控制理论离线作业答案.docx

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东大离线自动控制原理 A王建辉参考答案

东北大学继续教育学院自动控制原理试卷（作业考核线上2） A 卷（共 3 页）一、（30分）回答下列各题1、自动控制系统由哪些基本环节组成？各环节的功能是什么？（10分）答：（1）控制对象或调节对象——要进行控制的设备或过程。

（2）执行机构——一般由传动装置和调节机构组成。

执行机构直接作用于控制对象，使被控制量达到所要求的数值。

（3）检测装置或传感器——该装置用来检测被控制量，并将其转换为与给定量相同的物理量。

（4）给定环节——设定被控制量的给定值的装置。

（5）比较环节——将所检测的被控制量与给定量进行比较，确定两者之间的偏差量。

（6）中间环节——一般包括比较环节和校正环节。

2、传递函数适合哪类控制系统？如何定义？（10分）答：传递函数适合线性连续系统。

其定义为：零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

3、通常有哪几种减小稳态误差的途径？（10分）答：减小稳态误差的途径：增大系统的开环放大系数；提高开环传递函数中的串联积分环节的阶次N；采用补偿的方法——复合控制或前馈控制。

二、（20分）已知系统结构如图1所示，试化简结构图，并求出系统的开环传递函数和闭环传递函数以及误差传递函数。

学习中心：院校学号：姓名图1解：开环传递函数))((4321G G G G W K -+= 闭环传递函数121234()1()()B G G W G G G G +=++-误差传递函数Ke W W +=11三、（20分）已知一单位负反馈控制系统的开环传递函数为()(1)KK K W s s s τ=+，其单位阶跃响应曲线如图2所示，图中的 1.25m X =， 1.5m t s =。

试确定系统参数K K 及τ值。

图2解由图2可知221 1.51() 1.251%100%100%25%100%()1m n m t x x e x ξωξσ--⎧==⎪-⎪⎨⎪-∞-=⨯=⨯==⨯⎪∞⎩解得 0.42.285 nξω≈⎧⎨≈⎩本系统的开环传递函数整理为()1KK K W s s s ττ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭与标准形式()()22nk n W s s s ωξω=+相对比得 22 2.2851 220.4 2.285K n nK ωτξωτ⎧==⎪⎪⎨⎪==⨯⨯⎪⎩解得 2.8560.547 K K τ≈⎧⎨≈⎩四、（20分）试绘制下列环节的对数频率特性。

现代控制理论课后题及答案

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。

图P2.1解此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。

也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。

这里采样机理分析法。

设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。

1图P2.2解这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。

令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量，选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。

现代控制理论习题及答案

现代控制理论习题及答案现代控制理论习题及答案现代控制理论是控制工程领域的重要分支，它研究如何设计和分析控制系统，以实现对动态系统的稳定性、响应速度、精度等方面的要求。

在学习现代控制理论过程中，习题是一个非常重要的环节，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高问题解决能力。

本文将介绍一些常见的现代控制理论习题及其答案，希望对读者有所帮助。

1. 题目：给定一个开环传递函数 G(s) = 10/(s+5)，求其闭环传递函数 T(s) 和稳定性判断。

解答：闭环传递函数 T(s) 可以通过公式 T(s) = G(s) / (1 + G(s)) 计算得到。

代入G(s) 的表达式，得到 T(s) = 10/(s+15)。

稳定性判断可以通过判断开环传递函数G(s) 的极点是否在左半平面来进行。

由于 G(s) 的极点为 -5，位于左半平面，因此系统是稳定的。

2. 题目：给定一个系统的状态空间表达式为 dx/dt = Ax + Bu，其中 A = [[-1, 2], [0, -3]]，B = [[1], [1]]，求系统的传递函数表达式。

解答：系统的传递函数表达式可以通过状态空间表达式进行求解。

首先，计算系统的特征值，即矩阵 A 的特征值。

通过求解 det(sI - A) = 0，可以得到系统的特征值为 -1 和 -3。

然后，将特征值代入传递函数表达式的分母，得到传递函数的分母为 (s+1)(s+3)。

接下来，计算传递函数的分子，可以通过求解 C = D(sI - A)^(-1)B 得到，其中 C 和 D 分别为输出矩阵和输入矩阵。

代入给定的 A、B 矩阵，计算得到 C = [1, 0] 和 D = [0]。

因此，系统的传递函数表达式为 G(s) = C(sI - A)^(-1)B = [1, 0] * [(s+1)^(-1), -2(s+3)^(-1); 0, (s+3)^(-1)] * [1; 1] =(s+1)^(-1) + 2(s+3)^(-1)。

《现代控制理论》第三版_.习题答案

或者
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程，写状态方程，画模拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1

控制理论作业二答案

第三章3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 369362++=s s G B 。

试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值？解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。

解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。

上升时间 t r峰值时间t m 过度过程时间t s 超调量δ％3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。

解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。

在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。

根据题目给出条件可知闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式2222nn n s s ωζωω++相比较可得12,12==n n ζωω，即n ω=1,ζ=0.5。

由此可知，系统为欠阻尼状态。

故，单位阶跃响应的性能指标为3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间m t =0.5秒，试确定K 和τK,τ与ζ,n ω的关系；%δ,m t 与ζ,nω 由系统结构图可得闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得由题目给定： %25%100%21=⨯=--ζζπδe即 25.021=--ζζπe两边取自然对数可得依据给定的峰值时间： 5.012=-=ζωπn m t （秒）所以 85.615.02=-=ζπωn （弧度/秒）3-4 已知系统的结构图如图2所示，若)(12)(t t x ⨯= 时，试求：(1) 当τ=0时，系统的t r , t m , t s 的值。

(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。

求出可得 )/(07.750秒弧度==n ω 由于ss X 2)(=输出的拉氏变换为则拉氏反变换为(2) 当τ≠0时，闭环传递函数由 %20%100%21=⨯=--ζζπδe两边取自然对数 61.12.0ln 12-==--ζζπ，可得故 73.85.)107.746.0(2=-⨯=o τ3-5(1) 什么叫时间响应答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。

《现代控制理论》第3版课后习题答案【可编辑范本】

《现代控制理论参考答案》第一章答案1—1 试求图1—2７系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下:u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1—2有电路如图1—28所示。

以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知:•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。

控制系统数字仿真离线作业答案(有修改)

控制系统数字仿真离线作业
1什么是仿真，它所遵循的原则是什么？
2在系统分析与设计中仿真法与解析法有何区别？各有什么特点？
3什么是CAD技术？控制系统CAD技术可以解决哪些问题？
4什么是虚拟现实技术？它与仿真技术的关系如何？
5为什么称计算机控制系统为采样控制系统或离散控制系统，其仿真有何特点通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统或脉冲控制系统;而把数字序列形成的离散系统,称为采样控制系统或计算机控制系统.
采样系统中既有离散信号,又有连续信号. 采样开关接通时刻,系统处于闭环工作状态.而在采样开关断开时刻,系统处于开环工作状态.
特点：高精度,高可靠,有效抑制干扰,良好的通用性.
6用MATLAB语言求下列系统的状态方程、传递函数、零极点增益和部分分式的模型参数，并分别写出其相应的数学模型表达式。

7单位反馈系统的开环传递函数如下
用MATLAB语句、函数求取系统闭环零极点，并求取系统闭环状态方程的可控标准型实现。

8某反馈控制系统的开环传递传递函数为
试绘制其根轨迹。

自动控制元件离线作业答案

浙江大学远程教育学院《自动控制元件》课程作业—————————————————————————————第一章直流伺服电动机1-1直流伺服电动机的电磁转矩和控制电流由什么决定答：电磁转矩T em=C mΦI a 由每极磁通量和绕组电流大小决定。

控制电流由负载转矩大小决定。

1-2当直流伺服电动机的负载转矩恒定不变时，控制电压升高将使稳态的电磁转矩、控制电流、转速发生怎样的变化为什么答：（1）控制电流由负载转矩大小决定，不变。

（2）电磁转矩T em=C mΦI a 可见电磁转矩也不变。

（3）Ua-Ua0=Ea=CeΦn，可见转速变大。

1-3已知一台直流电动机，其电枢额定电压Ua=110V，额定运行时电枢电流Ia=0.4A，转速n=3600rpm，它的电枢电阻Ra=50欧姆，负载阻转矩To=。

试问该电动机额定负载转矩是多少解：Ea=Ua-IaRa=*50=90VEa=CeΦnCe=0.105Cm得：90=0.105CmΦ*3600 则CmΦ=T2+T0=Tem= CmΦIa代入得：T2=**10-3=1-6当直流伺服电动机电枢电压、励磁电压不变时，如将负载转矩减少，试问此时电动机的电枢电流、电磁转矩、转速将怎样变化并说明由原来的状态到新的稳态的物理过程。

解：Ea=Ua-IaRa=CeΦnTem=T2+T0=CmΦIa电枢电流由负载转矩决定。

可得：电枢电流减小、电磁转矩减小、转速增大。

第二章直流测速发电机2-4某直流测速发电机，其电枢电压U=50V，负载电阻R L=3000Ω，电枢电阻Ra=180Ω，转速n=3000rpm，求该转速下的空载输出电压Uo和输出电流Ia。

解：U0=Ea/（1+Ra/Rf）=Ia=U0/Rl=3000=0.015A第三章步进电动机3-8某五相反应式步进电动机转子有48个齿，试分析其有哪几种运行方式及对应的步距角，并画出它们的矩角特性曲线族。

解：步矩角：2π/（48*5）=π/120五相单5拍五相双5拍五相三拍五相四拍3-10四相反应式步进电动机，转子有50个齿，试计算各种运行方式的步距角。

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浙江大学远程教育学院《控制理论》课程作业姓名：郭超学号：年级：2012秋学习中心：华家池—————————————————————————————第一章1-1 与开环系统相比，闭环系统的最大特点是：检测偏差，纠正偏差。

1-2 分析一个控制系统从以下三方面分析：稳定性、准确性、快速性。

1-3 控制系统分为两种基本形式开环系统和闭环系统。

1-4 负正反馈如何定义？解：将反馈环节取得的实际输出信号加以处理，并在输入信号中减去这样的反馈量，再将结果输入到控制器中去控制被控对象，我们称这样的反馈是负反馈；反之，若由输入量和反馈相加作为控制器的输入，则称为正反馈。

1-5 若组成控制系统的元件都具有线性特性，则称为线性控制系统。

1-6 控制系统中各部分的信号都是时间的连续函数，则称为连续控制系统。

1-7 在控制系统各部分的信号中只要有一个信号是时间的离散信号，则称此系统为离散控制系统。

1-8控制系统一般可分为两种基本结构：开环控制、闭环控制；控制系统可进行不同的分类：线性系统与非线性系统＿; 恒值系统与随动系统；连续系统与离散系统。

1-9请画出闭环控制系统的结构原理图，并简要介绍各部分的主要作用。

系统的控制器和控制对象共同构成了前向通道，而反馈装置构成了系统的反馈通道。

1-10 控制系统的性能要求一般有稳定性、准确性和快速性；常见的线性定常系统的稳定性判据有劳斯判据和乃奎斯特判据。

第二章2-1 如图1所示，分别用方框图简化法或梅逊公式计算传递函数（写出推导过程）。

1 方框图简化（a）图1(b)(c)(d)(e)系统的方块图化简化过程2 梅逊公式：在这个系统中，输入量R(s)和输出量C(s)之间，只有一条前向通道，前向通道的增益为从图可以看出，这里有三个单独的回路。

这些回路的增益为，，应当指出，因为所有三个回路具有一条公共支路，所以这里没有不接触的回路。

因此，特征式Δ为联接输入节点和输出节点的前向通道的余因式Δ1，可以通过除去与该通道接触的回路的方法而得到。

因为通道P1与三个回路都接触，所以得到Δ1=1因此，输入量R(s)和输出量C(s)之间的总增益，或闭环传递函数为2-2已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为，试求系统的传递函数和脉冲响应。

解单位阶跃输入时，有，依题意2-3已知系统传递函数，且初始条件为，，试求系统在输入作用下的输出。

解系统的微分方程为（1）考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得（2）2-4 飞机俯仰角控制系统结构图如图2所示，试求闭环传递函数。

图2 飞机俯仰角控制系统结构图解经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数2-5 试绘制图3所示系统的信号流图。

图3解：如下图4图42-6 试绘制图5所示信号流图对应的系统结构图。

图5解：如下图6图62-7 如图7所示，已知单位负反馈系统开环传递函数且初始条件为，。

试求：（1）系统在作用下的输出响应；（2）系统在作用下的静态误差图7解：1．初始条件为0时，现代入，：当，则2-8 某系统方块图如下图8所示，试画出其信号流图并用梅逊公式计算与之间的传递函数。

图8解：信号流图图9系统有一条前向通道，三个单回路，一对互不接触回路由图得：，第三章3-1 已知二阶系统闭环传递函数为。

试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s的数值？解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。

解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出参数，而后把代入性能指标公式中求出，，，和的数值。

上升时间t r峰值时间t m过度过程时间t s超调量δ％3-2设单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。

解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。

在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(,)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。

根据题目给出条件可知闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式相比较可得，即=1,=0.5。

由此可知，系统为欠阻尼状态。

故，单位阶跃响应的性能指标为3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量=25%，峰值时间=0.5秒，试确定K和τ的值。

X(s) Y(s)图1解：[题意分析]这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出：K,τ与,的关系；,与,的关系；通过,把,与K,τ联系起来。

由系统结构图可得闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得由题目给定：即两边取自然对数可得依据给定的峰值时间：（秒）所以（弧度/秒）故可得τ≈0.13-4 已知系统的结构图如图2所示，若时，试求：(1) 当τ=0时，系统的t r , t m , t s的值。

(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。

X(s) Y(s)图2解：[题意分析]这是一道二阶系统综合练习题。

(1)练习输入信号不是单位阶跃信号时，求性能指标。

关键是求出,,。

(2)的求法与例4－3－3相似。

(1) 由结构图可知闭环传递函数为可得由于输出的拉氏变换为则拉氏反变换为(2) 当τ≠0时，闭环传递函数由两边取自然对数，可得故3-5(1) 什么叫时间响应答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。

(2) 时间响应由哪几部份组成？各部份的定义是什么？答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。

瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过渡过程。

稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。

(3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。

瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。

(4) 时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？答：延迟时间；上升时间；峰值时间；调节时间；最大超调量.,,,反映系统的快速性，即灵敏度，反映系统的相对稳定性。

3-6设系统的特征方程式为试判别系统的稳定性。

解：特征方程符号相同，又不缺项，故满足稳定的必要条件。

列劳斯表判别。

由于第一列各数均为正数，故系统稳定。

也可将特征方程式因式分解为根均有负实部，系统稳定。

3-7设系统的特征方程式为解：列劳斯表将特征方程式因式分解为根为系统等幅振荡，所以系统临界稳定。

3-8 单位反馈系统的开环传递函数为试求k的稳定范围。

解：系统的闭环特征方程：列劳斯表系统稳定的充分必要条件K>00.35-0.025K>0得K<14所以保证系统稳定，K的取值范围为0<K<14。

3-9(1) 系统的稳定性定义是什么？答：系统受到外界扰动作用后，其输出偏离平衡状态，当扰动消失后，经过足够长的时间，若系统又恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，反之系统不稳定。

(2) 系统稳定的充分和必要条件是什么？答：系统的全部特征根都具有负实部，或系统传递函数的全部极点均位于[S]平面的左半部。

(3) 误差及稳态误差的定义是什么？答：输出端定义误差e(t)：希望输出与实际输出之差。

输入端定义误差e(t)；输入与主反馈信号之差。

稳态误差，误差函数e(t)，当t→∞时的误差值称为稳态误差,即3-10已知单位反馈随动系统如图3所示。

若，。

试求：（1）典型二阶系统的特征参数和；（2）暂态特性指标和；（3）欲使，当不变时，应取何值。

图3随动系统结构图解：由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为与典型二阶系统的传递函数比较得已知、值，由上式可得于是，可为使，由公式可求得，即应使由0.25增大到0.5，此时即值应减小4倍。

3-11控制系统框图如图4所示。

要求系统单位阶跃响应的超调量，且峰值时间。

试确定与的值，并计算在此情况下系统上升时间和调整时间。

图4 控制系统框图解：由图可得控制系统的闭环传递函数为：系统的特征方程为。

所以由题设条件：，可解得，进而求得在此情况下系统上升时间调整时间3-12设系统的特征方程式分别为1．2．3．试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。

解：解题的关键是如何正确列出劳斯表，然后利用劳斯表第一列系数判断稳定性。

1．列劳斯表如下s4 1 3 5s3 2 4s2 1 5s1 -6s0 5劳斯表中第一列系数中出现负数，所以系统不稳定；又由于第一列系数的符号改变两次，1→-6→5，所以系统有两个根在s平面的右半平面。

2．列劳斯表如下s4 1 1 1s3 2 2s2 0(ε) 1s1 2-2/εs0 1由于ε是很小的正数，ε行第一列元素就是一个绝对值很大的负数。

整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次，所以系统有两个位于右半s平面的根。

3．列劳斯表如下s5 1 3 2s4 1 3 2s3 0 0由上表可以看出，s3行的各项全部为零。

为了求出s3各行的元素，将s4行的各行组成辅助方程式为A(s)= s4+3s2+2s0将辅助方程式A(s)对s求导数得用上式中的各项系数作为s3行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯表为s5 1 3 2s4 1 3 2s3 4 6s2 3/2 2s1 2/3s0 2从上表的第一列系数可以看出，各行符号没有改变，说明系统没有特征根在s右半平面。

（s2+2）=0可解得系统有两对共轭虚根s1,2=但由于辅助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）±j，s3,4=±j2，因而系统处于临界稳定状态。

3-13已知系统结构图如图5所示，试确定使系统稳定的值范围。

解：解题的关键是由系统结构图正确求出系统的特征方程式，然后再用劳斯稳定判据确定使系统稳定的值范围。

图5控制系统结构图闭环系统的传递函数为其闭环特征方程式为s3 + 3s2 + 2s+ =0列劳斯表为：s3 1 2s2 3s1 (6-)/3s0为使系统稳定，必须使劳斯表中第一列系数全大于零，即和，因此，的取值范围为，并且系统临界稳定放大系数为=6。

3-14 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。

（1）（2）试求：1．静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数；2．求当输入信号为时的系统的稳态误差。

解：（1）首先判断系统的稳定性。

系统的闭环传递函数为其闭环特征方程为。

由劳斯判据可知系统是稳定的。

系统为Ⅰ型，可以求得静态误差为：所以给定输入信号的稳态误差计算如下：(2) 判断系统稳定性。