(精选)线性代数期末综合测试题
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
线代期末综合考试及答案
线性代数期末综合练习（二）班级 姓名 学号一、 填空题 1、设1234555533325422221146523A =，则3132333435()()A A A A A ++-+= . 2、设1212,,,,ααββγ都是3维行向量，且行列式 112212122ααααββββγγγγ====，则12122ααββγ++= . 3、设A 是4阶矩阵，12,ξξ是齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解，则A 的伴随矩阵A *= .4、方阵A 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，其为 .5、设A 是n 阶可逆矩阵，若行列式1A n=-，则1A -= . 6、设矩阵0,0C A D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若C 、D 可逆，则A 也可逆，且1A -= . 7、设α与β是4阶正交矩阵A 的前两列，则内积(,)αβ= . 8、设3阶矩阵A 的3个特征值为2，3，4，则行列式2A = .9、三阶矩阵122121330A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦有一个2重特征值，其值为3， 则它的另一个特征值为 . 二、设A 是n 阶方阵，2A I =，证明矩阵的秩的关系式：()()r A I r A I n ++-=三、 计算n 阶行列式：111111111111n n n n----四、 设矩阵A 、B 满足：AB A B =+，求A B +，其中211264213A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦五、设三维向量123(1,1,1),(,1,1),(1,2,),(2,3,4)a b αααβ====，问当a 、b取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表法不唯一. （2）β不能由123,,ααα线性表示.六、设线性方程组123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩a) 问λ为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ b) 当有无穷多解时求出其解.七、设12,αα是矩阵A 的分别属于不同特征值12λλ≠的 特征向量，证明12αα+不是A 的特征向量.八、对实对称矩阵A ，求一个正交矩阵P ，使1P AP -为一个对角矩阵.212151212A -⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭线性代数期末综合练习（二）班级 姓名 学号 一、填空题1、设1234555533325422221146523A =，则3132333435()()A A A A A ++-+= 0 . 解析: 将3132333435()()A A A A A ++-+还原成行列式 即31323334351234555533()()1111102221146523A A A A A ++-+=--= 2、设1212,,,,ααββγ都是3维行向量，且行列式 112212122ααααββββγγγγ====，则12122ααββγ++= 16 . 解析：12122ααββγ++=1122αββγ++2112212121222222αααααββββββγγγγγ+=+++112212122222ααααββββγγγγ=+++ 3、设A 是4阶矩阵，12,ξξ是齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解，则A 的伴随矩阵A *= 0 .解析：12,ξξ是齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解，则0Ax =的基 础解系中至少含有两个解向量，则()22r A n ≤-=，所以A 中所有3阶子 式都为0。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的秩为r(A)，则下列结论正确的是（）A. r(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数B. r(A) ≤ m，其中m是矩阵A的行数C. r(A) ≤ min(m, n)D. r(A) = max(m, n)答案：C2. 下列矩阵中，哪一个不是对称矩阵？（）A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &5 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &9 \end{pmatrix}\)答案：D3. 若向量组α1, α2, α3线性无关，则向量组（）A. α1 + α2, α2 +α3, α3 + α1 线性无关B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关答案：B4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵D. A的n次幂An也是可逆矩阵答案：D5. 若行列式D = |A|的值为0，则下列结论正确的是（）A. 方程组Ax = b有唯一解B. 方程组Ax = b无解C. 方程组Ax = 0有非零解D. 方程组Ax = b有无穷多解答案：C6. 若矩阵A是正交矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的行列式值为1B. A的行列式值为-1C. A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1D. A的平方等于单位矩阵E答案：CD二、填空题（每题5分，共30分）7. 若矩阵A的行列式值为3，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式值为________。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
线性代数期末试题及答案
线性代数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(2, 1, 0)，则α·β等于：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B3. 设A为n阶方阵，且A^2=I，则A的行列式|A|等于：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量线性相关还是线性无关？A. 线性相关B. 线性无关C. 线性独立D. 不能确定答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵B为2阶方阵，且B^2=0，则称矩阵B为______。
答案：幂零矩阵2. 若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B为______。
答案：可交换矩阵3. 设向量α=(1, 2)，β=(3, 4)，则向量α和β的夹角的余弦值为______。
答案：3/54. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征值为1, 2, 3，则矩阵A的迹为______。
答案：6三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述矩阵的转置矩阵的定义。
答案：矩阵A的转置矩阵记为A^T，其元素满足A^T_{ij}=A_{ji}，即A^T的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。
2. 什么是线性方程组的齐次解？答案：线性方程组的齐次解是指当方程组的常数项全为零时，方程组的解，通常表示为零向量。
3. 说明矩阵的相似对角化的条件。
答案：矩阵A相似对角化的条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵A的阶数。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：|A| = 1*4 - 2*3 = -22. 设线性方程组为：\[\begin{matrix} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{matrix}\]求方程组的解。
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线性代数期末综合测试题班级： 学号： 姓名 成绩一、填空题（每小题3分，共30分）1．==3323133222121312113323133222121312112 2 22 2 22 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则，设2. 正交与时，向量当βαβα ),,1,5(),3,2,1(==--=k k3．当方程个数与未知量个数相同时，非齐次线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1 21 3 .4A 已知： ， 则*A = 5．设α＝(2，-1，5)，β＝(-1,1,1)，则α＋β＝ ，3α－2β＝6.已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 0 00 4 10 0 3A ，则=--1)2(I A ( 其中I 为单位矩阵 ) 7．设三元非齐次线性方程组b Ax =中，矩阵A 的秩为2，且T T )1,2,3(,)2,2,1(21==ξξ 为b Ax =的两个解，则此非齐次方程组的全部解可表示为： 8．设A 为三阶方阵，且2=A ，则=-1)2(T A9.设)1,2,1(),3,2,0(),1,1,(321===αααk ，则当k= 时，321,,ααα线性相关10．设n m A ⨯，在齐次线性方程组0=Ax 中，若秩（A ）＝k , 且r ηηη,,,21Λ是它的一个基础解系，则r = ，当k = 时，此方程组只有零解二、计算、证明题(共70分)1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX = (8分)2．用基础解系表示齐次线性方程组(12分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-++002 0 24214324321x x x x x x x x x x 的全部解。
3、求向量组(12分)T T T T ]7,6,5,4[,]6,5,4,3[,]5,4,3,2[,]4,3,2,1[4321====αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示4．设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ40000005y 相似，求y x 与的值(6分)5．已知向量组321,,ααα线性无关，试证向量组3132215,4,32αααααα+++亦线性无关 (6分)6. 已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3 2 4 1 2 2 3 k k A ，A 的特征值分别为1 ,1 3 21=-==λλλ。
（1）当k 为何值时，存在可逆矩阵P ， 使AP P 1-为对角阵(4分) （2）求出可逆矩阵及相应的对角矩阵 (12分)7. 设321ξξξ，，为齐次线性方程组0A =x 的一个基础解系，试证133221 , ,ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的一个基础解系。
（10分）线性代数期末综合测试题答案一、填空题（每小题3分，共30分）1．==3323133222121312113323133222121312112 2 22 2 22 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则，设 16 。
2. 正交与时，向量当βαβα 1 ),,1,5(),3,2,1(==--=k k3．当方程个数与未知量个数相同时，非齐次线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件是n A r b A r n A r A ===≠)(),()(0 或或。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1 21 3 .4A 已知： ， 则*A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3 21 1 5．设α＝(2，-1，5)，β＝(-1,1,1)，则α＋β＝6) 0 (1，，，3α－2β＝13) 5- 8 (，，。
6.已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 0 00 4 10 0 3A ，则=--1)2(I A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1 0 0 0 2/1 2/10 01 ( 其中I 为单位矩阵 )。
7．设三元非齐次线性方程组b Ax =中，矩阵A 的秩为2，且T T )1,2,3(,)2,2,1(21==ξξ为b Ax =的两个解，则此非齐次方程组的全部解可表示为：)()1,2,3()-1,0,2(为任意常数其中k k T T +。
8．设A 为三阶方阵，且2=A 则=-1)2(T A 1/169.设)1,2,1(),3,2,0(),1,1,(321===αααk ，则当k= 1/4 时，321,,ααα线性相关。
10．设n m A ⨯，在齐次线性方程组0=Ax 中，若秩（A ）＝k ,且r ηηη,,,21Λ是它的一个基础解系，则r = n-k ，当k = n 时，此方程组只有零解。
二、计算、证明题(共60分)1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =(8分)解:()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210100010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴-4123152101B A X2．用基础解系表示齐次线性方程组(12分)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-++0 02 024214324321x x x x x x x x x x 的全部解。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4 0 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 3 0 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 A 解：全部解为：) ( 1 20 14321为任意常数其中k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3、求向量组（12分）T T T T ]7,6,5,4[,]6,5,4,3[,]5,4,3,2[,]4,3,2,1[4321====αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：2142132132200000000321021017654654354324321αααααααα+-=+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡，，且，极大无关组 4．设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ40000005y 相似，求y x 与的值.(6分)解： 方阵A 与Λ相似，则A 与Λ的特征多项式相同，从而具有相同的特征值，所以：⎩⎨⎧-=--=⇒⎩⎨⎧-=---=⇒⎩⎨⎧-⋅⋅=-+=++84312040151)4(54511y x y x y x y x y A y x 解得：⎩⎨⎧==⇒54y x ．5．已知向量组321,,ααα线性无关，试证向量组3132215,4,32αααααα+++亦线性无关(6分) 证明：设有321,,k k k 使0)4()3()2(0)5()4)32(33222113131332(2211=+++++⇒=+++++αααααααααk k k k k k k k k (此步：2分)因为321,,ααα线性无关，所以有：081 2 00 1 31 0 200012 00 1 310 2040302321322131≠=⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+Θk k k k k k k k k (此步：3分) ∴方程组只有零解，即0321===k k k ，从而向量组3132215,4,32αααααα+++线性无关，证毕。
(此步：1分)6. 已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3 2 4 1 2 2 3 k k A ，A 的特征值分别为1,1321=-==λλλ。
当k 为何值时，存在可逆矩阵P ， 使AP P 1-为对角阵，并求出可逆矩阵及相应的对角矩阵 (16分) 解：因为121-==λλ为二重特征根，由此可知k 的取值应满足：秩123)(=-=+I A r ，此时对应方程0)(=+x I A 才能求出两个线性无关的特征向量。
(此步：2分)=+)(I A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2 2 4 02 24 k k 可见只有1)(0=+=I A r k 时，。
(此步：3分)时由：＝＝当1,021-=λλkT T P P x x x )2,0,1(,)0,2,1(00 0 0 0 0 0 2 24 21321=-==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得： T T P P )1,0,21(,)0,1,21(21=-= 或 TP x x x )1,0,1(04 2 4 0 2 0 2 22 133213==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=，解得： 时由：当λ所求可逆矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-11 1 12 0 0 0 2 1 1 1),,(1321AP P P P P P ，(此步：4分) 7. 设321ξξξ，，为齐次线性方程组0A =x 的一个基础解系，试证133221 , ,ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的一个基础解系。
（10分） 证明：因为321ξξξ，，为齐次线性方程组0A =x 的一个基础解系，所以：321ξξξ，，线性无关。
（此步2分）设有实数321,,k k k ，使0)()()(133322211=ξ+ξ+ξ+ξ+ξ+ξk k k ①（此步2分） 整理得：0)()()(332221131=ξ++ξ++ξ+k k k k k k ②因为321ξξξ，，线性无关，所以该方程组②只有零解，即：（此步2分）0110011101000322131≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+ k k k k k k ，所以0321===k k k ，即方程组①只有零解，133221 , ,ξ+ξξ+ξξ+ξ线性无关。
（此步4分）又Θ133221,,ξξξξξξ+++也是0=Ax 的解，∴133221 , ,ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组0A =x 的一个基础解系，证毕。
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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