完备度量空间上集值映射族的公共不动点定理

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度量空间中(ψ,φ)-弱压缩映射不动点的存在性

度量空间中(ψ,φ)-弱压缩映射不动点的存在性
张芳;吕桂稳;薛志群
【期刊名称】《河北师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(46)4
【摘要】在完备度量空间中得到了混合弱压缩映射的公共不动点定理.该定理减弱了已知结果中的ψ,φ2个函数所限制的条件,并将之前的相应结果进行了推广和改进.
【总页数】4页(P330-333)
【作者】张芳;吕桂稳;薛志群
【作者单位】石家庄铁道大学四方学院;石家庄铁道大学数理系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.赋值Banach代数的锥度量空间中弱拟压缩映射的不动点定理
2.D*-度量空间广义弱压缩映射的不动点定理
3.b-似度量空间中广义(ψ,Φ)-弱压缩映射的公共不动点
4.b-度量空间上的2类新型广义(ψ,φ)弱压缩映射的不动点定理
5.S-度量空间中(Ψ-Φ)-弱压缩多值映射的不动点定理
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完备凸度量空间中不动点定理与收敛定理

+ -
bd b
( xn ,
p) .
( 18 )
由 ( 15) ( 16) ( 17) ( 18)得
d ( p, xn + 1 ) ≤
1
-
α n
1-
a +c 1- c
1
-
β n
+
a 1
+ -
bβ
bn
.
·12·
南阳师范学院学报
第 7卷
d ( p, xn ) .
( 19)
当 a, b , c是非负实数 , a + b + c < 1且 a + 2c <
ad ( p, yn ) + c[ d ( Tyn , p) + d ( p, yn ) ].
即
d
(
p,
Tyn
)
≤a 1
+ -
cd c
( p,
yn
).
( 16 )
另一方面 ,
d ( p, yn ) = d [ p, W ( Txn , xn ,βn ) ] ≤
β n
d
( p,
Txn
)
+
(1
-
β n
)
a + a)
,
n ∈N , 则
Π x, y∈Cn ,有 d ( Tx, Ty) ≤ad ( x, y) + bd ( Tx, x) + cd ( Ty, y) ≤
ad (x, Tx) +ad (Tx, Ty) +ad (Ty, y) +bd (Tx, x) +cd (Ty, y). 故

2-度量空间上具有唯一公共不动点的映射族的收缩型条件

ｐｎｓ｛）∈ ｎａ２ｍｅｒｃｓａｅ（，ｓｇｖｎｉｇＴｉＮｏ－ｔｉｐｃＸ）ｉｉｅ．Ｔｈｅｕｔｇｎｒｌｅｎｍｐｏｅｎｎｑｅｃｍｍｏｅｒｓｌｅｅａｉｓａｄｉｒｖｓｍａｙｕｉｕｏｚｎ
定义４１个２度量空间ｘ被称为完备的是指ｘ中的每１柯西序列都收敛．一个下列引理可在文献［ — ］中查到．４７引理１如果｛是２度量空间的１序列，ｚ｝一个并且存在ｈＥＥ，）满足ｄｒｚ，）≤ ｈ，ｏ１Ｃ￣，口＋ｄ（，）对任何ａＥｘ和一１２ … ，ｄｚ，ｚ）一０对所有，ｚ且｛是柯西序列．ｎ，，，则（ｚ，，ｍ，ＥＮ，ｚ）
３吉林市朝鲜族中学，林１２２．吉３０１）
摘要：用新的收缩型条件，出了完备的２度量空间（）的自映射族｛｝具有唯一公共不动点的利给一ｘ，上 ∈ 定理．结果推广和改进了很多２度量空间上的收缩型映射族的唯一公共不动点定理．该一关键词：２度量空间；西序列；缩条件；公共不动点－柯收
任何ｚ，ａＥＸ成立，
（ｚ，ｊ，）≤ ｕ，（，）Ｔｒｊ口ｋｚ，ｎ，，（）１
其中ｚ，Ｌ，）∈ ｛ｚ，口，（￡（，口ｚ（Ｔｚ，）ｄｙ，｛Ｔ｝在Ｘ中有唯一的公共不动点．

巴拿赫不动点定理及其应用

巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理是函数分析中的一项基本定理，又称为Banach不动点定理。

该定理是由波兰数学家斯蒂芬·巴拿赫于1922年提出的。

巴拿赫不动点定理可以简单地表述为：在完备度量空间中，连续映射必有不动点。

这个定理的意义在于，对于一些映射或者变换，必然存在一个点不会移动，这个点就被称作“不动点”。

而根据巴拿赫不动点定理，只要一个映射是连续的并且作用于完备度量空间，那么它必然存在不动点。

这个定理有很多应用，下面列举一些常见的：
1.在求解微积分方程、微分方程、积分方程时，巴拿赫不动点定理是很重要的工具。

2.在数值分析中，巴拿赫不动点定理可以用于求解线性方程组、优化问题以及非线性方程组的数值解。

3.在动力学系统中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些系统存在定点。

4.在实际应用中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些算法的收敛性以及求解某些不动点问题。

总之，巴拿赫不动点定理是数学中的一项重要定理，它的实际应用十分广泛。

不动点定理

不动点定理不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。

该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。

不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。

假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。

对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。

这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。

我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希望找到这条直线上的一个不动点。

我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。

很明显，所有的实数都满足这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。

现在我们将问题扩展到更一般的函数。

假设有一个函数f(x) =x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。

通过描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与直线y = x有交点，也就是不动点。

这两个点分别是函数f(x)= x^2的两个不动点。

不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。

这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学中的图像理论等等。

不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。

例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。

这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。

总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。

通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。

不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。

在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。

实变与泛函期末试题答案

06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分)证明一设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>∃δ,使得),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即E x U ⊂),(0δ,故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集.证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集.(2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分)证明一设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ∃中互异点列},{n x 使得)(0∞→→n x x n . ………………………..2分由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以a x f x f x f n n n n ≥==∞→∞→)(lim )lim ()(0,即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分证明二对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ∂⊂=⊂,……………………… 5分知E E E E =∂= ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分证明三由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证.2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>∀δ, 存在子集E E ⊂δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且.)\(δδ<E E m (15分)证明任选一列自然数}{i n ,与此相应作E 的子集1111[{}][,][||,],i i k i i i E n E n E f f k n i i ∞∞====-<≥则)(x f n 必在}][{i n E 上一致收敛于)(x f .事实上,对0ε∀>,选0,i 使01,i ε<则当0i n n >时,对一切00101[{}][,][,],o i i k i i x E n E n E f f k n i ∈⊂=-<≥都有 01()()n f x f x i ε-<<. ……………………… 6分所以, 0>∀δ, 若能适当的选取}{i n , 使(\[{}])i m E E n δ<, 则令[{}]i E E n δ=即可.利用引理, 0,(\[,])0()m E E n n εε∀>→→∞. 故对任给的0δ>, 对1,iε=1,2,3,i =, i n ∃,使得1(\[,])2i i m E E n i δ<,取}],[{i n E E =δ所以)}({x f n 在δE 上一致收敛.且……………………………………… 12分1111(\)(\[{}])(\[,])(\[,])i i i i i i i m E E m E E n m E E n mE E n δ∞∞=====111(\[,]),2i i i i m E E n i δδ∞∞==≤<=∑∑……………………………. 15分结论得证.3．证明勒贝格控制收敛定理：设(1) {})(x f n 是可测集E 上的可测函数列；(2) a.e.)()(x F x f n ≤于E ,n =1,2,…,)(x F 在E 上可积分； (3) )()(x f x f n ⇒, 则)(x f 在E 上可积分,且 ⎰⎰=EEn ndx x f dx x f )()(lim. (15分)证明证明一由于)()(x f x f n ⇒,根据Rieze 定理,存在子列{})(x f i n a.e.收敛于)(x f .由于()()a.e.n f x F x ≤于E ,从而 a.e.)()(x F x f i n ≤于E ,得 a.e.)()(x F x f ≤于E .因为)(x F 可积,可得到)(x f 在E 上是可积的,且每个)(x f n 在E 上是可积的. …………… ..2分下证lim ()()n EEnf x dx f x dx =⎰⎰.我们分两步证明：(1) 先设mE <+∞.对任何0ε>,因为()F x 在E 上可积,由勒贝格积分的绝对连续性,知存在0δ>,使当e E ⊂且me δ<时有()4eF x dx ε<⎰. …………………………… ..4分又因为)()(x f x f n ⇒,所以存在0N >,使当n N ≥时有[]n mE f f σδ-≥<,其中02mEεσ=>.所以当n N ≥时,[]()4n E f f F x dx σε-≥<⎰,………….………………… ..6分因此⎰⎰-EE n dx x f dx x f )()(＝(()())n Ef x f x dx -⎰()()n Ef x f x dx ≤-⎰=[][]()()()()n n n n E f f E f f f x f x dx f x f x dx σσ-≥-<-+-⎰⎰≤[][](()())()()n n n n E f f E f f f x f x dx f x f x dx σσ-≥-<++-⎰⎰[]2()[]n n E f f F x dx mE f f σσσ-≥≤+-<⎰24mE εσ<⋅+⋅=22εεε+= ………………………….……….………………… ..9分这就证明了当mE <+∞时,成立lim ()()n EEnf x dx f x dx =⎰⎰.(2)设mE =+∞.因()F x 在E 上可积,由非负可测函数L 积分的定义[](lim ()(),kk E E k F x dx F x dx →∞=⎰⎰[]()()),kk E E F x dx F x dx ≤⎰⎰ 知对任何0ε>,存在,k E E ⊂k mE <+∞,使得[]()()4kk EEF x dx F x dx ε<+⎰⎰,所以dx x F kE E ⎰-)(=⎰⎰-EE dx xF dx x F k)()(≤()[()]kk EE F x dx F x dx -⎰⎰4ε<..……………… .11分另一方面,在k E 上的可测函数列{}n f f -满足：()()2()..n f x f x F x a e -≤于,1,2,k E n =,()()0n f x f x -⇒（从)()(x f x f n ⇒）,故在k E 上利用(1)的结论（从(1)有lim ()()n EEnf x dx f x dx =⎰⎰,所以由()()0n f x f x -⇒,得lim ()()0n Enf x f x dx -=⎰）,知存在正整数N ,使当n N ≥时,()()2kn E f x f x dx ε-<⎰, (13)(注意: 上一步若直接由(1)得到亦正确) 因此()()n EEf x dx f x dx -≤⎰⎰⎰-En dx x f x f )()(()()()()kkn n E E E f x f x dx f x f x dx -=-+-⎰⎰2()2kE EF x dx ε-≤+⎰242εεε<⋅+= (15)证毕.证明二由)()(x f x f n ⇒及黎斯定理 ,存在子列{})(x f i n a.e.收敛于)(x f . 因为a.e.)()(x F x f n ≤于E ,所以a.e.)()(x F x f i n ≤于E ,因此a.e.)()(x F x f ≤于E .由)(x F 可积,得到每个)(x f n 和)(x f 都是L 可积的. (2)因为)(x F 在E 上可积,即[]⎰⎰∞→=EE k k dx xF dx x F k)(lim )(,所以0>∀ε,存在0>k ,使得[]⎰⎰+<EE k dx xF dx x F k5)()(ε,因此dx x F kE E ⎰-)(=⎰⎰-EE dx xF dx x F k)()())()()](([x F x F x F k k ≤=()()5kk E E F x dx F x dx ε≤-<⎰⎰.…………………6分由绝对连续性,0>∃δ,使得E e ⊂,δ<me 时,有⎰<edx x F 5)(ε,对此δ,由)()(x f x f n ⇒（在E 上,从而在k E 上）,所以存在0>N ,使得当N n ≥时,δε<⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥-)1(5k n k mE f f mE ,……………………10分当N n ≥时,记n H =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥-)1(5k n k mE f f E ε,所以从δ<n mH ,有 ⎰<nH dx x F 5)(ε. 因为)()()(n k k n n n H E E E H H E H E --=-= ,所以当N n ≥时⎰⎰-EEn dx x f dx x f )()(=[]⎰-En dx x f x f )()(≤⎰-En dx x f x f )()(＝⎰--nk H E n dx x f x f )()(＋⎰--kE E n dx x f x f )()(＋⎰-nH n dx x f x f )()(([]5(1)k n k n k E H E f f mE ε-=-<+)≤k k mE mE )1(5+ε＋2⎰-k E E dx x F )(＋2⎰n H dx x F )(＜εεε52525++ ＝ε.…………………………………………………………………………...................15分这证明了⎰⎰=EEn ndx x f dx x f )()(lim.4．证明康托尔(Cantor)集合的测度为零. (10分) 证明证明一 Cantor 集[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= )98,97()92,91()32,31(1,0P ,………....................4分所以[]⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-=⎪⎭⎫⎝⎛+++-= 3223232311 27492311,0m mP …………………................8分.0 3211311 3232321311 3322=-⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-= …………………..............10分证明二去掉过程进行到第n 步时，剩下2n个长度为3n -的闭区间,n I 这些区间的总长为22()033n nn =→ (当n →∞时),……………….....4分故,0)32(*→≤n P m ………………………….............8分因此*0,m P = 即0.mP =……………………………………………….……….............10分 5.证明1(0,)lim 11nnndtt t n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. (15分)证明当)1,0(∈t 时,2,11111≥≤⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+n tt n t nn；……………………………..........2分当),1[+∞∈t 时,1121111112nnn n t t t t t nn =⋅-⎛⎫+++⋯⋯+ ⎪⎝⎭222124,2112n t t n n n t n--≤=<>--.………………............4分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈∈=),,1[,4),1,0(,1)(2t t t tt F 令则当2>n 时,有,)(111t F tn t nn ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+………………………………..............6分且⎰⎰⎰+∞∞=+=),0(12164)(dt tt dtdt t F , 即)(t F 在()∞,0上Lebesgue 可积. ……………………….…………………………..........8分又因为tn n ne t n t -∞→−−→−⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+111,所以由Lebesgue 控制收敛定理得………...........12分原式=⎰⎰+∞+∞-+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+),0(),0(111limdt e t n t dt t n n n .………………............15分6. 证明Banach 不动点定理：设X 是完备的度量空间, T 是X 上的压缩映射, 那么T 有且只有一个不动点. (15分) 证明设0x 为X 中的任一点,令,,,,01021201x T Tx x x T Tx x Tx x n n n =====-. …………………...3分下面证明点列{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列.因为11(,)(,)m m m m d x x d Tx Tx +-=112(,)(,)m m m m d x x d Tx Tx αα---≤= 21210(,)(,),m m m d x x d x x αα--≤≤≤所以当m n >时,1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101()(,)m m n d x x ααα+-≤+++011(,),1n mmd x x ααα--=-又因为,10<<α所以,11<--mn α从而 )(),(1),(10m n x x d x x d m n m >-≤，αα.,0),(,,→∞→∞→n m x x d n m 时所以当即{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列, …………...8分由X 的完备性知,存在x X ∈,使x x m →.因为…………..................................................10分(,)(,)(,)m m d x Tx d x x d x Tx ≤+1(,)(,)0,m m m d x x d x x α→∞-≤+−−−→ 故(,)0d x Tx =,即x Tx =,所以x 为T 的不动点. ………..................................................12分下证其唯一性.如果又有X x ∈~,使x x T ~~=,则)~,()~,()~,(x x d x T Tx d x x d α≤=,因1<α,故0)~,(=x x d ,即x x ~=,得证. ………....................................................................15分7. 设0mE >, 又设E 上可积函数(),()f x g x 满足()()f x g x <, 试证:()d ()d EEf x xg x x <⎰⎰. (5分)证明因为()()0g x f x ->, 所以[()()]d 0Eg x f x x -≥⎰…………………………………3分若[()()]d 0Eg x f x x -=⎰,则()()0g x f x -=, a.e. …………………………………………….…………………………5分与题设矛盾, 故得()d ()d EEf x xg x x <⎰⎰.8. 设()f x 在[,]a b 上可导, 证明: ()f x 的导函数()f x '在[,]a b 上可测. (10分) 证明补充定义()()f x f b =(x b >时), 则()f x 在[,)a b 上可导, 对任意N n ∈, 令1()()(),[,)1n f x f x n g x x a b n+-=∀∈..………………3分由f 连续, 知每个n g 连续，故可测. …………………………….…………………………5分由f 的可导性知()lim (),[,)n n f x g x x a b →∞'=∀∈…….………………7分因此()f x '作为一列可测函数的极限在[,)a b 上必可测, 故在[,]a b 上亦可测….………10分。

完备度量空间上不动点定理的推广及应用

完备度量空间上不动点定理的推广及应用徐龙华【摘要】Banach 在1922年证明了完备度量空间上压缩映射不动点的存在性。

通过对 Ba-nach 不动点定理条件的研究，给出了 Banach 压缩映像原理的推广，并提出 Banach 不动点定理在存在唯一性方面的应用。

%Banach proved that the fixed point of contraction mapping existed on the complete metric spacein 1922. Based on the Banach fixed point theorem condition research,the paper provided the generalization of Banach contraction mapping principle and put forward the existence uniqueness of the Banach fixed point theorem in application areas.【期刊名称】《重庆理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】4页(P143-146)【关键词】完备度量空间;压缩映射;不动点【作者】徐龙华【作者单位】安康学院数学与统计系，陕西安康 725000【正文语种】中文【中图分类】O177.5把一些方程的求解问题转化为求映射的不动点，以及用逐次逼近法来求不动点，这是代数方程、微分方程、积分方程、泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法。

这个方法起源很早，一直可以追溯到牛顿求代数方程根时所用的切线法，后来Picard用逐次逼近法求解常微分方程。

求不动点的问题本质上是算子方程Tx=x 的求解问题。

不动点存在唯一性的判定定理一般是基于Banach不动点定理［1-3］。

1922年Banach把这个方法的基本点提炼出来，用度量空间以及其中的压缩算子的一些概念更一般地描述了这个方法［4］。

不动点定理及其应用(高考)

摘要本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.AbstractThis article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number.Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.目录第1章绪论 (3)1.1导论 (3)1.1.1 选题背景 (3)1.1.2 选题意义 (2)1.1.3 课题研究内容 (4)1.2 研究现状 (2)1.3本章小结 (3)第2章不动点定理 (4)2.1 有关概念 (4)2.2 不动点定理和几种推广形式 (4)2.3 本章小结 (7)第3章不动点定理在数列中的应用 (8)3.1 求数列的通项公式 (8)3.2 数列的有界性 (9)3.3 数列的单调性及收敛性 (11)3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论 (11)3.3.2数列的单调性、收敛性的证明 (14)3.4 本章小结 (17)第6章结束语 (18)参考文献 (19)第1章绪论1.1导论不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体[5]上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach 不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论．1.1.1 选题背景不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.1.1.2 选题意义利用“不动点”法巧解高考题，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.1.1.3 课题研究内容本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：①利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.②以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.③利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．1.2研究现状不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach ）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()f x ()f x 把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x ∈，使00()f x x =.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.1.3 本章小结本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础.第2章不动点定理2.1 有关概念函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数()f x 的取值过程中，如果有0x ,使0()f x x =.就称0x 为()f x 的一个不动点．对此定义，有两方面的理解：⑴代数意义：若方程00()f x x =有实数根0x ，则00)(x x f =有不动点0x ． ⑵几何意义：若函数)(x f y =与x y =有交点),(00y x ，则0x 为()y f x =的不动点．为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.定义1[7] 度量空间: 设X 是一个集合，R X X →⨯:ρ.如果对于任何X z y x ∈,,，有 ⑴（正定性）(,)0x y ρ≥,并且(,)0x y ρ=当且仅当y x =；⑵（对称性）(,)(,)x y y x ρρ=；⑶（三角不等式）(,)(,)(,)x z x y y z ρρρ≤+，则称ρ是集合X 的一个度量,偶对()ρ,X 是一个度量空间.定义2[7] 压缩映射：给定()ρ,X 如果对于映射T :X X →存在常数K ,10<<K 使得(,)(,)Tx Ty K x y ρρ≤，(,)x y X ∀∈则称T 是一个压缩映射.定义3[7] Cauchy 列：给定(,)X ρ,{}n x X ⊂,若对任取的0>ε,有自然数N 使对εN n m >∀,,都成立(,)m n x x ρε<则称序列{}n x 是Cauchy 列.定义4[7] 完备度量空间：给定(,)X ρ，若X 中任一Cauchy 列都收敛,则称它是完备的.定义5[8] 不动点：给定度量空间(,)T ρ及X X → 的映射T 如果存在X x ∈*使**x Tx = 则称*x 为映射T 的不动点.定义6[9] 凸集：设X 是维欧式空间的一点集，若任意的两点X x X x ∈∈21,的连线上的所有的点)10(,)1(21≤∂≤∈∂-+∂X x x ;则称X 为凸集.2.2 不动点定理和几种推广形式不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成()f x x =的形状这里的x 是某个适当的空间X 中的点，f 是X 到X 的一个映射，把每个x 移到()f x .方程()f x x =的解恰好就是在f 这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明定理l （Banach 不动点定理 ——压缩映射原理[10]）设(,)X ρ是一个完备的度量空间T 是(,)X ρ到其自身的一个压缩映射,则T 在X 中存在惟一的不动点.证明首先,证明T 存在不动点取定X x ∈0以递推形式n n Tx x =+1 确定一序列{}n x 是Cauchy 列.事实上，由1111221210(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m m x x Tx Tx K x x K Tx Tx K x x K x x ρρρρρρ+------=≤=≤≤≤任取自然数n m ,,不妨设n m <那么 1111101010(,)(,)(,)()(,)1()(,)(,)11m m n m n m m n n n m mm x x x x x x K K K x x K K K x x x x K Kρρρρρρ-----≤++≤+++-=≤-- 从而知{}n x 是一Canchy 列,故存在X x ∈*使*x x n →且*x 是T 的不动点,因为******1(,)(,)(,)(,)(,)()n n n n x Tx x x x Tx x x K x x n ρρρρρ-≤+=+→→∞故**(,)0x Tx ρ=,即**x Tx =,所以*x 是T 的不动点.其次,下证不动点的惟一性设T 有两个不动点*1*,x x ,那么由**x Tx =及*1*1x Tx =有 ******111(,)(,)(,)x x Tx Tx K x x ρρρ=≤设*1*x x ≠,则**1(,)0x x ρ>,得到矛盾，从而*1*x x =，唯一性证毕. 作为Brouwer 不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder 不动点定理I ：定理2 设E 是Banach 空间，X 为E 中非空紧凸集，X X f →:是连续自映射，则f 在X 中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意X x ∈，()x f 是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称其为Schauder 不动点定理II ：定理3 设E 是Banach 空间，X 为E 中非空凸集，X X f →:是紧的连续自映射，则f 在X 中必有不动点.定义6 设E 是线性拓扑空间，如果E 中存在由凸集组成的零邻域基，则称E 是局部凸的线性拓扑空间，简称局部凸空间.1935年，Tyehonoff 进一步将Sehauder 不动点定理I 推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff 不动点定理：定理4 设E 是局部凸线性拓扑空间，X 是其中的非空紧凸集，X X f →:是连续自映射，则f 必有不动点，即存在X x ∈0，使得00()f x x =.1950年，Hukuhara 将Schauder 不动点定理II 与Tyehonoff 不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder--Tychonoff 不动点定理：定理5 设E 是局部凸线性拓扑空间，X 是其中的非空凸集，X X f →:是紧连续自映射，则f 必有不动点，即存在X x ∈0，使得00()f x x =.从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点，定义如下：定义7 设X 是拓扑空间，X X T 2:→是集值映射，其中X 2表示X 的所有非空子集的集合.若存在X x ∈0，使00()x T x ∈，则称0x 是T 的不动点.1941年，kllcIltani 把Bmuwer 不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani 不动点定理：定理6 设m R X →是凸紧集，且X X T 2:→是具闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.1950年，Botmenblust ，Karlin 把Sehauder 不动点定理I 推广到集值映射的情形：定理7 设E 是Banach 空间，X 是E 中的非空紧凸集，X X T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.1952年，Fan ，Glicksberg 分别把Tyehonoff 不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg 不动点定理或K-F —G 不动点定理.即：定理8 设E 是局部凸的Hausdorff 线性拓扑空间，X 是E 中的非空紧凸集，X X T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.1968年，Browder 又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder 不动点定理：定理9 设X 是Hausdorff 线性拓扑空间E 中的非空凸紧子集，集值映射XX S 2:→满足：(1)对任意X x ∈，()S x 是X 中的非空凸集(2)对任意{}1,():()y X S y x X y S x -∈=∈∈是Z 中的开集则存在X x ∈0，使00()x S x ∈.本章小结本章详细介绍了Banach 不动点定理及其证明，概况了对不动点定理的几种推广形式. 第3章不动点定理在数列中的应用在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I 为例，2007年，2008年、2010年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决．用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.3.1求数列的通项公式定理10 已知数列{}n x 满足()()dcx b ax x f x f x n n ++==-,1 ,其中0,0≠-≠bc ad c ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 证明因为p 是()x f 唯一的不动点，所以p 是方程d cx b ax x ++=，亦即p 是一元二次方程()02=--+b x a d cx 的唯一解.得 ap cp pd b cd a p -=--=2,2 所以()()()()d cx p x pc a dcx ap cp x pc a d cx pd b x pc a p d cx b ax p x n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111()()()()p x cp a cp d pc a c px cp d p x c pc a p x pc a d cx p x n n n n n n --++-=-++--=--+=------11111111把 cd a p 2-=代入上式，得: px d a c p x n n -++=--1121 令 d a c k +=2，可得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列{}n x 的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.例1 若1121,1--=-=n n a a a （*N n ∈，且2≥n ）求数列{}n a 的通项公式. 解根据迭代数列121--=n n a a ，构造函数()x x f -=21，易知()x f 有唯一的不动点1=p ，根据定理可知2,1,1,0=-===d c b a ，则 111111-+-=--n n a a 即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项21-，公差为1-的等差数列.则对应的通项公式为()()n n a n -=--+-=-21112111 解得nn a n 2123--= 又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为nn a n 2123--=. 对于此类形式的数列，已知数列{}n x 满足()()dcx b ax x f x f x n n ++==-,1 ,其中0,0≠-≠bc ad c ，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答.即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项1a ，公差为da c +2的等差数列. 推论已知数列{}n x 满足()()b ax x f x f x n n +==-,1 ,其中0≠a ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列{}p x n -是一个公比为a 等比数列例2 若32,111+=-=-n n a a a ，（*N n ∈，且2≥n ），求数列{}n a 的通项公式.解根据迭代数列321+=-n n a a ，构造函数()32+=x x f ，易知()x f 有唯一的不动点3-=p ，根据推论可知3,2==b a ，则()()()3231--=---n n a a所以()3231+=+-n n a a所以{}3+n a 是以231=+a 为首项，2为公比的等比数列，则当2≥n 时，有n n a 23=+，故32-=n n a又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为32-=n n a .在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知1a 及递推公式，求数列()n n a f a =+1的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.3.2 数列的有界性在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳法证明.例3(2008年全国II )函数()x x x x f ln -=.数列{}n a 满足()n n a f a a =<<+11,10．证明:11<<+n n a a ．分析函数()x x x x f ln -=的不动点是1=x 显然此题就是要证明数列向不动点1=x 收敛证明当()1,0∈x 时，()0ln '>-=x x f ，所以()x f 在区间()1,0内是增函数；又101<<a ，所以()()11ln 111121=<-==<f a a a a f a a ；假设k n =时有11<<+k k a a ，因为()x f 是增函数()1,0∈x ，所以()()()111=<<+f a f a f k k ，即121<<++k k a a ，当1+=k n 时结论也成立．故原不等式成立这类问题可以以各种类型的函数与数列为载体．考查导数、单调性、方程的根等问题．对学生综合能力有较高的要求，在2010年的高考中此类问题进一步拓展，又有了一些新变化：利用数列的有界性求含参数列中参数的取值范围.例4（2010年全国I )已知数列{}n a 中，nn a c a a 1,111-==+，求使不等式31<<+n n a a 成立的c 的取值范围.解:该数列应该是向其某个不动点收敛.不妨设该不动点为0x ，则有310≤<x ，即方程()x x f =在(]3,1有一个实根．我们继续用不动点的思路方法解决该问题.因为31<<+n n a a 对任意自然数都成立，所以首先应有321<<a a ，可得42<<c ．设()xc x f 1-=，则()x f 是增函数，()+∞∈,0x . 令()x x f =，即01,12=+-=-cx x x xc .当2>c 时，该方程有2个不等的实数根．设为2121,,x x x x <，由韦达定理121=x x ，可知211x x <<只要让32≤x 即可.令()()31003,12≤⇒≥+-=c g cx x x g . 即当310≤c 时，()x f 在(]3,1上存在不动点0x (0x 就是2x )所以c 的取取范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛310,2.再用数学归纳法证明结论的正确性：因为310≤<x 且()xc x f 1-=在()+∞,0是增函数，所以当3102≤<c 时，有()()002111x f x f a a =<=<=.假设k n =时，有301≤<<+x a a k k ．因为()x f 是增函数，故()()()01x f a f a f k k <<+，即021x a a k k <<++，当1+=k n 时结论也成立，所以当c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛310,2时， ()xc x f 1-=有在区间(]3,1内的不动点0x ，数列{}n a 单调递增向该不动点收敛. 3.3 数列的单调性及收敛性近几年一些地区高考试题对利用不动点解决递推数列的问题比较青睐，如求数列的通项公式，利用不动点研究数列的单调性等等．下文利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．3.3.1 关于数列单调性、收敛性的重要结论定义8 设R I f →:，其中I 是R 的一个区间，数列{}n x 由a a =1和递推关系()n n x f x =+1来定义.则数列{}n x 称为递推数列.()x f 称为数列{}n x 的特征函数，()x f x =称为数列{}n x 的特征方程，a x =1称为初始值.若设f 是连续的，若{}n x 收敛而且有极限0x ，()()010lim lim x f x f x x n n ===+.因此问题就变为寻找方程 ()x f x =解(即f 的不动点)，并验证数列是不是收敛于数 0x ．定理 11设f 是定义在I 上的一个压缩映射，则由任何初始值[]b a x ,1∈和递推数列()n n x f x =+1，*N n ∈生成的数列{}n x 收敛．证明：由于f 是[]b a ,上的一个压缩映射，故[]()[]b a b a f ,,⊂，则[]b a x n ,∈，且()1,0∈∃k ，使得*,N p n ∈∀，有()().1112221111b a k x x k x x k x x k x f x f x x n p n p n n p n n p n n p n n -≤-≤≤-≤-≤-=-+--+--+--+-+ 于是，0>∀ε（不妨设 a b -<ε)，只要取*,,ln /lnN p n k a b N ∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ε，都有ε<-+p n n x x 根据Cauchy 收敛准则，{}n x 收敛．[证毕]定义9 在不动点0x 处，若()10'<x f ，则称0x 为()x f y =的吸引不动点；若()10'>x f ，则称0x 为()x f y =的排斥不动点．定理12 若()x f y =是定义在I 上的连续可导函数，0x 是吸引不动点，则存在0x 的邻域区间U ，对一切 U x ∈，都有()1'<x f 且0lim ()n n f x x →∞=．这里的记号1`()(())n n f x f f x -=.证明：因为()x f 连续可导，又()10'<x f ，则这样的区间显然存在．对任意一点U x ∈，在0,x x 为端点的闭区间上，由拉格朗日中值定理得()()()()00'00x x x x f x f x f x x f -<-=-=-ξ所以，()U x f ∈ 由定理1可得数列(){}x f n 收敛，且0lim ()nn f x x →∞=．[证毕]定理表明吸引不动点在迭代过程中，可以吸引周边的点．下面研究数列{}n x 将以何种方式收敛于0x .定理13 若()x f y =是定义在I 上的连续可导函数，只有一个不动点 0x ，且为吸引不动点，初始值01x x ≠,递推数列()*1,N n x f x n n ∈=+，则(1)当f 在I 上递增时，则数列{}n x 单调且收敛于0x ；(2)当f 在I 上递减时，则{}n x 的两个子列的{}12-k x 和{}k x 2一递增一递减，且收敛于0x ．证明：(1)当f 在I 上递增时，若()121x x x f >=，则由数学归纳法可证明()()n n n n x x f x f x =>=-+11，{}n x 递增；若()121x x x f <=，则由数学归纳法可证明 ()()n n n n x x f x f x =<=-+11，{}n x 递减．(2)当f 在I 上递减时，此时复合函数()[]x f f 递增，而子数列{}12-k x 和{}k x 2中有一个递增，另一个递减．若13x x >，用数学归纳法可证明{}12-k x 单调递增．事实上，若1212+-<k k x x ，则 ()()2212122++-=>=k k k k x x f x f x ，()()3222212+++=<=k k k k x x f x f x ，由此可得{}k x 2单调递减；若13x x <，证明类似．[证毕]定理14 若()x f y =是定义在I 上的连续可导函数，有且只有两个不动点()βαβα<,且()()1,1''≠≠βαf f ，异于βα,的初始值1x ，递推数列()*1,N n x f x n n ∈=+．则两个不动点βα,至多只有一个吸引不动点．证明：设函数()()x x f x g -=，则()()1''-=x f x g .假设两个不动点βα,同为吸引不动点，则()()1,1''<<βαf f 从而()()0,0''<<βαg g .又()()0==βαg g ，可得()εαε,,00+∃>∀U ,使得()0'<x g ，则()()()0,,0=<∈∃+αεαg a g U a ，同理 ()βεβ,-∈∃b ，使得()0>b g ．由()x g 连续及零点存在定理，得()x g 在区间()b a ,上必有一个零点．这与()x g 仅有两个零点矛盾．因此假设不成立，则两个不动点βα, ，至多一个为吸引不动点．[证毕]定理15 若()x f y =是定义在I 上的连续可导的凸函数，有且只有两个不动点()βαβα<,，且βα,，中有一个吸引不动点，()()1,1''≠≠βαf f ．异于βα,的初始值1x ，递推数列 ()*1,N n x f x n n ∈=+，则α为吸引不动点，β为排斥不动点，且当α<1x <O 时，{}n x 单调递增且收敛于α；当βα<<1x 时，{}n x 单调递减且收敛于α；当 β>1x 时，{}n x 单调递增且不收敛；证明：由()x f y =为凸函数，可得()x f '为增函数．由βα<且中有一个吸引不动点及定理4得()()βα''1f f <<，即α为吸引不动点，β为排斥不动点．构造函数()()x x f x g -=，则()()1''-=x f x g 为增函数且()()0,0''><βαg g ．于是()βα,∈∃x ，使得()0'=x g ，于是()x g 在()x ,∞-上递减，在()β,x 上递增．下面分四种情况进行说明：(1)当α<1x 时，()()01=>αg x g 即()11x x f >，所以12x x >，结合数学归纳法易证{}n x 单调递增且收敛于α；(2)当x x <<1α时，()()01=≤αg x g 即()11x x f <，所以12x x <，结合数学归纳法易证{}n x 单调递减且收敛于α；(3)当β<<1x x 时，()()01=<βg x g 即()11x x f <所以12x x <，结合数学归纳法易证{}n x 单调递减且收敛于α；(4)当β>1x 时，()()01=>βg x g 即()11x x f >，所以12x x >，结合数学归纳法易证{}n x 单调递增且不收敛．综上，当β>1x 时，{}n x 单调递增且不收敛；当βα<<1x 时，{}n x 单调递减且收敛于α；当α<1x 时，{}n x 单调递增且收敛于α [证毕]定理表明初始值也将影响数列{}n x 收敛与否、以何种方式收敛于α.3.3.2 数列的单调性、收敛性的证明当初始值与特征函数都确定的情况下，主要判断特征函数的单调性，及不动点是否为吸引不动点，借助定理13可以解决．例 5 (2007广东理)已知函数()12-+=x x x f ,βα,是方程()0=x f 的两个根(βα>) ,()x f '是()x f 的导数．设()()),2,1(,1'11 =-==+n a f a f a a a n n n n .(1)求βα,的值；(2)证明：对任意的正整数n ,都有α>n a ；(3)略．解：(1)易得.251,251--=+-=βα (2)()12'+=x x f ，则121121221++=+-+-=+n n n n n n n a a a a a a a ，特征函数()1212++=x x x g ，特征方程 1212++=x x x ，即012=-+x x ，于是不动点251,251--=+-=βα，()()()()()222'1221222+=+-+=x x f x x x x g ，()()()()()()0122,01222'2'=+==+=βββαααf g f g ,可得βα, 均为吸引不动点．又()132,1121<==>=a g a a α,当 ()()0,,'>+∞∈x g x α,由定理13可得数列{}n a 单调递减，且α>=+∞→n n n a a a ,lim .本题的背景是牛顿切线法求方程()0=x f 的近似解.本题特征函数()1212++=x x x g 在定义域上不连续，有两个吸引不动点．由于初始值α>=11a 且不动点的导数值恰为0，使得()+∞∈,αx 时恒有()0'>x g ，使问题简单化．例6(2009陕西22)已知数列{}n x 满足，*11,11,21N n x x x nn ∈+==+. ⑴猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论；(2)略．解：由 nn x x +=+111得特征函数()x x f +=11,在()1,-∞-、()+∞-,1上分别单调递减．由特征方程x x +=11得不动点251,251--=+-=βα .由于()()2'11x x f +-=，则()()15142'>-=αf ，()()15142'<+=βf ，可得 α为排斥不动点，β为吸引不动点．由()x x f +=11在()+∞-,1上单调递减，又211=x 且 02122121111111112112111111111213>++--=+--+=-++=-++=-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x由定理13得数列{}n x 的两个子列{}12-k x 单调递增，{}k x 2单调递减．由于特征函数()xx f +=11在()+∞-,1上单调递减，结合定理13，可得如下结论：当()α,11-∈x 时，可得13x x >，数列{}12-k x 单调递增，{}k x 2单调递减；当α=1x 时，数列{}n x 为常数列；当()+∞∈,1αx 时，可得13x x <，数列{}12-k x 单调递减，{}k x 2单调递增．当初始值或特征函数中出现未知量或参数时，难度有所增加，考虑降低难度要求的需要，高考题给出的特征函数一般为凹或凸函数，此时主要结合定理15进行判断即可．例7(2009安徽21)首项为正数的数列{}n a 满足()*21,341N n a a n n ∈+=+ ． (I )略；(II )若对一切n ∈N ，都有n n a a >+1，求1a 的取值范围. 解：（II ）记()()3412+=x x f ，则()x x f 21'=，()21''=x f ，于是()x f 为凸函数.令()3412+=x x 得不动点3,1==βα.由对一切*N n ∈，都有n n a a >+1，得数列{}n a 为递增，根据定理15得，α<1a 或β>1a ，又01>a ，所以1a 的取值范围101<<a 或31>a本题已知数列的单调性，求首项的取值范围，利用不动点定理可以证明数列的单调性及收敛性，所以此题是对数列单调性及收敛性的逆向考查，是高考中的难题，继续采用不动点定理的思想，根据定理15可以很简单快捷地求出首项的取值范围，有别出心裁的效果.3.4 本章小结本章详细研究了利用不动点定理解决求数列通项，数列有界性，数列的单调性及收敛性问题，对这类问题的解决方法做了简单的概括.第6章结束语本次的毕业论文创作过程是对大学四年学习的一个总结.在历时将近半年的时间里，我通过到图书馆翻阅资料，上网，质询指导老师，收集了足够的质料，按照指导老师提供的要求按时完成了我的论文.通过撰写毕业论文，对不动点定理有了自己的认识和进一步的理解.不动点定理虽然是拓扑学中的一个著名的定理，但它在初等数学中也有极其广泛的运用，运用不动点定理可以简单快捷地解决初等数学中的一些问题，例如本文中提到的求数列通项、数列的有界性问题，数列的单调性及收敛性方面的问题；当然本文所涉及的不动点定理的应用不是很全面,还有很多方面的内容没有涉及.本次毕业论文，我按照老师的要求完成了大部分论文的内容.不动点定理，我论文中有了详细的说明，不动点定理在数列中的应用文中也作了详细的分析.这次毕业论文让我在数学理论知识应用上成熟了很多，是大学四年学习的总结，也是今后工作的宝贵经验和财富.随着全国教育体系的逐步完善，我相信数学的学习深度将进一步提高，我希望本论文对读者了解不动点定理及其在数列中的应用有所帮助.参考文献[1] CLARKSON J A．Uniformly Convex Spaces[J]．Trans．Amer．Math．Soc．,1936,40(3)：396~414．[2] CLARKSON J A．1nhe von Neumann Constants for Lebesgue Space[J]．Ann of Math,1937，38(1)：114~115.[3] JAMES R C．Uniformly Non—square Spaces0]．Ann of Math,1964,80(3)：542~550．[4] KIILXAAFixed Point Theorem for Mappings Which Do Not IncreaseDistances[J]．Amer．Math．Monthly,1965,72(9)：1004~1006．[5] AKSOY A G,KHAMSI M A．Nonstandard Methods in Fixed Point Theory[M]．Heidelberg：Springer-Verlag,1990：11~13．[6] 江秉华．隐函数存在定理及隐函数组定理的一个证明方法[J]．湖北师范学院学报(自然科学版)，2005，25(1)：87~89．[7] 龚怀云．应用泛函分析[M]．第1版．西安：西安交通大学出版社，1985．[8] 谭长明.龙丽．不动点定理在方程解方面的应用[J]．吉林师范大学学报(自然科学版)，2007，28(1)：84~86．[9] 张学山．刘裕维．高等数学辅导与测试[M]．北京：高等教育出版社，2004．[10] 刘炳初.泛函分析[M].北京:科学出版社,1998 .11] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京:高等教育出版社,1993[12] 林武忠,等. 常微分方程[M]. 北京:科学出版社,2003 .`[13] 李思华. 积分方程[M]. 天津:天津大学出版社,1993 .14] 张恭庆,等.泛函分析讲义[M].北京:北京大学出版社,1990 .[15] 程其襄．数学分析[M](第二版)．北京：高等师范出版社，1991．56~58．[16] 华东师范大学教学系．数学分析上册[M]．北京：高等师范教育出版社．2000．56~58．[17] [不动点定理的方法与应用[J]．德州师范学院报，2005，10(2)：5~7．[18] 李德本．微分中值定理的新证法[J]．四平师范学院学报，1982，1(4)；32~34．[19] 刘炳初.泛函分析[M].北京:科学出版社,1998 .[20] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京:高等教育出版社.1993．[21] 林武忠,等. 常微分方程[M]. 北京:科学出版社,2003 .[22 ] 李思华. 积分方程[M]. 天津:天津大学出版社,1993.[23] 张恭庆,等.泛函分析讲义[M].北京：北京大学出版社,1990 .。

度量空间上具有Lipschitz条件的集值映射族的公共不动点

度量空间上具有Lipschitz条件的集值映射族的公共不动点金光植;朴勇杰;崔海兰【摘要】在完备的度量空间上,通过构造收敛序列,得到满足Lipschitz条件的集值映射族的公共不动点的存在定理,并证明在较强的条件下公共不动点是唯一的,同时给出若干个特殊结果.所得结果表明,Lipschitz条件中的系数之和可以大于或等于1.推广和改进了很多这种类型的公共不动点定理.%In a complete metric space,by constructing convergent sequences,the existence of common fixed point for the family of set valued mappings satisfying Lipschitz conditions is proven,and further it is proven that the common fixed point is unique under stronger conditions.Several special results are obtained,which shows that the sum of the coefficients in Lipschitz condition may be greater than or equal to 1.This generalizes and improves many common fixed point theorems of this type.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(030)003【总页数】5页(P310-313,317)【关键词】公共不动点;唯一性;完备度量空间【作者】金光植;朴勇杰;崔海兰【作者单位】延边大学理学院,延吉133002;延边大学理学院,延吉133002;吉林市朝鲜族中学,吉林132001【正文语种】中文【中图分类】O177.3;O189.110 引言与基本知识在度量空间、2－度量空间及度量凸度量空间上，文献［1－4］得到了很多关于可数个单值映射族的公共不动点定理。

概率度量空间上C—映射及其不动点定理

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Ｔｈｕｈｒｏｔｉｅａｙｃｍｍｏｉｅｏｎｈｏｅｏａｉｆｓｎｌ－ａｕｄｍａｐｎｓｏｅａｔｏｂａｎｄｍｎｏｎｆｄｐｉｔｔｅｒｍｓｆｒａｆｍｌｏｉｇｅｖｌｅｐｉｇｎｘｙ
ｍｏｉｅｏｎｓｆｒｓｔｖｌｅｐｉｇＲｅｅｔｙ．ＷｕａｄＬｉｃｇｖｈｘｓｅｃｆｃｍｍｏｉｅｎｆｄｐｉｔｏｅ— ａｕｄｍａｐｎ．ｘｃｎｌｎｕａｅｔｅｅｉｔｎｅｏｏｎｆｄｘ
ａｍｅｒｃｓｃｔｉｐａｅ，２ｍｅｒｃｓａｅｏｒｍｅｒｃｌｙｃｎｖｘｍｅｒｃｓｃｅｐｃｉｅｙ一ｔｉｐｃｔｉａｌｏｅｔｉｐａｅｒｓｅｔｖｌＥ’ Ｏｎｔｔｒｈａｄ。．ｈｅｏｈｅｎ
文章编号：１０ —３３２１）３０８ — ３０４４５（０００ — １９０
ＣｏｍｏｘｄＰｏｎｍｎＦｉｅｉｔＴｈｅｒｍｓｆｒＳｔｖｌｅａｐｉｇｏｅｏｅ－ａｕｄＭｐｎｓＯｌＣｏｐｌｔｅｒｃＳａｅｉｍｅｅＭｔｉｐｃｓ
ＰＩＡＯｎ —ｉ，ＬＩｕ。ＹｏｇｊｅｎＪ
（１ＤｅａｔｎｆＭａｈｍａｉｓ，ＣｌｅｅｆＳｉｎｅ，ＹｎｉｎＵｎｖｒｉｙ，Ｙｎｉ１３０，Ｃｈｎ．ｐｒｍｅｔｔｅｔｃｏｏｌｇｃｅｃｓａｂａｉｅｓｔｏａｊ３０２ｉａｌ
第３６卷第３期２１００年９月
ＪｕｎｌｆＹａ大ａ报ｅ自然科学版ａｃｅｃ）ｏｒａ延边ｂ学Ｕｎｖ（ｉｙ（ｔｒｌＳｉｎｅｏｎｉｎ学ｉｒｔＮａｕ）ｓ
Ｖｏ．６ＮＯ３１３．
Ｓｅ２０ｐ．０１
完备度量空间上集值映射族的公共不动点定理
朴勇杰李俊，
（１延边大学理学院数学系，林延吉１３０；．．吉３０２２吉林省辉南县第六中学，吉林辉南１５０３１０）摘要：在完备的度量空间上，到了满足某种收缩条件的集值映射的公共不动点的存在性，在较强的条件得并下证明了该公共不动点是其唯一的公共不动点，一结果推广和改进了很多这种类型的公共不动点定理．这关ｔ词：公共不动点；一性；完备的度量空间唯
２ＴｅＳｉｈＭｉｌｃｏｌ．ｈｘｔｄｄｅＳｈｏ，ＨｕｎｎＣｏｎｙｏＪｌｎＰｒｖｎｅ，Ｈｕｎｎ１５０ｉａｕｔｆｉｉｏｉｃｉａ３１０，Ｃｅｅｍｅｒｐｃ，ｔｅｅｉｔｎｅｏｏｓｒｃ：Ｉｏｌｔｔｉｓａｅｈｘｓｅｃｆｍｍｏｉｅｏｎｓｆｒａｆｍｉｆｅ — ａｕｄｍａｐｎｓｃｃｎｆｘｄｐｉｔｏａｌｏｔｖｌｅｐｉｇｙｓｓｔｓｙｎｏｏｔａｔｖｏｄｔｎｉｂａｎｄｎｈｔｔｅｕｉｕｎｓｌｏｈｌｓｕｄｒｒｔｏｇｃｎｌａｉｆｉｇｓｍｅｃｎｒｃｉｅｃｎｉｏｓｏｔｉｅ，ａｄｔａｈｎｑｅｅｓａｓｏｄｎｅｍｏｅｓｒｎｏｄ — ｉａ