全等三角形中几种常见的辅助线添法PPT课件
【专题】全等三角形辅助线做法汇总PPT课件(沪科版)
∵ቐ∠ = ∠
=
∴△BDE≌△CDH(SAS）
∴BE=CH
在△CFH中，根据三角形三边数量关系
CF+CH＞FH
即CF+BE＞EF
猜想：AF+CE=EF
【解析】（3）延长FA至AH,使AH=CE
易证△HAD≌△CDE(SAS），HD=DE
再证△HDF≌△EDF(SAS）
图2
图3
【解析】（1）（2）问中，利用角度的和差关系，等角的余角相等，间接求证Rt△ADB≌Rt△AEC（AAS）
课堂练习
例8 如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°
的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，求△AMN的周长。
不需要说明理由，请直接写出你的猜想。
（2）如图③，当∠ABC≠90°时，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD之间又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明。
【解析】
（1）猜想:AB=AC+CD 证明：方法如题①，在AB上截取AE=AC。
（2）猜想：AC+AB=CD 在AF上截取AH=AC易证△ACD≌△AHD(SAS）∴CD=HD再根据∠ACB=2∠B
（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN)
结论：DM=DN，AM=AN，∠ADM=∠AND
典型例题
例4.已知：如图，在四边形ABC中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠使BE=AB，连接DE
(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析).docx
全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
三角形中两中点，连接则成中位线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， (1 )可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． ( 2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法
教学过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。
现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。
如图2。
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
AB＝CE。
∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。
求证：AB＋BD＝AC。
证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。
如图4。
∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。
而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。
所以EC＝ED＝BD。
∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
求证：EF＝FD。
证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。
则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
∴∠B＝∠EMB。
故EM＝BE。
∵BE＝CD，∴EM＝CD。
又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。
EF＝FD。
四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。
M是AC边的中点。
AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。
求证：∠AMB＝∠DMC。
证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。
如图8。
∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。
∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。
全等三角形辅助线ppt课件
求证：EF＝CF－BE；
F
B
P
C
E
2
类型二：线段和差问题的证明 二 截长补短法
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线 交于点E，点E在CD上，求证：AD＋BC＝AB
Hale Waihona Puke AD21E3
4
B
C
3
类型二：线段和差问题的证明 二 截长补短法
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与 ∠B的平分线交于点E，点E在CD上，求证： AD＋BC＝AB
①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF
④△ABE为等腰三角形
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②③④
18
3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
A
F E
B
D
C
19
形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），
用SAS证全等（对顶角）
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
17
2、如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是 （）
6
7
截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等.
补短法： （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……
8
旋转法构造全等 9
10
截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选择. 添加辅助线的关键是添加后能否构造全等三角形或其它特殊图形，从而对相等 的线段进行转化，得到线段间的和差关系.
三角形全等中辅助线的常见类型课件
DOC 中，∠COF＝∠COD，CO＝CO，∠FCO＝∠DCO，∴△FOC≌△DOC(ASA)，
∴DC＝FC.∵AC＝AF＋FC，∴AC＝AE＋CD
第6页，共16页。
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝BC， E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°.求证：EF＝AE＋CF.
第9页，共16页。
证明：过点B作BG∥AC，交CF的延长线于点G，∴∠G＝ ∠ACE.∵AC⊥BC，CE⊥AD，∴∠ACE＋∠DCE＝∠ADC＋∠DCE＝ 90°，∴∠ACE＝∠ADC，∴∠G＝∠ADC.又∵AC＝CB，∠ACD＝ ∠CBG＝90°，∴△ADC≌△CGB(AAS)，∴BG＝CD＝BD.在等腰直 角△ABC中，∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BG∥AC，∴∠GBF＝∠CAB， ∴∠GBF＝∠DBF，又∵BF＝BF，BG＝BD，∴△GBF≌△DBF(SAS)， ∴∠G＝∠BDF，∴∠ADC＝∠BDF
第2页，共16页。
2 ． 如 图 ， AD 是 △ ABC 的 中 线 ， 点E 在 BC的 延 长 线 上 ， CE ＝ AB， ∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD. 解：延长AD至M，使DM＝AD，由SAS可证△ABD≌△MCD，∴∠B＝ ∠ MCD ， ∵ ∠ BAC ＝ ∠ BCA ， ∠ ACE ＝ ∠ B ＋ ∠ BAC ， ∴ ∠ ACM ＝ ∠ACE，再证△ACM≌△ACE，∴AE＝AM，∴AE＝2AD
第16页，共16页。
＋∠D＝180°，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，即 G，B，E 共线．∵∠EAF＝12
∠
BAD
＝
1 2
∠
FAG
，
∴
∠
EAF
＝
(完整版)全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。
求证： CD=AD+BC。
思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。
人教版八年级数学上册 12.2 复习小专题(二)构造全等三角形常见辅助线的添法 课件(共20张
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
归纳总结
不管是截长法还是补短法,往往都需要连接 其他线段,构造全等三角形,利用全等三角形的性 质解决问题.
10
知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
典例分析
例3：如图，在△ABC中,AD是BC边上的中线,
求证:AD< (AB+AC)
A
通过添加辅助线,构造全等三角形,将
AD AB ,AC转化到同一个三角形中来求解. B D
C
E
11
知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
典例分析
A
例3：如图，在△ABC中,AD是BC边上的中线,
求证:AD< (AB+AC)
B
2
DC
证明:延长AD至点E,使得DE = AD,连接BE.
E
∵AD是BC边上的中线， ∴点D为BC的中点，∴BD=CD.
∴∠F=∠4.
6
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
大显身手
1.如图，AD为△ABC的角平分线,AB >AC,
A
求证:AB﹣AC> BD﹣DC.
E
B
DC
7
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
大显身手
2.如图，在△ABC中, B=2∠C,AD是BC边上的高.
求证:CD=AB+BD.
A
∟
E
BD
C
B
从结论出发,把较长的线段AB截成与 AC,BD分别相等的两条线段,或延长较短的线段AC, 使延长后的线段的长等于线段AB的长,再利用三角 形全等即可证明.
4
知识点二：
解：如图,在线段AB上截取AF=AC连接EF C ∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA
全等三角形(常见辅助线)课件
2. 由于DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°。
3. 因为AD=AD（公共边），所以根据AAS全等条件，可 证△BED≌△CFD，从而得出BE=CF。
例题三：高线在全等三角形证明中的应用
题目描述
已知三角形ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC的平分线交AD于点E，EF⊥BC于 点F，求证：EF=ED。
掌握多种解题方法
加强实践应用
在学习全等三角形的过程中， 学生应尝试掌握多种解题方 法，培养灵活运用知识的能 力。
学生应多做一些与全等三角 形相关的练习题，通过实践 应用巩固所学知识，提高解 题能力。
拓展学习领域
在掌握全等三角形相关知识 的基础上，学生可以进一步 拓展学习领域，探索更广泛 的数学世界。
截长补短法
通过在长边上截取一段等于短 边，或将短边延长至等于长边
，从而构造出全等三角形。
利用已知条件构造辅助线
01
02
03
已知两边及夹角
可以通
可以通过作角平分线或截 长补短法来构造全等三角 形。
已知三边
可以通过作高、中线或截 长补短法来构造全等三角 形。
输标02入题
01
辅助线应用
03
若两角不直接相邻，可以通过作平行线来构造同位角 或内错角，再利用ASA判定。
04
当已知两角及夹边时，可以通过作角平分线或高来构 造全等三角形。
SSS判定与辅助线
SSS判定定理：三边对应相等的两个 三角形全等。
当已知三边时，可以通过作中线或高 来构造全等三角形。
辅助线应用
例题一：中线在全等三角形证明中的应用
解题步骤 1. 连接BD和CD，由于D是BC的中点，所以BD=CD。
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1.如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
连
A
C
线
D
构
连接AC
造
构造全等三角形
全
B与CD交于O,且AB=CD, AD=BC，OB=5cm,求OD的长.
连接BD
A
C
构造全等三角形
D
B
拓展题
3.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF
在证明过程中描述添法
1.如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10, BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
过点D作DE⊥AB于点E
E
B
C
D
角平分线上的点向角两边做垂线段
角平分线上点向两边作垂线段
典例:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
方法3:旋转法
如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD
上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF
E′
A
将△ABE绕点A逆时 针方向旋转90 °， 使AB与AD重合,点 E落在E′处
F
E
D
A
B
C
2.倍长中线法
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点A 语言描述:连结AM和AN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
1.已知，如图AD是△ABC的中线，
求证 A： D 1(AB AC ) 2
A
延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.
全等三角形中几种 常见的辅助线添法
知识回顾：
一般三角形的全等条件：
定义（重合）法；
解题 1.SSS；
中常 2.SAS；
用的 4种 方法
3.ASA； 4.AAS.
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS)
（1）：已知两边---找夹角（SAS)
已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角---
找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
已知一边和它的对角
找一角(AAS)
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
1.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—A和B 语言描述:连结AB 注意点:双添---在图形上添虚线
分析：本题中已知D为BC的中点， 要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转， 使这三条线段在同一个三角形内。
截长 补短
1.已知在△ABC中 ,
∠C=2∠B, ∠1=∠2
A
求证:AB=AC+CD E
12
B
D
C
在AB上取点E使得AE=AC,连接DE F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD,连接DF
E
∴BE=CA（全等三角形对应边相等）图5 1
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之
和大于第三边）
∴AB+AC>2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
2.练习；如图1，AD是△ABC的中线， AB=3,AC=5，求中线AD的取值范围。
• 例、如图，AD为△ABC的中线， • ∠ADB、∠ADC的平分线交AB、AC于E、F。 • 求证：BE+CF＞EF
B
E
.
D（B） F
C
19
小结
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
B D
思考：若AB=3,AC=5
倍 长 中 C线
求AD的取值范围？
E
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知） A ∴BD=CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证）
D
∠1=∠2 （对顶角相等）
B
C
AD=ED （辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD （SAS）
2.如图所示，已知AD∥BC，
∠1=∠2，∠3=∠4，
直线DC经过点E交AD于点D，
交BC于点C。
D
求证：AD+BC=AB
E
截 长 补 C短
1
4 3
2
A
F
B
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
4.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点P和一条线MN 语言描述:过点P作PD⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线