均值不等式ppt课件
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均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
课件5：§3.2 均值不等式
解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112， 当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
《均值不等式》课件
均值不等式在经济学中的应用，可以 帮助我们理解经济现象的性质和行为 ，并解决一些经济问题。
05式
总结词
广义均值不等式是对于任意非负实数，其算术平均数总是大于或等于其几何平均数。
详细描述
对于任意非负实数 $x$ 和 $y$，有 $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。这个不等式在数学和物理中有广泛的应用，特 别是在优化和不等式证明中。
证明
利用切比雪夫不等式的定义和放缩技巧，通过代数变换和数学归纳法，可以得到上述不等式成立。
04
均值不等式的应用
在最优化问题中的应用
均值不等式可以用于解决最优化问题，例如最大值和最小值问题 。通过应用均值不等式，可以找到函数的最优解，使得函数取得 最大或最小值。
均值不等式在解决最优化问题时，可以提供一种有效的数学工具 ，帮助我们找到最优解，并理解函数的性质和行为。
均值不等式的数学符号表示
• 均值不等式的数学符号表示为：对于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时等号成立。
详细描述
均值不等式的可加性是指，如果一组 数$a_1, a_2, ..., a_n$都大于等于0， 那么这组数的算术平均数大于等于它 们的平方和的几何平均数。
均值不等式的乘除性
总结词
如果$a > 0, b > 0$，那么$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$；如果$a > 0, b < 0$，那么$frac{a+b}{2} < sqrt{ab}$。
05式
总结词
广义均值不等式是对于任意非负实数，其算术平均数总是大于或等于其几何平均数。
详细描述
对于任意非负实数 $x$ 和 $y$，有 $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。这个不等式在数学和物理中有广泛的应用，特 别是在优化和不等式证明中。
证明
利用切比雪夫不等式的定义和放缩技巧，通过代数变换和数学归纳法，可以得到上述不等式成立。
04
均值不等式的应用
在最优化问题中的应用
均值不等式可以用于解决最优化问题，例如最大值和最小值问题 。通过应用均值不等式，可以找到函数的最优解，使得函数取得 最大或最小值。
均值不等式在解决最优化问题时，可以提供一种有效的数学工具 ，帮助我们找到最优解，并理解函数的性质和行为。
均值不等式的数学符号表示
• 均值不等式的数学符号表示为：对于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时等号成立。
详细描述
均值不等式的可加性是指，如果一组 数$a_1, a_2, ..., a_n$都大于等于0， 那么这组数的算术平均数大于等于它 们的平方和的几何平均数。
均值不等式的乘除性
总结词
如果$a > 0, b > 0$，那么$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$；如果$a > 0, b < 0$，那么$frac{a+b}{2} < sqrt{ab}$。
均值不等式课件
在证明过程中，需要注意到用数学归纳法证明 时的细节和技巧。
利用二次函数的性质证明
二次函数具有一些重要的性质，如开口方向、判别 式等。
将二次函数配方，得到一个常数项，从而证明不等 式。
在利用二次函数的性质证明均值不等式时，需要 注意到配方的技巧和判别式的正负号。
利用基本不等式证明
基本不等式是指在加法和乘法运算中，一些项之间存在 的不等关系。
均值不等式课件
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 均值不等式的证明 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的练习题 • 结论与总结
01
引言
均值不等式的定义
均值不等式的数学表达
a1^2+a2^2+...+an^2 >= (a1+a2+...+an)^2/n
均值不等式的几何解释
均值不等式的形式
均值不等式有多种形式，如基本形式、推广形式等。这些形式在应用上有所不同，但它们 都是由基本形式推导出来的。
均值不等式的应用前景
在数学中的应用
均值不等式在数学中有着广泛的应用，如在分析、代数、几何等领域都有它的身 影。特别是在解决一些优化问题时，均值不等式往往是一个重要的工具。
在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中也有着广泛的应用，如在经济、工程、物理等领域都有 它的身影。特别是在解决一些最优化问题时，均值不等式往往是一个重要的工具 。
均值不等式的学习方法建议
01
掌握基本概念
要学好均值不等式，首先需要掌握它的基本概念，包括算术平均数和
几何平均数的概念、柯西不等式等。
02
多做习题
学习均值不等式最好的方法是多做习题，通过做习题可以加深对定理
利用二次函数的性质证明
二次函数具有一些重要的性质，如开口方向、判别 式等。
将二次函数配方，得到一个常数项，从而证明不等 式。
在利用二次函数的性质证明均值不等式时，需要 注意到配方的技巧和判别式的正负号。
利用基本不等式证明
基本不等式是指在加法和乘法运算中，一些项之间存在 的不等关系。
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xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 均值不等式的证明 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的练习题 • 结论与总结
01
引言
均值不等式的定义
均值不等式的数学表达
a1^2+a2^2+...+an^2 >= (a1+a2+...+an)^2/n
均值不等式的几何解释
均值不等式的形式
均值不等式有多种形式，如基本形式、推广形式等。这些形式在应用上有所不同，但它们 都是由基本形式推导出来的。
均值不等式的应用前景
在数学中的应用
均值不等式在数学中有着广泛的应用，如在分析、代数、几何等领域都有它的身 影。特别是在解决一些优化问题时，均值不等式往往是一个重要的工具。
在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中也有着广泛的应用，如在经济、工程、物理等领域都有 它的身影。特别是在解决一些最优化问题时，均值不等式往往是一个重要的工具 。
均值不等式的学习方法建议
01
掌握基本概念
要学好均值不等式，首先需要掌握它的基本概念，包括算术平均数和
几何平均数的概念、柯西不等式等。
02
多做习题
学习均值不等式最好的方法是多做习题，通过做习题可以加深对定理
均值不等式PPT教学课件
x, 即x=18时，取等号。
答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。
练习：
1、若x 3,函数y x 1 ,当x为何值时， 函数有最值，并求其最值。x 3
2、求证：在直径为d的圆的内接矩形中，面积最大的是 正方形，这个正方形的面积等于 d 2 . 2
当堂练习
当 S1,S2 断开， S3 闭合时两灯串 联。当 S3 断开， S1,S2 闭合时两灯并 联。当S1,S2, S3都闭合时就会使电路造 成 短路 ，而烧坏电源
当 S1和S3 断开， S2 闭合时两灯串联。当
S2 断开，S1和S3 闭合时两灯并联。当 S1,S2, S3都闭合时就会使电路造成 短路 ， 而烧坏电源。
应用 a b ab(a,b R ) 求最值时, 2
注意验证：一正 、二定 、三相等
例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元，池壁每1m2的造价为120元， 问怎样设计水池能使总造价最低？ 最低总造价是多少元？
练习:
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造 单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水 池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的 长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。
（2）如果取下一个小灯泡后闭合开关，另一个 小灯泡还能发光吗？
实验表明
（1）串联电路中的开关无论安装在什 么位置，总是同时控制着连入电路中 的所有用电器。
（2）电流只有一条通路，只要电路中 有一个地方发生断路，电路中就不会 有电流。
二、并联电路
两个小灯泡的两端分别连在一起，然 后并列接到电路中，我们说这两个灯泡是 并联的。
均值不等式及其应用ppt课件
2
2
2
ab
即 2
0，
ab ．
而且，等号成立时，当且仅当 ( a b ) 2 0 ，即a＝b．
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正
实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比
67
如
2
42 一定是正确的．
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还
可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它
4
y 4x
y 4x
y
4 ，当且仅当 y 4 x ，即 x 2 ， y 8 时等号成立，所以 x 4 .
4 min
又x
y
m2 3m 有解，所以 m2 3m 4 ，解得 m 1 或 m 4 .故选 D.
4
6.某批救灾物资随 41 辆汽车从某市以 v km / h 的速度匀速直达灾区，已知两地公
用来展示校友的书画作品.它的左、右两侧及顶部和底部都留有宽为 2 米的自由
C)
活动区域，如图所示，则整个书画展区域（大矩形）的最小面积是(
A.360 平方米
B.384 平方米
C.361 平方米
D.400 平方米
解析：设小矩形的一边长为 x 米，其邻边长为 y 米，整个书画展区域（大矩形）
的面积为 S 平方米.由 x 0 ， y 0 及 xy 225 ，得 S ( x 4)( y 4) xy 4 y 4 x
1
4
B.4
C.
1
2
D).
D.2
解析： a 0 ，b 0 ， 4 2a b 2 2ab （当且仅当 2a b ，即 a 1 ，b 2 时
均值不等式课件
均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
基本不等式又叫均值不等式精品PPT课件
设a 0, b 0, a b 1
1 你能给出几个含有 0 ab 1 1 4 4 字母a和b的不等式 a b 1 2 2 1 a b 2 倒数
乘积
1 1 25 ( a )( b ) a b 4
平方
1 1 (1 )(1 ) 9 a其他 b
作业
A、40 B、10
Ｄ）
C、4 D、2
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三相等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
1 当且仅当 x 即x 1时， ymin 2 x 1 当x 0时， x 0, 则y x x
1 x 2 x 1 x 2 x 1 y 2, 当且仅当 x 即x 1时 x ymax 2
知识扫描
基本不等式（又叫均值不等式）
ab
ab 2
(a 0, b 0)
2
a b 2 ab (a 0, b 0)
当且仅当a=b时等号成立
ab ab 2
(a 0, b 0)
代数意义：
a b 如果把 看做是两正数a、b 2 的算术平均数, ab 看做是两正数a、b
看谁最快
1 9 1、已知 x 0, y 0, 且 1, 则x y的 最 x y 16 小值为____.
2、设 a 0, b 0 且a+b=3,则２a＋２b的最小值 为___ 4 2.
均值不等式课件
ຫໍສະໝຸດ 解答0102
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
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CONTENTS
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• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
均值不等式优质课件
栏 目
(4)a2＋b2＋c2__≥__ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
开 关
4．当a>0，b>0且a≠b时，a＋2 b， ab，1＋2 1，
a2＋b2按从小 2
ab
2
a＋b a2＋b2
到大的顺序排列为____1a_＋__1b_<___a_b_<___2__<_______2_______．
研一研·问题探究、课堂更高效
目 开 关
∵ a2＋2 b2>a＋2 b>0，∴ a2＋2 b2>12，
∴a2＋b2>12.
()
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，∴b最大．
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
方法二 (取特殊值)
本 课 时 栏 目
取a＝14，b＝34，则2ab＝38，a2＋b2＝58， 2ab<12<a2＋b2<b，故选B.
ab＝
ab a－ a＋b
b2≥0，
本
课 时 栏 目
∴ ab≥1a＋2 1b，即1a＋2 1b≤ ab.
开
关
∵
a2＋2 b22－a＋2 b2＝a2＋2 b2－a＋4 b2
＝2a2＋b24－a＋b2＝a2＋b42－2ab＝a－4 b2≥0.
§3.2
研一研·问题探究、课堂更高效
∴
a2＋2 b2≥a＋2 b，即a＋2 b≤
§3.2
探究点一 均值不等式的证明
问题1 利用作差法证明：a∈R，b∈R，a2＋b2≥2ab.
本 课
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
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2
“=”.
∴24-(a+b)=a2+b2≥1 a b 当2 , 且仅当a=b时取“=”，
2
即(a+b)2+2(a+b)-48≤0,
解关于a+b的二次不等式，得-8≤a+b≤6.
答案：［-8，6］
【规律方法】利用 a2 b2 (≥aabb()2a,b∈R)
2
2
求最值时，要注意和a+b为定值时，平方和a2+b2有最小值,
|x |
∴y≤-4或y≥4.
答案：(-∞,-4］∪［4,+∞)
4.已知a、b为正实数， 1 2 =10,则a+2b的最小值为_____.
ab
【解析】∵a＞0,b＞0,
1 a
=b2 10
∴a+2b= 1 (a+2b)×10
10
1 a 2b(1 2)
10
ab
1 (5 2a 2b ) 1 (5 2 2a 2b ) 9
用均值不等式证明简单的不等式 【例】证明不等式 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 【审题指导】先把原不等式进行等价转化为2(a4+b4+c4)≥ 2(a2b2+b2c2+c2a2)，再利用均值不等式、同向不等式的可 加性即可.
【规范解答】∵2(a4+b4+c4)=(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4), a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
10 b a 10
b a 10
当
且
仅
当
2a b 12 ab
2b a即 10
a
b
3 10
时
取
等
号.
答案：9
10
5.某农场计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室. 在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿 前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为______、 _______时蔬菜的种植面积最大.
(2)∵x＞0,y＞0，且x+y=1，
3 4 ( 3 4 )(x y) xy xy
7 3y 4x 7 2 3y 4x 7 4 3,
xy
xy
当 且 仅 当 3y 4x ,即 2x 3y时 等 号 成 立 ， xy
3 4 的 最 小 值 为7 4 3. xy
【规律方法】为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子 进行恒等变形，运用均值不等式求最值的焦点在于凑配“和” 与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件.
2 利用均值不等式求范围问题
【例2】已知a、b∈R，a+b+a2+b2=24，则a+b的取值范
围是_______.
【审题指导】利用 a2 b2 ≥(aabb()a2 ,b∈R)求解.
2
2
【自主解答】∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”,
∴2(a2+b2)≥(a+b)2,即a2+b2≥1 a b 当2 , 且仅当a=b时取
2 9x9001080910989, x
当且仅当 9 x 9即0 0x, =10时取等号.
x
该厂每隔10天购买一次玉米,才能使平均每天所支付的总费用 最少.
【规律方法】均值不等式实际应用题的特点： (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、 税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从 中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. (2)当运用均值不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定 义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可根据变量的 范围用对应函数的单调性求解．
【例1】(1)求 4 +a的取值范围.
a2
(2)已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求 3 4 的最小值.
xy
【审题指导】利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、
二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.常用的方法为：
拆、凑、代换、平方.
【自主解答】(1)显然a≠2，当a＞2时，a-2＞0.
4 a 4 a 2 2 2 4 a 2 2 6,
平方和a2+b2为定值时，和a+b有最大值.
3 均值不等式的实际应用
【例3】某食品加工厂定期购买玉米，已知该厂每天需用玉米 6吨，每吨玉米的价格为1 800元，玉米的保管等其他费用为 平均每吨每天3元，购买玉米每次需支付运费900元． 求该厂多少天购买一次玉米，才能使平均每天所支付的费用 最少? 【审题指导】平均每天所支付的费用= x天支付的总费用,
天数x
先列出平均每天所支付的费用的函数解析式，再利用均值不 等式求其最值.
【自主解答】设该厂应每隔x天购买一次玉米，其购买量为6x
吨，由题意知，玉米的保管等其他费用为3［6x+6(x-
1)+6(x-2)+…+6×1］
3x6x69xx1,
2
设平均每天所支付的费用为Y1元，则 Y19xxx1900180069x9x 0010809
a2
a2
a2
当 且 仅 当 4 a 2， 即 a 4时 取 等 号 . a2
当 a＜ 2时 ， a 2＜0,
4 a 4 a 2 2 ［ 4 2 a ］ 2
a2
a2
2a
2 4 2 a 2 2.
2a 当 且 仅 当 a 0时 取 等 号 .
所 求 的 取 值 范 围 为 , 2］［ 6， .
(A)18
(B)36
(C)81
(D)243
【解析】选A.∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴ m ≥n 9, ∴m+n≥2 m ≥n 18.
3.函数y=x+ 4 的值域为______.
x
【解析】|y|=|x+ 4 |=|x|+ ≥4仅当
|x|= 4 即x=±2时取等号，∴|y|≥4
【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m， 则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S=(a-4)(b-2)4=2aabb -4b-2a+8=808-2(a+2b). 所以S≤808- =648(m2) . 当a=2b,a=40m,b=20m时，S最大. 答案：40 m 20 m
1 利用均值不等式求最值
1.函数f(x)= x 的最大值为( )
x 1
(A) 2
(B) 1
5
2
(C) 2
2
(D)1
【解析】选B.∵x≥0，(1)当x=0时，f(0)=0；
(2)当x＞0时，f x
1 x
1
1 2
,
当且仅当 x 即1 x, =1时取x 等号.故选B.
x
2.已知m＞0,n>0且mn≥81,则m+n的最小值为( )
“=”.
∴24-(a+b)=a2+b2≥1 a b 当2 , 且仅当a=b时取“=”，
2
即(a+b)2+2(a+b)-48≤0,
解关于a+b的二次不等式，得-8≤a+b≤6.
答案：［-8，6］
【规律方法】利用 a2 b2 (≥aabb()2a,b∈R)
2
2
求最值时，要注意和a+b为定值时，平方和a2+b2有最小值,
|x |
∴y≤-4或y≥4.
答案：(-∞,-4］∪［4,+∞)
4.已知a、b为正实数， 1 2 =10,则a+2b的最小值为_____.
ab
【解析】∵a＞0,b＞0,
1 a
=b2 10
∴a+2b= 1 (a+2b)×10
10
1 a 2b(1 2)
10
ab
1 (5 2a 2b ) 1 (5 2 2a 2b ) 9
用均值不等式证明简单的不等式 【例】证明不等式 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 【审题指导】先把原不等式进行等价转化为2(a4+b4+c4)≥ 2(a2b2+b2c2+c2a2)，再利用均值不等式、同向不等式的可 加性即可.
【规范解答】∵2(a4+b4+c4)=(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4), a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
10 b a 10
b a 10
当
且
仅
当
2a b 12 ab
2b a即 10
a
b
3 10
时
取
等
号.
答案：9
10
5.某农场计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室. 在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿 前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为______、 _______时蔬菜的种植面积最大.
(2)∵x＞0,y＞0，且x+y=1，
3 4 ( 3 4 )(x y) xy xy
7 3y 4x 7 2 3y 4x 7 4 3,
xy
xy
当 且 仅 当 3y 4x ,即 2x 3y时 等 号 成 立 ， xy
3 4 的 最 小 值 为7 4 3. xy
【规律方法】为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子 进行恒等变形，运用均值不等式求最值的焦点在于凑配“和” 与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件.
2 利用均值不等式求范围问题
【例2】已知a、b∈R，a+b+a2+b2=24，则a+b的取值范
围是_______.
【审题指导】利用 a2 b2 ≥(aabb()a2 ,b∈R)求解.
2
2
【自主解答】∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”,
∴2(a2+b2)≥(a+b)2,即a2+b2≥1 a b 当2 , 且仅当a=b时取
2 9x9001080910989, x
当且仅当 9 x 9即0 0x, =10时取等号.
x
该厂每隔10天购买一次玉米,才能使平均每天所支付的总费用 最少.
【规律方法】均值不等式实际应用题的特点： (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、 税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从 中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. (2)当运用均值不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定 义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可根据变量的 范围用对应函数的单调性求解．
【例1】(1)求 4 +a的取值范围.
a2
(2)已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求 3 4 的最小值.
xy
【审题指导】利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、
二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.常用的方法为：
拆、凑、代换、平方.
【自主解答】(1)显然a≠2，当a＞2时，a-2＞0.
4 a 4 a 2 2 2 4 a 2 2 6,
平方和a2+b2为定值时，和a+b有最大值.
3 均值不等式的实际应用
【例3】某食品加工厂定期购买玉米，已知该厂每天需用玉米 6吨，每吨玉米的价格为1 800元，玉米的保管等其他费用为 平均每吨每天3元，购买玉米每次需支付运费900元． 求该厂多少天购买一次玉米，才能使平均每天所支付的费用 最少? 【审题指导】平均每天所支付的费用= x天支付的总费用,
天数x
先列出平均每天所支付的费用的函数解析式，再利用均值不 等式求其最值.
【自主解答】设该厂应每隔x天购买一次玉米，其购买量为6x
吨，由题意知，玉米的保管等其他费用为3［6x+6(x-
1)+6(x-2)+…+6×1］
3x6x69xx1,
2
设平均每天所支付的费用为Y1元，则 Y19xxx1900180069x9x 0010809
a2
a2
a2
当 且 仅 当 4 a 2， 即 a 4时 取 等 号 . a2
当 a＜ 2时 ， a 2＜0,
4 a 4 a 2 2 ［ 4 2 a ］ 2
a2
a2
2a
2 4 2 a 2 2.
2a 当 且 仅 当 a 0时 取 等 号 .
所 求 的 取 值 范 围 为 , 2］［ 6， .
(A)18
(B)36
(C)81
(D)243
【解析】选A.∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴ m ≥n 9, ∴m+n≥2 m ≥n 18.
3.函数y=x+ 4 的值域为______.
x
【解析】|y|=|x+ 4 |=|x|+ ≥4仅当
|x|= 4 即x=±2时取等号，∴|y|≥4
【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m， 则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S=(a-4)(b-2)4=2aabb -4b-2a+8=808-2(a+2b). 所以S≤808- =648(m2) . 当a=2b,a=40m,b=20m时，S最大. 答案：40 m 20 m
1 利用均值不等式求最值
1.函数f(x)= x 的最大值为( )
x 1
(A) 2
(B) 1
5
2
(C) 2
2
(D)1
【解析】选B.∵x≥0，(1)当x=0时，f(0)=0；
(2)当x＞0时，f x
1 x
1
1 2
,
当且仅当 x 即1 x, =1时取x 等号.故选B.
x
2.已知m＞0,n>0且mn≥81,则m+n的最小值为( )