2018学年杭二中高一上学期期末数学试卷
2018学年杭二中高一上学期期末数学试卷
杭州二中 2018 学年第一学期高一年级期末考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1. cos 600︒ = （ ）A. 12B. -12C.D.2.集合 A = {- 1，0，1}，B = {y y = sin x , x ∈ R }，则A. A ⋂ B = BB. A ⋃ B = BC. A = BD. C R A = B3.下列函数在 (0，+ ∞)上单调递增的是（） A. f ( x ) = x 3 - x 2 B. f ( x ) = tan x C. f ( x ) = ln x - x D. f ( x ) =1x x +4.将函数 y = sin(2 x +3π) 的图像向右平移6π个单位后，横坐标不变，纵坐标变成原来的 2倍，则所得函数的解析式为（ ）A. y = 2 cos 2 xB. y = 2 s in(2 x +6π) C. y = 12sin 2 x D. y = 2 s in 2 x 5.已知向量a , b 满足1,2a b == ，且a , b 的夹角为150 ，则向量 a 在向量 b的投影为（）B.D. 6.已知函数 f ( x ) =1x ++1x -, 若 f (a ) = f (b ) ，则下列一定不正确的是（）A. ab > 1(a ≠ b )B. a + b = 0C. (1 - a ) (1 - b ) > 0D. a = b7.已知[0,]2πθ∈，若θ满足不等式33cos sin cos lnsin θθθθ-≥，则θ的取值范围是（） A. [,)42ππ B. (0,]4π C. [,]43ππ D. [,]42ππ8.函数 f ( x) = ln(1- 2 sin(3π-2 x )的单调递减区间是（ ） A 5(,)1212k k ππππ-+, k ∈ Z B. 711(,)1212k k ππππ++, k ∈ Z C. [,)124k k ππππ-+, k ∈ Z D. 511(,)1212k k ππππ++, k ∈ Z 9.如图，四边形 ABCD 满足2,1AB CD ==，M , N 分别是 BC , AD 的中点， BA , C D 的 延长线与 MN 的延长线相交于 P , Q 两点，PQ AB = PQ DC + 3, PQ = λMN ,则实数λ的值是（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -110.定义M1 是函数f (x) =e x -e的零点，M2 =log4 27·log81 25·log625 8 ，M 3= | sin x2 |(x≠0) ，则有（）A. M2 <M1 <M3B. M1 <M2 <M3C. M3 <M2 <M1D. M2 <M3 <M1二、填空题(本大题有7 小题，每小题4 分，共28 分)11.已知向量OA=(-1,3) ，OB=(1,2) ，OC=(2,-5) ，若G 是∆ABC 的重心，则OG的坐标是12.函数y =sin12sinxx--的值域是.13.设平面向量a ，b 满足2a +b =(3,3) ，a - 2b =(-1,4) ，若a ，b 的夹角为θ，则cosθ=14.函数tan,0()2sin,0x xf xa x xππ⎧--<<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若函数g (x)=f (f (x))恰有3 个不同的零点，则实数a的取值集合为15.边长为2 的等边三角形ABC 所在的平面上有点O，若0OA OB =，则OA OC的取值范围是16.定义函数f (x )=13sin4x +14 cos4x ，若f(θ)=17，则tanθ=17. 关于x 的不等式x2 -a x+ 4 < 0 的解集中仅含有4 个不同的整数，则实数a 的取值范围是.三、解答题18. (本题满分 10 分)已知向量a , b 的夹角为 60︒ ，且1,2a b ==（1）在指定的位置用尺规作出向量 2a -12b （2）求a -b 与 2a +b 的夹角的余弦值；（3）求b a λ- (λ∈ R ) 的最小值.19. (本题满分 10 分) 定义函数 f ( x ) = 3 s in(2 x -3π)（1）求函数 y =()f x 的最小正周期；（2）将函数 y = f ( x ) 的图像向左平移ϕ(ϕ> 0) 个单位得到 y = g ( x ) 的图像关于 y 轴对 称，求ϕ的最小值；（3）判断方程()f x = log 2x 的根的个数（不需要写出解答过程）20. 定义在 R 上的单调函数 f ( x ) 满足： f ⎣⎡ f ( x ) - x x ⎦⎤ = 0 .（1）求证： f ( x ) = x x ；（2）若 f (sin θ) + f θ)< 0 ，求θ的取值范围； （3）对任意的 x ≥ 1有不等式 f ( x + m ) + mf ( x ) < 0 恒成立，求实数 m 的取值范围.21. 定义函数f (x)=ax2 +bx +a .（1）若方程f (x)=x 有唯一的根，求a,b 满足的关系式；（2）若a =1,b=-3，求函数g (x)=x（3）若对任意的x∈不等式0 ≤ f (x)≤4x恒成立，求实数a +b 的取值范围.。
2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高一(上)期末数学试卷含精品解析
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 已知集合������ = {1,2，3}，������ = {2,3，6}，那么������ ∩ ������ = ( )
A. {1,6}
【答案】B
B. {2,3}
1 1 1
B. ������ < ������ < ������
C. ������ < ������ < ������
D. ������ < ������ < ������
∵ ������ = ������������������25,������ = (2)5,������ = ������������������52
2.
A.
‒4
3
B.
‒3
4
4
3
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】解： ∵ 已知角������的终边经过点������(3, ‒ 4)， ∴ ������ = 3，������ =‒ 4，则 ������������������������ = ������ = 故选：B． 根据角������的终边经过点������(3, ‒ 4)，可得������ = 3，������ =‒ 4，再根据 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． ������������������������ = ������
C. {1,2，3}
D. {1,2，3，6}
【解析】解： ∵ ������ = {1,2，3}，������ = {2,3，6}； ∴ ������ ∩ ������ = {2,3}． 故选：B． 进行交集的运算即可． 考查列举法的定义，以及交集的运算． 已知角������的终边经过点������(3, ‒ 4)，则������������������������ = ( )
2018-2019学年浙江省杭州市第二中学(东河校区)高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市第二中学（东河校区）高一上学期期末数学试题一、单选题1．设OA a =，OB b =，则AB 为（ ） A ．a b + B ．a b -C ．b a -D ．a b --【答案】C【解析】根据向量减法的运算，判断出正确选项. 【详解】依题意AB OB OA b a =-=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量减法运算，属于基础题.2．若A ＝{x |0＜x ，B ＝{x |1≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |0＜x ＜2}B ．{|1x x ≤C ．{|0x x ＜D ．{x |x ≥2}【答案】B【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素组成，故{|1A B x x ⋂=≤<.故选：B 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 3．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：分k 为偶数和k 为奇数讨论，即可得到答案. 详解：由集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，当k 为偶数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限； 当k 为奇数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限； 所以集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C ，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k 为偶数和k 为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 4．163sin π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B【解析】利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】依题意16π2π2πsin sin 6πsin 333⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 【点睛】本小题主要考查诱导公式化简求值，属于基础题.5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（ ） A ．y ＝﹣x 2 B ．y ＝log 2xC ．12y x =D ．y ＝|x |【答案】D【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在[)0,+∞上的单调性，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，2y x =-为偶函数，在[)0,+∞上递减，不符合题意. 对于B 选项，2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意. 对于C 选项，12y x =为非奇非偶函数，不符合题意.对于D 选项，y x =为偶函数，且在[)0,+∞上递增，符合题意. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 6．把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数 A ．sin 2y x =B ．sin(2)6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．cos 2y x = 【答案】B【解析】依题意可得，函数sin(2)6y x π=+作相应平移后得到函数sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选B7．函数f （x ）=x –3+e x的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，3）C ．（3，4）D ．（4，+∞）【答案】A【解析】根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解. 【详解】()()020,120f f e =-<=->, ()330f e =>,()4410f e =+>,所以函数()f x 在区间()0,1上有零点. 故选A. 【点睛】本题考查的是函数零点存在性定理，是基础题.8．设a ，b 为两个非零向量，且a =（x 1，y 1）b =（x 2，y 2），则下列四个等式： （1）a •b =0； （2）x 1x 2+y 1y 2＝0；（3）|a b +|＝|a b -|； （4）()222a b a b-=-.其中与a b ⊥等价的等式个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据两个向量垂直的向量表示形式、向量模的运算、数量积的运算对四个等式逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】两个向量垂直121200a b x x y y ⇔⋅=⇔+=，故（1）（2）符合题意.对于（3），由a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，化简得0a b ⋅=，与a b ⊥等价，符合题意.对于（4），由()222a b a b -=-得22222a b a a b b -=-⋅+，()20b a b b b a -⋅=⋅-=，不能推出a b ⊥，不符合题意.综上所述，其中与a b ⊥等价的等式个数为3个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表现形式，属于基础题.9．如图，正方形ABP 7P 5的边长为2，P 1，P 4，P 6，P 2是四边的中点，AB 是正方形的其中一条边，P 1P 6与P 2P 4相交于点P 3，则i AB AP ⋅（i ＝1，2，…，7）的不同值的个数为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】求得所有i AB AP ⋅的值，由此取得不同值的个数. 【详解】1AB AP ⋅=212⨯=, 2AB AP ⋅=0,3AB AP ⋅=π2cos 24=, 4AB AP ⋅=()224224AP P P AB AB AB AP P P ⋅+=⋅+⋅0224=+⨯=,5AB AP ⋅=0, 6AB AP ⋅=()556556AP P P AB AB AB AP P P ⋅+=⋅+⋅0212=+⨯=, 7AB AP ⋅=π2cos44⨯=. 所以共有0,2,4三种不同的取值. 故选：C 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查平面向量加法运算，属于基础题.10．已知函数20,01()log ,()12,12x f x x g x x x <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x -=实根的个数为（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】对x 分类讨论：当01x <≤时，显然可知有一实根；当1x >时，方程可化为21log 22x x =-+或23log 22x x =--，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题即可． 【详解】当01x <≤时，()2log f x x =-，()0g x =，∴()()2log 1f x g x x -=-=有一实根12； 当1x >时，()2log f x x =，()122g x x =--，∴()()21log 212f xg x x x -=--+=， ∴21log 22x x =-+或23log 22x x =--|，分别画出函数()2log 1y x x =>以及122y x =-+，322y x =--的图象如图，由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，故选C ． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．二、填空题11．计算：329-=_____，log 69+log 64＝_____． 【答案】1272 【解析】利用指数运算化简329-，利用对数运算化简66log 9log 4+. 【详解】33219327--==， log 69+log 64＝log 636＝2． 故答案为：（1）127；（2）2 【点睛】本小题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题. 12．函数f （x ）()21ln x x -=-的定义域为_____．【答案】（﹣∞，1）∪（1，2）．【解析】根据对数真数大于零、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x的定义域. 【详解】 由函数f （x ）()21ln x x -=-，得2010x x -⎧⎨-≠⎩＞，解得x ＜2且x ≠1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）． 故答案为：()(),11,2-∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题. 13．已知单位向量12e e ，的夹角为3π，121223a e e b e me =+=+，，且//a b ，则a =_____，m ＝_____．6【解析】根据单位向量的模以及数量积的运算，求得2a ，进而求得a r.由于//a b ，所以存在实数λ，使得a b λ=，由此列方程组，解方程组求得,m λ的值. 【详解】12e e ⋅=1×1×cos132π=，∴221a e =+412e e ⋅+422e =7， ∴|a|=∵//a b ，∴存在实数λ，使得a b λ=， 即122e e +=λ（31e +m 2e ）， ∴132m λλ=⎧⎨=⎩，解得λ13=，m ＝6．故答案为：（1；（2）6 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查两个向量平行的表示，考查单位向量的概念，属于基础题.14．函数f （x ）＝a 2﹣x ﹣1（a ＞0，a ≠1）恒过定点_____，当a ＞1时，f （x 2）的单调递增区间为_____．【答案】（2，0） （﹣∞，0]．【解析】根据01a =求得()f x 恒过的定点坐标.求得()2f x 的表达式，根据复合函数单调性同增异减，求得()2f x 的单调递增区间.【详解】 函数f （x ）＝a2﹣x﹣1（a ＞0，a ≠1）中，令2﹣x ＝0，解得x ＝2， 所以y ＝f （2）＝1﹣1＝0， 所以函数f （x ）恒过定点（2，0），当a ＞1时，f （x 2）22x a -=-1的单调递增区间为（﹣∞，0]．故答案为：（1）()2,0；（2）(],0-∞ 【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点，考查复合函数单调区间的求法，属于基础题. 15．已知sin （x 6π+）13=，则sin （56π-x ）+sin 2（3x π-）的值是_____． 【答案】119【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式，将所求表达式转化为只含πsin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的形式，由此求得表达式的值.【详解】 ∵2156363sin x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ＝sin[6x ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭]+sin 2[126x ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭] ＝sin （x 6π+）26cos x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭2ππsin 1sin 66x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111399=+-=， 故答案为：119【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．关于函数，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④【解析】因为根据已知条件可知，，显然利用偶函数的性质可知命题1正确，同时对于真数部分分析可知最小值为2，因此命题3成立，利用复合函数的性质可知道命题4成立，而命题2，单调性不符合对勾函数的性质，因此错误，命题5中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④17．已知ABC ∆中，||1BC =，2BA BC ⋅=，点P 为线段BC 上的动点，动点Q 满足PQ PA PB PC =++，则PQ PB ⋅的最小值等于 ．【答案】34-．【解析】试题分析：如下图所示，令BA a =，BC b =，设BP BC λ=（01λ≤≤）， ∴(13)PQ PA PB PC BA BP BP BC BP a b λ=++=--+-=+-， ∴222133[(13)](13)333()244PQ PB a b b a b b λλλλλλλλ⋅=-+-⋅=-⋅--=-=--≥-，当且仅当12λ=时，等号成立，即PQ PB ⋅的最小值是34-，故填：34-． 【考点】1．平面向量的线性运算及数量积；2．二次函数的最值．三、解答题18．已知角α的终边经过点P （m ，4），且35cos α=-， （1）求m 的值；（2）求()()()2sin sin cos sin παπααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+-的值． 【答案】(1) m ＝﹣3；(2)-7． 【解析】（1）根据角α终边上一点的坐标以及余弦值的定义列方程，解方程求得m 的值.（2）由（1）中P 点坐标和正弦值的定义求得sin α的值，由此利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】（1）角α的终边经过点P （m ，4），且35cos α=-，35=-解得m ＝﹣3；（2）由（1）可得sinα45=， ()()()342553455sin sin cos sin cos sin cos sin παπααααπααα⎛⎫-++--⎪-⎝⎭===--+-+-+7．【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 等腰梯形，()(60A C ，，，点M 满足12OM OA =，点P 在线段BC 上运动（包括端点）（1）求∠OCM 的余弦值； （2）若OP ⊥CM ，求CPCA的值． 【答案】(1)1 2．(2)【解析】（1）根据12OM OA =求得M 点坐标，由两点间的距离公式求得,CM OC ，有余弦定理求得OCM ∠的余弦值.（2）设出P 点坐标，利用OP CM ⊥，则0O P C M ⋅=，结合向量的坐标运算，求得P点的坐标.由此求得,CP CA 的长，进而求得CPCA的值. 【详解】（1）已知四边形OABC 等腰梯形，()(60A C ，，，点M 满足12OM OA =，所以()3,0M ，故OM ＝3．CM ==2OC ==，在△OCM 中222122OM OC CM cos OCM OM OC +-∠==⋅⋅．故∠OCM 的余弦值为12．（2）设P （x ，所以(2CM =，(OP x =， 由于OP ⊥CM ，所以230OP CM x ⋅=-=，解得x 32=，所以31122CP =-=，CA ==所以1CP CA ==． 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查余弦定理解三角形，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.20．已知函数()f x =()()sin ,A x x ωϕ+∈R (其中π0,0,02A ωϕ>><<)的图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最高点为π,36Q ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求()f x 的解析式和单调增区间; (2)当ππ[,122x ∈],求()f x 的值域. 【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[]1,2- 【解析】试题分析：(1)根据题中条件，利用函数性质，求得函数的解析式，并利用整体代换，计算函数的单调递增区间；(2)利用整体代换，求得π26x +的取值范围，由此确定函数的最值及取到最值时相应的x 的值. 试题解析：(1)由最高点为π,26Q ⎛⎫⎪⎝⎭得2A =，由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得2T =π2，即2π2ππ,2πT T ω====，由点π,26Q ⎛⎫⎪⎝⎭在图象上得π2sin 26ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=2,πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故π3ϕ+=π2π,2k k +∈Z ,π2π,6k k ϕ=+∈Z .又ππ0,,26ϕϕ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭，故()f x =π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+,解得ππππ36k x k -≤≤+，所以函数()f x 在()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增.(2)ππ[,122x ∈],ππ7π2,636x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当π26x +=π2，即π6x =时，()f x 取得最大值2；当π26x +=7π6，即π2x =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]. 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求三角函数解析式的应用问题，是基础题目；A 为振幅控制着函数的最大值和最小值，图象的最高点纵坐标即为A ，ω控制着函数周期，与x 轴相邻两个交点间的距离为半个周期，通过函数过特殊点求得ϕ，从而得到函数解析式.21．已知定义域为R 的函数f （x ）122x x ba+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：函数f （x ）在R 上是减函数； （3）若对任意的θ∈[0，2π]，f （cos 2θ+λsinθ+2）16+＜0恒成立，求实数λ的取值范围【答案】(1) b ＝1，a ＝2；(2)证明见解析 (3) (﹣1，+∞）．【解析】（1）利用()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f =，以及()()11f f -=-列方程，由此求得,a b 的值，进而求得()f x 解析式.（2）任取12x x <，通过计算求得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，由此证得()f x 在R 上是减函数.（3）根据()f x 的单调性和奇偶性化简不等式()21cos sin 206f θλθ+++<，得到220sin sin θλθ+>﹣，利用换元法，结合分离常数法，求得λ的取值范围.【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数．得f （0）＝0，f （﹣1）＝﹣f （1）， ∴b ＝1，a ＝2，那么f （x ）11222x x +-=+，由f （﹣x ）11121121222222222x x xx x x x-+---====-+++f （x ），故得b ＝1，a ＝2符合题意；（2）由（1）可得f （x ）()()()121212121122221221221x x x x x x x+-++--====-+++++， 设x 1＜x 2，则f （x 2）﹣f （x 1）()()122112112221212121x x x x x x -=-=++++， ∵x 1＜x 2， ∴12220x x -＜则f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1）； ∴函数f （x ）在R 上是减函数；（3）由()21206f cos sin θλθ+++＜，即()2126f cos sin θλθ++-＜， ∵f （1）16=-，f （x ）在R 上是减函数； ∴cos 2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，2π]，即2﹣sin 2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，2π]恒成立，设sinθ＝t ，（0≤t ≤1）， ∴2﹣t 2+λt ＞0，当t ＝0时，2＞0恒成立，当0＜t≤1时，转化为2tt λ>-，∵函数y2tt=-在（0，1]递增，∴211λ>-，即λ>﹣1；故得实数λ的取值范围(﹣1，+∞）．【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求函数解析式，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
2018-2019学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|}1Ax x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】B【解析】化简集合A ，根据补集与交集的运算，即可求出()R B A I ð． 【详解】集合{}11|{|A x x x x =>=<-或1}x >，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 所以|12R B x x =≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭ð， 所以{|1}R B A x x ⋂=<-ð．故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ） A ．1sin y x=B ．||2x y =C ．3cos y x x ＝D ．1ln||y x = 【答案】D【解析】根据题意，可知函数为偶函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案． 【详解】根据题意，函数满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -= ，即函数()f x 为偶函数， 据此依次分析选项： 对于A ，1sin y x=，为奇函数，不符合题意； 对于B ，||2x y =，为偶函数，但在区间()0,1上为增函数，不符合题意；对于C ，3cos y x x ＝，为奇函数，不符合题意； 对于D ，1ln ln ||y x x ==-，易得函数为偶函数且在()0,1上单调递减，符合题意. 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3．下列计算正确的是（ ） A ．2()m n m n -=- B ．222log 3log 5log 15⨯= C ．1099222-= D ．2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误． 【详解】对于选项A ，2()m n m n -=-，故A 不正确；对于选项B ，22222log 15log 3log 5log 3log 5=+≠⨯，故B 不正确； 对于选项C ，()10999222212-=-=，故C 正确；对于选项D ，223233125552527339⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r ，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=r r r ，又c r = a b r r λ+，所以2λ=.故选D 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ）A ．(sin ,cos )θθ-B ．(cos ,sin )θθ-C ．(cos ,sin )θθ-D ．(sin ,cos )θθ-【答案】A【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可求点B 的坐标． 【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为,2k k Z πθθπ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos sin 2πθθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，点B 的纵坐标为3sin cos 2πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点B 的坐标为()sin ,cos θθ-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．6．的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a⋅+⋅+⋅r r r r r r 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】直接利用平面向量的数量积公式化简求解即可． 【详解】根据题意，作出正三角形ABC 的草图，则a r与b r 夹角为60︒，b r与c r 夹角为60︒，a r 与c r夹角为120︒， 由正三角形ABC 的边长为2和平面向量的数量积公式，则2cos602cos60cos120a b b c c a a b b c c a ⋅+⋅+⋅=︒+︒+⋅︒r r r r r r r r r r r r111=22222221212222⎛⎫⎪⎝⎭⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯-=+-=．故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，解题过程中注意向量的夹角，属于基础题． 7．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C ．7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间 D ．()f x 向左移12π可变为偶函数【答案】D【解析】根据函数图像，可求出A 的值，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出ϕ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 【详解】由函数图像可知，1A =，又741234T πππ=-=，所以T π=，又2T ωπ=，得2ω= ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象过7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，将其代入()()sin 2f x x ϕ=+，可得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 03πϕπϕ<<∴=Q ，，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴()f x 向左移12π单位为sin 2cos 212123f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左移12π单位可变为偶函数．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A ，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求ϕ，属于中档题．8．已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ）A ．BC D【答案】B【解析】由题意()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==，知方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，进而利用根与系数的关系求解． 【详解】由题意得：方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，由032a b c ++=得c ＝32a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理得，m +n ＝b a -，mn ＝c a ，|m ﹣n |3…. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题．二、填空题9．若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 【答案】12-【解析】根据任意角三角函数的定义计算sin ,cos αα的值，再求an 2(t )πα+的值．【详解】角α终边上一点的坐标为(1,2)，则sin α==1cos 5α==，所以sin cos 12tan 2sin 2cos 2παπααπαα⎛++====--+⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭． 故答案为：12- ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．10．已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.3(0,)2【解析】由向量的坐标公式，可得()21AB =-u u u r ，，从而可求出AB u u u r的值；再设(),C x y ，从而求出 ()1,2BC x y =+-u u u r ，根据12BC BA =u u u r u u u r ，可得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，根据向量相等的坐标运算公式，可求出,x y 的值，进而求出C 点坐标． 【详解】因为(1,1),(1,2)A B -，所以()21AB =-u u u r ，，可得AB ==u u u r设(),C x y ，则()1,2BC x y =+-u u u r，又12BC BA =u u u r u u u r ，得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，即11?122x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得 0?32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C点坐标是3 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．30,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算．11．已知函数2,0()3(),0xxf xg x x⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f-=_____；若()f a=则a=_____.【答案】29-12-【解析】根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得()()22223f f-=-=-，计算可得答案；对于()3f a=-，分0a>与0a<两种情况讨论，求出a的值．【详解】根据题意，函数2,0()3(),0xxf xg x x⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()()2222239f f-=-=-=-；若()3f a=-，当0a>时，()233af a==-，无解；当0a<时，()()233af a f a-=--=-=-，解可得12a=-，故若()f a＝，则12a=-.故答案为：(1).29-；(2).12-．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．12．若827712186x xx x+=+，则x=_____.【答案】±1【解析】直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果．【详解】由于827712186x x x x +=+，设2,3x xa b ==， 所以33227 6a b a b ab +=+，整理得2261360a ab b -+=， 故23a b =或32a b =，所以1123x x ++=或-1-123x x =，解得1x =-或1x =.故答案为：±1． 【点睛】本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13．在平面上，正方形ABCD 的边长为2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____. 【答案】4【解析】作出草图，根据题意，点P 位于正方形ABCD 的外接圆圆E 上，当AP AC⋅u u u r u u u r 最大时， AP u u u r 与AC u u u r的夹角为0︒，点P 与点C 重合，再根据数量积公式，即可求出结果． 【详解】如图根据题意，点E 为BD 中点，且||1PE =u u u r；所以点P 在正方形ABCD 的外接圆圆E 上；又cos AP AC AP AC θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中θ为AP u u u r 与AC 的夹角；所以当0θ=︒时，有最大值，此时点P 与点C 重合；∴()2max4AP ACAC ⋅==u u u r u u u r u u u r .故答案为：4． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题．三、解答题14．已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +rr 与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α.【答案】（1）[1,1]-（2）4或4-【解析】（1）根据条件可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=u r r ，代入坐标，列方程，整理化简，可得到k 关于x 的函数，根据正弦函数的性质得出k 的范围； （2）根据条件可得1sin 3α=，再根据α的范围求出cos α，从而可得tan α的值． 【详解】（1）∵ a b +r r与a b -r r 垂直，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22 0a b -=u r r ，∴22sin 11x k +=+有解，又20sin 1x ≤≤，所以201k ≤≤， 故11k -≤≤，即[1,1]k ∈-． （2）因为()f x a b =⋅rr ，所以()sin f x x k =+，故()sin f k αα=+，又1()3f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=，∵(0,)απ∈，所以当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cos 3α==sin tan cos 4ααα==；当(,)2παπ∈时，cos α==tan 4α=-；所以tan α=或. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角函数的性质，属于基础题．15．某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（313【解析】（1）根据表格数据，即可写出()f x 的解析式； （2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据函数()g x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值求出t 的值，进而求出最小值即可． 【详解】（1）根据表格可得122236πππω⋅=-，所以2ω=； 根据表格可得262ππϕ⨯+=，又||2ϕπ<，所以6π=ϕ，故函数的解析式为:()2sin(2)6f x x π=+. （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（3）因为02x p -＃，所以52666x πππ-≤+≤，故有11sin(2)62x π-≤+≤. 所以，当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-.当266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以t 1，所以函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 【点睛】 本题考查了三角函数的五点法作图和正弦性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，是中档题.16．已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-.（1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1233x <<（2）{}8|a a ≥（3）{},1,2 123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦【解析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果．【详解】（1）当2a =时，不等式为:()()23log 320f x x =-+<，可得:0321x <-+<，则不等式解为1233x <<. （2）函数()()2224log (3)4(34)f x x a x x a -=--+-⎡⎤⎣⎦， 设函数()2(3)4(34)y a x x a =--+-的值域为M ，则(0,)M +∞⊆，当30a -=，即3a =时，不满足题意，当30a -≠，即3a ≠时，23016(3)4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨∆=----≥⎩，得实数a 的取值范围是{}8|a a ≥.（3）因[]221log (3)(34)log (2)y a x a a x=-+--+有且只有一个零点， 故1(3)(34)2a x a a x-+-=+，原问题等价于方程2(3)(4)10(*)a x a x -+--= 当满足120a x+>时，只有唯一解，方程()化为()–31)10(a x x ⎡⎤+⎣⎦-=， ①当3a =时，解得1x =-，此时1250a x+=>，满足题意； ②当2a =时，两根均为1x =-，此时1230a x +=>也满足； ③当2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x = 当13x a =-时，1233a a x+=-， 当1x =-时，1221a a x+=-， 由题意，()()33210a a --<，解得112a <<， 综上，a 的取值范围是{},1,2123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题．17．设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性； （2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p -=最大值是2，求p q +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦【解析】（1）写出函数y 的解析式，分别判断0q =和0q <时，函数y 的奇偶性；（2）利用单调性定义证明即可；（3）化简函数()h x ，利用换元法将其转化为函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得p q +的取值范围．【详解】（1）①当0q =时，由于()()()()––cos sin f x g x p x x f x g x =-=-⋅，从而()()f x g x 为奇函数；②当0q <时，由1()()()662f g p q ππ--=-+，1()()()662f g p q ππ=+， 得()()()()6666f g f g ππππ--≠-，且()()()()6666f g f g ππππ--≠. 故函数()()y f x g x =为非奇非偶函数.（2）当0q =时，函数22()sin ()1sin f x p x y g x x ==-在(,)22ππ-上递增. 理由:任取12,x x ，且2122x x ππ<<-<，则12sin sin 0x x -<，()()()()1212121222221212sin sin 1sin sin sin sin 01sin 1sin 1sin 1sin p x x x x p x p x y y x x x x -+-=-=<----， 故函数2()()f x y g x =在(,)22ππ-上递增. （3）222|()()|()|sin sin |p g x f x h x p x x p q p-==--+-，下面研究函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，①当11122p -≤-≤-，即112p ≤≤时， (1)|1|H q =+，()111H q q -=-=-， 11()24H p q p p-=+-， 所以max 1()(1),(1),() 2H x max H H H p ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，又14p qp+-在112p≤≤时递增，所以151,44p q q qp⎡⎤+-∈--⎢⎥⎣⎦，即有max1()24H x p qp=+-=，可得1224p q pp+=+-，在112p≤≤递增，可得11,24p q⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；②当112p-<-，即12p<<时，max()max{(1),(1)}12H x H H q=-=-=，即1q=-，可得11(1,)2p q p+=-∈--，综上可得，11,4p q⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数最值应用问题，是难题．。
2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高一(上)期末数学试卷含精品解析
5.
A.
������ = ������3 ‒ ������
1
B. ������ = ������������������������
C. ������ = 2
������
D. ������ = ������������������������
【答案】A 【解析】解： ������.������( ‒ ������) =‒ ������3 + ������ =‒ ������(������)
则
������(1) = 2
5
，
故选：C． 根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可． 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键． 已知函数������(������) = 1 + ������������������������ + 3 ‒ 3������������������������，则������ = ������(������)的最大值为( ) A. 2 + 3 B. 6 C. 2 2 D. 2
C. {1,2，3}
D. {1,2，3，6}
【解析】解： ∵ ������ = {1,2，3}，������ = {2,3，6}； ∴ ������ ∩ ������ = {2,3}． 故选：B． 进行交集的运算即可． 考查列举法的定义，以及交集的运算． 已知角������的终边经过点������(3, ‒ 4)，则������������������������ = ( )
������ |������������������(2 当
，
+
������ )| 6
=1
时，有最大值，最大值为2 2，
推荐-2018年杭州第二中学2018学年第一学期高一数学期末试卷精品
（B）2
（ C） 1
（D）0
5．函数 y 21 x 3(x R) 的反函数为（
）
（A） y （ C） y
2 log 2
x3 log 2 3 x
2
（ B） y （ D） y
x3 log 2
2 log 2 2
3x
6．在各项均为正数的等比数列 { an} 中，首项 a1 3，前三项和为 21，则 a3 a4 a5 的
（Ⅰ）求数列 { an} 和 { bn } 的通项公式；
（Ⅱ）若存在 cn an bn (n N* ) ，试求数列 { cn} 的前 n 项和；
（Ⅲ）是否存在数列 { dn} ，使得 d1 a2 , d n
bn 4
2d n 1 对一切大于 1 的正整数 n 都成立，
若存在，求出 { dn} ；若不存在，请说明理由．
问经过多少年， 该项目的资金 （扣
除最后一年的技术改造与广告投入资金）可以达到或超过翻两番的目的？（
lg 2 0.3 ）
〖 解 答 〗 设 第 n 年 终 资 金 为 an 万 元 ， 由 题 意 可 得
an an 1(1 25%) 200( n 2)
an 5 an 1 200 ， 变 形 整 理 可 得 ： 4
lg 2 0.3 ）
19．（本小题满分 12 分） 已知 f ( x) ( x 1)2，数列 { an} 是首项为 a1，公差为 d 的等差 数列； { bn} 是首项为 b1，公比为 q(q R且q 1)的等比数列，且满足 a1 f ( d 1), a3 f (d 1), b1 f (q 1), b3 f ( q 1) ． （Ⅰ）求数列 { an} 和 { bn } 的通项公式； （Ⅱ）若存在 cn an bn (n N* ) ，试求数列 { cn} 的前 n 项和； （Ⅲ）是否存在数列 { dn} ，使得 d1 a2 , d n bn 2d n 1 对一切大于 1 的正整数 n 都成立，
杭州二中2018学年第一学期高一年级期末考数学试
杭州二中2018学年第一学期高一年级期末考数学试卷时间：100分钟 命题：孙惠华 核对：谢丽丽一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1.cos 600=（ ）A.12B.12- C. - 2.集合{}1,0,1A =-，{}sin ,B y y x x R ==∈，则（ ）A.A B B ⋂=B.A B B ⋃=C. A B =D.R C A B =3.下列函数在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.32()f x x x =-B.()tan f x x =C. ()ln f x x x =-D.()1x f x x =+ 4.将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位后，横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则所得到的函数解析式为（ ）A.2cos 2y x =B.2sin(2)6y x π=+C. 1sin 22y x = D.2sin 2y x = 5.向量,a b 满足1,2a b ==，且,a b 的夹角为150，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）B. C. D.6.已知函数()11f x x x =++-，若()()f a f b =，则下列结论一定不正确的是（ ）A.1()ab a b >≠B.0a b +=C. ()(1)10a b -->D.a b =7.已知0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若θ满足不等式33cos sin cos ln sin θθθθ-≥，则θ的取值范围是（ ） A.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.函数()ln 12sin 23f x x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递减区间是（ ）A.5,,1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B.711,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C.,,124k k k Z ππππ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭ D.511,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9.如图，四边形ABCD 满足2,1AB DC ==，,M N 分别是,BC AD 的中点，,BA CD 的延长线分别与MN 的延长线相交于,P Q 两点，若3PQ AB PQ DC =+，PQ MN λ=，则实数λ的值是（ ）A.2B.1C. -2D.-110.定义1M 是函数()xf x e e =-的零点，2481625log 27log 25log 8M =，223sin M x x =(0)x ≠，则有（ ）A.213M M M <<B.123M M M <<C. 321M M M <<D.231M M M <<二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）11.已知向量()1,3OA =-，()1,2OB =，()2,5OC =-，若G 是ABC ∆的重心，则OG 的坐标是 。
浙江省杭州第二中学(东河校区)2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
2018学年第一学期杭州二中(东河校区)高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．设，，则为（）A．B．C．D．2．若A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2} B．＜C．＜＜D．{x|x≥2}3．集合{α|kπα≤kπ，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）4．的值等于（）A．B．C．D．5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（）A．y＝﹣x2B．y＝log2x C．D．y＝|x|6．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（）A．y＝sin（2x）B．y＝sin（2x）C．y＝sin2x D．y＝cos2x7．函数f（x）＝x﹣3+e x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）8．设，为两个非零向量，且（x1，y1）（x2，y2），则下列四个等式：（1）•0；（2）x1x2+y1y2＝0；（3）||＝||；（4）22＝（）2其中与等价的等式个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则•（i＝1，2，…，7）的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．110．已知函数f（x）＝|log2x|，g（x），＜，＞，则方程|f（x）﹣g（x）|＝1的实根个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题有7小题，每空3分，共30分，请将答案填写在答题卷中的横线上）11．计算：，log69+log64＝．12．函数f（x）的定义域为．13．已知单位向量，的夹角为，，，且，则，m＝．14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）恒过定点，当a＞1时，f（x2）的单调递增区间为．15．已知sin（x），则sin（x）+sin2（）的值是．16．关于函数，有下列命题①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）的最小值是lg2；④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数；⑤f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是．17．已知△ABC中，||＝1，•2，点P为线段BC的动点，动点Q满足，则•的最小值等于．三、解答题（本大题共4小题满分40分，解答应写出文字说明成演算步骤18．已知角α的终边经过点P（m，4），且，（1）求m的值；（2）求的值．19．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点）（1）求∠OCM的余弦值；（2）若OP⊥CM，求的值．20．已知函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为，．（1）求f（x）的解析式和单调递增区间；（2）当，，求f（x）的值域．21．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的θ∈[0，]，f（cos2θ+λsinθ+2）＜0恒成立，求实数λ的取值范围一、1．2．B3．C4．5．D6．B7．A8．9．C10．C二、11．，log69+log64＝log636＝2．12．由函数f（x），＞，得解得x＜2且x≠1，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．13．1×1×cos，∴447，∴||．∵，∴存在实数λ，使得，即λ（3m），∴，解得λ，m＝6．14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）中，令2﹣x＝0，解得x＝2，所以y＝f（2）＝1﹣1＝0，所以函数f（x）恒过定点（2，0），当a＞1时，f（x2）1的单调递增区间为（﹣∞，0]．15．∵，则＝sin[]+sin2[]＝sin（x），16．①定义域为R，又满足f（﹣x）＝f（x），所以函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，正确．②令t（x＞0），f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．③t2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．④当﹣1＜x＜0或x＞1时函数t是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．⑤由③知，不正确．17．以BC所在直线为x轴，以BC边的高为y轴建立平面直角坐标系，如图．∵，∴B（﹣2，0），C（﹣1，0），设P（a，0），A（0，b），则﹣2≤a≤﹣1．∴（﹣a，b），（﹣2﹣a，0），（﹣1﹣a，0）．∴（﹣3﹣3a，b），∴（﹣2﹣a）（﹣3﹣3a）＝3a2+9a+6＝3（a）2．∴当a时，取得最小值．三、18．（1）角α的终边经过点P（m，4），且，可得解得m＝﹣3；（2）由（1）可得sinα，7．19．（1）已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，所以M（3，0），故OM＝3．CM进一步整理得，在△OCM中．故∠OCM的余弦值为．（2）设P（x，），所以，，，，由于OP⊥CM，所以，解得x，所以，，所以．20．（1）函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，所以，所以ω＝2．图象上一个最高点为，．即当x时，函数取最大值3，φ）＝3，由于＜＜，所以φ．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的单调递增区间为[，]（k∈Z）．（2）由于，，所以，，，，故，．21．（1）由题意，定义域为R的函数是奇函数．得f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1），∴b＝1，a＝2，那么f（x），由f（﹣x）f（x），故得b＝1，a＝2；（2）由（1）可得f（x），设x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1），∵x1＜x2，∴＜则f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）；∴函数f（x）在R上是减函数；（3）由＜，即＜，∵f（1），f（x）在R上是减函数；∴cos2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，]，即2﹣sin2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，]恒成立，设sinθ＝t，（0≤t≤1），∴2﹣t2+λt＞0，当t＝0时，2＞0恒成立，当0＜t≤1时，转化为，∵函数y在（0，1]递增，∴，即λ≥﹣1；故得实数λ的取值范围[﹣1，+∞）．。