北师大版九年级数学下册课件：第一章《直角三角形的边角关系》单元小结与复习
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北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系PPT教学课件
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
当堂练习
4. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员
为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与
今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往
东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货
轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？
北
【分析】这船继续向东航行是
A
否安全，取决于灯塔C到AB航
线的距离是否大于 10 n mile.
B
C
D
东
讲授新课
解：由点A作AD⊥BC于点D, 设AD= x ,
54°45° D 40m C
∴AB=AC－BC=55.1－40=15.1
讲授新课
三 利用坡角解决实际问题 例. 4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽（精确到0.1米, 3 1.732, 2 1.414 ）.
D 12米
分析：求AC，无论是在Rt△ACD中，还 是在Rt△ABC中，只有一个角的条件， 因此这两个三角形都不能解，所以要用 方程思想，先把AC看成已知，用含AC 的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m 建立关于AC的方程，从而求得AC.
讲授新课
解：在Rt△ABC中，
AC BC
=
tan
B
=
tan 30
第一章 直角三角形的边角关系-九年级数学下册课件(北师大版)
12,5 ，则
tan
5
=__________.
12
y
P(12,5) A
O
Mx
记得构造直角三角形哦！
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的 点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的 坡度(结果精确到0.001m).
B
┌
A
C
解：
3.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
显然，坡度越大，坡角α就越大，
坡面就越陡.
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案．
知识点六 利用三角函数测高
＝__c__，
sin A
sin B
tanA＝____c_o_s_A_____，tanB＝____c_os__B____.
(2) 直角三角形可解的条件和解法
◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出 另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边； 知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股 定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边， 再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添 加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．
B
解：∵
10 6
又∵
A
C
6.求下列各式的值：
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
2019春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系小结与复习教学课件新版北师大版
B
解直角三 角形
简单实际 问题
减小（或增大） 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .
二、特殊角的三角函数
30°，45°，60°角的三角函数值
锐角α 三角函数 sin α 30° 45° 60°
1 2
cos α
tan α
三、解直角三角形 合作探究 1.解直角三角形的依据 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A， ∠B,∠C的对边．
针对训练 4. 计算：
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°
3 2 3 3 2
4 3 2 3 2
(2) tan30°·tan60°＋ cos230°
3 3 3 3 4 7 4
考点三 解直角三角形
例3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，
3 BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC= ， 5
解：如图在Rt△ACE和Rt△BCE中
∠ACE=30°，EC=8米 ∴tan∠ACE= 即：AE=8tan30°= 8 3（米） EB=8tan45°=8（米）
8 3 ∴AE+EB=(8+ 3
A
AE EB ,tan∠ECB= EC EC
3
E
B
C
D
)米
课堂小结
锐角三角 函数
A
特殊角的三 角函数
c
b C a
楼前进40 m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为
60°.求这幢教学楼AB的高度．
【分析】 设CF与AB交于点G，在 Rt△AFG中，用AG表示出FG，在 Rt△ACG中，用AG表示出CG，然 后根据CG－FG＝40，可求AG.
第1章 直角三角形的边角关系 北师大版数学九年级下册章末复习课件(53张PPT)
坡面的铅锤高度与水平宽度的比称为坡度. i h tan （α为坡角） l
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.
练习巩固
B
16 5
sin
A
∠A的对边 斜边
cos
A
∠A的邻边 斜边
tan
A
∠A的对边 ∠A的邻边
重点二：锐角三角函数 特殊角30°，45°，60°的三角函数：
重点三：解直角三角形
在直角三角形的6个元素中，直角
是已知元素，如果再知道一条边和第三
个元素，就可以求得这个三角形的所有
元素.
两边
一边和一锐角
重点四：三角函数的应用 坡度与坡角的关系：
北师版·九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系 章末复习
重点知识梳理
重点一：直角三角形的边角关系
三边的关系： _a_2_+_b_2=_c_2_.（勾股定理）
两锐角的关系： _∠__A_+_∠__B__=_9_0_°. （两锐角互余）
B
c a
A
C
b
边与角的关系：锐角三角函数
斜边
B∠A的对边A源自∠A的邻边 C
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.
练习巩固
B
16 5
sin
A
∠A的对边 斜边
cos
A
∠A的邻边 斜边
tan
A
∠A的对边 ∠A的邻边
重点二：锐角三角函数 特殊角30°，45°，60°的三角函数：
重点三：解直角三角形
在直角三角形的6个元素中，直角
是已知元素，如果再知道一条边和第三
个元素，就可以求得这个三角形的所有
元素.
两边
一边和一锐角
重点四：三角函数的应用 坡度与坡角的关系：
北师版·九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系 章末复习
重点知识梳理
重点一：直角三角形的边角关系
三边的关系： _a_2_+_b_2=_c_2_.（勾股定理）
两锐角的关系： _∠__A_+_∠__B__=_9_0_°. （两锐角互余）
B
c a
A
C
b
边与角的关系：锐角三角函数
斜边
B∠A的对边A源自∠A的邻边 C
最新北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系小结与复习
北师大版九年级数学下册
第一章 直角三角形的边角关系
小结与复习
回顾与思考
1.锐角三角函数定义: tanA= sinA=
A的对边 A的邻边
B 斜边 ∠A的对边 A ∠A的邻边 ┌ C
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
回顾与思考 1.结论:梯子的倾斜程度与tanA 、sinA和cosA有关: tanA越___,梯子越陡.sinA越___,梯子越陡; cosA越____,梯子越陡. 2.在∠A+∠B=90°时，_________
1.若A为锐角， sin A和cos A随A如何变化？
sin A随A的增大而增大 cos A随A的增大而减小
2.坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度 与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角 的正切.
铅直高度 i tan 水平宽度
3.朝上看时，视线与水平面夹角为仰角 朝下看时，视线与水平面夹角为俯角
3 ，则 cosB 5
中考链接
3.(2013 年深圳市)如图，已知 l1 // l 2 // l3 ，相邻两条平行直线间的距离相 等，若等腰直角△ ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则 sin 的值是（ D ）
1 A. 3
6 B. 17
5 C. 5
10 D. 10
D
C
E
l1 l2 l3
1.如图,已知Rt△ABC中，斜边BC上的高 AD=4，cosB= 4 ,则AC=_______.
5
【解析】因为∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高，
所以∠B=∠CAD；
因为cosB= ,
所以在Rt△ADC中，cos∠CAD= 又因为AD=4，所以AC=5. 答案：5
第一章 直角三角形的边角关系
小结与复习
回顾与思考
1.锐角三角函数定义: tanA= sinA=
A的对边 A的邻边
B 斜边 ∠A的对边 A ∠A的邻边 ┌ C
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
回顾与思考 1.结论:梯子的倾斜程度与tanA 、sinA和cosA有关: tanA越___,梯子越陡.sinA越___,梯子越陡; cosA越____,梯子越陡. 2.在∠A+∠B=90°时，_________
1.若A为锐角， sin A和cos A随A如何变化？
sin A随A的增大而增大 cos A随A的增大而减小
2.坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度 与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角 的正切.
铅直高度 i tan 水平宽度
3.朝上看时，视线与水平面夹角为仰角 朝下看时，视线与水平面夹角为俯角
3 ，则 cosB 5
中考链接
3.(2013 年深圳市)如图，已知 l1 // l 2 // l3 ，相邻两条平行直线间的距离相 等，若等腰直角△ ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则 sin 的值是（ D ）
1 A. 3
6 B. 17
5 C. 5
10 D. 10
D
C
E
l1 l2 l3
1.如图,已知Rt△ABC中，斜边BC上的高 AD=4，cosB= 4 ,则AC=_______.
5
【解析】因为∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高，
所以∠B=∠CAD；
因为cosB= ,
所以在Rt△ADC中，cos∠CAD= 又因为AD=4，所以AC=5. 答案：5
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎 样想的？与同伴进行交流.
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
1.1.2 直角三角形的边角关系(课件)九年级数学下册课件(北师大版)
tan B AD 4 . BD 3
我们知道，梯子的倾斜程度与tanA 有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯 子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？ 是怎样的关系？
sinA的值越大，梯子越陡；
cosA的值越小，梯子越陡.
A
B1
C2
C1
典例精析
例4.如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10, cos A 12 .
.
注意 1.sin A，cos A都是一个完整的符号，注意事项与正切类似. 2.sin A，cos A没有单位，其值与锐角A的大小有关，与所在直 角三角形的边长无关. 3.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则 这两个锐角相等.
B
斜边
∠A的对边
A
┌C
∠A的邻边
sin
A
∠A的对边 斜边
cos
A
∠A的邻边 斜边
tan
A
∠A的对边 ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切，都是∠A的三角函数.
典例精析
例1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC=200,sinA= 0.6,
求BC的长.
C
解：在Rt△ABC中，
∵ sin A BC ,
AC
A
B
即 BC 0.6
200
∴BC=200×0.6=120.
B
斜边
∠A的对边
A
┌C
∠A的邻边
1 正弦的定义 — 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝ ∠A'＝α，那么 BC 与 B'C' 有什么关系．你能试着分析一下吗？
北师大版九年级下册数学《船有触礁的危险吗》直角三角形的边角关系说课教学课件复习
过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁
的危险.根据题意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC= 20
海里.设AD=x海里.
北
A
数学化
tan 55 BD , tan 25 CD ,
x
x
东
55°
?
BD x tan 55 ,CD x tan 25.
x tan 55 x tan 25 20.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
sin A cosB a , cosA sin B b ,
c
c
互余两角之间的三角函数关系:
sinA=cosB.
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1. tan A sin A .
A
驶向胜利 的彼岸
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求
(1)AB-BD的长,(2)AD的长.
sin 400 BC ,
B
BD
这样 做
BC BDsin 400.
4m
sin 350 BC , AB
350 400
AD
┌ C
AB BC BD sin 450 4 0.6428 4.48m.
结论: 利用三个关系,在Rt∆除直角外的5个元素中, 知道 其中的2个元素(至少有一个是边), 就可以求出其余的三 个未知元素.
独立 作业
知识的升华
P24 习题1.6 1,2,3题;
祝你成功！
P24 习题1.6 1,2,3题
1 如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 (章末复习) 课件(共57张PPT)
章末复习
素养提升
专题一 方程思想在解直角三角形中的应用
【要点指导】在“双直角三角形”中, 如果两个直角三角形求解 的条件都不充分, 可设其中一条线段的长度, 再用所设未知数表示 其他的线段, 最后结合图形与已知条件建立方程或方程组求解.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
章末复习
例1 益阳市为了改善市区交通状况, 计划在康富路的北端修建通 往资江北岸的新大桥． 如图1-Z-4所示, 新大桥的两端位于A, B 两点, 小张为了测量A, B之间的江宽, 在垂直于新大桥AB 的直线 形道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1° , ∠BCA=68.2°, CD=82米, 求AB的长. (结果精确到0.1米； 参考数据： sin76.1°≈0.97, cos76.1°≈0.24, tan76.1°≈4.04, sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37, tan68.2°≈2.50)
30° , 45° , 60°角 的三角函数值
利用三角函数测高
章末复习
归纳整合
专题一 关于锐角三角函数的概念及计算
【要点指导】中考中常借助一定的背景图形(网格、三角形等)通 过等量代换及转化, 将某些无法求解的锐角三角函数转移或构建 特殊的直角三角形, 借助数形结合求解.
章末复习
例1 在△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a, b, c, 且b2= (c+a)(c-a), 5b-4c=0, 求sinA+sinB的值．
章末复习
母题3 (教材P25复习题第12题) 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至 B港, 然后再沿北 偏西30°方向航行10 km至C港. (1)求A, C两港之间的距离(结果精确到0.1 km)； (2)确定C港在A港的什么方向.
北师版九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系PPT教学课件
议一议 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以
大于1吗？
B
A
┌ C
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以
大于1，甚至可逼近于无穷大.
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一 的确定的值与它对应.
典例精析 例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯 比较陡?
甲
13m α ┌
5m
乙 6m
B'
B
A
C
A'
C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定 时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比 也是一个固定值．
概念学习
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine）， 记作sinA ， 即
斜边
c A b
B
对边
a C
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
典例精析
例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
A 5 ┌ 6 D C
解 : 过A作AD BC于D, 则在RtABD中,
AB 5, 易知BD 3, AD 4.
B
5
AD 4 BD 3 sin B , cos B , AB 5 AB 5 AD 4 tan B . BD 3
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪 些办法？
讲授新课
一 正切的定义
相关概念
从梯子的顶端A到墙角C的距离，
称为梯子的铅直高度
A
从梯子的底端B到墙角C的距离，
称为梯子的水平宽度
梯子与地面的夹角