复变函数的极限和连续性
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1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
复变函数第3讲
z3 z2 等式说明： 等式说明： w2 w3
z1 − z 2 w1 − w 2
=
z3 − z 2 w3 − w 2
z1 − z 2 w1 − w 2 arg = arg z3 − z2 w3 − w2
所以表示二三角形相似！ 所以表示二三角形相似！
z → z0
lim f ( z ) = A， 或者 当z → z0时, f ( z ) → A。
注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数 从形式上来看， 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是 因为在复平面上，变量z趋于z 的方式有无穷多种， 因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点 跟二元函数的极限又有相似之处。 跟二元函数的极限又有相似之处。
z n − 1 = ( z − z1 )( z − z 2 )L ( z − z n )
然后呢？ 然后呢？
比较两端n-1次幂的系数！ 比较两端 次幂的系数！ 次幂的系数
由此还可看出， 由此还可看出，n 个根的乘积为 （-ห้องสมุดไป่ตู้)n+1
z1 − z 2 w1 − w 2 3. 分析 = 的几何意义 z3 − z2 w3 − w2 w1 z1
3.函数的极限 3.函数的极限 定义：设函数 定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果对于 在 的去心邻域内有定义， 任意给定的ε>0, 相应地总有 相应地总有δ>0存在，使得当 存在， 任意给定的 存在 使得当0<|z-z0|<δ时， 时 恒有|f(z)-A|<ε成立，则称 为f(z)当z趋向于Z0时的极限。 成立， 恒有 成立 则称A为 当 趋向于 时的极限。 记作： 记作：
z1 − z 2 w1 − w 2
=
z3 − z 2 w3 − w 2
z1 − z 2 w1 − w 2 arg = arg z3 − z2 w3 − w2
所以表示二三角形相似！ 所以表示二三角形相似！
z → z0
lim f ( z ) = A， 或者 当z → z0时, f ( z ) → A。
注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数 从形式上来看， 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是 因为在复平面上，变量z趋于z 的方式有无穷多种， 因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点 跟二元函数的极限又有相似之处。 跟二元函数的极限又有相似之处。
z n − 1 = ( z − z1 )( z − z 2 )L ( z − z n )
然后呢？ 然后呢？
比较两端n-1次幂的系数！ 比较两端 次幂的系数！ 次幂的系数
由此还可看出， 由此还可看出，n 个根的乘积为 （-ห้องสมุดไป่ตู้)n+1
z1 − z 2 w1 − w 2 3. 分析 = 的几何意义 z3 − z2 w3 − w2 w1 z1
3.函数的极限 3.函数的极限 定义：设函数 定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果对于 在 的去心邻域内有定义， 任意给定的ε>0, 相应地总有 相应地总有δ>0存在，使得当 存在， 任意给定的 存在 使得当0<|z-z0|<δ时， 时 恒有|f(z)-A|<ε成立，则称 为f(z)当z趋向于Z0时的极限。 成立， 恒有 成立 则称A为 当 趋向于 时的极限。 记作： 记作：
复变函数基础
（）, （0 )
当
0
z z0
时, 有
f (z) A ,
则称A为
f
( z )当z
z0时的极限，记作
lim
z z0
f (z) A
或当z z0时，f (z) A
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f (z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f (z)就落入A的
A
一个预先给定的
z1 (z 1)(z 1)
z2 3 lim
z1 z 1 2
zi
例5.
lim
zi
z(z2
1)
例6. lim z Re(z)
z0
z
例7. 设函数 f (z) 在 z0连续且 f (z0 ) 0 , 则必可找到 z0的小邻域, 在这邻域内 f (z) 0 .
例8. 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，故不连续。
z z0
4)
设
lim
z z0
h(
z
)＝h0
,
lim
h h0
f (h)＝A,则
lim f [h(z)] A lim f (h)
z z0
h h0
以上定理可用定理1证,也可用极限定义证!
其他性质
1) 若f (z)在 z0处有极限,其极限是唯一的.
2) lim f (z) 0 lim f (z) 0;
若z、z0
C
,
且
lim
z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)
第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性
2019/12/15
11
三、函数的连续性（续）（例题）
例6:
设
f
z
Re |z
z |
,
z 0，试证 f z在z 0处不连续。
0, 0
证明：由例三知，当z 0时，lim f z 极限不存在， z0
故 f z在z 0处不连续。
例7: 证明: 如果 f z 在 z0 连续, f z 在 z0也连续.
,
则 lim z1i
f
z
3 1 i. ______2____ .
解： lim x2 2xy 3, lim 1 1 .
x 1 y1
x1 x 2 y2 2
y 1
2019/12/15
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
例3: 证明: f z Re z 当 z 0 时的极限不存在.
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应
地必有一正数 使得当 0 z z0 0 时,有
f z A ，则称 A 为 f z 当 z 趋向于 z0 时的极限。
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
定理一：设 函数 f z u x, y iv x, y , A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
则 lim f z A 的充要条件是 z z0
lim
x x0
u
x
,
y
复变函数的极限与连续性
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
02-1.5复变函数的极限与连续性教学课件
复变函数与积分变换沈阳工业大学理学院第三节复变函数一、区域二、复变函数三、复变函数的极限三、复变函数的连续性1．极限的定义定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域0<z−z0<ρ内有定义，若存在一确定的数A，使得对于任意给定的ε>0，存在δ(ε)，0<δ≤ρ，使得当0<z−z0<δ时，有f(z)−A<ε，则称A为f(z)当z→z0时的极限，记作limz→z0f z=A或记作三、复变函数的极限当z→z0时，f(z)→A.3. 极限存在的充要条件定理：设函数f z=u x,y+iv x,y,A=a+ib,z0=x0+iy0,则limz→z0f(z)=A⇔lim(x,y)→(x0,y0)u(x,y)=a,lim(x,y)→(x0,y0)v(x,y)=b说明：这个定理是将复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的极限问题转化为两个二元函数u=u(x,y),v=v(x,y)的极限问题.四、复变函数的连续性若lim z→z 0f z =f z 0，则称函数f z 在点z 0处是连续的.若f z 在区域D 内处处连续，称f z 在D 内连续.1．连续的定义2. 连续的充要条件定理：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z 0=x 0+iy 0处连续的充要条件是二元函数u x,y ,v x,y 在x 0,y 0处连续.若lim z→z 0f (z)=f(z 0)，z ∈C ，则称f(z)在曲线C 上z 0处连续.例2．讨论函数f(z)=ln(x2+y2)+i(x2−y2)的连续性.二元函数u=ln(x2+y2)在除了(0,0)外处处连续,解：v=x2−y2在复平面上处处连续，故函数f(z)在复平面上除(0,0)外处处连续.定理(1)连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数；(2)连续函数的复合函数是连续函数；(3)f z在有界闭区域D上连续，则f z在D上是有界的;(4)f z在曲线段或包括端点在内的曲线段上连续，则f z在曲线段上有界.谢谢观看！。
第2章 复变函数
( x, y ) Î E .
(1)
其中 u = u ( x, y ) 和 v = v( x, y ) 是一对二元实函数, 它们分别称为 f ( z ) 的实部和虚部, 分别记 为 Re f ( z ) 和 Im f ( z ). 这说明一个复函数等价于一对二元实变量的实函数. 复函数的形如(1)式的表示形式对应于复数的代数形式. 对应于复数的指数形式, 相应地可 以将复函数表示为指数形式:
f ( z) > M ,
则称当 z 0 时, f ( z ) 趋近于无穷大 记为 lim f ( z ) = ¥.
z z0
(2) 设 w = f ( z ) 是定义在 E 上的复函数, 无穷远点 ¥ 是 E 的聚点(即对任意 r > 0, ¥ 的
r 邻域 { z : z > r } 中包含 E 中的点), 是一复数. 若对任意 > 0, 存在 r > 0, 使得当 z Î E 并且 z > r 时, 有
复变函数的连续性
定是 E 的聚点. 若
z z0
lim f ( z ) = f ( z0 ),
则称 f ( z ) 在点 z0 处(相对于集 E )连续. 若 f ( z ) 在 E 上的每一点处都连续, 则称 f ( z ) 在 E 上连 续. 例6 例 5(2)的结论表明多项式函数在复平面上处处连续. 设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 是定义在 E 上的复函数, z0 = x0 + iy0 是 E 的聚 定理 2.1.2
于是 f ( z ) f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 )
1 f ( z0 ) . 2
1 f ( z0 ) . 即 2
复变函数论第1章第3节
z → z0 z∈E
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
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设复变函数 f ( z ) 当 z → z 0 时的极限存在 , 此极限值与 z
趋于 z 0 所采取的方式 ( 选取的路径 )有无关系 ?
思考题答案 极限值都是相同的. 没有关系. 没有关系 z 以任何方式趋于 z0 , 极限值都是相同的
复变函数与积分变换
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时，
( u + iv ) − ( u0 + iv 0 ) < ε . ⇒ u − u0 < ε , v − v 0 < ε ,
x → x0 y → y0
或当 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 时, ( u − u0 ) + i (v − v 0 ) < ε ,
故
说明： 说明：
f ( z ) − A < ε , 所以
lim f ( z ) = A.
z → z0
[证毕 证毕] 证毕
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
随 k 值的变化而变化 , 所以 lim v ( x , y ) 不存在, 根据定理一
可知, 可知 lim f ( z ) 不存在.
z→ 0 →
x → x0 y → y0
复变函数与积分变换
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结 束
第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
二、函数的连续性
连续的定义: 1. 连续的定义: 如果 lim f ( z ) = f ( z 0 ), 那末我们就说 f ( z )在 z 0 处连续 .
复变函数与积分变换
x → x0 y → y0
lim u( x , y ) = u0 ,
lim v ( x , y ) = v 0 .
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
(2) 充分性 若 lim u( x , y ) = u0 , 充分性.
x → x0 y → y0
(2) 有理分式函数
P(z) w= , 其中 P ( z ) 和 Q ( z ) 都是多项式 , Q( z )
在复平面内使分母不为零的点也是连续的. 在复平面内使分母不为零的点也是连续的 例3 证
证明 : 如果 f ( z ) 在 z 0 连续 , 那末 f ( z ) 在 z 0也连续 .
设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ), 则
x → x0 y → y0
lim v ( x , y ) = v 0 ,
那么当 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 时, 有
u − u0 < , v − v 0 < , 2 2
ε
ε
f ( z ) − A = ( u − u0 ) + i (v − v 0 ) ≤ u − u0 + v − v 0 故当 0 < z − z0 < δ 时,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 ε > 0, 相应
地必有一正数 δ (ε )使得当
0 < z − z0 < δ (0 < δ ≤ ρ )
时, 有 f ( z ) − A < ε , 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极
限. 记作
→ lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz0 → A) z → z0
z → z0 x → x0 y → y0
lim u( x , y ) = u0 ,
z → z0
x → x0 y → y0
lim v ( x , y ) = v 0 .
根据极限的定义, 证 (1) 必要性. 如果 lim f ( z ) = A, 根据极限的定义 当 必要性
0 < ( x + iy ) − ( x0 + iy0 ) < δ
特殊的: 特殊的 (1) 有理整函数 多项式 有理整函数(多项式 多项式) w = P ( z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ⋯ + a n z n ,
对复平面内的所有点 z 都是连续的;
复变函数与积分变换
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
续.
复变函数与积分变换
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
三、小结与思考
通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连续性的运算法 通过本课的学习 熟悉复变函数的极限、连续性的运算法 则与性质. 则与性质 注意: 注意: 复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义 虽然在形式上相同 但在实质上有很大的差异, 虽然在形式上相同, 但在实质上有很大的差异 它较之后者 在形式上相同 的要求苛刻得多. 的要求苛刻得多 思考题
的和、 定理四 (1) 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 和 g ( z ) 的和、差、
积、商 (分母在 z 0 不为零 ) 在 z 0处仍连续 .
(2) 如果函数 h = g( z )在 z0 连续, 函数 w = f ( h)在 h0 = g ( z0 ) 连续, 那末复合函数 w = f [ g ( z )] 在 z0 处连续.
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
定理二
设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g( z )] = A ± B;
z → z0
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
Re( z ) 例1 证明函数 f ( z ) = 当 z → 0 时的极限不存在 . z x 证 (一) 令 z = x + iy , 则 f ( z ) = 一 , 2 2 x +y x u( x , y ) = , v ( x , y ) = 0, 2 2 x +y 当 z 沿直线 y = kx 趋于零时 ,
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB;
z → z0
f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
说明： 说明： 复变函数与实变函数的极限运算法则类似，证明也类似 复变函数与实变函数的极限运算法则类似，证明也类似.
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故 lim f ( z ) 不存在.
z→ 0 →
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
z 例2 证明函数 f ( z ) = ( z ≠ 0 ) 当 z → 0 时的极限不存在 . z 证 令 z = x + iy , f ( z ) = u + iv , 则
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
2. 极限计算的定理 定理一 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + iy0 , 那末 lim f ( z ) = A 的充要条件是
x2 − y2 u( x , y ) = 2 , 2 x +y
当 z 沿直线 y = kx 趋于零时 ,
2 xy 2k lim v ( x , y ) = lim 2 , = 2 x→0 x →0 x + y 2 1+ k y = kx y = kx
2 xy v( x, y) = 2 , 2 x +y
lim u( x , y ) = lim
x→0 y = kx
x x = lim x→0 x→0 x2 + y2 x 2 + ( kx ) 2 y = kx x 1 , = lim =± 2 2 2 x →0 x (1 + k ) 1+ k
x → x0 y → y0
随 k 值的变化而变化 , 所以 lim u( x , y ) 不存在, 根据定理
注意: 注意: 定义中 z → z 0 的方式是任意的 .
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
几何意义: 几何意义: y z v f(z)
δ z0
O x O
ε
A
u
lim f ( z ) = A 意味着： 意味着：
z → z0
从平面上按任一方向、沿任何路径、 当 z 从平面上按任一方向、沿任何路径、以任意方式趋向 为极限. 于 z 0 时， f ( z ) 均以 A 为极限
一可知, 一可知 lim f ( z ) 不存在 .
z→0
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
Re( z ) 例1 证明函数 f ( z ) = 当 z → 0 时的极限不存在 . z 证 (二) 令 z = r (cos θ + i sin θ ), 则 f ( z ) = r cos θ = cosθ , 二 r 当 z 沿不同的射线 arg z = θ 趋于零时 , f ( z )趋于不同的值 . 例如 z 沿正实轴 arg z = 0 趋于零时 , f ( z ) → 1, π z 沿 arg z = 趋于零时 , f ( z ) → 0, 2
趋于 z 0 所采取的方式 ( 选取的路径 )有无关系 ?
思考题答案 极限值都是相同的. 没有关系. 没有关系 z 以任何方式趋于 z0 , 极限值都是相同的
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时，
( u + iv ) − ( u0 + iv 0 ) < ε . ⇒ u − u0 < ε , v − v 0 < ε ,
x → x0 y → y0
或当 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 时, ( u − u0 ) + i (v − v 0 ) < ε ,
故
说明： 说明：
f ( z ) − A < ε , 所以
lim f ( z ) = A.
z → z0
[证毕 证毕] 证毕
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
随 k 值的变化而变化 , 所以 lim v ( x , y ) 不存在, 根据定理一
可知, 可知 lim f ( z ) 不存在.
z→ 0 →
x → x0 y → y0
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
二、函数的连续性
连续的定义: 1. 连续的定义: 如果 lim f ( z ) = f ( z 0 ), 那末我们就说 f ( z )在 z 0 处连续 .
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x → x0 y → y0
lim u( x , y ) = u0 ,
lim v ( x , y ) = v 0 .
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第六节 复变函数的极限与连续性
(2) 充分性 若 lim u( x , y ) = u0 , 充分性.
x → x0 y → y0
(2) 有理分式函数
P(z) w= , 其中 P ( z ) 和 Q ( z ) 都是多项式 , Q( z )
在复平面内使分母不为零的点也是连续的. 在复平面内使分母不为零的点也是连续的 例3 证
证明 : 如果 f ( z ) 在 z 0 连续 , 那末 f ( z ) 在 z 0也连续 .
设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ), 则
x → x0 y → y0
lim v ( x , y ) = v 0 ,
那么当 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 时, 有
u − u0 < , v − v 0 < , 2 2
ε
ε
f ( z ) − A = ( u − u0 ) + i (v − v 0 ) ≤ u − u0 + v − v 0 故当 0 < z − z0 < δ 时,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 ε > 0, 相应
地必有一正数 δ (ε )使得当
0 < z − z0 < δ (0 < δ ≤ ρ )
时, 有 f ( z ) − A < ε , 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极
限. 记作
→ lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz0 → A) z → z0
z → z0 x → x0 y → y0
lim u( x , y ) = u0 ,
z → z0
x → x0 y → y0
lim v ( x , y ) = v 0 .
根据极限的定义, 证 (1) 必要性. 如果 lim f ( z ) = A, 根据极限的定义 当 必要性
0 < ( x + iy ) − ( x0 + iy0 ) < δ
特殊的: 特殊的 (1) 有理整函数 多项式 有理整函数(多项式 多项式) w = P ( z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ⋯ + a n z n ,
对复平面内的所有点 z 都是连续的;
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第六节 复变函数的极限与连续性
续.
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第六节 复变函数的极限与连续性
三、小结与思考
通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连续性的运算法 通过本课的学习 熟悉复变函数的极限、连续性的运算法 则与性质. 则与性质 注意: 注意: 复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义 虽然在形式上相同 但在实质上有很大的差异, 虽然在形式上相同, 但在实质上有很大的差异 它较之后者 在形式上相同 的要求苛刻得多. 的要求苛刻得多 思考题
的和、 定理四 (1) 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 和 g ( z ) 的和、差、
积、商 (分母在 z 0 不为零 ) 在 z 0处仍连续 .
(2) 如果函数 h = g( z )在 z0 连续, 函数 w = f ( h)在 h0 = g ( z0 ) 连续, 那末复合函数 w = f [ g ( z )] 在 z0 处连续.
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定理二
设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g( z )] = A ± B;
z → z0
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Re( z ) 例1 证明函数 f ( z ) = 当 z → 0 时的极限不存在 . z x 证 (一) 令 z = x + iy , 则 f ( z ) = 一 , 2 2 x +y x u( x , y ) = , v ( x , y ) = 0, 2 2 x +y 当 z 沿直线 y = kx 趋于零时 ,
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB;
z → z0
f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
说明： 说明： 复变函数与实变函数的极限运算法则类似，证明也类似 复变函数与实变函数的极限运算法则类似，证明也类似.
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故 lim f ( z ) 不存在.
z→ 0 →
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z 例2 证明函数 f ( z ) = ( z ≠ 0 ) 当 z → 0 时的极限不存在 . z 证 令 z = x + iy , f ( z ) = u + iv , 则
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2. 极限计算的定理 定理一 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + iy0 , 那末 lim f ( z ) = A 的充要条件是
x2 − y2 u( x , y ) = 2 , 2 x +y
当 z 沿直线 y = kx 趋于零时 ,
2 xy 2k lim v ( x , y ) = lim 2 , = 2 x→0 x →0 x + y 2 1+ k y = kx y = kx
2 xy v( x, y) = 2 , 2 x +y
lim u( x , y ) = lim
x→0 y = kx
x x = lim x→0 x→0 x2 + y2 x 2 + ( kx ) 2 y = kx x 1 , = lim =± 2 2 2 x →0 x (1 + k ) 1+ k
x → x0 y → y0
随 k 值的变化而变化 , 所以 lim u( x , y ) 不存在, 根据定理
注意: 注意: 定义中 z → z 0 的方式是任意的 .
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几何意义: 几何意义: y z v f(z)
δ z0
O x O
ε
A
u
lim f ( z ) = A 意味着： 意味着：
z → z0
从平面上按任一方向、沿任何路径、 当 z 从平面上按任一方向、沿任何路径、以任意方式趋向 为极限. 于 z 0 时， f ( z ) 均以 A 为极限
一可知, 一可知 lim f ( z ) 不存在 .
z→0
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Re( z ) 例1 证明函数 f ( z ) = 当 z → 0 时的极限不存在 . z 证 (二) 令 z = r (cos θ + i sin θ ), 则 f ( z ) = r cos θ = cosθ , 二 r 当 z 沿不同的射线 arg z = θ 趋于零时 , f ( z )趋于不同的值 . 例如 z 沿正实轴 arg z = 0 趋于零时 , f ( z ) → 1, π z 沿 arg z = 趋于零时 , f ( z ) → 0, 2