。
在解决矩形折叠问题时，需要对目标形状进行合理的分割和组合，这就需要对几何形状的特征有深入的了解。
（2）数学分析数学分析是解决矩形折叠问题的重要数学工具，通过对目标形状进行数学建模，并利用微积分、线性代数等数学工具，可以求解最优的折叠方案。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的问题类型，涉及到几何和代数等多个方面，具有一定的挑战性和趣味性。
下面是一些折叠问题的解题技巧:
1. 观察折叠过程，提取关键信息。
在折叠问题中，通常会涉及到两个或多个图形的折叠，需要观察折叠过程，并提取关键信息。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，关键信息可能是矩形的长和宽，或者是正方形的边长。
2. 利用几何图形的性质，进行推理和计算。
折叠问题通常涉及到几何图形的性质，例如面积、周长、角等。
在解决问题时，需要利用这些性质进行推理和计算。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，进而计算出折叠后的形状。
3. 利用代数知识，进行化简和求解。
折叠问题还可以利用代数知识进行化简和求解。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，并将它们用代数式表示出来。
然后，通过解方程组或代数式的方法求解答案。
4. 寻找规律，构建模型。
有些折叠问题可以通过寻找规律，构建模型来解决。
例如，在将一个正多边形折叠成平面图形的过程中，可以尝试利用正多边形的边数来构建模型。
通过模型，可以更好地理解和解决问题。
折叠问题是初中数学中的一种重要问题类型，需要学生掌握一定
的几何和代数知识，并学会利用这些知识进行推理和计算。
同时，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，才能有效地解决折叠问题。
中考数学专题复习矩形折叠问题完整版
中考数学专题复习矩形折叠问题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】中考数学专题复习16——矩形折叠问来源：【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】 2012年05月18日2012中考数学专题复习16矩形折叠问题一.知识要点折叠问题实质是轴对称问题，其主要特征有：1．图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等。
2．点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。
问题化归：1．直角三角形的三边关系（勾股定理）2．图形（三角形或四边形）的面积3．相似三角形的对应边成比例。
由以上等量关系得出方程解决问题。
二.例题精选例1．在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将图形沿着AE对折，使得D点落在BC边上的F处，试求EC的长.思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出其他线段长度）例2．在长方形ABCD中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC对折，如图所示：（1）请说明△ABF△CFF （2）求思路分析：在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了.例3. 在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，将图形沿着EF对折，使得B点与D点重合。
（1）说明DE=DF（2）求（3）求EF的长度思路分析：（1）要说明DE=DF，有两种思路：①可说明全等；②可说明△DEF是等腰三角形，DE、DF是两腰所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰例4 如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B 落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．(1)如图②，若M为AD边的中点，①,△AEM的周长=_____cm；②求证：EP=AE+DP；(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．思路分析：（1）①设AE=x，由折叠的性质可知EM=BE=12-x，在Rt△AEM中，运用勾股定理求AE；②过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接BM，根据折叠的性质得点B和点M关于EF对称，即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求EF的问题转化为求BM；（2）设AE=x，AM=y，则BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长．三.能力训练1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.A．2＋ B．2＋2 C．12 D．182. 如图，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．13.如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于（）（A）144° （B）126° （C）108° （D）72°4.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合点为A＇，则△A＇BG的面积与该矩形的面积比为（）A． B． C． D．第4题图第5题图5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，则AM的长是（）A． B．2 C． D．6. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm7. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8. 小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．9.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm.10.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.思维拓展：1. 如图，折叠矩形的一边AD，折痕为AE，点E在边CD上，折叠后点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求AE的长.2.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕,且，求直线CE与x轴交点P的坐标；3.已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
2024专题2.3(2)矩形的折叠问题-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
2
1
【分析】过F点作MN∥BC分别交AB、CD于M、N两点. ∴tan∠BAF= 2
M E
设FM=x,则AM=2x,BM=4-2x.
D
C
在Rt△BMF中：x2+(4-2x)2=( 5)2，
解得：x1=1,x2= 11(舍),
2 3
D,则CD的长为_____.
2.如图,边长为 的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿
2-1
直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M.则OM=_____.
A
D
E
D
C
1
G
O
4
2-1 2-1
2
H
E
4
M
F
B
C
B
A
F
矩形折叠
强化训练
提升能力
3.如图,将矩形ABCD的四个角向内翻折后,恰好拼成一个无缝隙无重叠的
【分析】找出图中隐藏的特殊角.由题意可得：
∠DAM=∠MAN=∠NAB=30º
A
30º
30º
30º
N
∵AD=3, ∴DM= 3 ,AM= 2 3.
对称的图形中可能会有特殊角，而此时特殊角带来的不仅仅
是其本身，也可能会连带其他角也变成特殊角.
B
典例精讲
矩形的折叠与相似三角形
考点5-2
【例2】如图,将面积为32 的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点为
A.7+3
B.7+4
C.8+3
D.8+4
中考数学专题复习：矩形的折叠问题
基本模型折叠的本质是轴对称，矩形折叠后会形成具有轴对称关系的全等图形，边角关系还会发生重组，生成等腰三角形和直角三角形. 对于折叠的矩形，根据折痕或翻折后 对应点的位置进行分类，通常有如下四种基本模型.模型1：如图1，折痕是矩形的对角线AC . 模型2：如图2，点C 的对应点C '落在矩形的边上. 模型3：如图3，点C 的对应点C '落在矩形的对角线BD 上. 模型4：如图4，点C 的对应点与矩形的顶点A 重合.其他矩形折叠后的图形可以看成是由这四种基本模型变式而成的.在这四种基本模型中，依次对应着图5中的四个基本图形，都是等腰三角形和直角三角形相邻.结合矩形、等腰三角形、直角三角形、全等三角形、轴对称等知识，矩形的折叠问题可迎刃而解.模型应用例1如图6，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 上的点F 处，若AE =5，FB =3，求：（1）CD 的长；（2）AD 的长.解析：（1）由折叠可知△FED ≌△AED ，则EF =AE =5，图1AB CDEB'图2图3图4C'D ECBADC'CEAB D'DCEABF图5BA图6FCBE A DDF =AD .在Rt△BEF 中，可得BE =EF 2-BF 2=52-32=4，易得CD =AB =9.（2）设AD 的长为x ，由（1）可知，BC =DF =AD =x ，则CF =x -3.在Rt△CDF 中，根据勾股定理可得DF 2=CD 2+CF 2，即x 2=92+(x -3)2，解得x =15.因此，AD 的长为15.例2如图7，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在同一平面内的点E 处，BE 与AD 交于点F ，再将△DEF 沿DF 折叠，点E 落到了点G 处，若DG 平分∠BDA ，求∠BDC 的度数.解析：由折叠可知△EBD ≌△CBD ，△GFD ≌△EFD ，则∠EBD =∠CBD ，∠FDG =∠FDE .由DG 平分∠BDA ，可证∠FDG =∠BDG =∠FDE ，易证∠FDB =∠FBD .设∠EDF =x °，则∠FDG =∠BDG =∠EDF =x °，∠EBD =∠FDB =2x °，∠EDB =3x °.由∠FBD +∠BDE =90°，可得2x °+3x °=90°，解得x =18，则∠BDC =∠BDE =3×18°=54°.分层作业难度系数：★★★解题时间：6分钟如图8，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点P 是CD 上一点，将△PBC 沿BP 折叠得到△PBC '，BC'交AD 于点M ，PC '交AD 于点N ，若NC '=ND ，求BP 的长.（答案见本页）图7EDCBA F G图8DP NCBAM C'参考答案35。
中考专题复习矩形折叠问题
中考专题复习矩形折叠问题矩形折叠问题是中考数学中的一个经典题型，要求考生在给定条件下进行折纸后，求出折纸后的面积或者边长等相关问题。
本文将对中考专题复习矩形折叠问题进行详细介绍和分析。
1. 矩形折叠问题简介矩形折叠问题是指将一个完整的矩形纸张按照规定方式进行折叠后，求折叠后的形状和相关属性的问题。
常见的矩形折叠问题包括求折叠后的面积、边长、对角线长度等。
这些问题需要考生设计折纸方式，并利用数学知识进行求解。
矩形折叠问题考察了考生的空间想象能力、几何思维和数学推理能力。
2. 矩形折叠问题的解题步骤矩形折叠问题的解题步骤一般包括以下几步：（1）明确问题：理解题目描述，明确所求的目标。
（2）分析折叠方式：根据题目要求，分析如何将矩形纸张折叠，确定折叠方式，可以画图帮助理解。
（3）建立模型：将折纸过程进行数学建模，标记各个关键点、线段等，建立相应的几何关系。
（4）求解问题：根据已建立的模型，应用数学知识或者几何关系，求解问题，得到所需的结果。
（5）检查答案：将得到的结果与题目要求进行对照，检查是否满足条件。
3. 矩形折叠问题的例题及解析例题1：将一块长20cm、宽10cm的矩形纸张沿中线对折，然后再折叠形成一个三角形后，求该三角形的面积。
解析：首先，将矩形纸张沿中线对折，得到两个相等的长方形，其长为10cm，宽为20cm/2=10cm。
然后将其中一个长方形按对角线进行折叠，即可形成一个三角形。
由于对折前的长方形和对折后的三角形是全等的，所以该三角形的底边长为10cm，高为10cm，因此三角形的面积为（10cm×10cm）/2=50cm²。
例题2：将一块矩形纸张按照下图所示方式进行折叠，求折叠后形成的矩形的面积。
解析：根据题目给出的折叠图形，我们可以看到折叠后的矩形纸张的高等于原矩形纸张的宽，宽等于原矩形纸张的长减去原矩形纸张的宽。
因此，折叠后形成的矩形的面积为（20cm-10cm）×10cm=100cm²。
矩形折叠问题的几种解决方法
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３２数学学习与研究㊀２０２０ １９矩形折叠问题的几种解决方法矩形折叠问题的几种解决方法Һ王帅兵㊀（郑州市孜文教育信息咨询有限公司，河南㊀郑州㊀４５００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ作为中考数学的常见题型，矩形折叠问题以综合性㊁动态性㊁灵活性㊁构造性等特点，成为中考数学教与学中的重难点．本文将结合具体试题，从基本性质㊁背景研究和数形结合等方面，探究该类问题的解决方法．ʌ关键词ɔ折叠问题；基本性质；背景研究；坐标系折叠是一种全等变换，变换之后，形成了一个轴对称图形，对应边相等，对应角相等，对应点的连线被对称轴垂直平分，这是翻折后图形的基本性质．在中考中，考查较多的是基本证明问题㊁角度计算问题㊁动态问题㊁存在问题等．我们解决这类问题时，首先要研究背景，对题目灵活分析，把握题目实质，再画图㊁计算．本文主要解决折叠产生的计算问题．一㊁研究背景图形，分析转化后直接解题研究背景图形，指的是对给出的图形的边长㊁角度等的基本计算，以及翻折前后产生的对应关系．在此基础上，我们进行分析转化和解答．下面我们来看两个例题．例１㊀（２０１８㊃资阳）如图１，将矩形ＡＢＣＤ的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形ＥＦＧＨ，ＥＨ＝１２厘米，ＥＦ＝１６厘米，则边ＡＤ的长是（㊀㊀）．图１Ａ．１２厘米㊀㊀㊀㊀Ｂ．１６厘米Ｃ．２０厘米Ｄ．２８厘米解析㊀由折叠是全等变换可得әＡＥＨɸәＭＥＨ，әＦＢＥɸәＦＭＥ，由对应角相等可得øＡＥＨ＝øＭＥＨ，øＦＥＢ＝øＦＥＭ，ȵøＡＥＨ＋øＭＥＨ＋øＦＥＢ＋øＦＥＭ＝１８０ʎ，ʑøＨＥＭ＋øＦＥＭ＝９０ʎ，即øＨＥＦ＝９０ʎ；同理可得øＥＦＧ＝øＦＧＨ＝øＧＨＥ＝９０ʎ，ʑ四边形ＥＦＧＨ为矩形，则ＨＧ＝ＥＦ，ＨＧʊＥＦ，ʑøＧＨＦ＝øＥＦＭ，ȵøＧＨＦ＝øＤＨＧ，ʑøＤＨＧ＝øＭＦＥ；在әＤＨＧ与әＭＦＥ中，ȵøＤＨＧ＝øＭＦＥ，øＤ＝øＥＭＦ＝９０ʎ，ＨＧ＝ＦＥ，ʑәＤＨＧɸәＭＦＥ，ʑＨＤ＝ＦＭ，ȵＡＨ＝ＭＨ，ʑＡＤ＝ＡＨ＋ＤＨ＝ＭＨ＋ＭＦ＝ＨＦ，在ＲｔәＨＥＦ中，ＨＦ＝ＨＥ２＋ＥＦ２＝１２２＋１６２＝２０厘米，ʑＡＤ＝２０厘米，故选Ｃ．例２㊀如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝３，Ｍ是ＣＤ上的一点，将әＡＤＭ沿直线ＡＭ对折得到әＡＮＭ，若ＡＮ平分øＭＡＢ，则折痕ＡＭ的长为．图２㊀㊀㊀图３解析㊀如图３所示，过点Ｎ作ＮＥʅＡＢ于点Ｅ．由翻折前后对应角相等可得øＡＤＭ＝øＡＮＭ＝９０ʎ，øＤＡＭ＝øＮＡＭ；由ＡＮ平分øＭＡＢ可得øＢＡＮ＝øＮＡＭ；则øＤＡＭ＝øＮＡＭ＝øＮＡＢ；由øＤＡＢ＝９０ʎ可得øＤＡＭ＝øＮＡＭ＝øＮＡＢ＝３０ʎ．由翻折前后对应边相等可得ＡＤ＝ＡＮ＝３．在әＡＮＭ中可得ｃｏｓøＭＡＮ＝ｃｏｓ３０ʎ＝ＡＮＡＭ＝３２，可得３ＡＭ＝３２，可得ＡＭ＝２３．如上所示，对于例１和例２的求解，我们解决问题的方法并不涉及特别的技巧，只是对折叠前后产生的图形进行了基础研究和计算．二㊁把握动态特征，先画图，再计算把握动态特征，需要我们根据图形折叠的基本趋势，找出折叠后对应点的落点范围，依据其基本特征构图．在此基础上，我们进行分类和求解．下面我们来看两个例题．例３㊀（２０１９㊃河南）如图４，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＢＣ＝ａ，点Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＥ＝３５ａ，连接ＡＥ，将әＡＢＥ沿ＡＥ折叠，若点Ｂ的对应点Ｂᶄ落在矩形ＡＢＣＤ的边上，则ａ的值为．图４㊀㊀㊀图５解析㊀翻折后，点Ｂ与点Ｂᶄ对应，ＡＢ＝ＡＢᶄ，点Ｂᶄ在以Ａ为圆心，以ＡＢ长为半径的圆上．如图５，作出这个圆，可以得到该圆与边ＡＤ的一个交点；移动边ＣＤ，当边ＣＤ经过点Ｂᶄ时，可以得到第二种情形．画出图，分别为图５和图７．（１）如图６，此时点Ｂᶄ在边ＡＤ上．ȵәＡＢᶄＥ由әＡＢＥ翻折得到，ʑәＡＢᶄＥɸәＡＢＥ，分析可得四边形ＡＢＥＢᶄ为正方㊀㊀㊀解题技巧与方法１３３㊀数学学习与研究㊀２０２０ １９形，ＡＢ＝ＢＥ，即３５ａ＝１，ａ＝５３．图６㊀㊀㊀㊀图７（２）如图７，此时点Ｂᶄ在边ＣＤ上．ȵәＡＢᶄＥ由әＡＢＥ翻折得到，ʑәＡＢᶄＥɸәＡＢＥ，ʑＢＥ＝ＢᶄＥ＝３５ａ，ȵＢＣ＝ａ，ʑＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝２５ａ，ʑＥＣＥＢᶄ＝２５ａ３５ａ＝２３；ȵәＡＢᶄＥɸәＡＢＥ，ʑøＡＢᶄＥ＝øＡＢＥ＝９０ʎ，在矩形ＡＢＣＤ中，øＥＢᶄＣ＝øＢᶄＡＤ，øＣ＝øＤ＝９０ʎ，ʑәＥＣＢᶄʐәＢᶄＤＡ，ʑＥＣＥＢᶄ＝ＢᶄＤＢᶄＡ＝２３，由勾股定理可得ＢᶄＤʒＢᶄＡʒＡＤ＝２ʒ３ʒ５，ȵәＡＢᶄＥɸәＡＢＥ，ʑＡＢ＝ＡＢᶄ＝１，ʑＡＤ＝１３ˑ５＝５３，即ａ＝ＢＣ＝５３．综上，ａ的值为５３或５３．例４㊀如图８，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点Ｅ是ＢＣ边上一点，连接ＡＥ，把øＢ沿ＡＥ折叠，使点Ｂ落在点Ｂᶄ处．当әＣＥＢᶄ为直角三角形时，ＢＥ的长为．图８㊀㊀㊀图９解析㊀由点Ｅ是ＢＣ边上一点易知折叠后øＢᶄＣＥ为锐角，当әＣＥＢᶄ为直角三角形时，存在两种情况：øＥＢᶄＣ＝９０ʎ（如图９）或øＢᶄＥＣ＝９０ʎ（如图１０）．（１）研究背景图形，由ＡＢ＝３，ＢＣ＝４可得ＡＣ＝５．如图９所示，øＥＢᶄＣ＝９０ʎ．由折叠前后对应边相等可得ＢＥ＝ＢᶄＥ，ＡＢ＝ＡＢᶄ＝３，ＢᶄＣ＝ＡＣ－ＡＢᶄ＝５－３＝２，在直角әＥＢᶄＣ中，可设ＢᶄＥ＝ｘ，则ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝４－ｘ，由勾股定理可得ＢᶄＥ２＋ＢᶄＣ２＝ＥＣ２，即ｘ２＋２２＝（４－ｘ）２，解得ｘ＝３２，即ＢＥ＝３２．（２）如图１０所示，øＢᶄＥＣ＝９０ʎ．分析易得四边形ＡＢＥＢᶄ为正方形．则ＢＥ＝ＡＢ＝３．综上，ＢＥ的长为３２或３．图１０如上所示，不管是例３的落点，还是例４分析特征后的分类，我们首先要做的都是找出图形的变化趋势，然后在此基础上进行分析和求解．三㊁坐标系中的矩形折叠对于坐标系中产生的折叠问题，需要我们把握好线段长和坐标间的相互转化，强化分析点的横㊁纵坐标间暗示的角度或基础图形的三边比．例５㊀如图１１，把一矩形纸片ＯＡＢＣ放入平面直角坐标系ｘＯｙ中，使ＯＡ，ＯＣ分别落在ｘ轴㊁ｙ轴上，现将纸片ＯＡＢＣ沿ＯＢ折叠，折叠后点Ａ落在点Ａᶄ的位置，若ＯＡ＝１，ＯＢ＝２，则点Ａᶄ的坐标为．图１１㊀㊀㊀图１２解析㊀坐标系中的折叠问题常求点的坐标，我们解决这类问题时，要注意研究好背景图形，做好坐标和线段长的相互转化．ȵ矩形纸片ＯＡＢＣ，ʑøＢＡＯ＝９０ʎ，әＢＡＯ为直角三角形．ȵＯＡ＝１，ＯＢ＝２，ʑｓｉｎøＡＢＯ＝ＯＡＯＢ＝１２，ʑøＡＢＯ＝３０ʎ，ʑøＢＯＡ＝６０ʎ．ȵәＢＡᶄＯ由әＢＡＯ翻折得到，ʑәＢＡᶄＯɸＢＡＯ，ʑøＢＯＡᶄ＝øＢＯＡ＝６０ʎ，ＯＡᶄ＝ＯＡ＝１，如图１２，过点Ａᶄ向ｘ轴作垂线，垂足为点Ｄ，可得øＡᶄＤＯ＝９０ʎ，øＡᶄＯＤ＝１８０ʎ－øＢＯＡᶄ－øＢＯＡ＝１８０ʎ－６０ʎ－６０ʎ＝６０ʎ．ȵｓｉｎ６０ʎ＝ＡᶄＤＡᶄＯ＝３２，ʑＡᶄＤ１＝３２，ʑＡᶄＤ＝３２，由勾股定理可得ＯＤ＝ＡᶄＯ２－ＡᶄＤ２＝１２，将线段长转为坐标，可得点Ａᶄ的坐标为－１２，３２æèçöø÷．如上所示，我们通过分析ＯＡ，ＯＢ的长得到了６０ʎ的特殊角，对后边的计算带来了极大的便利．四㊁结语综上，我们在处理折叠问题时，运用较多的还是折叠图形的基本性质．所以，我们在解答此类问题时，首先要做好对背景图形的研究分析，抓住其基本特征，然后确定位置，画图解答．ʌ参考文献ɔ［１］王兴凯．动态几何中的矩形折叠问题［Ｊ］．理科考试研究（初中版），２０１９（４）：１６－２１．。
中考数学复习满分突破(全国通用)：专题18 矩形折叠问题(解析版)
专题18矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。
解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。
问题：根据已知信息，求翻折后各边长。
模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M,点N分别为DC，AB中点思路：模型七：点A’为BC 中点思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE=A’E=x ，则BE=8-x 由勾股定理解得x=ퟏ �∴BE=ퟏ �由于△EBA’∽△A ’CG ∽△FD ’G∴A’G=ퟑ�ퟏCG=ퟏ ퟏGD’=ퟐ ퟏDF=D’F=AH=ퟏퟑ�HE=1EF=ퟏ【培优过关练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，9AB ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，120.FEB 若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点C 恰好落在AD 边C 上，则C D 的长度为（）A ．3B ．C ．D【答案】B【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形ABCD 中，9CD AB ，CD AB ∥，90D Ð=°，180FEB EFC ，60EFC C FE ，18060C FD EFC C FE ，30DC F ，2C F DF ，又C F CF ∵，9CF DF ，3DF ，6C F ，2．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，沿着BE折叠使点A落在边CD上的点F处，若1tan3ABE，3AD ，则DF的长为（）A．1B．2C．43D．323．（2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为 1,3，将矩形沿对角线AC 折叠，使点B 落在D 点的位置，且交y 轴交于点E ，则点D 的坐标是（）A ．（3853，）B ．（35-，2）C ．（41455 ，）D ．412,55【答案】D【分析】过D 作DF AO 于F ，根据折叠可以证明CDE AOE ≌，然后利用全等三角形的性质得到,1OE DE OA CD ，设OE m ，那么3CE m DE m ，，利用勾股定理即可求出m ，然后利用已知条件可以证明AEO ADF ∽，而3AD AB ，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了点D 的坐标．【详解】如图，过D 作DF AO 于F ，∵点B 的坐标为 1,3，∴13AO AB ，，根据折叠可知CD BC OA ，而90ADC AOE DEC AEO ，∴CDE AOE ≌，∴,1OE DE OA CD ，设OE m ，那么3CE mDE m ，，4．（2023春·广东广州·九年级专题练习）如图，矩形纸片ABCD 中，4AB ，3AD ，折叠纸片使AD 落在对角线BD 上，折痕为DG ，点A 的对应点为A ，那么AG 的长为（）A ．1B ．43C ．32D ．2【答案】C【分析】首先设AG x ，由矩形纸片ABCD 中，4AB ，3AD ，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A B 的长，然后由勾股定理可得方程： 222x 24x ，解此方程即可解决问题．5．（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）如图，在矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ，点E 在CD 上，将BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△퐴� 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①45EBG ；②DEF HFG △∽△；③四边形BGDE 的面积等于35；④AG DF FG ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，8AB ，12BC ，点E 为BC 的中点，将ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（）A ．185B ．6C ．325D ．365∵12BC ，点E 为BC ∴6BE ，又∵8AB ，∴22AE AB BE7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在矩形纸片ABCD 中，8AB ，11BC ，M 是BC 上的点，且3CM ，将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C 处，折痕为MN ，当PC 与线段BC 交于点H 时，则线段BH 的长是（）A ．3B ．5516C ．4D ．7316【答案】B【分析】连接PM ，证明PBM PC M ≌即可得到3CM C M PB ，证明PBH C MH ≌，得出BH HC x ，然后列出关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：连接PM ，如图所示：∵矩形纸片ABCD 中，8AB ，11BC ，∴8CD AB ，90A B C D ，∵3CM ，∴1138BM ，根据折叠可知，8CD PC ，90C C ，3C M CM ，∴B C ，8．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期中）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM （）A．1B．2C1D129．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ，垂足为F ，若1,2CD CF ，则线段AE 的长为（）A2B1 C ．13D ．1210．（2022·贵州毕节·统考中考真题）矩形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，将ABE 沿AE 折叠得到AFE △，连接CF ．若4AB ，6BC ，则CF 的长是（）A．3B．175C．72D．18511．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，5AB ，3BC ，将BCD △沿BD 折叠到BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ADF 的值为（）A ．817B ．715C ．1517D ．815【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AFD EFB ≌，得出AF EF ，DF BF ，设AF EF x ，则5BF x ，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴CD =AB =5，AB =BC =3，90A C ，根据折叠可知，3BE BC ，5DE DE ，90 E C ，∴在△AFD 和△EFB 中903A E AFD EFB AD BE，∴AFD EFB ≌（AAS ），∴AF EF ，DF BF ，设AF EF x ，则5BF x ，在Rt BEF 中，222BF EF BE ，即 22253x x ，12．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确．．．的是（）A．BD＝10B．HG＝2C．EG FH∥D．GF⊥BC13．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB；③GE DF；④OC OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④14．（2021·广西来宾·统考中考真题）如图，矩形纸片ABCD ，::1AD AB ，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA 并延长交线段CD 于点G ，则EF AG的值为（）A ．22B ．23C ．12D 3【答案】A【分析】根据折叠性质则可得出EF 是AA 的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO =∠AGD ，∠FHE ＝∠D ＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH ∽△GAD ，再利用矩形判定及性质证得FH ＝AB ，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵点A，B的对应点分别为A ，B ，15．（2011·吉林长春·中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A．3B．4C．5D．616．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG 交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C 重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG//BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA)，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；17．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A 、D 点的对称点为D ¢，若90FPG Ð=°，A EP ¢△的面积为8，D PH ¢△的面积为2，则矩形ABCD 的长为（）A ．10B ．C ．10D ．18．如图，矩形纸片ABCD ，AB=4，BC=3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP=OF ，则cos ∠ADF 的值为（）A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP=OF 可得出△OEF ≌△OBP （AAS ），根据全等三角形的性质可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4﹣x 、BF=PC=3﹣x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC=DE=4，CP=EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP E B OF OP，∴△OEF ≌△OBP （AAS ），19．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AB ，则DP的长度为___________．AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若6【答案】2【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF ＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP，如图所示，20．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG ______cm．【答案】53##213∵四边形ABCD 是正方形，∴4,AB BC CD DA A ∵点M 为BC 的中点，21．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ，求BC 的长．22．（2022·河南·统考中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．1cm FQ DF FC ∵，1cm 4cm FQ DF FC ∵，，5QC ∴cm ，DQ =3cm ，由（2）可知，QM QC设8AP PM x PD x ，，222PD DQ PQ ∴，即222835x x23．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A 4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A 4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD ．他先将A 4纸沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上，点B 的对应点为点E ，折痕为AF ；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上，点C 的对应点为点H ，折痕为FG ；然后连结AG ，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D 与点F 重合，进而猜想ADG AFG △≌△．【问题解决】(1)小亮对上面ADG AFG △≌△的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD 是矩形，∴90BAD B C D ．由折叠可知，1452BAF BAD ，BFA EFA ．∴45EFA BFA ．∴AF AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)DAG 的度数为________度，FG AF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P 在线段AF 上，且12AP AB ，点Q 在线段AG 上，连结FQ 、PQ ，如图②，设AB a =，则FQ PQ 的最小值为_________．（用含a 的代数式表示）24．（2021·湖北荆州·统考中考真题）在矩形ABCD 中，2AB ，4 AD ，F 是对角线AC 上不与点A ，C 重合的一点，过F 作FE AD 于E ，将AEF △沿EF 翻折得到GEF △，点G 在射线AD 上，连接CG ．（1）如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，90FGC ，延长GF 交AB 于H ，连接CH ．①求证：CDG GAH △∽△；②求tan GHC ．（2）如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，90GCF ，判断GCF 与AEF △是否全等，并说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三数学重难点专题复习：矩形折叠问题的常用解题方法
文中练习题目配套有视频讲解答案，word版文档（可打印）
如需资料，请私信回复“初中数学”
初三数学专题复习
矩形折叠问题的常用方法
一、找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身的特点借助于勾股定理构造方程求解。
二、利用相似三角形由相似比列方程求解。
基本知识：矩形中的折叠构造直角三角形
基本方法：由勾股定理或三角形相似构造方程
数学思想：转化思想、方程思想（数学题的计算要讲究技巧性）。