有限元分析方法第三章平面问题的三角形单元ppt课件
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有限元分析——平面问题
Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
有限元分析方法
百度文库- 让每个人平等地提升自我第1章有限元分析方法及NX Nastran的由来有限元分析方法介绍计算机软硬件技术的迅猛发展，给工程分析、科学研究以至人类社会带来急剧的革命性变化，数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。
数值模拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果，根据不同行业的需求，不断扩充、更新和完善。
有限单元法的形成近三十年来，计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步，诞生了商业化的有限元数值分析软件，并发展成为一门专门的学科——计算机辅助工程CAE（Computer Aided Engineering）。
这些商品化的CAE软件具有越来越人性化的操作界面和易用性，使得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人员，CAE在各个工业领域的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展，CAE工程仿真在工业设计中的作用变得日益重要。
许多行业中已经将CAE分析方法和计算要求设置在产品研发流程中，作为产品上市前必不可少的环节。
CAE仿真在产品开发、研制与设计及科学研究中已显示出明显的优越性：❑CAE仿真可有效缩短新产品的开发研究周期。
❑虚拟样机的引入减少了实物样机的试验次数。
❑大幅度地降低产品研发成本。
❑在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。
❑能够快速对设计变更作出反应。
❑能充分和CAD模型相结合并对不同类型的问题进行分析。
❑能够精确预测出产品的性能。
❑增加产品和工程的可靠性。
❑采用优化设计，降低材料的消耗或成本。
❑在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。
❑模拟各种试验方案，减少试验时间和经费。
❑进行机械事故分析，查找事故原因。
当前流行的商业化CAE软件有很多种，国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。
其中最为著名的是由美国国1百度文库 - 让每个人平等地提升自我2家宇航局（NASA ）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的Nastran 有限元分析系统。
有限元-用三角形单元分析
(e 1,2,3,4) 分块形式如下：
k e
(4-28)
页码: 9
材料成形数值模拟
School of Materials Science and engineering, WHUT 平面三角形单元整体分析
第4章 平面单元有限元法
2) 求各单元的贡献矩阵 K e 以单元②为例，贡献矩阵 K 2 由式(4-41)求出：
F K
F1 k11 F k 2 21 F6 k 61
分块形式
k12 k 22 k 62
k 66 6
解题步骤：先进行单元分析，得出单元矩阵； 考虑单元综合，得出整体矩阵。因此，平面问题有限元法步骤：
离散化→单元分析→整体分析
页码: 1
材料成形数值模拟
School of Materials Science and engineering, WHUT
4.4 平面三角形单元分析
第4章 平面单元有限元法
u1 1 v 1
则三角形单元结点位移向量为：
u1 v 1 1 u 2 e 2 v 2 3 u 3 v3 以 6 个结点位移分量作为基本未知量，对应的物理量是六个结点力分量， U 1 V F1 1 U 2 F e F2 V 2 F3 U 3 V3
Str 1 2 3 4 1 2 1 0 1 1 0 2 0 2 3 Et 1 0 3 1 4 4 1 2 1 3 5 0 0 2 0 1 0 1 1 6 1 2 6 0 1 1 0 0 2 1 2 0 1 2 0 3 0 1 3 E 5
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
有限元分析ppt
分 片 近 似位
移 函 数
m(xm ym ) Fmy
vm um
vi i(xi yi )
Fmx ui
vj
y
Fix x
Fiy
uj
j(xj yj)
单 元 平 衡单
刚 方 程
整 体 平 衡总
刚 方 程
方
程
求 解
节 点 位
移
函
数
阶梯轴（梁）
A E (1)
(1)
A E (2) (2)
F
1
2
3
3
Φ1
Φ2
Φ3
l(1)
ui
vi
u
v
j j
um
vm
Fxi
Fyi
F
Fxj Fyj
Fxm Fym
y
vm
m
um vj
vi
j uj
i
ui
Fym
m
Fyi
i
Fxm Fyj
j Fxj Fxi
x
平面应变板单元
1.2.3 .1 单元刚度的概念 单元分析的主要工作是：通过研究单元力和单元位移
之间关系，建立单元刚度矩阵。 对任意单元而言，描述单元力和单元位移之间关系的
l(2)
F1
F2
F3
分为两个单元，共有三个节点。整体结构中，节点 载荷F及节点位移Φ都用大写。其脚标为节点在总体 结构中的编码，简称为总码。
1.1 有限元法概述
二．一个简单的应用实例
1. 离散化
① 局部码：各单元内，节点的编码； ② 各节点的位移分量及载荷分量分别用小写φ及f标记 ③ 所有节点位移的集合为该单元节点位移矢量{φ}，节
平面问题三角形单元有限元课件
(i, j, m)
(1-26）
由于 A, bi , ci , b j , c j , bm , cm 与x、y无关，都是常量，因此 [B]矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是[B]矩阵
与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元
被称为常应变单元。
2、单元应力
{} [B]{ }
j
bj
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
1
u
2 A [(ai
bi
x
ci
y)ui
(a
j
bj
x
c
j
y)u
j
(am
bm x
cm y)um ]
(1-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
b
j
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
j
式中
ai x j ym xm y j
mi
bi y j ym
(i, j, m) (1-17）
bi
x
ci
y)ui
(a
j
bj
x
c
j
y)u
j
(am
bm
x
cm y)um ]
(1-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
bj
x
c
j
y)
j
(am
有限元分析课件
02
1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语
03
从固体力学的角度来看，桁架结构与分割成有限个分区后的连续体在结构上存在相似性。
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。 在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。
有限单元法的数学基础（2）
1965年和（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同步骤求解。
1969年和指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
02
01
陈伯屏（结构矩阵方法） 钱令希（余能原理） 钱伟长（广义变分原理） 胡海昌（广义变分原理） 冯康（有限单元法理论） 20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础。--《数学辞海》第四卷
应力
内力
把外载荷集中到节点上 把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上
01
对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：
02
令
建立结点的力平衡方程
根据约束条件，
01
对于第n+1个结点，第n个单元的内力与 第n+1个结点上的外载荷平衡，
有限元分析基础ppt课件
a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度 数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要 选取多少项，则应视单元的类型而定。
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
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• （三）形函数的性质
– 由形函数的性质1和性质2及与坐标的线
性关系
• 在三角形ijm的形心有 Ni 1 3,Nj 1 3,Nm1 3 • 在ij及im两边的中点有 Ni 1 2,Nj 1 2,Nm1 2 • 在单元ijm面积上积分有
• （二）形函数
– 将i，j，m三个结点的水平位移分量和结
点坐标分别代入上式中的第一式，可以
得到：
ui a1 a2xi a3yi
uj a1 a2xj a3yj
um a1 a2xm a3ym
.
12
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 写成矩阵形式，有：
uuij
1 1
xi xj
um 1 xm
yi yj
12C12
ym3 3
.
13
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 将矩阵C求逆，可将待定的中间参量α1， α2，α3用节点位移ui等表示出来，即
1
ui
2
C
1
u
j
3
u m
1 xi C 1 xj
1 xm
.
yi yj 2A ym
14
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– A是三角形单元ijm的面积。只要i，j，m三
点彼此不重合则A不等于0；当i，j，m呈
逆时针排列时|C|>0。由线性代数
xj xm
yj ym
C1 C
1
1
ym
C 2A 1 yj
1
xj
1 xm .
xm ym xi yi 1 yi 1 ym 1 xm 1 xi
xi yi
xj
ue Nee Nie
Nej
Nm e
ij
.
m
22
3.2 三结点单元的位移模式
• （三）形函数的性质
– （1）形函数Ni在i结点值为1，在其余结点
为零；即
Nixk,yk01 kkii
Nixi,yiaibi2 xA iciyi 1
Ni xj,yj
aibixjciyj 2A
0
N ixm ,ym a . ibix 2m A ciym0
3
3.1 离散化
• （一）离散化
– 将平面域Ω划分为有限个小单元，每个单 元用单元结点相连接，把无限个自由度 的连续体变为通过有限个结点联结起来 的“单元组合体”，使问题转变成有限个 结点上有限个未知量问题。
.
4
3.1 离散化
.
5
3.1 离散化
• （二）离散化过程
– 建立坐标系 – 选择单元类型 – 划分网格 – 单元和结点编号，给出结点坐标 – 在结点上施加载荷及位移约束
.
8
3.2 三结点单元的位移模式
• （一）三结点单元
y
vj
(xj , yj ) j
v(x,y)
vm
uj
u(x,y)
vi ui
i (xi, yi)
m (xm, ym)
um
O
.
x
9
3.2 三结点单元的位移模式
• （一）三结点单元
– i结点坐标为（xi，yi）
• i结点位移为
i
u v
i i
– j结点坐标为（xj，yj）
第三章
平面问题的有限元法 三角形单元
.
1
第三章 平面问题的有限元法 2 -三角形单元
• 3.1 离散化 • 3.2 三结点单元位移模式 • 3.3 用结点位移表示单元应变 • 3.4 用结点位移表示单元应力 • 3.5 单元刚度矩阵 • 3.6 单元刚度矩阵的性质 • 3.7 外力等效移置到结点 • 3.8 两个单元的结构 .
.
6
3.1 离散化
• （二）离散化过程
– 单元类型
.
7
3.1 离散化
• （三）离散化应注意的问题
– 1、单元精度问题，复杂的单元计算精度 高
– 2、单元尺寸问题，合理确定单元尺寸 – 3、集中力的作用点及分布力的突变点最
好选在结点处 – 4、区分厚度变化和物性变化 – 5、单元形状问题，以内角60°为宜
y
j
1
yj
1 yi
1
xi
1 xj
15
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
C1
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
cm
ai
x j ym xm yi
xj xm
yj
ym
1
bi
yj
ym
1
yj ym
1 ci xm x j 1
xj xm
12 3
21Aabciii
aj bj .cj
abmmuuij
cmum
16
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
12 3
21Aabciii
aj bj cj
abmmuuij
cmum
u12x3y v45x6y
u 1 x y12
3
1 1 x
2A
yabii
ci
aj bj cj
abmmuuij
Ni
cm.um
Nj
Nm
• j结点位移为
j
u
v
j j
– m结点坐标为（xm，ym）
• m结点位移为
m
u v
m m
.
10
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 以平面逼近曲面的想法，设单元内任一 点的位移是x，y的线性函数，即
真实位移分布 近似位移分布
uv4152xx63yy
.
11
3.2 三结点单元的位移模式
uuij
um
17
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
uN iuiN jujN m um
Nix,yai b2ixAciy
Njx,yaj
bjxcjy 2A
Nmx,yamb2 mA xc.my
18
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 同理，从三个结点的y方向位移vi，vj，vm 得出单元内任一点的y方向位移
– 单元结点位 v
j j
u
m
v m
.
21
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 单元形函数矩阵
N e N 0 i N 0 i N 0 j N 0 j N 0 mN 0 m N ie N e j N m e
– 单元内任一点的位移矢量可简写为
vN iviN jvjN m vm
– 三个形函数Ni，Nj，Nm与u的完全相同
.
19
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 单元内任一点的位移矢量可记为
ui
uj
ue
u v
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
uvmi
vj
vm
.
20
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
23
3.2 三结点单元的位移模式
• （三）形函数的性质
– （2）在单元内任一点三个形函数之和等 于1，即Ni+Nj+Nm=1。
Nix,yNjx,yNmx,y
21Aai bixciyaj bjxcjyambmxcmy
1 2A
ai aj
am
bi bj
bm
xci
cj
cm
y
.
24
3.2 三结点单元的位移模式