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matlab 快速傅里叶变换
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在数字信号处理和数值分析中广泛应用的算法，它能够高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），从而在频域中分析信号的频谱特性。
而在matlab中，使用FFT函数可以方便地进行快速傅里叶变换的计算和处理。
1. FFT的基本原理在介绍matlab中的FFT函数之前，我们先来了解一下FFT的基本原理。
FFT算法是一种分治法的思想，在计算傅里叶变换时通过将原始信号分解为奇偶部分，然后递归地进行计算，最终得到傅里叶变换的结果。
这种分治的思想使得FFT算法的计算复杂度降低到了O(n log n)，比直接计算DFT的O(n^2)复杂度要低很多，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
2. matlab中的FFT函数在matlab中，可以使用fft函数来进行快速傅里叶变换的计算。
fft函数的基本语法如下：```Y = fft(X)```其中，X表示输入的信号序列，可以是实数或复数序列；Y表示经过FFT变换后得到的频谱结果。
在使用fft函数时，最常见的是对时域信号进行FFT变换，然后得到其频谱特性。
3. FFT在信号处理中的应用FFT算法在信号处理中有着广泛的应用，其中最常见的就是对信号的频谱特性进行分析。
通过对信号进行FFT变换，可以得到其频谱图，从而可以直观地了解信号的频域特性，包括频率成分、幅度特性等。
这对于音频处理、振动分析、通信系统等领域都是非常重要的。
4. FFT在图像处理中的应用除了在信号处理中的应用，FFT算法也在图像处理中有着重要的地位。
在图像处理中，FFT可以用来进行频域滤波，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波等操作。
通过FFT变换，我们可以将图像从空域转换到频域，在频域中进行滤波操作，然后再通过逆FFT变换将图像恢复到空域，从而达到图像增强、去噪等效果。
5. FFT在数学建模中的应用除了在信号处理和图像处理中的应用外，FFT算法还在数学建模和仿真计算中有着重要的作用。
《快速傅里叶变换》课件
FFT算法的出现极大地推动了数字信号 处理技术的发展和应用。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
matlab快速傅里叶变换ppt课件
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imaginary Axis');
傅里叶系数Y在
复平面上的分布
最新课件
17
画振幅相对于频率的周期
图
n=length(Y);
power = abs(Y(1:floor(n/2))).^2;
freq = (1:n/2)/n;
plot(freq,power)
f = 1000/256*(0:127);
plot(f,Pyy(1:128))
title('Power spectral density')
xlabel('Frequency (Hz)')
最新课件
13
例
t = 0:1/100:10-1/100;
x = sin(2*pi*15*t) +sin(2*pi*40*t);
§4.5 快速傅里叶变换
1
§4.5.1 离散傅里叶变换
最新课件
2
利用
得
最新课件
3
F4的逆矩阵为
以此类推，傅里叶变换的逆变换为
即
最新课件
4
说明
最新课件
§4.5.2 傅里叶级数与傅里叶积分（阅读）
5
傅里叶级数：将变量范围为无限的连续的周期函数变换成无限的离散的傅里叶频
谱序列。
傅里叶积分：对变量范围为无限的连续的非周期函数变换成无限的连续的傅里叶
最新课件
22
第四章完
最新课件
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，
如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
最新课件
23
ylabel('Imaginary Axis');
傅里叶系数Y在
复平面上的分布
最新课件
17
画振幅相对于频率的周期
图
n=length(Y);
power = abs(Y(1:floor(n/2))).^2;
freq = (1:n/2)/n;
plot(freq,power)
f = 1000/256*(0:127);
plot(f,Pyy(1:128))
title('Power spectral density')
xlabel('Frequency (Hz)')
最新课件
13
例
t = 0:1/100:10-1/100;
x = sin(2*pi*15*t) +sin(2*pi*40*t);
§4.5 快速傅里叶变换
1
§4.5.1 离散傅里叶变换
最新课件
2
利用
得
最新课件
3
F4的逆矩阵为
以此类推，傅里叶变换的逆变换为
即
最新课件
4
说明
最新课件
§4.5.2 傅里叶级数与傅里叶积分（阅读）
5
傅里叶级数：将变量范围为无限的连续的周期函数变换成无限的离散的傅里叶频
谱序列。
傅里叶积分：对变量范围为无限的连续的非周期函数变换成无限的连续的傅里叶
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22
第四章完
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23
《快速傅里叶变换》PPT课件
然后计算圆周卷积
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT法 计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
2
X1 k
x1
r
W rk N2
x
2r
W rk N2
r0
r0
（4.6）
N 1
N 1
2
2
X2 k
x2
r
W rk N2
x
2r
1
W rk N2
（4.7）
r 0
r0
应用系数的周期性
可得
N 1
X1
N 2
k
2 r 0
x1
r
W x r
N 2
k
N2
N 1 2
1
r0
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
y(n)也是有限长序列，其点数为L＋M－1。 2. 线性卷积运算量 乘法次数
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位FIR滤波器的乘法运算量
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT法 计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
2
X1 k
x1
r
W rk N2
x
2r
W rk N2
r0
r0
（4.6）
N 1
N 1
2
2
X2 k
x2
r
W rk N2
x
2r
1
W rk N2
（4.7）
r 0
r0
应用系数的周期性
可得
N 1
X1
N 2
k
2 r 0
x1
r
W x r
N 2
k
N2
N 1 2
1
r0
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
y(n)也是有限长序列，其点数为L＋M－1。 2. 线性卷积运算量 乘法次数
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位FIR滤波器的乘法运算量
快速傅里叶变换解析课件PPT学习
(2)两个N/2点的DFT运算量:复乘次数: N 2
2
复加次数: N ( N 1)
2
(3)N/2个蝶形运算的运算量:复乘次数: N
复加次数:
2 2
N
2
N
总共运算量:
复乘: 复加:
N2 N
N(N
1)/ 2 N 2
22
2
N(N
1) N
N2
2
2
*N点DFT的复乘为N2 ;复加N(N-1);与分解后相比可知,
X (k) X1(k) WNk X 2 (k) , k 0,1,
, N 1 2
（4-11）
X
k
N 2
X1
k
N 2
W
k
N 2
N
X 2
k
N 2
X1(k) WNk X 2 (k), k 0,1,, N 1 （4-12） 2
13
第13页/共57页
这样，就可将X(k)表达为前后两部分：
n0
n0
N 1
{Re[x(n)]Re[WNnk ] Im[x(n)]Im[WNnk ]
n0
j(Re[x(n)]Im[WNnk ] Im[x(n)]Re[WNnk ])}
（4-3）
由此可见，一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法； 一次复数加法需二次实数加法。 因而每运算一个X(k)需4N次实 数乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法。 所以，整个DFT运算 总共需要4N2次实数乘法和2N(2N-1)次实数加法。
2
第2页/共57页
N 1
正变换： X (k ) x(n)WNnk
n0
反变换：
x(n)
MATLAB课程PPT第七章
§7.1 波形产生
2、 square 函数 : 产生方波 调用方式： x=square(t)
x=square(t,duty) 说明： square(t) 产生周期是2π ，幅值是±1的方波；
square(t,duty) 产生指定周期的方波，其中duty是 “占空比” ，用于指定正半周期的比例。
§7.1 波形产生
§7.2 滤波器分析和实现
5、 freqs 函数：模拟滤波器的频率响应
调用格式：h=freqs(b,a,w) [h,w]=freqs(b,a) [h,w]=freqs(b,a,n) freqs(b,a)
说明：freqs用于计算由矢量a和b构成的模拟滤波器的复频响
应。
H(s)
B(s) A(s)
b(1)snb sna
B(s) b(1)sn b(2)sn1 ... b(n 1)
H(s) A(s)
sn a(2)sn1 ... a(n 1)
§7.4 滤波器设计
当Wn为二元矢量Wn=[w1 w2](w1<w2)时，besself(n,Wn)设 计出一个2n阶的模拟带通滤波器，其通带为w1<ω<w2
§7.2 滤波器分析和实现
例：对一数字滤波器：
H(z)
0.2 0.3z1 z2 1 0.4z1 z2
编写程序： 绘制此滤波器的幅频和相频特性曲线。
§7.2 滤波器分析和实现
7、grpdelay 函数：平均滤波延迟（群延迟）
调用格式：[gd,w]=grpdelay(b,a,n) [gd,f]=grpdelay(b,a,n,Fs) [gd,w]=grpdelay(b,a,n,’whole’) [gd,f]=grpdelay(b,a,n,’whole’,Fs) gd=grpdelay(b,a,w) gd=grpdelay(b,a,f,Fs) grpdelay(b,a)
2、 square 函数 : 产生方波 调用方式： x=square(t)
x=square(t,duty) 说明： square(t) 产生周期是2π ，幅值是±1的方波；
square(t,duty) 产生指定周期的方波，其中duty是 “占空比” ，用于指定正半周期的比例。
§7.1 波形产生
§7.2 滤波器分析和实现
5、 freqs 函数：模拟滤波器的频率响应
调用格式：h=freqs(b,a,w) [h,w]=freqs(b,a) [h,w]=freqs(b,a,n) freqs(b,a)
说明：freqs用于计算由矢量a和b构成的模拟滤波器的复频响
应。
H(s)
B(s) A(s)
b(1)snb sna
B(s) b(1)sn b(2)sn1 ... b(n 1)
H(s) A(s)
sn a(2)sn1 ... a(n 1)
§7.4 滤波器设计
当Wn为二元矢量Wn=[w1 w2](w1<w2)时，besself(n,Wn)设 计出一个2n阶的模拟带通滤波器，其通带为w1<ω<w2
§7.2 滤波器分析和实现
例：对一数字滤波器：
H(z)
0.2 0.3z1 z2 1 0.4z1 z2
编写程序： 绘制此滤波器的幅频和相频特性曲线。
§7.2 滤波器分析和实现
7、grpdelay 函数：平均滤波延迟（群延迟）
调用格式：[gd,w]=grpdelay(b,a,n) [gd,f]=grpdelay(b,a,n,Fs) [gd,w]=grpdelay(b,a,n,’whole’) [gd,f]=grpdelay(b,a,n,’whole’,Fs) gd=grpdelay(b,a,w) gd=grpdelay(b,a,f,Fs) grpdelay(b,a)
数字信号处理快速傅立叶变换PPT课件
第4章 快速傅立叶变换（FFT）
4.1 引
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。
但直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正
比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变
换FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直接用
DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
i0
(4.2.11)
X X
2 2
(k) X5(k) WNk/2 X6 (k)
(k
N
/
4)
X5
(k)
Wk N/2
X
6
, (k )
k
0,1,N
/
4
1
第18页/共79页
第4章 快速傅立叶变换（FFT）
x1(0) x(0) x1(1) x(2) x1(2) x(4) x1(3) x(6)
X1(0)
1 N
N 1
X
(k
)W
nk N
,
k0
n 0,1,, N 1
两者的差别仅在指数的符号和因子1/N.
第2页/共79页
第4章 快速傅立叶变换（FFT）
一个X(k)的值的工作量,如X(1)
X(1) x(0)WN0 x(1)WN1 x(2)WN2 x(N 1)WNN1
计算一个X(k)的值： N次复数乘法运算 N-1 次复数加法运算.
N 2
X 1 (1)
点DFT X1(2)
X1(3)
x2(0) x(1) x2(1) x(3) x2(2) x(5) x2(3) x(7)
X 2 (0) WN0
N 2
X 2 (1)
W
1 N
点DFT X 2(2)
4.1 引
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。
但直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正
比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变
换FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直接用
DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
i0
(4.2.11)
X X
2 2
(k) X5(k) WNk/2 X6 (k)
(k
N
/
4)
X5
(k)
Wk N/2
X
6
, (k )
k
0,1,N
/
4
1
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第4章 快速傅立叶变换（FFT）
x1(0) x(0) x1(1) x(2) x1(2) x(4) x1(3) x(6)
X1(0)
1 N
N 1
X
(k
)W
nk N
,
k0
n 0,1,, N 1
两者的差别仅在指数的符号和因子1/N.
第2页/共79页
第4章 快速傅立叶变换（FFT）
一个X(k)的值的工作量,如X(1)
X(1) x(0)WN0 x(1)WN1 x(2)WN2 x(N 1)WNN1
计算一个X(k)的值： N次复数乘法运算 N-1 次复数加法运算.
N 2
X 1 (1)
点DFT X1(2)
X1(3)
x2(0) x(1) x2(1) x(3) x2(2) x(5) x2(3) x(7)
X 2 (0) WN0
N 2
X 2 (1)
W
1 N
点DFT X 2(2)
Matlab第6章 快速傅里叶变换
N 2
，而X(k)的长度为
N，因此利用（6.2. 2）式只能得到X(k)的前一半，
即k=0到 k ( N 1) 2
这
N 2
个样值。而X(k)的后一半，
可通过下式得到：
X
(k
N 2
)
X1(k
N 2
)
WNk
N 2
X
2
(k
N 2
),
k 0,..., N 1 2
（6.2. 5）
其中
图6-2
N 按时间抽取，将一个N点DFT分解成两个 2 点DFT
而从图6-2 可以看出，将一个长度为N的序列分解成两个
长度为
N 2
N
的序列后，先要分别计算两个 2
点的DFT，
这两个 N 点的DFT总共所需的运算量与( N )2成正比。
2
2
然后再进行 N 次蝶形运算，而一次蝶形运算需要做一
2 次复数乘法WNkX2(k)和两次复数加法，所以
公式与正变换的差别仅在于旋转因子WN的指数符号取负
1
，以及乘上一个常数因子
，因此IDFT的计算量与
N
DFT完全相同。下面我们仅对DFT的计算量进行分析。一般来
说，序列x(n)的值和均为复数，在计算DFT时，需要将x(n)的
每一个值与的每一个值相乘（0≤n≤N-1），因此一共需要进行
次复数乘法运算。在计算时，应将它们的实部和虚部分开，
2.减少计算量的思路
大多数改善DFT计算效率的方法均利用了旋转因子WN的周期性、 对称性和可约性。利用周期性和对称性我们可以得到
W k(Nn) N
WNkn
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傅里叶系数Y在 复平面上的分布
精品课件
17
画振幅相对于频率的周期 图
n=length(Y); power = abs(Y(1:floor(n/2))).^2; freq = (1:n/2)/n; plot(freq,power) xlabel('cycles/year') title('Periodogram')
离散时间傅里叶变换：将无限长数据序列变换为周期函数。 书上这些内容仅供有兴趣的读者参考。
精品课件
6
精品课件
§4.5.3 快速傅里叶变换的指令
7
快速傅里叶变换(FFT)是离散傅里叶变换(DFT)的快速算法。
精品课件
8
1.一维的FFT及其逆变换
指令及语句格式: ������������������(������)；������������������(������,������)
指令numel：计算列阵中的元素总数。
精品课件
14
例 分析太阳黑子活动的周期性
通过分析300年左右的太阳黑子活动的记录资 料可以发现每过11年就会达到一个极大值。
Wolfer数图： 太阳黑子的数目与面积
放大的前50年的数据
精品课件
15
图片取自维基百科
精品课件
16
用FFT对太阳黑子数据处理:
Y = fft(wolfer); Y(1)=[]; plot(Y,'ro') title('Fourier Coefficients in the Complex Plane'); xlabel('Real Axis'); ylabel('Imaginary Axis');
-3 + 2i
共
9.0711 +2.6569i
轭 分
-5
%尼奎斯特频率分量
量
9.0711 - 2.6569i
-3
- 2i
-5.0711 - 8.6569i
精品课件
11
例 • 取样频率1000Hz,
• 取样间隔1/1000s=1ms • 取样数250 • 总取样时间0.25S • 建立时间轴：从0到0.25s • 构造正弦波的信号
y0 x0n0 x1n0 x2n0 x3n0 y1 x0n0 x1n1 x2n2 x3n3 y2 x0n0 x1n2 x2n4 x3n6 y3 x0n0 x1n3 x2n6 x3n9
精品课件
19
注意 n0 n4 1,n2 n6 1,n9 n1
将周期图的横坐标改变为倒数，即将(周 期/年)改为（年/周期）可以清楚看出11 年的周期。
§4.5.3 精快品速课傅件里叶变换的指令
§4.5.4 快速傅里叶变换的算法（阅读）
18
FFT：利用离散傅里叶变换的对称性和允余性的 快速算法。
3
ym xknmk，(m 0,1, 2, 3) k 0
§4.5 快速傅里叶变换
1
§4.5.1 离散傅里叶变换
精品课件
2
利用 得
精品课件
3
F4的逆矩阵为
以此类推，傅里叶变换的逆变换为 即
精品课件
4
说明
精品课件
§4.5.2 傅里叶级数与傅里叶积分（阅读）
5
傅里叶级数：将变量范围为无限的连续的周期函数变换成无限的离散的傅里叶频 谱序列。 傅里叶积分：对变量范围为无限的连续的非周期函数变换成无限的连续的傅里叶 频谱序列。
逆变换
指令及其语句格式：������������������������(������)
精品课件
10
例 一维傅里叶变换
>>X = [ 4, 0, 3, 6, 2, 9, 6, 5] ;
>>Y=fft(X) Y = 35
%零频分量
-5.0711 +8.6569i
到： 重新组合
y0 (x0 n0 x2 ) n0 (x1 n0 x3 ) y1 (x0 n0 x2 ) n1 (x1 n0 x3 ) y2 (x0 n0 x2 ) n2 (x1 n0 x3 ) y3 (x0 n0 x2 ) n3 (x1 n0 x3 )
➢ 现在要8次加法和6次乘法， 原来要12次加法和16次乘法。
➢ 4点的DFT变成了2点的对奇数数列和偶数数列的变换。
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总结：
21
用这种递归分解与解决的方法来计算DFT就叫FFT。
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22
第四章完
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包含频率50Hz与100Hz
t = 0:0.001:.25; x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); y = x + 2*randn(size(t)); plot(y(1:50)) title('Noisy time domain signal')
%噪声信号
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Y = fft(y,256); Pyy = Y.*conj(Y)/256; f = 1000/256*(0:127); plot(f,Pyy(1:128)) title('Power spectral density') xlabel('Frequency (Hz)')
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例
t = 0:1/100:10-1/100; x = sin(2*pi*15*t) +sin(2*pi*40*t); y = fft(x); m = abs(y); f =(0:numel(y)-1)'*100/numel(y); plot(f,m) grid on ylabel('Abs. Magnitude') xlabel('Frequency [Hertz]')
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画振幅相对于频率的周期 图
n=length(Y); power = abs(Y(1:floor(n/2))).^2; freq = (1:n/2)/n; plot(freq,power) xlabel('cycles/year') title('Periodogram')
离散时间傅里叶变换：将无限长数据序列变换为周期函数。 书上这些内容仅供有兴趣的读者参考。
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6
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§4.5.3 快速傅里叶变换的指令
7
快速傅里叶变换(FFT)是离散傅里叶变换(DFT)的快速算法。
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8
1.一维的FFT及其逆变换
指令及语句格式: ������������������(������)；������������������(������,������)
指令numel：计算列阵中的元素总数。
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例 分析太阳黑子活动的周期性
通过分析300年左右的太阳黑子活动的记录资 料可以发现每过11年就会达到一个极大值。
Wolfer数图： 太阳黑子的数目与面积
放大的前50年的数据
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图片取自维基百科
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16
用FFT对太阳黑子数据处理:
Y = fft(wolfer); Y(1)=[]; plot(Y,'ro') title('Fourier Coefficients in the Complex Plane'); xlabel('Real Axis'); ylabel('Imaginary Axis');
-3 + 2i
共
9.0711 +2.6569i
轭 分
-5
%尼奎斯特频率分量
量
9.0711 - 2.6569i
-3
- 2i
-5.0711 - 8.6569i
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例 • 取样频率1000Hz,
• 取样间隔1/1000s=1ms • 取样数250 • 总取样时间0.25S • 建立时间轴：从0到0.25s • 构造正弦波的信号
y0 x0n0 x1n0 x2n0 x3n0 y1 x0n0 x1n1 x2n2 x3n3 y2 x0n0 x1n2 x2n4 x3n6 y3 x0n0 x1n3 x2n6 x3n9
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19
注意 n0 n4 1,n2 n6 1,n9 n1
将周期图的横坐标改变为倒数，即将(周 期/年)改为（年/周期）可以清楚看出11 年的周期。
§4.5.3 精快品速课傅件里叶变换的指令
§4.5.4 快速傅里叶变换的算法（阅读）
18
FFT：利用离散傅里叶变换的对称性和允余性的 快速算法。
3
ym xknmk，(m 0,1, 2, 3) k 0
§4.5 快速傅里叶变换
1
§4.5.1 离散傅里叶变换
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2
利用 得
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3
F4的逆矩阵为
以此类推，傅里叶变换的逆变换为 即
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4
说明
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§4.5.2 傅里叶级数与傅里叶积分（阅读）
5
傅里叶级数：将变量范围为无限的连续的周期函数变换成无限的离散的傅里叶频 谱序列。 傅里叶积分：对变量范围为无限的连续的非周期函数变换成无限的连续的傅里叶 频谱序列。
逆变换
指令及其语句格式：������������������������(������)
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例 一维傅里叶变换
>>X = [ 4, 0, 3, 6, 2, 9, 6, 5] ;
>>Y=fft(X) Y = 35
%零频分量
-5.0711 +8.6569i
到： 重新组合
y0 (x0 n0 x2 ) n0 (x1 n0 x3 ) y1 (x0 n0 x2 ) n1 (x1 n0 x3 ) y2 (x0 n0 x2 ) n2 (x1 n0 x3 ) y3 (x0 n0 x2 ) n3 (x1 n0 x3 )
➢ 现在要8次加法和6次乘法， 原来要12次加法和16次乘法。
➢ 4点的DFT变成了2点的对奇数数列和偶数数列的变换。
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总结：
21
用这种递归分解与解决的方法来计算DFT就叫FFT。
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第四章完
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包含频率50Hz与100Hz
t = 0:0.001:.25; x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); y = x + 2*randn(size(t)); plot(y(1:50)) title('Noisy time domain signal')
%噪声信号
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Y = fft(y,256); Pyy = Y.*conj(Y)/256; f = 1000/256*(0:127); plot(f,Pyy(1:128)) title('Power spectral density') xlabel('Frequency (Hz)')
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例
t = 0:1/100:10-1/100; x = sin(2*pi*15*t) +sin(2*pi*40*t); y = fft(x); m = abs(y); f =(0:numel(y)-1)'*100/numel(y); plot(f,m) grid on ylabel('Abs. Magnitude') xlabel('Frequency [Hertz]')