初三数学中考第一轮复习⑴ 数与式华东师大版知识精讲

初三数学中考第一轮复习⑴数与式华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮复习⑴数与式二. 重点、难点扫描：1. 有理数的意义：数轴，相反数，倒数，绝对值，近似数与有效数字；2. 有理数的运算：加减乘除，乘方，有理数的大小比较；3. 数的开方：平方根，立方根，实数；4. 二次根式：二次根式的乘除法、性质、运算.5. 代数的初步知识：代数式的概念，列代数式，求代数式的值.6. 整式的概念：单项式：系数、次数；多项式：项数、次数、同类项、降、升幂排列；7. 整式的加减：合并同类项，去、添括号；8. 幂的运算性质：同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方；同底数幂的除法；零指数与负整指数幂；科学记数法；9. 整式的乘除：单项式乘以单项式；多项式乘以单项式；多项式乘以多项式──乘法公式；因式分解；单项式除以单项式；多项式除以单项式；10. 分式：⑴分式的有关概念：分式，有理式，最简分式，最简分母；⑵分式的基本性质⑶分式的运算.三. 知识梳理：㈠有理数1. 有理数的有关概念要准确把握有理数的概念，特别是负数和绝对值的概念是难点，要深刻理解，并结合数轴理解这两个概念，用数形结合的思想，使抽象的概念具体化，再就是近似数的有效数字的概念也是非常重要的，要理解透彻。

2. 有理数的运算灵活运用有理数的运算法则、运算律、运算顺序以及有理数的混合运算，利用运算律简化运算一定要熟练掌握，运算中的符号问题是易出错的地方，要特别注意，再就是要掌握好减法转化成加法，除法转化成乘法这种转化思想。

㈡实数1. 掌握平方根、立方根的概念和性质学好本章的关键是深刻理解平方根和立方根的概念，再就是懂得平方根和立方根的符号所表示的含义.注意区分平方根和算术平方根.2. 掌握实数的分类，掌握实数可按性质和正负两种方法分类⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数实数正分数分数负分数正无理数无理数负无理数 或 ⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数㈢代数式1. 正确列代数式首先要注意审题，弄清问题中的基本数量关系，然后把数量关系用代数式表示出来，再就是要把代数式和等式区分开，书写代数式要注意格式. 2. 迅速求代数式的值求代数式的值通常要先化简再求值比较简便，当所代的数是负数时，要特别注意符号. 3. 公式的探求与应用探求公式时要先观察其中的规律，通过尝试，归纳出公式，再加以验证，这几个环节都是必不可少的，再就是灵活运用公式解决实际问题.㈣整式1. 正确理解整式的有关概念整式的系数、次数、项、同类项等概念必须清楚，是学习方程、整式乘除、分式和二次函数的基础.2. 掌握合并同类项、去（添）括号法则要处理好合并同类项及去（添）括号中各项符号处理，式的运算是数的运算的深化，加强式与数的运算对比与分析，体会其中渗透的转化思想。

3. 熟练地运用幂的运算性质进行计算幂的运算是整式的乘法的基础，也是考试的重点内容，要求熟练掌握.运算中注意“符号”问题和区分各种运算时指数的不同运算. 4. 熟练运用整式的乘法法则进行计算 整式运算常以混合运算出现，其中单项式乘法是关键，其他乘除都要转化为单项式乘法.乘法公式的运用是重点也是难点，计算时，要注意观察每个因式的结构特点， 经过适当调整后，表面看来不能运用乘法公式的式子就可以运用乘法公式，从而使计算大大简化. 5. 区分因式分解与整式的乘法 它们的关系是意义上正好相反，结果的特征是因式分解是积的形式，整式的乘法是和的形式，抓住这一特征，就不容易混淆因式分解与整式的乘法.对于给出的多项式，首先要观察是否有公因式，有公因式的话，首先要提公因式，然后再观察运用公式还是分组.分解因式要分解到不能分解为止.6. 幂的除法运算性质的计算以及整式的混合运算 同底数幂的除法公式是进行除法运算的基础，也是中考的必考内容，运算时要注意符号问题，同时系数、指数也要分清.整式的混合运算是考查的重点，•多项式除以单项式通常转化为单项式除以单项式.整式的乘除要与整式的加减区分开来，切勿混淆.因此要牢记运算法则.7. 零次幂与科学记数法理解零次幂的意义，会判定零次幂的底数的取值范围，会求非零代数式的零次幂.会用科学记数法表示一个绝对值较大或较小的有理数，这也是中考的常考内容.㈤分式1. 弄清分式有意义，无意义和值为零的条件 分式有意义的条件是分母不为零；无意义的条件是分母为零；值为零的条件是分子为零且分母不为零，弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点.2.分式基本性质利用分式的基本性质熟练进行约分和通分，这是分式运算的基础，利用分式的基本性质时，要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式. 3.分式的四则运算分式的四则运算主要出现在化简中，与通分、约分、分式的基本性质联合，要保证最后结果为最简分式.4.可化为一元一次方程的分式方程的应用会根据具体情景列出分式方程，并会求解，注意验根这一步不可少.【典型例题】例1. 将下列各数填入相应的集合内，并用“<”号将下列各数连接起来.21--，2，8-，3π，︒30sin ，4-有理数集合{ }； 无理数集合{ }分析：实数的分类关键是要理解相关概念；实数的大小比较可借助大小比较法则进行比较，并能估计无理数的大致范围.解：有理数集合{2，︒30sin ，21--，4-…} 无理数集合{ 8- ，3π…} 8-<4-<21--<︒30sin <3π<2.说明：①实数的分类和大小比较要看它化简的结果，但结果应保留原有形式； 如︒30sin =21，4-=2-，21--=21-.②实数的大小比较还可借助于数轴直观地进行比较.例2. 已知：23(2)30a b a -++==0，求ba 11+的相反数的倒数. 分析：两个非负数的和为零，即组成算式的每一部分均为零，由此可求出a 、b 的值.解：由题意得2030a b a -=⎧⎨+=⎩解得a =-3， b =-6∴b a 11+=-216131-=-，它的相反数为21. 它的相反数的倒数是2.说明：完全平方式和绝对值均为非负数，要充分理解其意义，并运用这一特征解题，本题涉及到的概念较多，有相反数、倒数、绝对值等.例3. 计算：⑴)5.1(21)32()211()32(222-÷----⨯； ⑵0112007212-30cos 3）（）（-⨯+--︒. 分析：⑴式中因为94)5.1(1)32()32(222=-=-=，所以可提取94再进行运算； ⑵式中将各部分分别求值，再将它们求和.解：⑴)5.1(21)32()211()32(222-÷----⨯43414()92929431(1)9224(2)989=⨯--+⨯=⨯--+=⨯-=-⑵0112007212-30cos 3）（）（-⨯+--︒2512121233=⨯++⨯= 说明：正确进行实数的运算是基本要求，其中涉及到实数的运算法则、幂的运算、特殊三角函数值的计算等.例4. 计算：⑴)3)(3(c b a c b a -+-++-；⑵22211111()()()42424x x x x x -++-+. 分析：⑴中可将b a 3+-看作一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式进行运算；⑵中先将412-x 化为)21)(21(-+x x ，再用乘法公式运算更加方便，“先退后进”是一种思想方法.解：⑴原式=2222296)3(c b ab a c a b -+-=--.⑵原式=)4121)(21)(4121)(21(22+-+++-x x x x x x =641)81)(81(633-=+-x x x .说明：整式运算时要注意能灵活运用乘法公式.例5. ⑴若代数式7322++x x 的值为8，求代数式9642-+x x 的值； ⑵若x 为实数，说明代数式8632+-x x 大于0.分析：⑴中由条件可知的1322=+x x 值，可将1322=+x x 作为整体求x x 642+的值，就可得9642-+x x 的值.⑵中运用配方法可确定代数式值的正负.解：⑴∵7322++x x =8， ⑵8632+-x x ∴1322=+x x 23(21)38x x =-+-+ ∴x x 642+=2 5)1(32+-=x9642-+x x =-7 . ∵x 为实数，∴23(1)5x -+≥05>.说明：①注意整体思想在代数式求值中的运用；②配方法是常见的数学方法，在验证代数式的值、根的判别式、二次函数化成顶点式等情形中有较为广泛的运用.例6. 图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图2；再分别连结图2中间的小三角形三边的中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：⑴⑵ 在第n 个图形中有________个三角形(用含n 的式子表示). 分析：根据题目中的解题信息找规律是近年较流行的一类考题. 解决这类问题，首先要从简单的情形入手，其次抓住“编号”，“序号”等与其他数量之间的关系，从而寻找出规律. 本题中每一次连结最中间的三角形各边的中点，就多出四个小三角形区域.⑵ 4n -3 说明：本题还可从函数的角度去考虑，因为三角形个数y 随着图形编号x 的变化而变化，可猜想它们之间存在一次函数关系，可设y=kx+b 用待定系数法求k 、b ，再选出其他组数的值代入验证，若猜想不成立，可再尝试用二次函数或反比例函数关系式。

（当两个变量的积为常数时）例7. 在二次根式①12，②32，③32，④327中与是同类二次根式的是. A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 分析：解答本题的关键是能正确化简题中的四个二次根式，然后根据被开方数是否相同来选择与3是否为同类二次根式.解：∵3327,63132,222,32123====. ∴与3是同类二次根式的是①④，故答案选C.说明：最简二次根式、同类二次根式是本节内容的两个重要概念，正确理解这两个概念，是进行二次根式加减运算的前提，因此在总复习时，应加强二次根式的化简的习题训练.例8. 把下列各式因式分解：⑴22b b a a -+- ⑵332718y x -⑶222076n mn m -+ 分析：⑴本题在进行因式分解时，不能直接提公因式或用公式法来分解，因此考虑用分组分解法.在分组时，尝试第一、第二两项分在一组，第三、第四两项分在另一组后不能继续分解，因此把第一、第四两项结合，第二、第三两项结合，通过提公因式后来实现因式分解.⑵把38x 化为3)2(x ，把3271y 化为3)31(y ，然后直接利用立方差公式来进行因式分解.⑶对于二次三项式的因式分解，常常考虑用十字相乘法来分解.解：⑴原式＝)1)(()())(()()(22-+-=---+=---b a b a b a b a b a b a b a .⑵原式＝(2x)3-3)31(y =(2x-y 31)(4x 2+xy 32+)912y . ⑶原式＝)52)(43(n m n m +-.说明：华师版义务教育新课标实验教材中的因式分解要求偏低.事实上，掌握十字相乘法分解因式，对于灵活解一元二次方程、解一元二次不等式等非常有用.另外，分组是数学中的一种重要的解题思想方法，对于不能直接提公因式、利用公式来分解因式的多项式，可以尝试用分组分解法来进行因式分解.对于立方和（差）公式，能直接运用即可.例9. 化简：23142)1(222+++⋅--÷+-a a a a a a a a a . 分析：在进行分式的加减乘除混合运算中，要注意运算顺序，先算乘除、再算加减，有括号先算括号里面的. 对于分子、分母是多项式的分式，应先把分子、分母因式分解，然后再约分化简.解：原式＝1)2)(1(1)2()2)(2(12+=+++⋅--+⋅+-+a aa a a a a a a a a a a . 说明：分式的加减乘除混合计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是学生中考过关的重要题型之一，复习中要高度重视.例10. 某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务.设原计划每天铺设管道x 米，则可得方程( )A.400040002010x x -=- B.400040002010x x -=- C.400040002010x x-=+D. 400040002010x x -=+ 解析：设原计划每天铺设管道x 米，则后来每天铺设管道(x ＋10)米原计划时间为：x 4000，后来所用的时间为：104000+x . 后来所用时间＝原计划时间－20，即原时间－后来时间＝20所以正确方程为选项D.例11. 已知211,211+=-=b a ，求代数式33ab b a +的值.分析：由于a 、b 均为可化简的二次根式，应先将a 、b 进行化简.而多项式的次数较高，且可以因式分解，因此，容易想到转化的思想方法，把比较复杂的计算问题简单化.解：∵21211,21211+-=+=--=-=b a ，∴1,2-=-=+ab b a ，∴6)24(]2)[()(22233-=+-=-+=+=+ab b a ab b a ab ab b a .说明：本题考查学生的数学方法是：分母有理化、因式分解、配方法；运用的数学思想是：转化思想、整体思想.在复习时要注意运用相关数学思想和数学方法.例12. 先化简，再求值：321,1211222+=-+----a a a a a a a 其中. 分析：化简本题时可先利用公式)0(||2<-==a a a a 来化去根号，然后通过分子、分母因式分解约分化简.解：∵,32321-=+=a ,321+=a ∴,0311<-=-a ∴原式＝51411)1()1(1)1(|1|1)1)(1(=+=++=--++=-----+aa a a a a a a a a a a . 说明：本题是分式和二次根式的综合计算问题，难点是要判断a-1的正负性.另外，值得注意的是化简结果11++aa 后求值的方法技巧，不要用通分这种繁琐的方法去求值.例13. 已知,0344)(2=++++-b a ab ab 求2++baa b 的值. 分析：有效利用配方法，由已知条件求出a+b ，ab 的值，然后通过通分把未知分式转化为a+b ，ab 的代数式，从而由整体代入法来求出结果.解：∵,0344)(2=++++-b a ab ab ∴,03)2(2=++b a ab ＋－∴2=ab ，3-=+b a ，∴29)(22222=+=++=++ab b a ab ab a b b a a b . 说明：利用因式分解的公式法，把已知等式化为两个非负数的和，再求出隐含结论b a +，ab 的值是解决此题的突破口.利用通分和完全平方公式来把未知分式转化为已知b a +，ab 的式子，体会整体思想方法和转化思想方法.【模拟试题】（答题时间：90分钟） 一. 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 如果a 与－2的差为0，那么a 是 （ ）A. 2B.21 C. －21 D. －22. 已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是 （ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. ±1 3. 2007年，中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星将发射升空，飞向月球.已知地球距离月球表面约为38400千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ）A. 41084.3⨯千米B. 51084.3⨯千米C. 61084.3⨯千米D. 4104.38⨯千米4. 下列运算中，正确的是 （ ） A. 523x x x =+ B. x x x =-23 C. 523x x x =⋅D. 633)(x x =5. 实数117π-.，，0.3，0. 1010010001……中，无理数有 （ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 一批货物总重71.410kg ⨯，下列可将其一次性运走的合适的运输工具是 （ ） A. 一艘万吨级巨轮 B. 一架飞机C. 一辆汽车D. 一辆板车7. 下列运算正确的是 （ ） A. 632a a a ÷= B. 10(1)(1)0--+-= C. 235a b ab +=D. 22()()a b a b b a -+--=- 8. 二次三项式25x x p -+可在整数范围内因式分解，那么整式p 的取值可以有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 无数个9. 已知,a b 为实数，且ab ＝1，设11a b M a b =+++，1111N a b =+++，则M ，N 的大小关系是（ ） A. M ＞N B. M ＝NC. M ＜ND. M ≥N10. 若化简1x -25x -，则x 取值范围是 （ ）A. x 为任意实数B. 14x ≤≤C. 1x ≥D. 4x ≤二. 填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）11. 当m ＜3时，_____________)3(2=-m .12. 计算：(2)(3)______x x +-=. 13. 方程0112=--xx 的解是 . 14. 用“※”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ※b ＝12+b例如，7※4＝412+＝17，那么5※3＝ ；当m 为实数时，m ※（m ※2）＝ . 15. 写出一个有理数和一个无理数，使它们都是大于－2的负数：_______________ . 16. 把b a ab a 2232-+分解因式的结果是________ .17. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第5个图案中白色正方形的个数为 .18. 化简：777-＝ .19. 依法纳税是公民应尽的义务. 《个人所得税法》规定：每月总收入减去1600元后的余额为应纳税所得额，应纳税所得额不超过500元的按5%纳税；超过500元但不超过2000元的部分按10%纳税，……若职工小王某月税前总收入为2000元，则该月他应纳税________元.20. 已知4x =，12y =，且0xy <，则xy的值等于 .三. 解答题（第1题每小题5分，第2题6分，第3题、4题每题7分，第5题10分，共40分）1. （1）计算：3)51(60tan 21-+︒-+︒--；（2）化简，求值：)(11b a a b b b a ++++，其中215+=a ，215-=b . 2. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数” . 如22024-=，222412-=，224620-=，因此4，12，20这三个数都是神秘数.（1）28和2012这两个数是神秘数吗？（2）设两个连续偶数为22+k 和k 2（其中k 取非负整数）. 由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 3. 老师在黑板上写出三个算式：283522⨯=-，487922⨯=-，27831522⨯=-，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：12851122⨯=-，22871522⨯=-，……（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性. 4. 已知A ＝222+-a a ，B ＝2，C ＝422+-a a ，其中a ＞1. （1）求证：A －B ＞0；（2）试比较A 、B 、C 三者之间的大小关系，并说明理由. 5. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案.例如，求1+2+3+4+…+n 的值，其中n 是正整数.对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n 的奇偶性进行讨论.如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值.为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为2)1(+nn，即1，2，3，…，n＝2)1(+nn.（1）依照上述数形结合的思想方法.设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n－1）的值，其中n是正整数.（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n－1）的值，其中n是正整数. （要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）试题答案一. 选择题1. D2. C3.A4. C5. C6. A7. B8. D9. B10. B二. 填空题11. m -312. 26x x -- 13. －1 14. 10，26 15. －1，－2，答案不唯一 16. 2)(b a a - 17. 28 18. 17-19. 20 20. －8三. 解答题1. （1）解：原式＝31321++-＝23 （2）解：原式＝abb a b a ab b a b a ab b b a a ab +=++=++++)()()()(22 ∵5215215=-++=+b a ∴原式＝52. 解：（1）找规律：2202144-=⨯=，22243412-=⨯=，42465420-=⨯=，22687428-=⨯=，……2012＝4×503＝22502504-，所以28和2012都是神秘数。