分式异分母加减法
课题：16.2分式的运算(第3课时异分母的分式加减)
1 1 2 2x 3x
八年级（下）
新华东师大版第16章 分 式
探究发现
问题2：思考并解答下列问题：
1 3 （1）通分： 2 ， 3x 4 x
1 3 （2）计算： 2 4x 3x
畅所一言， 说说你做法， 并加以总结 哟！
要点解读
Ⅰ.语言叙述为：
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后在加减。 Ⅱ.用字母表示为：a c ad bc ad bc
b
d
bd
bd
bd
异分母的分式加减
同分母的分式加减
根据分式的基本性质
学以致用
5 2 3 例 1 计算： 6ab 3ac 4abc
10c 8b 9 解原式 12abc 12abc 12abc 10c 8b 9 12abc
方法归纳：异分母分式相加减：最简公分母→通分→同分母分式。
3 24 2 例 2 计算： x 4 x 16
3 24 2 x 4 x 8 x 16
3 24 解原式 x 4 x 4 x 4 3x 4 24 x 4x 4 x 4x 4
3x 12 x 4x 4
数 学 活 动 室
1.计算： 5 2 （ 1） 6ab 3ac
学 以 致 用
3 4 7 （ 2） 2ab 3b 6ab 9 8a 7 解原式 6ab 6ab 6ab 16 8a 6ab
5c 4b 解原式 6abc 6abc
5c 4b 6abc
学以致用
学 以 致 用
A 1 B 2
小 结
这节课我学到了什么？
我的收获是……
我还有……的疑惑
分式的运算异分母分式加减的几个策略
异分母分式加减的几个策略分式的加减是分式运算的重点和难点，常见的题型有两类：一是同分母分式的加减；二是异分母分式的加减，其中尤以异分母分式的加减更困难．不少同学受思维定势的影响，一见到异分母分式的加减，就急于将所有的分式进行通分，从而造成不必要的繁琐计算．下面举例介绍几种异分母分式加减的策略，供参考．策略一、先约分后通分例1 计算222299369x x x x x x x +-++++． 分析：观察可知，两个分式都可约分，因此先约分，然后再计算． 解：原式＝2(9)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x ++-+++＝9333x x x x +-+++＝263x x ++＝2(3)3x x ++＝2． 评注：本题各个分式约分后直接化为同分母分式，避免了通分的复杂过程，从而使计算过程变得简单．策略二、先分组后通分例2 计算12121212x x x x +--+--+． 分析：仔细观察可发现，第一、三两个分式的分母乘积是21x -，第二、四两个分式的分母乘积是24x -，因此采取分组进行通分可使计算简便． 解：原式＝1122()()1122x x x x -+-+--+＝222814x x -+--＝2226(1)(4)x x x --． 评注：本题采用分组通分，减小了计算量且不易出错．策略三、逐步通分例3 计算2411241111x x x x ++--++-． 分析：观察可知，前两个分母通分得21x -，再与第三个分母通分可得第四个分母． 解：原式＝241124()1111x x x x ++--++-＝224224111x x x +--+-＝444411x x ---＝0． 评注：如果分式加减中的各分母之间存在着某种递进关系，一般采取逐步通分进行计算． 策略四、先拆项后通分例4 计算111(1)(2)(2)(3)(3)(4)a a a a a a ++++++++． 分析：观察各个分式可发现，每个分母都是两个整式积的形式，且这两个整式的差是常数，因止可将它们拆成差的形式再计算．解：原式＝111111()()()122334a a a a a a -+-+-++++++＝1114a a -++＝3(1)(4)a a ++． 评注：将代数式1(1)n n +（积的形式）折项成111n n -+（差的形式）是一种常用的解题技巧．策略五、直接变形不通分例5 已知2310x x -+=，求221x x+的值．分析：将221x x +通分得421x x +，已知条件显然无法直接代入求值．注意到221x x+＝21()2x x +-，因此只需将已知条件变形为1x x+即可求值，而这由已知容易得到． 解：由2310x x -+=，得x ≠0（若x ＝0，则该等式不成立）． 将2310x x -+=两边同除以x ，得2310x x x -+=，即2310x x x x x-+=． 所以13x x+=． 所以221x x +＝21()2x x+-＝232-＝7． 评注：将代数式221x x +变形为21()2x x +-是一种常用的解题技巧，有时221x x+也变形为21()2x x-+，同学们要根据题目的条件灵活进行变形．。
湘教版初二数学上册异分母分式的加减法教案
湘教版初二数学上册1教学目标1、了解公分母的概念和求法，会把异分母的分式化成同分母的分式；2、进一步把握异分母分式加、减法.3、通过化异分母分式为同分母分式，渗透“转化”的思想. 教学重点、难点重点：明白得分式通分的意义，明白得与把握异分母分式加减法的思路与法则。
难点：化异分母分式为同分母分式的转化过程。
教学方法：讲授法教学过程：一、创设情境、导处新课 导语一：我们差不多会运算异分母分数的加减了，如65323123212131=⨯⨯+⨯⨯=+。
关于异分母分式的加减如1111--+x x 又如何样运算呢？本节课我们就来探究那个问题——异分母分式的加减。
二、合作交流、解读探究复习回忆：（1）同分母分式的加减法的法则是：分母不变，把分子相加减，那个法则是类比同分母分数的加减法的法则得出的。
（2）运算：○1=+b a x b a x 225453 （2） x x x -+-1112= （3） =+7532 （法则是：先通分，后相加） 自主探究：让学生独立看书，自学教材，并摸索“情境”中的问题。
异分母分式的加减法则——异分母分式相加减，要先通分，即把各个分式的分子与分母都适当乘同一个非零多项式，化为同分母分式，然后相加减。
讨论：（1）试一试，如何运算b a a b 32+这类分式相加减时，如何通分？如何样化成分母相同的分式？要利用什么知识？ （2）要证明等式：()()1211111n 22++++=+n n n 关于全体正整数都成立，可转证：()()1211111n 22++=+-+n n n 成立。
那个等式的左边是两个分母不相同的分式相减！你认为这减法应如何做呢？试一试。
（3）你能概括出异分母分式的加减法的法则吗？与什么样的法则类似？（4）异分母分式相加减的法则的思路是什么？概括：（1）异分母分式的加减法，思路是：利用分式差不多性质，转化为同分母分式的加减法。
（2）异分母分式加减法的法则是：先通分，后加减。
八年级数学异分母的分式加减法
湖南教育出版社
小玲的妈妈买了一块蛋糕，分给小玲的弟弟这块蛋糕
的 1 ， 分给小玲这块蛋糕的 1 ，应当怎样切这块蛋糕？
在图2中画出来．
3
· 120°
小玲和她的弟弟共分得这块蛋糕的几分之几？
1 1 1 2 13 2 3 5 3 2 32 23 6 6
x 32 x 32
x 3x 3
x
3
x
3 x
x2 32
3
x
3
2xx 3 x
x2 9
3
2x 6 x2 9
12x x2 9
计算： x 1 1
1 x 解 x1 1 x1 1
1
x 1 x 1 x 1 x 1
2 x2 1
2 x2 1
通分后，各个分式的分母变成相同，这时的分母叫
作公分母，例5中两个分式的公分母是 x 1 x 1
计算：
x3 x3 x3 x3
解 x 3x 3 x 3x 3 x 3x 3 x 3x 3
5
共分得这块蛋糕的
6
从上面的例子看到，异分母的分数相加，要先通分，化成同分母的分数 类似地，异分母的分式相加减，要先通分，即把各个分式的分子与分母 都乘以适当的同一个非零多项式，化成同分母的分式，然后再加减．
计算：
11 x 1 x 1
x
x 1
1 x
1
x
x
异分母分式加减法教案新
10.4（2）异分母分式加减法康外实中 张琴教学目标：（1）、经历异分母分式加减法法则的形成过程，掌握异分母分式加减的运算法则；（2）、通过探究异分母分式加减法法则的过程，体会类比，化归的数学思想方法；（3）、在课堂活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯。
教学重点：异分母分式加减法法则及其应用。
教学难点：正确确定最简公分母及灵活运用法则计算。
教学过程（一）、复习引入1、计算：xx 3135)1(+； b a b b a a ---22)2(； （复习同分母分式加减法法则） 2、观察这个是什么运算？如何计算？6143)1(+； 6132)2(-； 解 12111221296143)1(=+=+ 216361646132)2(==-=- （二）、新课讲授1、试一试3146x x += =-212xx 2、归纳异分母分式的加减法法则：异分母分式相加减，先将它们化为相同分母的分式，然后再进行加减。
将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分。
3、最简公分母。
例题1：说出下列各题中几个分母的最简公分母 2(1),2x x ； 212(2),69x x ； 23235(3),48a b ab c； 21(4),35x x -+； 221(5),x x y x y -+； 25(6),b a a ab-。
讨论：怎样寻找最简公分母？如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
当分母是多项式时，一般先因式分解，再确定最简公分母。
4、异分母分式加减运算：例题2：计算：2(1)2x x +； 212(2)69x x +； 23235(3)48a b ab c- 练习1、计算： 223(1)x x- ； 22(2)x y x y y x xy +-+ 例题3：计算：21(1)35x x --+；221(2)x x y x y --+； 25(3)b a a ab+- 练习2、计算：例题4：计算：224---a a(三)、课内小结1、异分母分式的加减法步骤：（1）、正确地找出各分式的最简公分母；（2）、用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算；（3）、将得到的结果化成最简分式。
异分母分式的加减法
1、求下列各组分式的最简公分母：
(1)
y 4x2
,
5 6xy
,
x 9y2
7y (2) 8xy2 , 6x2
(3) 3x , 2y 2y(x y) 3x(x y)
(4)
x
2
1
xy
,y yx
2、把下列各组分式通分：
y5x (1) 4x2 , 6xy , 9 y2
(2)
x2
1
xy
,y yx
拓展探究
异分母分式的加减法
（一）
计算：
1 1 13 1 2 3 2 5 2 3 23 32 6 6 2 1 23 15 6 5 1 5 3 5 3 3 5 15 15
异分母分数相加减：先通分，把异 分母分数化为同分母的分数，然后再分 母不变，分子相加减。
如何计算：
y 4x2
5 6xy
1 1 3y 3y
2x 2x 3y 6xy 1 12x 2x 3y 3y 2x 6xy
例1：通分
（1）
x 3y
2
,
1 4xy
4a 3c 5b （2）5b2c , 4a2b , 2ac2
解（1）最简公分母是12xy2
x 3y2
x 4x 3y2 4x
4 12
x2 xy
2
1 4xy
13y 4xy 3y
y5x
你能计算：4x2 6xy 9 y2 吗
解：最简公分母是 36x2 y2
y5x 4x2 6xy 9 y2
y 9y2 4x2 9y2
5 6xy 6xy 6xy
x 4x2 y2
4x3
本节主要学习了： 1、如何确定最简公分母； 2、对异分母分式进行通分。
异分母分式的加减法 讲课课件
3x x 2x 2 x x 2x 2 原式 x 2x x 2x
3x 2 x 2 2 x 8
能力&提升
分析:
☞
2
a a b 计算 a b
解法1：把-a ，-b看成两个单项式，分母分别是1
a a a b a b a b a b 1 1
x3 x3 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3)
分子相减时, “减式”要加括 号!
仿例&练习
☞
a2
分析
先找 最简公分母.
计算：2) 22a 1 . (
解: (2)
2a a 2 (a 2)( a 2) (a 2)( a 2) 2a (a 2) (a 2)( a 2) 2a a 2 (a 2)( a 2) a2 (a 2)( a 2)
2
大展&身手
☞
2
4 x( x 1) 2 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
4x2 4x 2 ( x 1)( x 1)
大展&身手
☞
2
4a 1 a 4 解：原式 2 b a b b b
2 2
2a 1 a b 计算:3. b 2 ab b 4
12 2(m 3) (m 3)( m 3) 2m 6 (m 3)( m 3)
2 计算 ： m2 9 3 m
☞ 12
把多项式中能 分解因式的先 分解因式,没按 降幂排列先按 降幂排列.
想一想：还能 化简吗？
2 2(m 3) (m 3)(m 3) m3
2.4.2 异分母分式的加、减法 第2课时
） （B） v1v2 千米
v1 +v2
（C）2v1v2 千米
v1 +v2
（D）无法确定
【温馨提示】总路程除以总时间是平均速度. 温馨提示】总路程除以总时间是平均速度.
小时， 【解析】选C.设这段路长为s千米，小明上坡用 s 小时，下 解析】 C.设这段路长为s千米， 设这段路长为
v1 s 小时，它走上、 坡用 小时，它走上、下坡的平均速度为 v2
2b2 3a2 2b2 +3a2 解: (1) 原式 = + = ; 6ab 6ab 6ab
( 2) 原式 =
1 2 1 2 + 2 = + a −1 a −1 a −1 ( a +1)( a −1) a+1 2 = + ( a+1)( a-1) ( a+1)( a-1)
= a+3 ( a+1)( a-1)
a +3 . 2 a −1
=
【解析】 解析】
【解析】 解析】
【解析】 解析】
1.（2010·包头中考） 1.（2010·包头中考）化简 包头中考 其结果是( 其结果是( )
【解析】 解析】
2.在一段坡路，小明骑自行车上坡时的速度为每小时v 2.在一段坡路，小明骑自行车上坡时的速度为每小时v1千 在一段坡路 米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下 下坡时的速度为每小时v 千米，则他在这段路上、 坡的平均速度是每小时（ 坡的平均速度是每小时（ （A) v1 +v2 千米
在如图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R 欧姆, CAD支路的电阻是 例3 在如图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R1欧姆, 又知CBD支路的电阻R 50欧姆 欧姆, 又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学有关定 CBD支路的电阻 律可知总电阻R与R1R2满足关系式 律可知总电阻R R1的式子表示总电阻R 的式子表示总电阻R
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第五章分式与分式方程
3．分式的加减法（二）
一、学生起点分析
学生知识技能基础：学生在上节课已经学习过同分母的分式相加减及分母互为相反式分式的加减运算。
在第四章又学习了因式分解，在本章的前面几节课中，回忆了分数的基本性质，学习了分式的基本性质、分式的约分及分式的乘除等。
对这节课异分母分式相加减内容的学习都有了充分的铺垫。
学生活动经验基础：从学习字母表示数开始，学生就经历过许多从实际问题建模的思想，用代数式去解决实际问题的经验。
同时在以前的学习中，学生也经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力。
二、教学任务分析
分式的加减法是代数变形的基础之一，在学习完同分母分式的加减法法则后必将谈到异分母分式的加减法，教科书安排了两节课的教学，就是不让难度突然加大，而是循序渐进的去接受，允许学生经过一定时间的学习达到《标准》要求的目标，应把教学重点放在落实和理解上。
本节内容不多，教学时对异分母分式加减法法则的探索过程上，要使学生充分活动起来，在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中，发现法则、理解法则、应用法则。
本节课的教学目标为：
1、会找最简公分母，能进行分式的通分；
2、理解并掌握异分母分式加减法的法则；
3、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。
4、培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学
生的符号感和用数学的意识。
三、教学过程设计
本节课设计了7个教学环节：问题引入——学习新知——运用新知——小试牛刀——分式加减应用——拓展提高——课堂小结。
第一环节问题引入
活动内容
问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？
问题2：异分母分数又是如何进行加减？
问题3：那么=+a
a 413?你是怎么做的？ 活动目的：通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章。
活动的注意事项：学生回答时应帮助辅正，对问题2 的回答要注意引导其为问题3服务，从而转入到异分母分式的加减法学习，学生在回答问题3时，应耐心听学生的想法，便于后面的教学有的放矢，不盲目不一味的个人表演。
第二环节 学习新知
活动内容
（1）议一议
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。
小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同： 小明：
a a
a a a a a a a a a a a a a 41341344124443413222==+=⨯+⨯⨯=+ 小亮：a a a a a a a 4134141241443413=+=+⨯⨯=+ 你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
（2）异分母分式加减法的法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算． 用式子表示为：ac
ad bc ac ad ac bc c d a b ±=±=±. 活动目的：在很自然转到异分母分式的加减问题时。
化异分母分式为同分母分式就成为关键所在，通过议一议让学生理解最简公分母对通分好处。
在讨论之后明确异分母分式加减法的法则，直截了当让学生再次体会到类比分数的效果，进一步领悟这种思想方法。
用式子表达法则定理是数学语言的特色，应当让学生学会。
活动的注意事项：这里的小明，小亮两人的做法很有代表性，也是学生在化异分母为同分母的过程经常出现的，这就很自然提到通分的概念，引导学生类比最小公倍数确定最简公分母。
当然，从最后结果来说，都是对的，这就要求我们耐心引导。
第三环节 运用新知
活动内容
例3（1）a a a 5153-+； （2）3131--+x x ； （3）214
22---a a a . 活动目的：通过例3讲解异分母分式加减法法则的应用，让学生在学习之后开始掌握运
用知识，通过不同梯度的三道例题，呈现异分母分式加减的三种形式，让学生体会法则的运用要因题而变，而万变不离其宗——异分母分式加减法法则。
活动的注意事项：在化成同分母分式的过程中，学生可能会出现一些麻烦，这要求我们根据具体情况加以引导，关键还是一个类比思想起主导，最简公分母类比最小公倍数。
同时还要疏导学生在（3）题中出现小明的问题，开始渗透分母是多项式的且可以进行因式分解时，应分解因式后再通分。
同样，对于通分后的分子是多项式的也要先添括号后再进行运算。
第四环节 小试牛刀
活动内容
1、将下列各组分式通分：
ax x x 2,31)1(2-； 962,91)2(22++-a a a ； x
x x 24,41)3(2--. 2、计算：
b a a b 23)1(+； 21211)2(a a ---； xy
y x x y y x 2
2)3(+-- 活动目的：第1题让学生练习通分，既是检查学生掌握找最简公分母的情况，又用来发现学生在化成同分母中的困难，帮助老师正确引导，及时纠正。
第2题就是考查学生运用法则进行运算的能力，从1到2及每一小题都设置梯度上升就是为了让学生循序渐进的掌握知识，不突兀的给学生设置障碍，以免打击学生的学习信心和兴趣。
活动的注意事项：学生在完成分母是多项式的分式通分时可能会遇到困难，这时候应该及时指导，积极鼓励，应该让学生明确通分的依据就是分数的基本性质，分母边了分钟也要跟着变，防止学生产生畏难情绪就此放弃。
在通分后分子是多项式的应提醒学生添括号，再进行加减运算，最后结果也要约分。
第五环节 分式加减的应用
活动内容
例4 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km ，其中小丽走的是平路，骑车速度2v km/h ．小刚需要走1km 的上坡路、2km 的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h ，在下坡路上的骑车速度为3v km/h ．那么
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
活动目的：通过这个实例，提高学生运用分式表达数量之间的关系，并运用分式的加减运算解决实际问题的能力，和增强学生用数学解决问题的意识。
讲解这个题目时，可以采取学生演板，大家讨论、交流的形式，给老师发现学生在用知识时真正的“症结”所在，有助于教学的针对性。
活动的注意事项：此题难度不大，关键是看学生是否会用分式表示量并解决量之间关系的问题。
同时应该关注学生的书写规范，及时指导。
第六环节 拓展提高
活动内容 用两种方法计算：x
x x x x x 4)223(2-∙+--. 活动目的：由同分母分式加减法到异分母分式加减法，认识过程顺理成章，而解决的主要思想就是类比，那么学习了乘除和加减，学生也可能会好奇的问到混合运算，此题就有此意，正常运算顺序给学生一个知识的线性联系和运用，而两种方法的提出，则是附带了乘法分配律的拓宽运用，有时候使得计算变得更加简单，应该让学生了解。
另外，此题也可进一步考查学生的分式运算能力。
活动的注意事项：分式运算应该问题不是很大，运算顺序学生也应该知道，但是乘法的分配律在这里能不能用学生可能存在疑惑，所以应根据具体情况老师给予及时指导或明确告知，让学生比较两种方法，遇到具体问题时会进行选择，为后面分式的化简求值做好铺垫。
第七环节 课堂小结
活动内容：
1、异分母分式相加减的法则。
2、通分的关键就是找最简公分母，对于分母是多项式且能够进行分解因式的要先分解
后再类比最小公倍数找最简公分母。
3、通分前是单项式的分子通分后就可能是多项式了，运算时记得添括号。
4、运算结果要约分，有一些运算律仍然适用。
活动目的：小结本节课的主要内容，让学生对所学习知识有一个整体把握，同时帮助梳理知识，再次点明关键点。
活动的注意事项：可以选择让学生自己小结的方式，效果可能更好。
布置作业： P121-122 习题5.5
四、教学反思
1、例题和习题采取梯度设置，有助于学生循序渐进的获得知识，对知识的掌握更容易且更牢靠，教学效果很好。
2、讨论让学生更明确其理所在，容易接受；演练让老师能更好的发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误，有助于及时纠正，应该多采取这种方式。
3、实际问题解决在于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识增强，数学思想得到提升。