初中数学竞赛绝对值

初中数学竞赛辅导资料（62）
绝对值
甲内容提要
1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相
反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧=<->=)0(0)0()0(a a a a a a
2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这
时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，
若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨
论法. 例如：
（1）化简)2(-x x
解：当x=0, x=2时, )2(-x x =0；
当x<0或x>2时, )2(-x x =x(x －2)=x 2－2x ；
当0<x<2时，)2(-x x =－x(x －2)=－x 2+x.
（2）解方程2-+x x =6.
解：当x<0时，x=－2；
当0≤x ≤2时，方程无解；
当x>2时，x=4.
∴原方程的解是：x=－2，x=4..
（3）作函数y=2-+x x 的图象. 0 2 X<0
0<x<2 x>2
解：化去绝对值符号，得y=－2x+2(x<0)；
y=2(0≤x≤2)；
y=2x－2(x>2).
分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=2
x的
-
+x
图象.
3.绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个
数的点离开原点的距离.
用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.
例如：①解方程3
<
x；③解不等式
x；②解不等式3
=
＋
x.
2>
3
解：①∵3
x的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个
=
单位的点所表示的数，即3和－3，
∴方程3
x的解是x=3,x=－3.
=
②∵3
x的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单
<
位的点所表示的数，∴不等式3
x的解集是－3＜x＜3.
<
③∵2
x的零点是x=－2,
+
∴3
x的几何意义是：x是数轴上到点（－2）的距离大
＋
2>
于3个单位的点所表示的数，
∴3
2>
x的解集是x<－5或x>1.（如下图）
＋
4.
①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等. 根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：
（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的
图象，再把横轴下方的部份，绕x 轴向上翻折
作函数图象：①y=1-x ②y=22--x x
（2） 当f （－x ）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函
数图象，再画出关于纵轴对称的图象.
例如：y=x 2－2x －3的图象，
可先作y=x 2+2x －3自变量x<0时的图象（左半图）
再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.
（3） 把y=x 的图象向上平移a 个单位，所得图象解析式是y=a x +； 把y=x 的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=3－x .
（4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方
便.
乙例题
例1. 已知方程x ＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a 的值.
（1987年全国初中
数学联赛题）
解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x=
01
1<+a －, ∴a+1>0. ∴a>－1；
当x>0时，原方程为x=ax+1, x=
011>a －, ∴1－a>0. ∴a<1.
∵方程有一个负根并且没有正根，
∴a>－1且a≮1，
∴a的取值范围是a≥1.
例2. 求函数y=2x
－的最小、最大值.
3
x-
解：当x<0时，y=－x+6；
当0≤x<3时，y=－3x+6；
当x≥3时，y=x－6.
根据图象有最低点而没有最高点
∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).
例3. 解方程：①x
-
+
1=
x.
+x
x-
2
=
+4
2；②4
解：①∵点（x）到点A（－2）和点B（4）的距离相等（如下图），
∴x=1.
②∵点（x）到点A（－1）与到点B（2）的距离的和等于4，AB＝3
∴x=, x=.
例4.解不等式:①1≤2
-
+x
x.
-
x≤3；②1
+
2
1>
解：①点（x）到点A（－2）的距离大于或等于1而小于或等于3
在数轴上表示如图，
∴不等式的解集是：－5≤x≤－3 或－1≤x≤1
②点(x)到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.
在数轴上表示，如图：
∴不等式的解集是x>1.
例5. a取什么值时，方程a
2有三个整数解
-1
-
x=
(1986年全国初中数学联赛题)
解：化去绝对值符号，得1
x=1±a,x－2=±(1
-
2-
x=±a,2
-
±a)，
∴x=2±(1±a).
当a=1时，x恰好是三个解4，2，0.
用图象解答更直观；
（1）先作函数y=1
-
x图象，
2-
（2）再作y=a(平行于横轴的直线)与y=1
x图象相
2-
-
交，
恰好是三个交点时，y=1,
即a=1.
本题若改为：
有四个解，则0<a<1；
两个解，则a=0或a>1；
一个解，则a不存在；
无解，则a<0.
丙练习62
1. 方程3
x=4的解是＿＿＿＿＿＿＿.
+
2. 方程6
x=0的解是________.
x
-+
2
-
3. 方程21-++x x =3的解是________.
4. 方程x x +-3=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.
5. 不等式2≤3 -x ≤5的解集是___________________.
6. 不等式21-++x x <5的解集是_______________________.
7. 不等式21-++x x <3的解集是_______________________.
8. 不等式11-2-<x x 的解集是_______________________.
9. 已知=-2)3(x 3-x, 那么=+-x x 1_______________.
10. 关于x 的方程x =ax+2有根且只有负根，求a 取值范围.
11. a 取什么值时，方程a x =--12无解有解有最多解
12. 作函数y=312-+-++x x x 的图象；并求在－3≤x ≤3中函数的最大、最小值.
13. 解方程451=-+-x x .
14.作函数y=12+-x x 的图象.
15.选择题：（1972、1973年美国中学数学竞赛试题） ①.对于实数x ，不等式1≤｜x －2｜≤7等价于（ ）
（A ） x ≤1或x ≥3 （B ）1≤x ≤3 （C ）－5≤x ≤0
（D ）－5≤x ≤1或3≤x ≤9 （E ）－6≤x ≤1或3≤x ≤10 ②不等式｜x －1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（ ）
（A ）{}23<<-x x ：
(B){}21<<-x x ： (C){}12<<-x x ： (D){}5.35.1<<-x x ： (E)φ（空集）。