1.4.2空间图形的公理课件 (北师大版必修2)
∴AE和BG所成的角是60°.
一、选择题(每题4分，共16分) 1.已知a、b是异面直线，直线c∥直线a,那么c与b( (A)一定是异面直线 (C)不可能是平行直线 (B)一定是相交直线 (D)不可能是相交直线 )
【解析】选C.若c∥b,由公理4，∵c∥a，
∴a∥b,与a、b是异面直线矛盾.
∴c与b不可能平行.
HD GD 3 3
四边形EFGH为菱形. 理由：由(1)知，若
AH CG 2 , HD GD 3
则四边形EFGH为平行四边形. 且 EF 3 AC，EH 2 BD.
5 5
若 AC 2 BD， 则 EF 3 AC 2 BD EH.
3 5 5
∴平行四边形EFGH为菱形.
【例】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， AE=A1E1，AF=A1F1，P∈E1F1，(1)过P作 一条直线与棱CD平行，说明作法；
4.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形， 则PA与CD所成的角是___________.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD， ∴∠PAB是PA与CD所成的角. 又∵PA⊥AB，∴∠PAB=90°. 答案：90°
5.如图,已知长方体ABCD-
EFGH中,AB 2 3, AD 2 3,
2 2
∴DE=DF，∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，即异面直线EF与SA 所成的角为45°.
答案：45°
【方法技巧】求异面直线所成角的诀窍
(1)平移方法：①中位线平移法.②平行四边形性质平移法.
③补形平移法.
(2)平移直线是寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移
是在某个平面中进行的，该面的特点：①该平面包含其中 一条异面直线，②该平面与另一条异面直线平行 . (3)求角或求角的三角函数值的一般步骤：①构造三角形， ②解三角形求角或求角的三角函数值.
求异面直线所成的角 利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
求异面直线所成的角的关键是“作角”，
而“作角”的关键是恰当地利用平面几何中有关线线平行
的结论作“辅助线”.
【例3】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点， 求异面直线DB1与EF所成的角的大小.
条边对应平行的两个角的大小关系.
(3)两个推论：
推论1
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且
方向相同，那么这两个角相同. 推论2 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并
且有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两 个角互补.
【例2】如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，E、F、E1、F1分别 为所在边的中点. 求证：(1)EF E 1F 1；
(2)∠EA1F=∠E1CF1. 【审题指导】空间中证明线线平行，线段与线段长度相等，
可以利用平行关系和线段长度关系的传递性，选择“中间
线段”证明.空间中证明角与角相等，可以利用“等角定理”
分别证明角的两条边分别平行，再结合图形得证.
【规范解答】(1)连接BD、B1D1， ∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴在△ABD中有EF∥BD，
线垂直.
3.(2011·莆田高一检测)如图， 长方体ABCD-A′B′C′D′中截 去一部分，其中EH∥A′D′， 剩下的几何体是( )
(A)直五棱柱
(C)正五棱柱
(B)四棱台
(D)五棱锥
【解题提示】解答本题要紧扣棱柱、棱锥、棱台的定 义判断，同时注意几何体观察角度的变化 .
【解析】选A.把五边形ABFEA′和DCGHD′视为底面,由长方
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1. a,b, c 为三条不重合的直线，如果 a ⊥c, b ⊥c ，
则 a, b的位置关系必定是( (A)相交 (C)异面 ) (B)平行 (D)以上答案都不对
【解析】选D. 若a ⊥c, b ⊥c，则a与b相交，异面，平行 都有可能.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有
立，其正确性是需要证明的，这一点在今后的学习中要特
别注意.
【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、
H分别为AB、BC、CD、AD上的点且
AE CF 2 ，请回答并证明当空间 EB FB 3
四边形ABCD的四条边及点G、H
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？ (2)满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？
体的结构特征知剩余的几何体是直五棱柱 .
4.(2010·江西高考)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，
使l与棱AB,AD,AA1所在直线所成的角都相等，这样的直线l 可以作( (A)1条 (C)3条 ) (B)2条 (D)4条
【解析】选D.如图所示，AC1,AE，AF，AG都与棱AB，AD，
【审题指导】由 AE CF 2 ，可想到利用平行线分线段成
EB FB 3
比例定理证明EF∥AC；为使四边形EFGH为平行四边形，根 据公理4需证明GH AC；为使四边形EFGH为菱形，在(1)成
立的情况下，还需证明EH=EF，进一步可得AC、BD的关系.
【规范解答】(1)当 AH CG 2 , 时，四边形EFGH为平行四
3.如图，平面α 与平面β 相交于EF， C∈EF，C′∈EF，AC α，
A′C′α ，BC β ，B′C′β 且AC∥A′C′， BC∥B′C′， ∠C=120°，∠C′=__________. 【解析】结合图形，AC∥A′C′，BC∥B′C′，根据等角
定理，有∠C′=∠C=120°.
答案：120°
(2)求证：EF
E 1F 1.
【审题指导】在空间中作已知直线的平行线，通常要考虑
用公理4；要证EF
边形即可.
E1F1，只需证明四边形EFF1E1是平行四
【规范解答】(1)如图，
在平面A1B1C1D1内过P作
直线l∥C1D1，∵CD∥C1D1,
∴l∥CD，故l为所求作直线.
(2)连接EE1，FF1.
HD GD 3
边形. 理由： AE CF 2 ，
EB FB 3 AH CG 2 3 若 , EF AC且EF AC. HD GD 3 5 5
则HG∥AC且 HG 3 AC. ∴EF
HG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
(2)当 AH CG 2 且 AC 2 BD 时，
公理4的应用
对公理4的理解
(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性.
(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法.
它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线 的位置关系、直线与平面位置关系的基础.
(3)应用：“等角定理”的证明是公理4的直接应用. (4)关键：寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公 理4证明线线平行的关键.也就是说，要证空间中的两直线 平行，就要找一条与之平行的直线，利用传递性证明. 平面几何中的结论推广到空间之后，未必成
方法二:如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，
连接B1Q，则B1Q∥EF.于是，直线DB1与B1Q所成的较小的角
就是异面直线DB1与EF所成的角，通过计算可知
B1D2+B1Q2=DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.
【典例】(12分)在正方体ABCD-
A1B1C1D1 中，点P在线段AD1上移动，
(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则 BF A1M 1 AB.
2
又BF∥A1M，∴BF
A 1M ，
∴四边形A1FBM为平行四边形.∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
则 F 1M C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC， ∴四边形F1MBC是平行四边形， ∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
求异面直线CP与BA1所成的角θ 的取
值范围.
【审题指导】由于线段CP的端点P在线段AD1上移动，所以 应该过点C作辅助线平行直线A1B,作出异面直线CP与BA1所 成的角θ，然后根据P点的变化，确定θ的取值范围.
【规范解答】连接D1C，AC， „„„„„„„„2分 ∵正方体ABCD-A1B1C1D1 中 A 1D 1 AD BC，
AA1所成的角相等.
二、填空题(每题4分，共8分) 5. 四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB上任一点， 若EF与PA、BC所成的角分别为α 、β ,则α +β =_________.
【解析】本题可利用特例法.如图， 若E、F分别为PC、AB中点时， 取AC中点M，连接EM、FM， ∴EM∥PA，FM∥BC. ∵PA⊥BC，∴∠FEM=α， ∠EFM=β，EM⊥FM，
2．教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的
直线与该直尺所在直线( (A)平行 (C)相交但不垂直 ) (B)垂直 (D)异面
【解析】选B.直尺所在直线与地面有三种位置关系(1)直线 与地面相交，A错，(2)直线与地面平行，C错，(3)直线在 地面内，D错，这三种情况下地面上总有直线与直尺所在直
∴α+β=90°.
答案：90°
6.在四面体SABC中，SA⊥BC且 SA=BC,E, F分别为SC、AB
的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于__________.
【解析】取AC的中点D，连接DE、DF， ∵E, F分别为SC、AB 的中点， ∴DE∥SA，DF∥BC， ∴∠DEF为异面直线EF与SA 所成的角. ∵SA⊥BC，∴∠EDF=90°. 又∵SA=BC且 DE 1 SA，DF 1 BC，
( )
一、选择题(每题4分，共16分) 1.已知a、b是异面直线，直线c∥直线a,那么c与b( (A)一定是异面直线 (C)不可能是平行直线 (B)一定是相交直线 (D)不可能是相交直线 )
【解析】选C.若c∥b,由公理4，∵c∥a，
∴a∥b,与a、b是异面直线矛盾.
∴c与b不可能平行.
HD GD 3 3
四边形EFGH为菱形. 理由：由(1)知，若
AH CG 2 , HD GD 3
则四边形EFGH为平行四边形. 且 EF 3 AC，EH 2 BD.
5 5
若 AC 2 BD， 则 EF 3 AC 2 BD EH.
3 5 5
∴平行四边形EFGH为菱形.
【例】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， AE=A1E1，AF=A1F1，P∈E1F1，(1)过P作 一条直线与棱CD平行，说明作法；
4.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形， 则PA与CD所成的角是___________.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD， ∴∠PAB是PA与CD所成的角. 又∵PA⊥AB，∴∠PAB=90°. 答案：90°
5.如图,已知长方体ABCD-
EFGH中,AB 2 3, AD 2 3,
2 2
∴DE=DF，∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，即异面直线EF与SA 所成的角为45°.
答案：45°
【方法技巧】求异面直线所成角的诀窍
(1)平移方法：①中位线平移法.②平行四边形性质平移法.
③补形平移法.
(2)平移直线是寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移
是在某个平面中进行的，该面的特点：①该平面包含其中 一条异面直线，②该平面与另一条异面直线平行 . (3)求角或求角的三角函数值的一般步骤：①构造三角形， ②解三角形求角或求角的三角函数值.
求异面直线所成的角 利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
求异面直线所成的角的关键是“作角”，
而“作角”的关键是恰当地利用平面几何中有关线线平行
的结论作“辅助线”.
【例3】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点， 求异面直线DB1与EF所成的角的大小.
条边对应平行的两个角的大小关系.
(3)两个推论：
推论1
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且
方向相同，那么这两个角相同. 推论2 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并
且有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两 个角互补.
【例2】如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，E、F、E1、F1分别 为所在边的中点. 求证：(1)EF E 1F 1；
(2)∠EA1F=∠E1CF1. 【审题指导】空间中证明线线平行，线段与线段长度相等，
可以利用平行关系和线段长度关系的传递性，选择“中间
线段”证明.空间中证明角与角相等，可以利用“等角定理”
分别证明角的两条边分别平行，再结合图形得证.
【规范解答】(1)连接BD、B1D1， ∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴在△ABD中有EF∥BD，
线垂直.
3.(2011·莆田高一检测)如图， 长方体ABCD-A′B′C′D′中截 去一部分，其中EH∥A′D′， 剩下的几何体是( )
(A)直五棱柱
(C)正五棱柱
(B)四棱台
(D)五棱锥
【解题提示】解答本题要紧扣棱柱、棱锥、棱台的定 义判断，同时注意几何体观察角度的变化 .
【解析】选A.把五边形ABFEA′和DCGHD′视为底面,由长方
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1. a,b, c 为三条不重合的直线，如果 a ⊥c, b ⊥c ，
则 a, b的位置关系必定是( (A)相交 (C)异面 ) (B)平行 (D)以上答案都不对
【解析】选D. 若a ⊥c, b ⊥c，则a与b相交，异面，平行 都有可能.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有
立，其正确性是需要证明的，这一点在今后的学习中要特
别注意.
【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、
H分别为AB、BC、CD、AD上的点且
AE CF 2 ，请回答并证明当空间 EB FB 3
四边形ABCD的四条边及点G、H
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？ (2)满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？
体的结构特征知剩余的几何体是直五棱柱 .
4.(2010·江西高考)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，
使l与棱AB,AD,AA1所在直线所成的角都相等，这样的直线l 可以作( (A)1条 (C)3条 ) (B)2条 (D)4条
【解析】选D.如图所示，AC1,AE，AF，AG都与棱AB，AD，
【审题指导】由 AE CF 2 ，可想到利用平行线分线段成
EB FB 3
比例定理证明EF∥AC；为使四边形EFGH为平行四边形，根 据公理4需证明GH AC；为使四边形EFGH为菱形，在(1)成
立的情况下，还需证明EH=EF，进一步可得AC、BD的关系.
【规范解答】(1)当 AH CG 2 , 时，四边形EFGH为平行四
3.如图，平面α 与平面β 相交于EF， C∈EF，C′∈EF，AC α，
A′C′α ，BC β ，B′C′β 且AC∥A′C′， BC∥B′C′， ∠C=120°，∠C′=__________. 【解析】结合图形，AC∥A′C′，BC∥B′C′，根据等角
定理，有∠C′=∠C=120°.
答案：120°
(2)求证：EF
E 1F 1.
【审题指导】在空间中作已知直线的平行线，通常要考虑
用公理4；要证EF
边形即可.
E1F1，只需证明四边形EFF1E1是平行四
【规范解答】(1)如图，
在平面A1B1C1D1内过P作
直线l∥C1D1，∵CD∥C1D1,
∴l∥CD，故l为所求作直线.
(2)连接EE1，FF1.
HD GD 3
边形. 理由： AE CF 2 ，
EB FB 3 AH CG 2 3 若 , EF AC且EF AC. HD GD 3 5 5
则HG∥AC且 HG 3 AC. ∴EF
HG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
(2)当 AH CG 2 且 AC 2 BD 时，
公理4的应用
对公理4的理解
(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性.
(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法.
它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线 的位置关系、直线与平面位置关系的基础.
(3)应用：“等角定理”的证明是公理4的直接应用. (4)关键：寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公 理4证明线线平行的关键.也就是说，要证空间中的两直线 平行，就要找一条与之平行的直线，利用传递性证明. 平面几何中的结论推广到空间之后，未必成
方法二:如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，
连接B1Q，则B1Q∥EF.于是，直线DB1与B1Q所成的较小的角
就是异面直线DB1与EF所成的角，通过计算可知
B1D2+B1Q2=DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.
【典例】(12分)在正方体ABCD-
A1B1C1D1 中，点P在线段AD1上移动，
(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则 BF A1M 1 AB.
2
又BF∥A1M，∴BF
A 1M ，
∴四边形A1FBM为平行四边形.∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
则 F 1M C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC， ∴四边形F1MBC是平行四边形， ∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
求异面直线CP与BA1所成的角θ 的取
值范围.
【审题指导】由于线段CP的端点P在线段AD1上移动，所以 应该过点C作辅助线平行直线A1B,作出异面直线CP与BA1所 成的角θ，然后根据P点的变化，确定θ的取值范围.
【规范解答】连接D1C，AC， „„„„„„„„2分 ∵正方体ABCD-A1B1C1D1 中 A 1D 1 AD BC，
AA1所成的角相等.
二、填空题(每题4分，共8分) 5. 四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB上任一点， 若EF与PA、BC所成的角分别为α 、β ,则α +β =_________.
【解析】本题可利用特例法.如图， 若E、F分别为PC、AB中点时， 取AC中点M，连接EM、FM， ∴EM∥PA，FM∥BC. ∵PA⊥BC，∴∠FEM=α， ∠EFM=β，EM⊥FM，
2．教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的
直线与该直尺所在直线( (A)平行 (C)相交但不垂直 ) (B)垂直 (D)异面
【解析】选B.直尺所在直线与地面有三种位置关系(1)直线 与地面相交，A错，(2)直线与地面平行，C错，(3)直线在 地面内，D错，这三种情况下地面上总有直线与直尺所在直
∴α+β=90°.
答案：90°
6.在四面体SABC中，SA⊥BC且 SA=BC,E, F分别为SC、AB
的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于__________.
【解析】取AC的中点D，连接DE、DF， ∵E, F分别为SC、AB 的中点， ∴DE∥SA，DF∥BC， ∴∠DEF为异面直线EF与SA 所成的角. ∵SA⊥BC，∴∠EDF=90°. 又∵SA=BC且 DE 1 SA，DF 1 BC，
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《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
公理等多以文字语言叙述.
(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、 公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起 着具体化和加深理解的作用.
【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO
α，直线PO∩直线l=O，直线
【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
CF CG 2 . 别是BC、CD上的点，且 CB CD 3
求证：三条直线EF、GH、AC交于一 点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先 证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空 间图形的公理(公理1、2、3)》课件
文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系 (1)符号语言简洁，层次感强，应用方便. (2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的 含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、
【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一 个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在 平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、
C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、
【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B (2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.
m.
共面问题
1.证明共面问题的依据
北师大版高中数学必修二课件§4.2空间图形的公理
总结：公理1、公理2及三个推论
公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）. 公理2.经过不在同一条直线上的三点，有且只一个平面（不共线 3点确定一个平面）.
推论1.经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面 推论2.经过两条相交直线，可以确定一个平面 推论3.经过两条平行直线，可以确定一个平面
公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判
定两平面相交的依据，提供了确定两个平面
新疆 王新敞
奎屯
交线的方法． 新疆 王新敞 奎屯
指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如 无特殊说明,均指不同的平面(或直线).
问题5、长方体中，棱AA1，BB1D，1 CC1是否平行C1？
A1
B
D
1
C
A
B
公理4：平行于同一条直线的两直线平行
C
C
A D
B
A
B(D)
问题4：图中的两个平面有几个交点？ α
β
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么有且只有一条通过这个点的公共直线.
即：两平面若相交，则公共部分必是一
条直线.
a
Aα
推理模式：A A
A
l
β
或者： A , A l，Al
应用：①确定两相交平面的交线位置； ②判定点在直线上
或者： A，B，C不共线
新疆 王新敞
奎屯
存在唯一的平面，使得A，B，C
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
问题3：
（1）经过一条直线和这条直线外一 点，可以确定一个平面吗？ （2）经过两条相交直线，可以确定 一个平面吗？ （3）经过两条平行直线，可以确定 一个平面吗？
北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形的公理(二)
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提示
3．空间中有两个角 α，β，且角 α，β 的两边分别平行．若 α＝60°，则 β ＝________.
提示：60°或 120° 因为 α 与 β 两边对应平行，但方向不确定，所以 α 与 β 相等或互补．
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解析
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3．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，CC1 的中 点，则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为________．
答案 60°
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答案
解析 连接 BC1，BD，DC1，因为 EF∥BC1，B1D1∥BD，所以∠C1BD 即为异面直线 EF 与 B1D1 所成的角或其补角．因为△C1BD 为正三角形，所 以∠C1BD＝60°，即异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为 60°.
求证：(1)D1E∥BF； (2)∠B1BF＝∠D1EA1.
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证明 (1)取 BB1 的中点 M，连接 EM，C1M. 在矩形 ABB1A1 中，易得 EM 綊 A1B1，
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答案
∵A1B1 綊 C1D1，∴EM 綊 C1D1，
答案
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类题通法 求两条异面直线所成的角的一般步骤
1-4-2空间图形的公理(二)课件(北师大版必修二)
范围
特例
课前探究学习
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名师点睛 1．对公理 4 的理解 公理 4 是今后论证平行问题的主要依据．公理 4 中，若把直线 a，b，c 的平行关系限制在同一平面内，可看作公理 4 的一种 特殊情况． 2．对等角定理的理解 等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理 4 的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时， 它们相等，或者互补．
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3．异面直线的判定方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)反证法：用此法可以证明两条直线是异面直线． (3)重要结论法：可以利用重要结论来判断，即“过平面外一点 和平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直 线”．
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4．关于平面分空间的题目 (1)直线分平面： 在平面内一条直线将平面分成两部分；两条直线如果平行则将 平面分成三部分，如果相交则将平面分成四部分；三条直线可 以将平面分成四或六或七部分，如图．以此类推，我们可以求 出四条直线、五条直线„„分别把平面分成多少部分．
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题型一
公理 4 的应用
【例 1】 如图所示， 已知 E， G， 分别是空间四边形 ABCD F， H 的边 AB，BC，CD，DA 的中点． (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)若 AC⊥BD，求证：四边形 EFGH 是矩形． [思路探索] (1)利用三角形中位线定理及公理 4 可证明． (2)由 EH∥BD，HG∥AC，得 EH⊥HG.再证明 EFGH 为平行四 边形即可．
∵BC＝CD，BC⊥CD， ∴四边形 BCDE 为正方形． ∴BE＝BC＝AB. ∵AB⊥BC，AB＝BC，AB 与 CD 成 60° 的角，
2018-2019数学北师大版必修2课件：第一章4.2空间图形的公理(二) (43张)
1.公理4 文字语言
图形语言
符号语言
平行于同一条
直线的两条直 线___平__行_____
若a∥b，b∥c， 则____a_∥__c_____
2.等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别___对__应__平__行___，那么这两 个角__相__等__或__互__补__．
3．异面直线所成的角
过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线 定义 l1,l2(a∥l1，b∥l2),这两条相交直线所成的_锐__角__(_或__直__角__)
又因为 M，P 为 A1A，B1B 的中点，有 MP 綊 A1B1. 又由正方体性质知 A1B1 綊 C1D1，所以 MP 綊 C1D1，
所以四边形 D1MPC1 为平行四边形，所以 C1P 綊 MD1.由(*) 知 MD1 綊 BN， 所以四边形 MBND1 为平行四边形．
若本例中的条件不变，求证改为“四边形 MBND1为菱形”又该如何证？ 证明：接例题的证明，在 Rt△MA1D1 与 Rt△MAB 中， A1M＝AM，A1D1＝AB，∠MA1D1＝∠MAB＝90°， 所以△MA1D1≌△MAB，所以 MD1＝MB，所以四边形 MBND1 为菱形．
在 Rt△MHE 中，EM＝1，EH＝12EF＝ 23，
则 sin∠EMH＝ 23，于是∠EMH＝60°， 则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线 AD、BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直 线 AD、BC 所成的角为 60°.
[方法归纳] 1．求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊 三角形求解． 2．注意 (1)作异面直线所成的角时，要选择适当的点，平移异面直线 中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置 上的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条 直线上的一个特殊点． (2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角， 要注意识别这种情况．
高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件
∴E»Q五级B1C1，
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
11/14/2024
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单击此处编辑母版标题样式
又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
• 单击此∴处QD编辑C1母F. 版文本样式
– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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单击此求异处面直编线所辑成的母角版标题样式
利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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• 单击此“等处角编定理辑”母的应版用文本样式
– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
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又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
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– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
《1.4.2 空间图形的公理公理4、定理》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品
学 方
＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB
当 堂
案
双
设 计
所成的角．
基 达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课
堂
互
图1－4－13
动
探 究
【思路探究】 如何找出异面直线所成的角？
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教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
课
【自主解答】 如图所示，取BD的中点G，连接EG， 标
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教
学
教 法
1．公理4
分
析
文字语言
教
学
方 案
平行于同一条直线的
设
计 两条直线平行
课
前
自
主
导 学
2.定理(等角定理)
图形语言
思
想
方
法
技
符号语言
巧
当
若a∥b，b∥c，
堂 双
基
则 a∥c
达 标
课 时 作 业
课 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个
互
动 的角．
探
究
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思
教
想
法
方
2015-2016年最新审定北师大版数学必修二：1.4.2 空间图形的公理(精品课件)
【即时练】
若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么
这两个三角形( A.全等 B.相似 C.仅有一个角相等 D.全等或相似 【解析】选D.由定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等， 所以选D. )
知识点2
异面直线的定义及所成的角
1.对异面直线所成角的两点说明
(1)两条异面直线所成的角，是借用平面几何中的角的概念定
(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角， 实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建 立了联系，促进了知识的渗透. (3)两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
【知识拓展】对异面直线的三点说明 (1)若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使 其同时经过a，b两条直线. (2)异面直线和平行直线都没有公共点；区别是平行直线可以 确定一个平面，而异面直线不同在任何一个平面内.
【即时练】
1.(2014·杭州高二检测)如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面
直线AA1与BC所成的角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2.正方体ABCD������
A′B′C′D′中，E，F分别为平面
A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是 ________.
答案：a∥c
(2)a∥b，又a与c相交，则b与c的关系可能为相交或异面.
答案：相交或异面
(3)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一 条相交或异面. 答案：相交或异面
【要点探究】 知识点1 公理4及定理
对定理的四点认识 (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中 一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品
自
课
主 位置关系、符号表示．
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
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教
学
易
教
错
法 分
满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a α，直线
易 误
析
辨
b β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
析
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教
【解析】 由线面符号语言描述及图形语言知D正确．
教
师
备
课
资
源
菜单
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教
学
易
教
错
法
易
分 析
误
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 辨
析
教 学
关系？
当
方
堂
案 设
(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关 双 基
计
系？
达 标
课
前 自
【自主解答】 法一 ∵AB∩α＝P，
课
主
时
导 学
∴P∈AB，P∈平面 α.
自
课
主 导
与平面相交．
时 作
学
业
4．平行和相交．
课 堂 互 动 探 究
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教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
《空间图形的公理》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修2(北师大版)】
北师大版·统编教材高中数学必修2
第一章·第四节
空间图形的公理
新课学习
一、新课讲授：
公理 1: 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内.
符号语言：
A B
AB
图形语言：
作用：确定线在面内.
新课学习
一、新课讲授：
问题：① 给出一只四条不是一样长腿的小凳子和一只三条腿的小凳子，让两个学 生来观察那种凳子摆放平稳？
作用：证明角相等和互补关系.
新课学习
二、知识应用： 题型一 概念问题 例 1.下列命题： ① 空间不同的三点可以确定一个平面； ② 有三个公共点的两个平面必定重合； ③ 空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面； ④ 平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形； ⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑥ 一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交. 其中不正确的命题是 ①②③④⑤. ⑥
新课学习
二、知识应用： 题型二 异面直线所成角
例 2.在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
求：① 异面直线 A1A 与 CD 所成角； ② 异面直线 A1A 与 CD1 所成角； ③ 异面直线 A1B 与 AD1 所成角.
D1 A1
D A
C1 B1
C B
新课学习
二、知识应用： 题型三 通过公理、定理、推论证明
② 让学生观察以下三张生活中常见的图片，为什么这样设计？
新课学习
一、新课讲授： 公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
符号语言： A、B、C 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 A、B 、C .
图形语言：
作用：① 确定平面；② 证明两个平面重合.
第一章·第四节
空间图形的公理
新课学习
一、新课讲授：
公理 1: 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内.
符号语言：
A B
AB
图形语言：
作用：确定线在面内.
新课学习
一、新课讲授：
问题：① 给出一只四条不是一样长腿的小凳子和一只三条腿的小凳子，让两个学 生来观察那种凳子摆放平稳？
作用：证明角相等和互补关系.
新课学习
二、知识应用： 题型一 概念问题 例 1.下列命题： ① 空间不同的三点可以确定一个平面； ② 有三个公共点的两个平面必定重合； ③ 空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面； ④ 平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形； ⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑥ 一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交. 其中不正确的命题是 ①②③④⑤. ⑥
新课学习
二、知识应用： 题型二 异面直线所成角
例 2.在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
求：① 异面直线 A1A 与 CD 所成角； ② 异面直线 A1A 与 CD1 所成角； ③ 异面直线 A1B 与 AD1 所成角.
D1 A1
D A
C1 B1
C B
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二、知识应用： 题型三 通过公理、定理、推论证明
② 让学生观察以下三张生活中常见的图片，为什么这样设计？
新课学习
一、新课讲授： 公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
符号语言： A、B、C 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 A、B 、C .
图形语言：
作用：① 确定平面；② 证明两个平面重合.