高二数学月考试卷
高二数学月考试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．①某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本；②从10名同学中抽取3人参加座谈会。
Ⅰ.随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法，则问题与方法配对正确的是（）A ．① Ⅲ，② ⅠB ．① Ⅰ，② ⅡC ．① Ⅱ，② ⅢD ．① Ⅲ，② Ⅱ2．若R ∈k ，则“3>k ”是“方程122=+--k y x 表示双曲线”的()A．充分不必要条件.B．必要不充分条件.C．充要条件.D．既不充分也不必要条件.3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以0.7为概率的事件是（）A.都不是一等品B.恰有1件一等品C.至少有1件一等品D.至多有1件一等品4．在一次知识竞赛中，抽取10名选手，成绩分布情况如下：成绩4分5分6分7分8分9分10分人数分布2013211则这组样本的方差为（）A ．3.4B ．34C ．0.34D ．3475．若抛物线22y px =的焦点与椭圆221x y +=的右焦点重合，则p 的值为()A．2-B．2C．4-D．46．（文）下列程序：Read 1←S For I from 1to 5step 2I S S S ⨯+←print SEnd for End输出的结果S 是（）A ．2,8,48B ．48C ．2,11,36D ．36（理）已知曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解，则下列命题正确的是（）A．满足方程0),(=y x f 的点都在曲线C 上B．方程0),(=y x f 是曲线C 的方程C．不在曲线C 上的点的坐标一定不是方程0),(=y x f 的解D．方程0),(=y x f 的曲线包含曲线C 上的任意一点7．如果在左边程序中运行后输出的结果为132，那么在程序While 后面的“条件”应为（）A 、11<i B 、11≤i C 、11>i D 、11≥i 8．已知x 、y 之间的一组数据如下：则线性回归方程 y a bx =+所表示的直线必经过点()A ．（0，0）B ．（1.5,5）C ．（4,1.5）D ．（2,2）9．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为()A．2B．22C．21D．4210．设P 是双曲线()222109x y a a -=>上的一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y +=，12,F F 分别为双曲线的左右焦点，若13PF =，则2PF 等于（）x 0123y8264A ．9B ．7C ．6D ．1或711．下图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面判断正确的是（）A ．在区间()2,1-内()f x 是增函数B ．在区间()1,3内()f x 是减函数C ．在区间()5,6内()f x 是增函数D ．在2x =时，()f x 取到极小值12．双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A.(33-,33) B.(-3,3)C.[33-,33] D.[-3,3]二、填写题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13．写出命题：“至少有一个实数x ,使23+x =0”的否定。
14．曲线()ln 21y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是。
15．抛物线22y x =上有一动点P ，焦点为F ，点A 坐标为（2，1），当PA +PF 取最小值时，点P 的坐标为。
16．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为。
17．过点()1,2P 作曲线()32f x x x =-+的切线，则切线方程是。
18．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②以定点A 为焦点，定直线l 为准线的椭圆（A 不在l 上）有无数多个；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④过原点O 任做一直线，若与抛物线23y x =，27y x =分别交于A 、B 两点，则OAOB为定值。
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（本题12分）从数字1，2，3，4，5中任取２个数，组成没有重复数字的两位数，试求：（１）这个两位数是５的倍数的概率；（２）这个两位数是偶数的概率；（３）若题目改为“从1，2，3，4，5中任取３个数，组成没有重复数字的三位数”，则这个三位数大于234的概率.20．（本题14分）已知直线y ax a =+与抛物线24y x =相交于AB 两点（1）若线段AB 中点的横坐标为1，求a 的值及线段AB 的长；（2）是否存在这样a 使得以AB 为直径的圆经过坐标原点，若存在求出a 的值，若不存在说明理由？21．（本题14分）已知函数[]2,1,3x y x e x -=∈-（1）求导函数；（2）求单调区间；（3）求函数的最大值、最小值。
22．（本题15分）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求该椭圆的标准方程；（2）（文）若P 是椭圆上的点，PA 中点在y 轴上，求P 点坐标。
（理）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程。
（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求AOB ∆面积的最大值。
23．（本题15分）已知()2f x x c =+，且()()21f f x f x =+⎡⎤⎣⎦（1）设()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，求()g x ；（2）设()()()x g x f x ϕλ=-⋅，试问：是否存在实数λ，使()x ϕ在(),1-∞-内为减函数，且在()1,0-内是增函数。
理科附加题（加试30分钟）1、下列说法正确的是（）A ．x 2=y 2⇒x=yB ．等比数列是递增数列的一个必要条件是公比大于1.C ．a ≥2的否定是a ＜2.D ．若a+b>3，则a>1或b ＞2.2．设集合A={x |x 2+x －6=0},B={x |m x +1=0},则B A 的充要的条件是（）A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．12m =-C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎩⎭D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎩⎭3、如图，已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点恰好是椭圆12222=+by a x 的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为（）A ．12-B ．)12(2-C ．215-D ．224．某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为。
5、当m 满足时,曲线161022=-+-m y m x 与曲线19522=-+-my m x 的焦距相等.6．已知02x π<<，求证：sin tan x x x <<.高二数学月考试卷答案一、选择题：（5‘×12）题号123456789101112答案A B D A DA DDB B BC C二、填写题：(5‘×6)13.02,3≠+∈∀x R x 使15.1(,1)2xy Fy 2=2px O⊂≠16.1617.20x y -=或490x y +-=18.（2）（3）（4）三、解答题：(70)19.（12分）（解：(1)51454=⨯;…………………4分;(2)524542=⨯⨯;………………8分(3)15734523)431=⨯⨯⨯⨯++()(…………………………………………12分20．（14分）（1）8a =，AB =（2）不存在21．（14分）解：（1）()22xy ex x -=-；（2）增区间()0,2，减区间()()1,0,2,3-（3）最大值为e ，最小值为022.（15分）（解：（1）椭圆的标准方程为1422=+y x （2）（文）点P 的坐标是()','x y ，线段PA 的中点在y 轴，1'02x +∴=，'1x =-，代入1422=+y x，'2y =±，1,2P ⎛∴-± ⎝⎭（理）设线段PA 的中点为(),M x y ，点P 的坐标是()','x y ，则1'21'22x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可化为'211'2x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，()','x y 适合方程1422=+y x ，代入并化简得：线段PA 中点M 的轨迹方程是1)41(4)21(22=-+-y x .（3）直线OA 的方程为：20x y -=，设与直线OA 平行的直线为20x y c -+=，联立方程组得：22201x y c x y -+=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩消去x 得()22214y c y -+=，化简得228440y cy c -+-=，由()22164840c c ∆=-⨯⨯-=，得c =±故直线20x y -±=与直线20x y -=的距离等于5d =故max 1122252AOB S OA d ∆=⋅=⨯=23．（15分）（解：（1）()4222g x x x =++；（2）∵()()4222x x x ϕλλ=+-+-，∴()()()32422222x x x x x ϕλλ'=+-=+-∵()x ϕ在(),1-∞-内为减函数，∴()0x ϕ'<在(),1-∞-上恒成立，即：2220x λ+->在(),1-∞-上恒成立，∴2λ-小于22x 的最小值，∴4λ≤又()x ϕ在()1,0-内是增函数，∴()0x ϕ'>在()1,0-上恒成立，即：2220x λ+-<在()1,0-上恒成立，222x λ->在()1,0-上恒成立，即：2λ-大于22x 的最大值，∴4λ≥，从而4λ=。
22.解：（1）设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2).当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6).∴⋅=3；当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得2122606ky y k y y --=⇒=-又∵22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T (3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A (2,2)，B (21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T (3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)满足OB OA ⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).22.解：设()','P x y ，则直线PB 方程为()''y y x a x a=--，将x ＝0代入，得''N ay y x a =--，则直线PA 方程为()''y y x a x a=++，将x ＝0代入，得''N ay y x a =+，2222''N M a y ON OM y y x a ∴⋅=⋅=-，2222''1x y a b -= ，即2222''a x a y -=，代入得：222222''a y ON OM b a y b∴⋅==。
上海市松江二中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
上海市松江二中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、填空题1．已知1,,52a a -构成等差数列，则实数a 的值为.2．如图，Rt O A B '''△是△OAB 的直观图，其中2O A ''=，则OAB △的面积是3．如图，四面体ABCD 中，F 为CD 的中点，设,,AB a AC b AD c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则BF =u u u r .（用,,a b cr r r 表示）4．设数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为5,4n S a =，则9S =.5．若一个圆锥的底面面积为π，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为. 6．如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为()3,4,2，则1BD u u u u r 的坐标为_____.7．平面α的法向量是()2,2,1n =--r ，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -的到平面α的距离. 8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，45a =，且236,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为n a =.9．在空间直角坐标系中，已知点()()()()0,0,0,1,0,0,0,0,1,3,2,1O A B P ，则直线AP 与平面OAB 所成角的大小为（用反三角表示）10．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为()2,1,2,,12i P i =L 分别为各棱的中点，则()1,2,,12i AC AP i ⋅=u u u r u u L u r 的不同值有个.11．已知四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为平行四边形，134AA BD ==，且115AB BC AD DC ⋅-⋅=u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则异面直线1AA 与BD 的夹角余弦值为.12．已知l αβ--是大小为60o 的二面角，C 为二面角内一定点，且到半平面αβ､的距离分别为34､，A B ､分别是半平面α､β内的动点.则ABC V 周长的最小值为.二、单选题13．一条直线与一个平面所成的角等于3π，另一直线与这个平面所成的角是6π，则这两条直线的位置关系（ ）A ．必定相交B ．平行C ．必定异面D ．不可能平行14．已知数列{}n a 是等差数列，214,a a 是方程214160x x -+=的两个实数根，则8a 的值为（ ）A ．7B ．7±C ．4D ．4±15．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a ，b ，且a ，b 是异面直线，则a ，b 所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（ ）A ．10,2⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭； B ．10,2⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭C ．10,2⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；D ．10,2⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭． 16．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A B 12+ C D 12-三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，13,5,4,4AC AB BC AA ====，点D 是AB 的中点.(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求三棱锥11C AA D -的体积.18．已知空间三点()()()1,1,2,3,0,5,0,2,4A B C ---.(1)求ABC V 的面积；(2)若向量CD u u u r ∥AB u u u r ，且CD =u u u r D 的坐标.19．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm .(1)求石凳的体积；(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1 1.732≈）20．对于空间向量(),,m a b c r =，定义{}max ,,m a b c =r ‖‖，其中{}max ,,x y z 表示,,x y z 这三个数的最大值.(1)已知()()3,4,2,3,1,0a b =-=-r r ，写出a r ‖‖和a b +r r ‖‖的值； (2)已知()()3,4,2,,2,5,04a c x x x x =-=--≤≤r r ，求a c -r r ‖‖的最小值及此时x 的值； (3)设()()111222,,,,,x y z x y z ==r r a b ，求证：a b a b +≤+r r r r ‖‖‖‖‖‖； 21．如图1，由射线PA PB PC ､､构成的三面角,,,P ABC APC BPC APB ∠α∠β∠γ-===，二面角A PC B --的大小为θ，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+.(1)如图2，在三棱锥A BCD -中，ABD △为等腰直角三角形，90,BAD BCD ∠=o V 为等边三角形，90ABC ∠=o ，求二面角A BD C --平面角的正弦值；(2)如图3，在三棱锥A BCD -中，AH ⊥平面,BCD AE BD ⊥，连接,4,45HE AB ABD ∠==o ，60,90,6CBD ABC BC BD ∠∠==+=o o ，求三棱锥A BCD -体积的最大值；(3)当π0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭､､时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理.。
2024-2025学年河南新乡市河南师范大学附属中学高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年河南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l 的方向向量为(1,−1)，则该直线的倾斜角为( )A. π4B. π3C. 3π4D. 2π32.在△ABC 中，若a =2，b =2 3，A =30°，则B 等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或 120°3.三棱柱ABC−DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA =a ，BC =b ，BD =c ，则CG =( )A. −a +b−cB. 12a−b +12cC. −12a +b +cD. −1a +12b +c4.已知不重合的平面α、β、γ和直线l ，则“α//β”的充分不必要条件是( )A. α内有无数条直线与β平行B. α内的任何直线都与β平行C. α⊥γ且γ⊥βD. l ⊥α且l ⊥β5.已知点M(2,5)，在直线l ：x−y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，则△MPQ 的周长的最小值为( )A. 3 5 B. 5 C. 2 5 D. 266.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，侧面A 1ADD 1是正方形，且∠A 1AB =120°，∠DAB =60°，AB =2，若P 是C 1D 与CD 1的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为( )A. 3714B.64C. 74D.6147.如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3，P是扇形内部(包括边界)任意一点，若OP=x OA+y OB，那么2x+y的最大值是( )A. 332B. 3C. 2213D. 78.已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF=90°，∠EDF=30°，则S△DEFS△ABC的最小值为( )A. 1B. 12C. 314D. 314二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
黑龙江省哈尔滨师大附中2024-2025学年高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的方程为x23+y24=1，则该椭圆的焦点坐标为( )A. (0,±1)B. (0,±7)C. (±1,0)D. (±7,0)2.已知直线l：x+3my−2=0的倾斜角为π3，则实数m=( )A. −1B. −13C. 13D. 13.已知直线l的方程是(3a−1)x−(a−2)y−1=0，则对任意的实数a，直线l一定经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，若PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则此椭圆的离心率为( )A. 12B. 23C. 13D. 535.若直线y=x+b与曲线y=1−x2有公共点，则b的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−1,1]D. (−1,2)6.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点A是椭圆C上的动点，点B是点A关于原点的对称点，若四边形AF1BF2的周长为12，则四边形AF1BF2面积的最大值为( )A. 45B. 25C. 235D. 357.已知圆C：(x+5)2+(y−12)2=9和两点A(0,m)，B(0,−m)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围为( )A. [11,15]B. [10,16]C. [9,13]D. [8,12]8.已知A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，且|AB|=22，点M(x0,y0)是线段AB的中点，则|x0+y0−4|的最大值为( )A. 12B. 62C. 6D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年天津市滨海学校高二数学上学期第一次月考试卷及答案解析
2024-2025学年天津市滨海学校高二数学上学期第一次月考试卷满分：150分考试时间：100分钟一、单选题（每题5分，共60分）1.20my ++=的倾斜角为π3，则m =（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】由直线的倾斜角求直线的斜率，结合直线方程得m 的值.20my ++=倾斜角为π33m-1m =-.故选：B2.若方程2242x y x y a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围为（）A.(,5)-∞-B.(5,)-+∞C.(,0)-∞ D.(0,+∞)【答案】B 【解析】【分析】方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆．【详解】方程化为标准方程为22(2)(1)5x y a -++=+，有50a +>，∴5a >-．.故选：B3.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=【答案】B 【解析】【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.4.圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A.B.2C.3D.【答案】D 【解析】【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=的距离为=故选：D.5.若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解.【详解】因为直线:l y kx =-(0,P ，直线2360x y +-=与坐标轴的交点分别为()()3,0,0,2A B ，直线AP的斜率3AP k =，此时倾斜角为π6；直线BP 的斜率不存在，此时倾斜角为π2；所以直线l 的倾斜角的取值范围是ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.6.若1:10l x my --=与()2:2310l m x y --+=是两条不同的直线，则“1m =-”是“12l l ∥”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用两直线平行解出m 的值即可.【详解】由题意，若12l l ∥，所以()()()132m m ⨯-=--，解得1m =-或3m =，经检验，1m =-或3m =时，12l l ∥，则“1m =-”是“12l l ∥”的充分不必要条件，故选：C ．7.四棱锥S ABCD -中，()4,2,3AB =- ，()4,1,0AD =- ，()3,1,4AS =--，则顶点S 到底面ABCD的距离为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】先求出平面ABCD 的法向量，再根据点到面的距离的向量公式求解即可.【详解】设平面ABCD 的法向量为(),,n x y z =，则有423040n AB x y z n AD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令3x =，则12,4y z ==，所以()3,12,4n =，所以顶点S 到底面ABCD 的距离为91216113n AS n ⋅-+-== .故选：A .8.已知直线30x y λ++=与直线2610x y ++=间的距离为2，则λ=（）A.92-或112B.9-C.9-或11D.6或4-【答案】A 【解析】【分析】运用两条平行直线间的距离公式计算即可.【详解】直线30x y λ++=可化为2620x y λ++=，所以102=，解得92λ=-或112λ=．故选：A.9.已知直线l 过定点()2,3,1A ，且方向向量为()0,1,1s = ，则点()4,3,2P 到l 的距离为（）A.322B.2C.102D.【答案】A 【解析】【分析】先计算PA 与s的夹角的余弦值得出直线PA 与直线l 的夹角的正弦值，再计算点P 到直线l 的距离．【详解】由题意得()2,0,1PA =-- ，所以PA ==，又直线l 的方向向量为()0,1,1s=，则s ==，所以cos ,PA sPA s PA s⋅<>==-⋅，设直线PA 与直线l 所成的角为θ，则cos cos ,10PA s θ=<>= ，则sin 10θ=，所以点()4,3,2P 到直线l 的距离为sin 102d PA θ=⋅== ．故选：A ．10.已知点D 在△ABC 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数x ，y 满足32OD OC xOA yOB =--，则222x y +的最小值为（）A.13 B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】根据空间四点共面及二次函数的最值求解.【详解】因为32OD OC xOA yOB =--，且,,,A B C D 四点共面，由空间四点共面的性质可知321x y --=，即22x y =-，所以()2222222442226846333x y y y y y y ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以当23y =时，222x y +有最小值43.故选：D11.已知集合()3,2,1y A x y y x ⎧⎫-==∈⎨⎬-⎩⎭R ，(){},4160,,B x y x ay x y =+-=∈R ，A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围为（）A.()(),44,-∞-+∞B.()(),22,-∞-+∞ C.()()(),22,44,-∞-⋃-⋃+∞ D.()()(),44,22,-∞-⋃-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据集合,A B 的元素以及A B ≠∅ 求得a 的取值范围.【详解】集合A 表示直线()321y x -=-，即21y x =+上除去点()1,3的点，集合B 表示直线4160x ay +-=上的点．因为A B ≠∅ ，所以直线21y x =+与4160x ay +-=相交，且交点不是点()1,3，所以240a +≠且43160a +-≠，解得2a ≠-且4a ≠．故选：C12.已知()11,A x y 、()22,B x y 为圆22:1C x y +=不同两点，且满足12OA OB ⋅=，则+）A.-B.2-C.2-D.【答案】D 【解析】【分析】求出π3AOB ∠=，题目转化为A 、B 到直线20x y +-=的距离之和，变换得到2AC BD EF +=，计算min2EF =-得到答案.【详解】因为1,1、2,2在圆221x y +=上，12OA OB ⋅=所以22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，且12121cos 2OA OB AOB x x y y OA OB⋅∠==+=⋅，因为0πAOB ≤∠≤，则π3AOB ∠=，因为1OA OB ==，则AOB V 是边长为1的等边三角形，表示A 、B 到直线20x y +-=的距离之和，原点O 到直线20x y +-=的距离为d ==如图所示：AC CD ⊥，BD CD ⊥，E 是AB 的中点，作EF CD ⊥于F ，且OE AB ⊥，2AC BD EF +=，2OE ==，故E 在圆2234x y +=上，min22EF d =-=.min2EF=故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是首先求出π3AOB ∠=，再将题意转化为表示A 、B 到直线20x y +-=的距离之和，最后利用中位线性质和圆外点外圆上点距离最值问题解决.二、填空题（每题5分，共40分）13.已知经过()1,1A a a -+、()3,2B a 两点的直线l 的方向向量为()1,2-，则实数a 的值为______．【答案】1-【解析】【分析】由已知得出()2,1AB a a =+-，进而根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，()2,1AB a a =+-.又直线l 的方向向量为()1,2-，所以，()2,1AB a a =+-与()1,2-共线，所以有()()22110a a -+-⨯-=，解得1a =-.故答案为：1-.14.直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=o ，11,D F 分别是1111A B A C ，的中点，1BC AC CC ==，则11BD AF 与所成角的余弦值为___________【答案】3010【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.【详解】依题意可知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，设12BC AC CC ===，则()()()()()()11112,0,0,1,0,2,1,0,2,0,2,0,1,1,2,1,1,2A F AF B D BD =-=-，设1BD 与1AF 所成角为α，则1111cos 10AF BD AF BD α⋅==⋅.故答案为：1015.已知直线l 的倾斜角为4,sin 5αα=，且这条直线l 经过点()3,5P ，则直线l 的一般式方程为__________.【答案】4330x y -+=或43270x y +-=【解析】【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.【详解】因为4sin 5α=，且[)0,πα∈，则cos 53α==±，所以直线l 的斜率为4tan 3k α==±，又因为直线l 经过点()3,5P ，则直线l 的方程为()4533y x -±-=，所以直线l 的一般式方程为4330x y -+=或43270x y +-=.故答案为：4330x y -+=或43270x y +-=.16.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13AA =，则1AC 的长为__________.【解析】【分析】由111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，借助模长公式得出1AC 的长.【详解】因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++所以()2211AC AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 11119202132131722=+++⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=即1AC =17.如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_________．【答案】【解析】【分析】求出P 关于直线AB 和y 的对称点，由两个对称点间距离得结论．【详解】设点P 关于直线AB 的对称点为(,)D x y ，直线AB 方程为4x y +=，因此122422yx x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩．解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)D ，P 关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线所经过的路程PMN 的长为CD ＝．故答案为：．18.①坐标系中，经过三点()()()0,0,1,1,2,0的圆的方程为___________②过()()5,0,2,1-两点，且圆心在直线3100x y --=上的圆的标准方程为___________【答案】①.2220x y x +-=②.()()221325x y -++=【解析】【分析】①设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将三个点的坐标代入圆的一般方程，可得出关于D 、E 、F 的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径.②首先设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，根据题意得到()()()2222225213100a b r a b r a b ⎧-+=⎪⎪--+-=⎨⎪--=⎪⎩，再解方程即可.【详解】①设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得020240F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，所求圆的方程为2220x y x +-=②设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，由题知：()()()2222225121331005a b r a a b r b a b c ⎧-+==⎧⎪⎪⎪--+-=⇒=-⎨⎨⎪⎪--==⎩⎪⎩，所以标准方程为()()221325x y -++=.故答案为:2220x y x +-=，()()221325x y -++=19.如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）．若AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为________，点S 与P 距离的最小值是________．【答案】①.2②.【解析】【分析】建系，根据空间向量的垂直关系可得点P 的轨迹方程为34y =.空1：根据圆的弦长公式运算求解；空2：根据空间中两点间距离公式运算求解.【详解】由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示．则()()(0,1,0,0,1,0,0,0,,0,0,3A B S M ⎛- ⎝⎭，设(),,0P x y，则0,1,,,,22AM MP x y ⎛⎛==- ⎝⎭⎝⎭uuu r uuu r ，因为AM ⊥MP，则01022AM MP x y ⎛⎫⋅=⨯+⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，解得34y =，所以点P 的轨迹方程为34y =，空1：根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2=；空2：因为SP =，所以当0x =时，点S 与P距离的最小，其最小值为574．故答案为：2；4.20.已知圆22:(6)9C x y -+=，点M 的坐标为(2,4)，过点(4,0)N 作直线l 交圆C 于A B 、两点，则MA MB +的取值范围为______【答案】812MA MB ≤+≤.【解析】【分析】取AB 中点为D ，连接MD ，CD ，确定点D 的轨迹为以NC 为直径的圆，根据MF r MD MFr -≤≤+得到答案.【详解】取AB 中点为D ，连接MD ，如图所示：则CD ND ⊥，又()6,0C，(4,0)N ，(2,4)M 故点D 的轨迹为以NC 为直径的圆，圆心为()5,0G ，半径为1r =，因为2MA MB MD +=，5MG =，所以MG r MD MG r -≤≤+，即46MD ≤≤，则812MA MB ≤+≤.故答案为：812MA MB ≤+≤.三、解答题（前两题每题12分，后两题每题13分，共50分）21.已知点()1,2P -，直线1:430l x y ++=和2:3550l x y --=（1）过点P 作1l 的垂线PH ，求垂足H 的坐标；（2）过点P 作l 分别于12,l l 交于点A B 、，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程．【答案】（1）2133,1717H -⎛⎫⎪⎝⎭（2）310x y ++=【解析】【分析】（1）由直线的位置关系求PH 方程，再联立求解交点坐标，（2）设出A 点坐标，由中点表示B 点坐标，分别代入直线方程联立求解．【小问1详解】1:430l x y ++=，即43y x =--，则14PH k =，直线PH 为()1124y x =++，即490x y -+=，联立方程430490x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得21173317x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133,1717H -⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小问2详解】不妨设()00,A x y ，则()002,4B x y ---，则()()0000430325450x y x y ++=⎧⎨-----=⎩，解得0025x y =-⎧⎨=⎩，故直线l 过点()1,2P -和点()1522,5,321k --==--+，故直线方程为()312y x =-++，即310x y ++=．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，PC =，点E 是棱PB 的中点，点F 是棱PC 上的一点，且2PF FC =.（1）证明：平面AEC ⊥平面PBC ；（2）求平面AEF 和平面AFC 夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）4π.【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEC 与平面PBC 的法向量，从而可证明.（2）分别求出平面AEF 和平面AFC 的法向量，利用向量法可求解.【小问1详解】如图，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以()()()0,0,0,3,0,0,3,3,0A B C ，设()0,0,0()P t t >，则PC ==，解得3t =，即()0,0,3P .则()3333,0,,,0,,3,3,02222E AE AC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33022330x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令1x =，解得1,1y z =-=-，所以平面AEC 的一个法向量为()1,1,1n =--.因为()()0,3,0,3,0,3BC BP ==- ，设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =，所以0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11130330y x z =⎧⎨-+=⎩，令11x =，解得110,1y z ==，所以平面PBC 的一个法向量为()1,0,1m =，又0m n ⋅=，所以平面AEC ⊥平面PBC ；【小问2详解】()()113,3,31,1,133CF CP ==⨯--=-- ，所以()2,2,1AF AC CF =+=.设平面EAF 的一个法向量为()1222,,n x y z =，所以1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22222330,22220,x z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩令21x =，解得221,12y z =-=-，所以平面EAF 的一个法向量为111,,12n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面CAF 的一个法向量为()2333,,n x y z =，则2200n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33333330,220,x y x y z +=⎧⎨++=⎩令31x =，解得331,0y z =-=，所以平面CAF 的一个法向量为()21,1,0n =-.12121232cos ,2n n n n n n ⋅==⋅，所以平面AEF 和平面AFC 夹角的大小为4π23.已知圆M与直线340x +=相切于点(，圆心M 在x 轴上.（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线l ：(21)(1)74m x m y m +++=+()m ∈R 与圆M 交于P ，Q 两点，求弦PQ 的最短长度.【答案】（1）22(4)16x y -+=（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，设出圆的方程，再结合两点之间的距离公式，以及直线垂直的性质，即可求解．（2）先求出直线l 的定点，再判断定点在圆内，再结合垂径定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．【小问1详解】依题意， 圆心M 在x 轴上，∴可设圆的方程为222()x a y r -+=，圆M与直线340x -+=相切于点，∴()2217711a r a⎧-+=⎪⎨=-⎪-⎩，解得4a =，4r =，故圆的方程为22(4)16x y -+=．【小问2详解】直线l ：(21)(1)74m x m y m +++=+，()2740m x y x y ∴+-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，∴直线l 过定点(3,1)D ，又圆M 的方程为22(4)16x y -+=．所以圆心(4,0)M ，半径4r=，4<，故定点(3,1)D 在圆M 的内部，当直线MD 与直线l 垂直时，弦PQ 取得最小值，()3,1D ，(4,0)M ，∴DM =，∴弦PQ 的最短长度为==．24.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，//AB DC ，,222AB BC AB BC CD ⊥===，AE BE ==M 为BE 的中点.（1）求证：//CM 平面ADE ；（2）在线段AD 上是否存在一点N ，使直线MD 与平面BEN 所成的角正弦值为21，若存在求出AN 的长，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在求出AN 的.【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算，求直线与平面的夹角的正弦值，即可求解.【小问1详解】取AE 的中点P ,连接,,MP DP∵AE BE ==∴ABE 是等腰三角形，∵点M 为BE 的中点.∴.//MP AB ,2=MP AB ,∵,2//AB DC AB CD =,可得四边形CDPM 是平行四边形，∴//CM DP ,又∵DP ⊂平面,ADE CM ⊄平面ADE ，∴.//CM 平面ADE ;【小问2详解】取AB 中点为O ，连接,DO EO ,则有//DO BC ,因为,AB BC ⊥所以,AB DO ⊥因为平面ABCD ⊥平面ABE ，交线为AB ,DO ⊂平面ABCD ，所以DO ⊥平面ABE ，且,OE OB ⊂平面ABE ，所以,DO OE DO OB ⊥⊥,且在等腰三角形ABE 中，OE OB ⊥，所以以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，())()()0,1,0,,0,1,1,0,0,1,B E CD ()()1,,0,0,1,0,0,1,1,22M A AD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭假设AD 上存在一点N ，设()01,AN AD λλ=≤≤则()())0,1,,0,2,,1,0,N BN BE λλλλ-=-=-1,,1,22MD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设平面BEN 的一个法向量为(,,)m x y z =，则(2)0m BN y z m BE y λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取,y λ=则2x z λ==-，所以,2m λλ⎫=-⎪⎭，设直线MD 与平面BEN 所成的角为α，则sin α=，即cos ,21MD m MD m MD m⋅==⋅，整理得，21634130λλ-+=，解得12λ=或138λ=（舍去），故得到AN 的长为1222AN AD ==.。
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线3x +2y−3=0和直线6x +my +1=0互相平行，则m 的值为( )A. −9B. 32C. −4D. 42.若两个非零向量a ，b 的夹角为θ，且满足|a |=2|b |，(a +3b )⊥a ，则cosθ=( )A. −23B. −13C. 13D. 233.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x +ay +8=0互相垂直，则a =( )A. 1B. −3C. −1或3D. −3或14.为了得到函数y =sin (5x +π3)的图象，只要将函数y =sin5x 的图象( )A. 向左平移π15个单位长度 B. 向右平移π15个单位长度C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5.过点(3,−2)且与椭圆4x 2+9y 2−36=0有相同焦点的椭圆方程是( )A. x 215+y 210=1 B. x 25+y 210=1 C. x 210+y 215=1 D. x 225+y 210=16.已知圆的方程为x 2+y 2−2x =0，M(x,y)为圆上任意一点，则y−2x−1的取值范围是( )A. [− 3,3]B. [−1,1]C. (−∞,− 3]∪[3,+∞)D. [1,+∞)∪(−∞,−1]7.已知圆C ：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m ，0)，B(m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的最大值为 ( )A. 7B. 6C. 5D. 48.已知向量a ，b 满足|a |=1，|2a +b |+|b |=4，则|a +b |的取值范围是( )A. [2−3,2]B. [1,3]C. [2− 3,2+3]D. [3,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。
天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．{}0B ．{}6,8C ．{}0,6,8D ．{}2,4,6,82．在空间直角坐标系中，点(3,1,5)M -，关于x 轴对称的点的坐标是A ．()3,1,5---B ．()3,1,5--C ．()3,1,5-D ．()3,1,5--3．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（）A ．()1,0,0a = ，()0,2,0b = ，1(,2c = B ．()1,0,0a =，()0,1,0b = ，()0,0,2c = C ．()1,0,1= a ，()0,1,1b = ，()2,1,2c =D ．()1,1,1a = ，()0,1,0b = ，()1,0,2c =4．已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-5．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA = ,则EF等于A ．121+232OA OB OC-B ．211+322OA OB OC-+C ．111222OA OB OC+-D ．211322OA OB OC--6．若直线1x ya b-=过第一、三、四象限，则实数,a b 满足（）A ．0,0a b <<B ．0,0a b <>C ．0,0a b >>D ．0,0a b ><7．已知直线l 的一个方向向量为ππsin ,cos 33p ⎛⎫= ⎝⎭ ，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π38．已知直线310kx y k --+=，当k 变化时，所有直线都恒过点（）A ．()0,0B ．()0,1C ．()2,1D ．()3,19．已知()2,4A ，()1,1B 两点，直线l 过点()0,2C 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．(][),11,-∞-+∞B ．(][),22,-∞-+∞UC ．[]1,1-D ．[]22-,10．若曲线y =()21y k x =++仅有一个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．{}11,03⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．{}11,03⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 二、填空题11．已知空间向量()2,3,4a = ，()1,0,1b =- ，那么a 在b上的投影向量为.12．已知向量(2,,1),(2,1,1)a t b =--= ，若a与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是．13．已知直线12:3450,:6850l x y l x y +-=++=则1l 与2l 的距离d =.14．在棱长为2的正方体ABCD A B C D -₁₁₁₁中E BC ，为中点，则点1B 到直线1A E 的距离为15．已知(,0),(,0)(0),A m B m m ->若圆22:68210C x y x y ++-+=上存在点P ，使得222||||4PA PB m +=，则m 的范围．三、解答题16．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，7,8,5a b c ===．(1)求角A 的值；(2)求sin B 的值．17．已知直线1:(4)(6)160l m x m y +++-=与直线2:6(1)80l x m y +--=．(1)当m 为何值时，1l 与2l 相交；(2)当m 为何值时，1l 与2l 平行，并求1l 与2l 的距离；(3)当m 为何值时，1l 与2l 垂直．18．已知点M (3，1)，圆O 1：(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=4.（1）若直线ax ﹣y +4=0与圆O 1相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为a 的值；（2）求过点M 的圆O 1的切线方程.19．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===∠=∠=∠=︒．(1)证明：1AC BD ⊥；(2)求1AC 的长；(3)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥π,2QA PDA PDC ∠∠==，且22AD PD QA ===.(1)求证：QB∥平面PDC；--的平面角大小.(2)求二面角C PB Q(3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB H的位置.。
北京市顺义区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷含答案
顺义2024-2025学年第一学期月考高二年级数学试卷（答案在最后）一、选择题（每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填涂在答题卡相应的位置上）1.空间任意四个点,,,A B C D ，则DA CD CB +-=（）A.DBB.ACC.ABD.BA【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量加减运算法则得到答案.【详解】C D C A A D B CA B CB +-=-=.故选：D2.直线20x --=的倾斜角是（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】A 【解析】【分析】先得到直线斜率，从而求出倾斜角.【详解】3232033x y x --=⇒=-，故斜率为33，故倾斜角为30︒.故选：A3.若直线经过()(1,0,A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.135︒【答案】C 【解析】【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】由直线经过()(1,0,A B 两点，可得直线的斜率为3021-=-，设直线的倾斜角为θ，有tan θ=，又0180θ≤< ，所以60θ= .故选：C.4.已知直线l 的一个方向向量为()3,2a =-，则直线l 的斜率为（）A.32-B.23-C.23 D.32【答案】B 【解析】【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率.【详解】因为直线l 的一个方向向量为()3,2a =-，所以直线l 的斜率为23-.故选：B5.过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（）A.210x y +-=B.250x y +-= C.250x y +-= D.270x y -+=【答案】A 【解析】【分析】由题意可得直线230x y -+=的斜率为12，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果．【详解】解：由题意可得直线230x y -+=的斜率为12，则过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线斜率为2-，直线方程为32(1)y x -=-+，化为一般式为210x y +-=．故选：A ．6.若直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m =（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由l α⊥可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，列方程组求解即可.【详解】∵直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，则存在实数λ使()12,1,1,,22m λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得2,4m λ==，故选：D.7.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +- D.221332a b c-+- 【答案】B 【解析】【分析】根据给定的几何体，利用已知的空间基底表示向量MN.【详解】在空间四边形OABC 中，11111((323))2)2(MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA =+=++=+-+- 211211322322OA OB OC a b c =-++=-++.故选：B8.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6【答案】B 【解析】【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D ，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =--，若它们夹角为θ，则222cos ||2(1)1(2)233a a a a θ==⨯-++-⋅-+令1[1,1]t a =-∈-，则22cos 112121t t t tθ==⋅++⋅++，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，6cos (0,]6θ∈；当0t =则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t∞∈--，2cos (0,2θ∈；所以π3cos62=不在上述范围内，错.故选：B二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡相应的位置上）9.已知()2,1,3a =- ，()1,2,1b =- ，则a b ⋅= ______；a 与b夹角的余弦值为______．【答案】①.7②.2161216【解析】【分析】利用空间向量数量积公式和夹角余弦公式进行求解【详解】()()2,1,31,2,12237a b ⋅=-⋅-=++=，a 与b夹角的余弦值为216419141a b a b⋅==++⨯++⋅ .故答案为：7，21610.设()3,5,4a =- ，()2,1,2b =-- ，则2a b =-r r ______；2a b -= ______．【答案】①.()1,7,0-②.52【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则得到()1,72,0a b =--rr ，并利用模长公式求出答案.【详解】()()()()()23,5,422,1,23,5,440,2,41,7,a b =-=------=---rr；214902a b -=++故答案为：()1,7,0,52-11.若直线1:10+-=l mx y 与2:(43)10l m x my -+-=平行，则实数m =______.【答案】3【解析】【分析】根据两直线平行，列出有关m 的等式，即可求出实数m 的值，再验证直线的关系.【详解】由于1l 与2l 平行，则()2430m m --=，则1m =或3m =，当1m =时，1:10l x y +-=，2:10l x y +-=，两直线重合，当3m =时，1:310l x y +-=，2:9310l x y +-=，两直线平行.故答案为：3.12.如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①直线DD 1的一个方向向量为()0,0,1；②直线BC 1的一个方向向量为()0,1,1；③平面ABB 1A 1的一个法向量为()0,1,0；④平面B 1CD 的一个法向量为 恈 恈 ；则上述结论正确的是___________（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可.【详解】设正方体的棱长为1.因为11//AA DD ，且()10,0,1AA =，所以①正确；因为11//AD BC ，()10,1,1AD =，所以②正确；因为AD ⊥平面11ABB A ，()0,1,0AD =，所以③正确；因为正方体中CD ⊥平面11B BCC ，1BC ⊂平面11B BCC ，所以1CD BC ⊥，又11BC B C ⊥，1B C CD C ⋂=，1,B C CD ⊂平面1B CD ，所以1⊥BC 平面1B CD ，而1BC 与1AC 相交，不平行，1AC 与平面1B CD 不垂直，故()11,1,1AC =不是平面1B CD 的法向量，所以④错误.故答案为：①②③.三、解答题（共4小题，共60分，在答题卡相应位置上写出详细的解答过程）13.已知ABC V 的三个顶点为()4,0A ，()0,2B ，()2,6C ．（1）求AC 边所在的直线方程．（2）求AC 边上的高BD 所在直线的方程；（3）求BC 边上的中线AE 所在直线的方程．【答案】（1）3120x y +-=（2）360x y -+=（3）43160x y +-=【解析】【分析】（1）两点式求出直线AC 的方程，化为一般式即可；（2）根据垂直关系，设出BD 所在直线方程为30x y t -+=，将()0,2B 代入，求出6t =，得到答案；（3）求出()1,4E ，两点式求出直线方程，化为一般式即可.【小问1详解】AC 边所在的直线方程为046024y x --=--，即3120x y +-=；【小问2详解】设AC 边上的高BD 所在直线方程为30x y t -+=，将()0,2B 代入得060t -+=，解得6t =，故AC 边上的高BD 所在直线方程为360x y -+=；【小问3详解】线段BC 的中点坐标为0226,22E ++⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,4E ，故BC 边上的中线AE 所在直线方程为410441y x --=--，即43160x y +-=.14.已知1111ABCD A B C D -是正方体，点E 为11A B 的中点，点F 为11B C 的中点．（1）求证：1⊥BD EF ；（2）求平面EFC 与平面BFC 夹角的余弦值．（3）求点1C 到直线1BD 的距离．【答案】（1）证明过程见解析（2）23（3）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到10BD EF ⋅=，求出垂直关系；（2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式得到答案；（3）利用点到直线距离向量公式求出答案.【小问1详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()12,2,0,0,0,2,2,1,2,1,2,2,0,2,0B D E F C ，故()()12,2,21,1,0220BD EF ⋅=--⋅-=-= ，故1BD EF ⊥uuu r uu u r ，所以1⊥BD EF ；【小问2详解】由图可知，平面BFC 的法向量为()0,1,0m =，设平面EFC 的法向量为(),,n x y z =，则()()()(),,1,1,00,,1,0,220n EF x y z x y n CF x y z x z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令1z =得2,2x y =-=-，故()2,2,1n =--，平面EFC 与平面BFC 夹角的余弦值为()()0,1,02,2,123441m nm n ⋅--⋅==⋅++；【小问3详解】()10,2,2C ，()12,2,2BD =-- ，()()()12,2,00,2,22,0,2C B =-=-，点1C 到直线1BD 的距离为()()22211112,0,22,2,264043444C B BD d C B BD ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪=-=++- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==．（1）求证：//AD 平面PBC ；（2）求直线BD 平面PCD 夹角的正弦值；（3）求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）12（3【解析】【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明；（2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线BD 平面PCD 夹角的正弦值；（3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案.【小问1详解】因为底面ABCD 为正方形，所以//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以//AD 平面PBC ；【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,2,0B D P C ，设平面PCD 的法向量为 恈 恈 ，则()()()(),,2,2,22220,,0,2,2220m PC x y z x y z m PD x y z y z ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ ，令1y =，则1,0z x ==，则()0,1,1m =，直线BD 平面PCD 夹角的正弦值为1cos ,2BD m BD m BD m⋅===⋅ ；【小问3详解】由（2）知，平面PCD 的法向量为()0,1,1m =，点B 到平面PCD 的距离为BC m m ⋅=== 16.如图，在四面体ABCD 中，AD⊥平面ABC ，点M 为棱AB 的中点，2,2AB AC BC AD ====.（1）证明：AC BD ⊥；（2）求平面BCD 和平面DCM 夹角的余弦值；（3）在线段BD 上是否存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为6？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）223（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB AC ⊥，由AD ⊥平面ABC 得AD AC ⊥，从而AC ⊥平面ABD ，进而得出结论；（2）以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD 与平面DCM 的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设()01BP BD λλ=≤≤，则BP BD λ= ，求得22,0(,2)P λλ-，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意sin cos ,PC n PC n PC n θ⋅== ，列式求解即可.【小问1详解】∵2,AB AC BC ===，∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，∵AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AD AC ⊥，∵AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD ，∵BD ⊂平面ABD ，∴AC BD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0)A B C D M ，(2,2,0),(0,2,2),(1,2,0)BC CD CM =-=-=- ,设平面BCD 的法向量为111(,,)m x y z = ，由1111220220m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则111,1==y z ，(1,1,1)m = ，设平面DCM 的法向量为222(,,)n x y z = ，由222222020n CD y z n CM x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则222,1x z ==，(2,1,1)n = ，∴cos ,3m n m n m n ⋅=== ，∴平面BCD 和平面DCM夹角的余弦值为3.【小问3详解】设()01BP BDλλ=≤≤，则BP BD λ= ，设(,,)P x y z ，则()()2,,2,0,2x y z λ-=-，得22,0,2x y z λλ-=-==，∴22,0(,2)P λλ-，()22,2,2PC λλ=-- ，平面DCM 的法向量为(2,1,1)n = ，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意，6sin cos ,6PC n PC n PC n θ⋅==== ，∴210λ+=，此方程无解，∴在线段BD 上是不存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为66.。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。
河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年高二上期10月月考数学试卷考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倾斜角是( )A. B. C.D.2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k 等于( )A. 4B. -4C. 5D. 3.若双曲线离心率为2，过点，则该双曲线的方程为( )A. B. C. D. 4．若圆：与圆：相切，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．9或115．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A 到B 走过的路程为（）AB ．CD ．6．如图，棱长为1的正方体，中M ，N 点，分别是线段，的中点，记E 是线段的中点，则点E 到面的距离为（）10y --=3π-6π-6π3πα(1,2,2)a =-β(2,4,)b k =-- αβ⊥5-2222:1x y C a b-=2221x y -=2213y x -=22531x y -=22126x y -=1C ()()22121x y ++-=2C ()()22256x y r -++=r =()1,0A 10x y ++=()6,5B -1111ABCD A B C D -1BB 1DD 1MC 1ANBA．BCD ．7．已知，，动点P 满足，则点P 的轨迹与圆相交的弦长等于（）A ．BCD8．棱长为2的菱形ABCD 中，，将沿对角线BD 翻折，使A 到P 的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥B ．C ．存在某个位置，使得D ．存在某个位置，使得面BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．以下四个命题正确的有（）A ．直线与直线B ．直线l 过定点，点和到直线l 距离相等，则直线l 的方程为C ．点到直线D ．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（）A ．在四面体OABC 中，若，则A ，B ，C ，G 四点共面B ．若G 是四面体OABC 的底面三角形ABC 的重心，则C ．已知平行六面体的棱长均为1，且，则2313()2,0A -()2,0B PAPB=224x y +=60BAD ∠=︒ABD △P BCD -P BCD -CD PC⊥CD PB⊥CP ⊥220x y +-=2410x y ++=()0,1-()3,4A --()6,3B 330x y -++=()1,210x y +-=a R ∈210ax y +-=()120a x ay a +-+=3a =151266OG OA OB OC =-++()13OG OA OB OC=++1111ABCD A B C D -1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒对角线D ．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为11“黄金椭圆”，在椭圆中，，，，分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，，是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（）A ．轴且B ．C ．四边形的内切圆过D ．非选择题部分三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知椭圆C ：，则椭圆的短轴长为______．13．已知，过定点M 的动直线与过定点N 的动直线相交于点P ，则的最大值是______．14．已知一张纸上画有半径为4的圆O ，在圆O 内有一个定点A ，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C ．则曲线C 上的点到点O 的最大距离为______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）如图，在正方体中，E 为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．1AC =p mx n y k z =++ (),,m n k p {},,x y z p{},,a b c ()1,2,3p {},,a b a b c -+ 13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>1A 2A 1B 2B 1F 2F 1PF x ⊥21//PO A B 2121122F F A F A F =1122A B A B 1F 2212A B F B ⊥2221x y +=a R ∈310ax y a --+=310x ay a +--=PM PN 2OA =A 'A 'OA '1111ABCD A B C D -1BB 1A C ⊥11AB D 1CC 1AD E16．（本小题15分）圆C 过点和，圆心C 在直线上．（1）求圆C 的标准方程（2）直线l 经过点，且被圆C 所截得的弦长为4，求直线l 的方程17．（本小题15分）已知O 为坐标原点，是椭圆C：的左焦点，点P 是椭圆的上顶点，以点P 为圆心且过的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C 的方程（2）斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，求面积的最大值18．（本小题17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD ，，，BD 是的平分线，且，二面角的大小为60°．（1）若E 是棱PC 的中点，求证：平面PAD（2）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的夹角的余弦值19．（本小题17分）已知圆O 的方程为，与x 轴的正半轴交于点N ，过点作直线与圆O交于A 、B 两点．（1）若坐标原点O 到直线AB 的距离为1，求直线AB 的方程；（2）如图所示，已知点P(-4,0), 一条斜率为－1的直线交圆于R ，S 两点，连接PS ，PR ，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．()4,2A ()1,3B 1y x =-()1,1P -()11,0F -()222210x y a b a b+=>>1F x =AOB △P ABCD -PAD ⊥2PA AD ==4BD =AB =ADC ∠BD BC ⊥P AB D --//BE 2216x y +=()3.0M NPS ∠NPR ∠NPS NPR ∠+∠高二年级数学答案一、选择题：1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 二、选择题；9．ACD 10．BCD 11．CD三、填空题；1213．4 14．3四、解答题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，面，则，又，，∴面，则同理，，∴平面（Ⅱ）解法一：以A 为原点，AD 、AB 、分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a ，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，设直线与平面所成角为θ，则，故直线与平面所成角的正弦值为．BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥11AB A B ⊥1BC A B B = AB ⊥1A BC 11AB A C⊥111B D A C ⊥1111B D AB B = 1A C ⊥11AB D 1AA ()0,0,0A ()10,0,A a =()1,0,D a a 10,,2E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()10,0,AA a = ()1,0,AD a a = 10,,2AE a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1AD E (),,m x y z = 10m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0102a x z a y z +=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩2z =2x =-1y =-()2,1,2m =--1AA 1AD E 11122sin cos ,33m AA a m AA a m AA θ⋅====⋅⋅1CC 1AD E 23解法二：设正方体的棱长为，则，，，， 由余弦定理知，∴，∴，设点到平面的距离为h ，∵，∴，∴，设直线与平面所成角为θ，则．故直线与平面所成角的正弦值为．16．（1）AB 的中垂线方程为，联立，知，则∴圆C 的标准方程是（2）若直线l 的斜率不存在，直线l ：，弦长，成立若直线l 的斜率存在，设直线l ：，圆心C到直线l 的距离为1，，则直线l ：∴直线l ：或17．（1）∴椭圆C 的方程为（2）设，，直线l ：联立方程，得2a 1AD =AE =13ED a =1212222AA D S a a a =⋅⋅=△2221111cos 2AD AE ED EAD AD AE +-∠===⋅⋅1sin EAD ∠=12111sin 32EAD S AD AE EAD a =⋅⋅∠=△1A 1EAD 111A EAD E AA D V V --=221132233h a a a ⋅=⋅⋅43h a =1AA 1AD E 1423sin 23a h AA a θ===1CC 1AD E 2335y x =-351y x y x =-⎧⎨=-⎩()2,1C r =()()22215x y -+-=1x =4=()11y k x +=-134k =3744y x =-1x =3744y x =-a =1c =2212x y +=()11,A x y ()22,B x y y x m=+2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2234220x mx m ++-=∵直线l 交椭圆C 于A ，B 两点 ∴，得，∴弦长又点O 到直线l 的距离∴当，即时取得等号 ∴18．解：（1）取CD 中点F ，连接BF ，EF ∵ ∴，则而B D 是的平分线，则，从而，则，BF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD E ，F 分别是PC ，CD 的中点，则，EF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD ，又∴平面平面PAD ∴平面PAD（2）由题知，，又面面ABCD ，得面PAD 则是二面角的平面角，即，是等边三角形，如图建系，，，设平面PAB 的一个法向量为，则，得，令，则()221612220m m ∆=-->23m <1243m x x +=-212223m x x -=2ABx =-=d 1122S AB d =⋅==≤232m =m =max S =BDBC ⊥BF DF =FDB FBD∠=∠ADC ∠FDB ABD ∠=∠FBD ADB ∠=∠//BF AD AD ⊆//BF//EF PD PD ⊆//EF EF BF F= //BEF //BE BA AD ⊥PAD ⊥BA ⊥PAD ∠P AB D --60PAD ∠=︒PAD ∆(P ()1,0B -()0,1,0D ()C ()1,,n x y z =1100n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1z =()10,n =同理平面的PCD 一个法向量，设平面PAB 与平面PCD 的夹角为α则∴平面PAB 与平面PCD19．（1）若直线AB 的斜率不存在，距离为3，不符合若直线AB 的斜率存在，设直线AB ：，得∴直线AB 的方程为（2）设直线RS ：，，记，，联立方程，得 ∴，，∴，∴∵，都是锐角 ∴的定值．()1n =-1212cos n n n n α⋅==()3y k x =-1=k =y x =y x =y x m =-+()11,R x y ()22,S x y 111tan 4y k NPR x ==∠+222tan 4y k NPS x ==∠+2216x y y x m⎧+=⎨=-+⎩2222160x mx m -+-=12x x m +=212162m x x -=()12122y y x x m m +=-++=()()21212162m y y x m x m -=-+-+=()1212121244tan tan tan 1tan tan 144y yx x NPS NPRNPS NPR y y NPS NPR x x +++∠+∠∠+∠==-∠⋅∠-⋅++()()()12121212122484161416416x x m x x m m x x x x y y m -+-+++===+++-+NPS ∠NPR ∠0NPS NPR π<∠+∠<4πNPS NPR ∠+∠=。