1-4复变函数的极限和连续

则称当z
| f (z) |
在E 中趋于无穷大
时
作
趋于
f (z)
，记
lim f (z)
zE , z
14
函数在某点处连续性的判别
基本解法：
(1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是
否连续
若都连续，则f(z)在z0连续 若不连续，则
9
例 2 证明 : 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 点 z0 处也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
由 f (z) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x, y) 和 v( x, y) 也在 ( x0 , y0 )处连续, 故 f (z) 在 z0 连续.
举例说明如下： f (z) ln( x2 y2 ) i( x2 y2 ), u( x, y) ln( x2 y2 ) 在复平面内除原点外处处连 续, v( x, y) x2 y2 在复平面内处处连续, 因此
f (z) 在复平面内除原点外处处连续.
7
该定理将复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)的 连续性问题与两个二元实函数 u( x, y)和 v( x, y) 的连续性问题密切联系在一起.
(2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式, Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
定理 4 设 f (z)在有界闭区域 D (或有限长连续曲 线 C ) 上连续，则 f (z) 在 D (或 C ) 上有界. 即存在 M 0, 当 z D (或C )时， f (z) M .
且 z1, z2 D
| f (z1) f (z2 ) |
12
定义：如果对于任给定常数 A ，0 存 在 ( A，) 使0当 ， z E 0 | 时z ，z0 有|
则称当z在E 中| 趋f (z于) |时A
作
z0
趋于无穷大 ，记
f (z)
lim f (z)
zE , zz0
13
定义：如果对于任给定常数ε>0 ，存 在 ( )，使0 当 且z E 时| ，z |有
定理 2 在 z0 连续的两个函数 f (z) 和 g(z)的和、 差、积、商(分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.
定理 3 设 函数 h g(z) 在 z0 连续, 函数 w f (h) 在 h0 g(z0 ) 连续, 那末复合函数w f [g(z)]在 z0 处连续.
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(1) 多项式 w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 在复平面内的所有点z 都是连续的;
§1-4 复变函数的极限和连续
一、复变函数的极限 二、复变函数的连续性
1
一、 复变函数的极限
定义 1 设复变函数w f (z) 在 z0 的某个去心邻
域 0 z z0 内定义, A是一个复常数. 若对 任意给定的 0, 总存在 ( ) 0 (0 ), 使得当 0 z z0 时, 有 f (z) A , 那末
2 (z)] A1 A2 (z)] A1 A2
lim f1(z) A1 zz0 f2 ( z) A2
4
例1 证明: 当 z 0时, 函数 f (z) z (z 0)的 z
极限不存在.
证明 当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim f (z) lim x ikx 1 ik
然后，利用教材24页定理2，分别求两个函数u(x,y)和 v(x,y)的极限，即
lim f (z) lim f (z) lim u(x, y) i lim v(x, y)
zz0
xx0 y y0
xx0 y y0
xx0 y y0
例
lim
zz0
|
z
||
z0
|
因为|z|在整个复平面上连续
P27,6
18
)
或
lim
xx0
v(
x,
y)
v(
x0 ,
y0
)
y y0
y y0
15
证明argz在原点和负实轴不连续
由于
arg
z
arccos
x2
arccos
x y2
x
( y 0)
是分段定义的二元函数
( y 0)
x2 y2
当y>0或y<0时，显然是连续的。只要考虑y=0上的点函数
argz是否连续即可。
(1)由于当x0>0时有
f(z0)无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在
lim
zz0
f (z)
不存在或存在但
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
只需验证 z
z0
在某方向上
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
或存在某方向 (x, y) (x0, y0) 时，有
lim
xx0
u(
x,
y)
u(
x0 ,
y0
f ( x, y) u2( x, y) v2( x, y) 在 ( x0 , y0 )处连续, 因 f (z0 ) 0, 所以 f (z0 ) 0, 由二元函数连续性, 必存在 ( x0 , y0 ) 的某个邻域，使得 f (z) 0, 因而 f (z) 0.
11
与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证
得以下定理
定理5 函数 f (在z)简单曲线 （C包括两端点）或
者有界闭区域 D上连续，则
⑴ | f (在z) | 或C者 为连D续；
⑵ | f (z在) | 它上能取到最大值与最小值；
⑶ f (在z) 它上一致连续，即对任意的 ,存 0
在 (，) 使0 当 | z1 z2 |时 ，有
z或1, z者2 C
lim f (z) A lim u(x, y) a
zz0
xx0 y y0
lim v(x, y) b
xx0 y y0
复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在 一点的极限来讨论
3
定123）））理当3zlizlmimz设A0z[02[ff11z时l(i(0mzzz))0，fkf
(
f
2
z) Ak，(k 则1,有2)
本章主要内容 复数表示法
复 数 曲线与区域
复数的运算
定义表示法 平面表示法 向量表示法 三角表示法 指数表示法 球面表示法
共轭运算 代数运算 乘幂与方根
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本章注意两点
复数运算和各种表示法 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
20
第一章 完
21
lim
x x0
arc
c
0 y0
x arccos x2 y2
x 0 x2 y2
x0 0 x02 02
即当x x0且 y 0 时，函数的极限值等于在点(x0,0)处 的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在 正实轴连续。
16
(2) argz在z=0点无意义，因此不连续
称 f (z) 在区域D内连续.
关于f (z)在连续曲线C和闭区域 D上连续的概 念, 只要把上述定义中的z 限制在C或 D上即可.
6
定理 1 设 f (z) u( x, y) iv( x, y)，则函数 f (z) 在 z0 x0 iy0 连续的充分必要条件是 u( x, y), 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处连续.
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例 3 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 且 f (z0 ) 0 , 则必存在 z0 的某个邻域，使得 f (z) 0 . 证 由 f (z) u( x, y) iv( x, y)在 z0 点连续， 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 因此
(3) 在y＝0，x<0的半直线上
可是
lim
xx0 y0
arc
c
os
x x2
y2
arg
z0
arccos
x0 x0
arccos(1)
所以分段定义的二元函数argz在y=0且x<0这些点处不连续
综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处 连续。
f(z)=|z|的连续性？
f (z) x2 y2 是复变实值函数，是x,y的二元连续函数， 因此在整个复平面上连续。
z0
x0 x ikx 1 ik
ykx
该极限值随 k 值的变化而变化,
所以lim f (z) 不存在. z0
5
二、函数的连续性
定义 2 （1）设f (z)在 z0 的某邻域内有定义，且
lim
z z0
f (z)
f
( z0 )
则称 f (z)在 z0 处连续.
（2）如果 f (z) 在区域 D内的每一点连续, 则
P26,4 证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实 轴上不连续性。
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函数极限的求法和极限不存在的判别法
方法1：当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一 点处连续的定义来求极限。即
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
方法2：当不能判断f(z)在z0点是否连续时，
首先，把f(z)写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。
则称当 z 趋向于 z0 时，f (z)以A为极限.