复变函数的极限和连续
复变函数第2章
第二章 解析函数1. 复变函数：()w f z =w =f (z )又常写成w =u (x ,y )+iv (x ,y )，从而对复变函数f (z )的讨论可相应地 转化为对两个实函数u (x ,y )和v (x ,y )的讨论.2.复变函数的极限与连续：定义2.2 设函数w =f (z )定义在z 0的去心邻域0<|z -z 0|<r 内，若存在常数A ，对于任意给定的0ε>,都存在一正数(0)r δδ<≤,使得当0<|z -z 0|<δ时,有()f z A ε<-,则称函数f (z )当0z z →时的极限存在，常数A 为其极限值.记作0lim ()z z f z A →=或 0()()f z A z z →→.定理2.1 设f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ),z 0=x 0+iy 0,A =a +ib ，则000(,)(,)lim ()lim (,),z z x y x y f z A u x y a →→=⇔= (2.1) 00(,)(,)lim (,).x y x y v x y b →= (2.2)定义 2.3 若00lim ()()z z f z f z →=，则我们就说函数 f (z ) 在点 z 0 处连续. 如果函数f (z )在区域D 内每一点都连续，那么称函数f (z )在区域D 内连续.定理2.5 设函数000()(,)(,),f z u x y iv x y z x iy =+=+,则f (z )在点z 0连续的充分必要条件是u (x ,y )、v (x ,y ) 均在点(x 0,y 0)连续.3.复变函数的导数定义2.4 （导数的定义）设函数w =f (z )定义在z 平面上区域D 内，点z 0、z 0+Δz D ∈, 00Δ(Δ)()w f z z f z ∈=+-,若极限00Δ0Δ0(Δ)()Δlimlim ΔΔz z f z z f z w z z →→+- 存在,则称函数f (z ) 在 z 0可导,这个极限值称为f (z )在z 0的导数,记作00000Δ0(Δ)()d ()d lim ().d d Δz z z z z f z z f z f z w f z z z z==→+-='== (2.3) 由于复变函数导数的定义在形式上和一元实函数的导数定义一致，并且复变函数中的极限运算法则与实函数中一样，所以微积分中几乎所有的关于函数导数的计算规则都可以不加更改地推广到复变函数中来.4.解析函数的概念定义2.6 若函数f (z )在点z 0及z 0的邻域内处处可导，则称函数f (z )在点z 0解析.若函数f (z )在区域D 内每一点都解析，则称函数f (z )在区域D 内解析，或称f (z )是D 内的解析函数.若f (z )在点z 0不解析，但在z 0的任一邻域内总有f (z )的解析点，则称z 0为f (z )的奇点.5.函数可导与解析的充要条件定义2.6 对于二元实函数u (x ,y )和v (x ,y )，方程,.u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ (2.5) 称为柯西-黎曼方程（简记为C-R 方程）.定理2.7 设函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内有定义，则f (z )在区域D 内一点z =x +iy 可导的充要条件是(1) 二元实函数u (x ,y )和v (x ,y )在点(x ,y )可微；(2) u (x ,y ),v (x ,y )在点(x ,y )满足柯西-黎曼方程.6.初等函数（1）指数函数定义2.7 对于复变数z =x +iy ，定义指数函数为:e e e (cos sin ).z x iy x y i y +==+e z 又用记号exp(z )表示.（2）对数函数定义2.8 规定对数函数是指数函数的反函数，即若e (0)w z z =≠则称函数w =f (z )为z 的对数函数，记作w =Ln z .令w =u +iv ,则w =u +iv =ln|z |+i Arg z ∆Ln z .注意到Arg z 是多值函数，所以对数函数w =f (z )也是多值函数.上式中Arg z 取主值arg z (-π<arg z ≤π)时对应的w 值称为Ln z 的主值，并记作ln z =ln|z |+i arg z .这样对数函数可表示为:w =ln z =ln z +2k πi =ln|z |+i arg z +2k πi , k =0,±1, ±2,….上式中对于每一个确定的k ,对应的w 为一单值函数，称为Ln z 的一个分支.（3）幂函数定义2.9 函数w =z a =e a Ln z （z≠0,a 为复常数）称为z 的一般幂函数.当一般的幂函数aw z =的底数z 为一确定复常数b (b≠0)时，则b a =e a Ln b 称为乘幂.由于Ln b =ln|b |+i arg b +2k πi ，所以乘幂b a 也是多值的.（4）三角函数与反三角函数定义2.10 规定e e e e sin , cos .22iz iz iz izz z i ---+== 其它三角函数定义如下:sin cos 11tan , cot , sec , csc .cos sin cos sin z z z z z z z z z z==== （5）双曲函数与反双曲函数我们用指数函数来定义双曲函数.定义2.11 规定e e e e sh , ch 22z z z zz z ---+== 小 结复变函数及其极限、连续、导数等概念是微积分学中相应概念的推广.复变函数的定义在形式上只是将一元实函数的定义域与值域由“实数集”扩大为“复数集”，但要注意实函数是单值函数，而复变函数有单值函数与多值函数之分.一个复变函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )对应着两个二元实函数u (x ,y )和v (x ,y )，所以对复变函数的研究可以转化为对它的实部和虚部两个二元实函数的研究.另外将复变函数看成复平面上两个点集之间的映射，有时可以将问题直观化、几何化.复变函数极限的定义在形式上与一元实函数极限的定义相似，因此复变函数具有与实函数类似的极限运算法则.但实质上复变函数的极限与二元实函数的极限是等价的.一元实函数的极限00lim (),x x f x x x →→是指x 在x 轴上从x 0的左右两侧以任何方式趋向于x 0，而在复变函数的极限0lim ()z z f z →中，0z z →是指z 在z 0的邻域内以任何方式趋于z 0.如果z 沿两条不同路径趋于z 0, f (z )不趋于同一复数，那么f (z )在z 0处的极限不存在.复变函数的连续定义是依赖于极限定义的，若00lim ()()z z f z f z →=,则我们说f (z )在z 0处连续.复变函数w =f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )极限存在与连续的充要条件是其实部u (x ,y )和虚部v (x ,y )极限存在与连续.复变函数的导数定义在形式上与一元实函数导数的定义相似，因此复变函数具有与实函数类似的求导法则.复变函数导数为函数的改变量Δw 与自变量Δz 的比0(+Δ)()ΔΔΔf z z f z w z z-=当Δ0z →的极限，该极限值与Δ0z →的方式无关，也就是说如果当Δz 沿某一路径趋于0时，ΔΔw z 的极限不存在,或沿两条不同路径趋于0时，ΔΔw z趋于不同的数，则f (z )在z 0处不可导.由此可见复变函数在一点可导要比一元实函数可导条件更强.解析函数是复变函数的主要研究对象，它有着一元实函数所没有的好性质，如解析函数的导数仍是解析函数，解析函数的虚部为实部的共轭调和函数以及解析函数可以展开为幂级数等，这些性质在后面就会学到.应当注意的是解析与可导的区别与联系.对于一个区域而言， 函数解析与可导是一回事；但对于一个点，解析就比可导要求高得多.函数在某点解析不仅要求在该点可导而且要求在该点的某邻域内可导.判断函数可导与解析的方法主要有以下三种：(1)利用可导与解析的定义.(2)利用可导(解析)函数的和、差、积、商及其复合仍为可导(解析)函数这一性质.(3)利用可导与解析的充要条件(即定理2.7和定理2.8).定理2.7给出了函数f (z )在一点z D ∈处可导的充要条件，由于z 的任意性，从而可以得到函数在区域D 内可导与解析的充要条件，即定理2.8.复初等函数是实初等函数在复数域的推广，它既保持了实初等函数的一些性质，又有一些不同的性质.指数函数e z =e x (cos y +i sin y )在z 平面上处处解析，并且(e z )'=e z ,它具有实指数函数相同的某些性质如加法定理.但周期为2πi 这与实指数函数不同，实指数函数e x 可以看成数e 的x 次幂，但在复变函数中e z 仅仅是一个记号，而不再有幂的含义.对数函数Ln z =ln z +i Arg z 是一多值函数，它在除去原点与负实轴的复平面上处处解析,且有(l nz )' =1z.它保持了实对数函数的如下性质： 11212122ln()ln ln ,ln ln ln .z z z z z z z z ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭应当注意的是，等式1ln ln ln n z n z z n== 不再成立，其中2n ≥,为正整数.幂函数w =z a =e a L n z , 除了整幂函数z n (z 为正整数)外都是多值函数，在除去原点与负实轴的复平面上处处解析,且有(z a )'=az a -1.而整幂函数z n (z 为正整数)是单值函数，在复平面上处处解析，且(z n )'=nz n -1.当底数z 为一确定的常数b (b ≠0)时，b a =e a L nb 为乘幂.三角正弦函数与三角余弦函数e e e e sin , cos 22iz iz iz izz z i ---+== 在复平面上处处解析，并且(sin z )'=cos z ,(cos z )'=-sin z .它保持了对应的实函数的奇偶性、周期性，类似的三角恒等式成立，但是不再具有有界性，即|sin z |≤1,|cos z |≤1不成立.其它三角函数与反三角函数、双曲函数与反双曲函数读者可以自己小结它们的性质.1.讨论函数(1) f (z )= Im(z ) ;(2) f (z )=|z |2z .的可导性，并在可导点处求其导数.。
1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
复变函数第2章
By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。
.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。
)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。
复变函数第一章(第二讲)
当 z → z 0时， f ( z ) → A。更一般可定义 f沿 D当 z → z 0时， ( f ( z ) → A)
几何意义: 当动点z一旦进入 0 的充分小去心邻域时,它的象点 当动点 一旦进入z 的充分小去心邻域时 它的象点 一旦进入 f (z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中。如图 所 就落入A的一个预先给定的 邻域中。如图4所 就落入 示。
例 已知映射 w = 1 , 判断 : z平面上的曲线 x 2 + y 2 = 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
y
(z)
v
w = f (z )
ε
A
(w)
δ
z0
o
x
图4
o
u
֠
(1) 定义中 z → z0的方式是任意的. 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 是复数. 是复数 (3) 若f(z)在 z0处有极限 其极限是唯一的. 其极限是唯一的 在 处有极限,其极限是唯一的.
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。
复变函数的极限
x l im x 0 u ( x ,y ) u 0 ， x l im x 0 v ( x ,y ) v 0
变
y y 0
y y 0
函
数
与 积
例1 试求下列函数的极限.
分
变 换
1 .lim z 2 .lim z z z z 1
z z 1 i
z 1 z 1
例2 证 明 函 数 f ( z ) z 在 z 0 时 极 限 不 存 在 . z
尔 滨 工
例3
考 察 函 数 w z2
程 大
w u i v ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 x y i
学
因 此 w z 2 对 应 u x 2 y 2 , v 2 x y
复
变 函
例 4 将定义在全平面除原点区域上的一对
数
与 积
二元实变函数
分
变 换
ux22xy2，vx2yy2，x2y20
第一章 复数与复变函数
哈
尔 滨
第二讲 复变函数的极限与连续性
工
程
大
学
学习要点
复
变
函
数 与
掌握复变函数的概念
积
分 变
掌握复变函数的极限与连续性
换
一 、 复平面上的点集与区域
哈
尔
邻 域 ： 复 平 面 上 以 z0 为 心 , 0 为 半 径 的 圆 :
滨 工 程 大 学
|zz0| (0 ),所 确 定 的 平 面 点 集 ， 称 为 z0 的 邻 域 ， 记 作 U (z0,)
尔
滨 工
0，0,当0zz0 时恒有
程
大 学
f(z)A
复 则称A为函数f(z)当z趋于z0时的极限，记作
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数基础
（）, （0 )
当
0
z z0
时, 有
f (z) A ,
则称A为
f
( z )当z
z0时的极限，记作
lim
z z0
f (z) A
或当z z0时，f (z) A
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f (z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f (z)就落入A的
A
一个预先给定的
z1 (z 1)(z 1)
z2 3 lim
z1 z 1 2
zi
例5.
lim
zi
z(z2
1)
例6. lim z Re(z)
z0
z
例7. 设函数 f (z) 在 z0连续且 f (z0 ) 0 , 则必可找到 z0的小邻域, 在这邻域内 f (z) 0 .
例8. 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，故不连续。
z z0
4)
设
lim
z z0
h(
z
)＝h0
,
lim
h h0
f (h)＝A,则
lim f [h(z)] A lim f (h)
z z0
h h0
以上定理可用定理1证,也可用极限定义证!
其他性质
1) 若f (z)在 z0处有极限,其极限是唯一的.
2) lim f (z) 0 lim f (z) 0;
若z、z0
C
,
且
lim
z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)
第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性
2019/12/15
11
三、函数的连续性（续）（例题）
例6:
设
f
z
Re |z
z |
,
z 0，试证 f z在z 0处不连续。
0, 0
证明：由例三知，当z 0时，lim f z 极限不存在， z0
故 f z在z 0处不连续。
例7: 证明: 如果 f z 在 z0 连续, f z 在 z0也连续.
,
则 lim z1i
f
z
3 1 i. ______2____ .
解： lim x2 2xy 3, lim 1 1 .
x 1 y1
x1 x 2 y2 2
y 1
2019/12/15
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
例3: 证明: f z Re z 当 z 0 时的极限不存在.
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应
地必有一正数 使得当 0 z z0 0 时,有
f z A ，则称 A 为 f z 当 z 趋向于 z0 时的极限。
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
定理一：设 函数 f z u x, y iv x, y , A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
则 lim f z A 的充要条件是 z z0
lim
x x0
u
x
,
y