反例在数学分析教学中的作用
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用摘要：数学是所有科目中对思维要求最缜密的学科之一,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，那么，对于数学这门课程，教师如何来教，学生如何来学，方法固然是最重要的。
本篇论文就将浅谈一下反例在数学教学中的作用。
本篇论文是经过在网上查阅大量的相关期刊和在图书馆查阅大量的相关书目,结合自己的学习以及工作阅历最终完成的。
本文的创新点在于通过引用一些非常典型的例题做分析说明，而且例题都涉及到了中学数学的重要章节和必考内容。
本篇论文的目的在于改变现有的教学状态，能够激发学生的学习热情，培养学生的创造能力，鼓励学生要有敢于质疑和敢于探究的科学精神，培养学生良好的思维品质和学习习惯。
【关键词】教学作用构造逆向思维一、反例的含义在数学中，要证明一个命题是正确的，就必须经过严格的推理论证[[1]]。
而要证明一个命题是错误的，非常简单的做法就是举出反例。
反例,顾名思义就是指反面的例子,通常是指能够满足命题条件却不满足命题结论的例子。
在数学教学中，反例的作用不容小觑。
反例在判断对错时很有说服力，因此，在数学教学中重视运用反例，能让学生牢记所学内容，激发学生的学习热情，增加学生的见识，使其灵活多变,也学会换角度思考问题。
二、反例的来源与构造证明一个猜想是合理的、正确的,就必须经过严格的、缜密的推理论证;而证明一个猜想是不正确的,只需找到猜想命题的反例就可以了。
在教学过程中往往会有这样的情形,要说明一个命题是假命题, 教师就会直接给出一个反例, 说明反例虽然符合命题的各种条件, 却不能使命题的结论成立, 教师很少给学生分析甚至不做分析说明反例是如何得到的。
学生非常佩服老师学识渊博,能信手拈来一个又一个非常具有说服力的反例,却只能对老师的才华望其项背。
仿佛舞台上的魔术师,能从口袋里变出很多观众意想不到的东西,观众觉得特别神奇，但却永远也学不会。
所以,在教学过程中,教师应该尽可能地给学生讲解如何来构造反例,让学生知其然,更知其所以然。
数学分析中的反例问题
摘要数学分析是一门非常重要的基础课程,反例对理解数学分析有关定义和定理的内涵和外延有着不可替代的作用,反例的地位在数学的学习中占有很重要的地位,对培养我们的逆向思维至关重要,恰当的运用反例对我们数学能力的提高起着事半功倍的效果,我们希望定理中的条件是最简的,在我们一步步削弱条件的时候,反例的作用就越来越明显,一个特列不能说明一个命题是对的,但一个反例完全可以证明一个命题是错的.反例的作用和构造也越来越受到重视.本文介绍了数列,函数,导数,积分,无穷积分,级数等中的一些典型问题的反例,对一些逆命题的成立与否通过反例做了简单的论证,通过反例把一些看似相关性很大的定义和定理的区别又做了进一步的比较和分析,对一些反例的构造过程和思路做了详细介绍,回答了为什么这样构造的问题,可以让读者在错综复杂的关系里得到清晰的逻辑和思路.关键词：命题;反例;构造;数学分析;体现ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course, counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation , counter example role has a extremely important position in learning mathematics occupies,it is very important to educate our reverse thinking, appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position, we hope that the conditions of the theorem is one of the most simple, when we weaken conditions step by step, the counter example of the role is more and more obvious, a special example does not justify a question is right, but a counter example can prove that a theorem is wrong. counterexample and structure is becoming more and more important. According to the general mathematical analysis teaching material order, this paper introduces the sequence, function, derivative,and series of a reverse case of some typical problems, such as, for some of the establishment of the converse proposition, seemingly through counterexamples correlation definition theorem of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example ,it also made a detailed introduction, why and how structure counterexample get a answer in this paper, reader can get a clear logic in this paper.Key words:proposition; counter example;structure;mathematical analysis;reflect目 录1.引言 .................................................................. 12.反例在加深理解定义及相关概念中的体现................................... 1 2.1周期函数 ............................................................ 1 2.2复合函数 ............................................................ 1 2.3极值 ................................................................ 2 2.4一致连续 ............................................................ 2 2.5导数 ................................................................ 33.反例在掌握定理的内涵与外延中的体现 .................................... 3 3.1柯西收敛准则 ........................................................ 3 3.2 STOLZ 公式 ............................................................ 4 3.3 比式判别法 .......................................................... 5 3.4 比较原则 ............................................................ 5 3.5 阿贝尔判别法 ........................................................ 6 3.6 莱布尼茨判别法 ...................................................... 74.反例在辨析重要结论的逆命题中的体现 .................................... 75.反例在论证辩证关系中的体现 ........................................... 10 5.1lim ()x f x →+∞和'lim ()x f x →+∞的关系 (10)5.2 原函数与可积函数之间的关系 ......................................... 10 5.3 ()af x d x+∞⎰收敛与lim ()x f x →+∞=0的关系 (11)5.4 可积和绝对可积以及平方可积之间的关系 ............................... 126.结论 ................................................................. 13 参 考 文 献 ............................................................ 14 致 谢 ................................................. 错误！未定义书签。
浅谈数学分析中反例的作用
浅谈数学分析中反例的作用数学分析是一门基础的数学学科，研究实数集上函数的性质以及极限、连续性、收敛性等概念与定理。
在数学分析的学习过程中，反例是一种非常重要的工具和思维方式。
本文将从数学分析中反例的定义、作用以及展示的方式等方面进行探讨。
首先，反例是指用以证明或推翻一些命题的合理例子。
在数学分析中，经常会用到反例来证伪一个命题，即通过构造一个特殊的例子，使得命题不成立。
反例通常是通过对已知条件进行逻辑推理和推导，然后找出一个具体的实例来使得不等式、恒等式或者条件不成立。
其次，反例在数学分析中的作用是多方面的。
首先，反例可以用来验证是否存在其中一种性质或者条件。
例如，对于一些命题，我们可以通过构造一个反例来证明该命题不成立，从而说明该性质或条件不存在。
其次，反例还可以用来辅助理解和洞察数学概念和定理。
通过构造特殊的反例，可以帮助我们更加清晰地认识和理解一些概念或者定理的含义和适用范围。
最后，反例还可以用来研究数学问题的边界和极限情况。
通过找到一系列逼近一些反例的例子，可以帮助我们确定问题的解或者趋势。
在数学分析中，展示反例有多种方式。
一种常见的方式是通过构造具体的数字或者函数表达式来展示反例。
这种方式比较直观和具体，可以通过计算和观察来验证反例的有效性。
另一种方式是通过逻辑推理和证明来构造反例。
例如，可以通过反证法或者归谬法来推导出反例的存在。
另外，还可以通过反例的存在性和唯一性来讨论。
不同的方式展示反例都有各自的优势和适用范围，具体选择取决于问题的性质和结构。
实际上，反例不仅在数学分析中起着重要的作用，也在数学的其他分支中扮演着重要的角色。
例如，在代数学中的群论和环论中，经常会用到反例来验证或推翻一些命题。
在几何学中，反例也常常被用来证明一些定理不成立或者特殊情况下的解决方法。
总之，反例在数学分析中的作用是不可忽视的。
它不仅可以用来验证性质或条件的存在与否，还可以帮助我们更好地理解和掌握数学概念和定理。
反例思想在数学分析教学中的作用
数 学分析 中许 多概 念都 是 以抽象 的数 学语 言描述 ， 生不 易凭 直观 思考并 理 解其 含义 ， 时恰 当运用反 学 此 例， 不但 可 以加 深 学生对 概念 的理 解 ， 而且还 可 以沟通 概念 与概 念之 间 的联 系 ］ ．
关键词 ： 学分析 ； 例 ； 学 ； 数 反 教 无界 函数 ； 中值 定 理
中 图分 类 号 ： ６ ２ ０； １ １ Ｇ ４ ． ０ ７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ７— ８ ４ ２ １ ） ２— ０ ７— ２ １０ ０ ３ （ ０２ ０ ０ ５ ０
反例 思想 是数 学分 析 中的重要 思想 ， 于概 念 、 质 的理解 以及 问题 的研 究与 论证 都具 有不 可替代 的作 对 性 用 ． 当运用 反例 ， 于正确 理解 概念 ， 固和 掌握定 理 、 恰 对 巩 公式 、 则 ， 养学 生 的逻辑 思 维 能力 ， 防和 纠 正 法 培 预 错误 ， 有十分 重要 的作 用 ¨ ． 具
２ 应用 反例培 养 学生思 维 的严密 性
Ｘ ｎ
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中值 定理是 数 学分析 课程 中的一个 重要 定理 ， 学生 在学 习时往 往 会 忽 略定 理成 立 是 在 实数 域 范 围 内 但 这个 隐 含条件 ．
例 ２ 罗尔 （ ｏｌ） Ｒ ｌ 中值 定理 只在 实数域 范 围 内成 立 ． ｅ
第２ ｌ卷 第 ２期
２ ２年 ６ 月 ０１
河 南 教 育 学 院 学 报 （自然科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｉｓ ｔｔ ｏ ｄ ｃ ｔ ｎ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｏ ｒａ ｏ ａ ｔｕｅ ｆ ｕ ａ ｏ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ Ｈｅ ｎ ｉ Ｅ ｉ ｅ ｔｎ
反例在数学分析教学中的应用
间的本质 区分 ， 以提 高 学 生 的理 解 能 力 ， 可 例如 “ 函
数 在一 点连 续 ” “ 与 函数 在 一 点 可 导 ”之 问关 系 ； 驻
模 糊 的认 识 ， 是 如果 充分 发挥 反 例作 用 ， 会起 到 但 将
意想不 到 的效 果 。
点 与极 值点 的区分 ；－ ） 区 问 ， “（ 在 厂 上有 原 函数 ” 与
ＶＯ ． １ Ｎｏ １ １ １ ．
反 例 在 数 学 分 析 教 学 中 的 应 用
王宏仁 ， 陈
【 摘
鲲
（ 林 师 范 大 学 ， 林 四平 １ ６ ０ ） 吉 吉 ３ ０ ０
要 】 在数 学分析 的教 学 中， 当运 用和构造反列 ， 恰 有利于提高课 堂教 学质量 ， 通过具体 实例说 明反例在数 学
分 析 中的应用 ， 可以进 一步加深 学生对概念 、 定理 、 公式 的理 解， 培养 学生的创新 能力 ， 提高教 学效果 。
【 关键词】 反例 ； 学分析 ； 数 应用 ； 教学质量
Ｔｈ ｐｌｃ ｔｏ ｏ ｕ ｅ ａ ｐｌ ｎ ｅ Ａｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｆ Ｃｏ ｎｔ ｒ Ｅｘ ｍ ｅ ｉ
数学 分 析 中一些 重要 概念 是 用抽 象 的数学 语 言
２ 注 重 反 例 以准 确 把 握 概 念 问 的关 系
数 学分 析 中 的概 念 繁 多 ， 过 反 例 明确 它 们 之 通
给予形 式 化 的精 神 描 述 ， 从 正 面分 析 ， 多 次 讲 光 虽
解 ， 生 只会死 记 硬 背 ， 能抓 住 概 念 的本 质 ， 生 学 不 产
Ｄ）０为理 ， （ ｉ 无 数 ，
任何 有 理数 Ｔ Ｔ≠Ｏ 都是 它 的周期 ， 没有 最 （ ） 但 小正 周期 ， 个反 例 ， 这 不仅 纠正 了以往关 于周 期 函数 理论 中 的偏 差 ， 使 人们 更 清 晰地 认 识 了周 期 函数 也
浅析构造反例在中学数学教学中的作用与实践
浅析构造反例在中学数学教学中的作用与实践摘要：在高中数学教学过程中，引导学生构造反例、应用反例，其学习便会有拨云见日之感，对数学问题的认知感将迈向全新的境界。
只有全面了解构造反例的办法，才可以更好地培养高中生分析事物与解决问题的水平。
本文结合教学实践，浅谈反例在高中数学教学中的作用，进一步分析如何在教学中构造反例，以及反例应用需要注意的重点。
关键词：高中数学反例构造应用教师在进行数学教学的过程中，相较于正面论证而言，反例则更加拥有特殊的功能。
其原因则是反例更加简洁有效且具有说服力。
但是也因如此，数学反例的论证更加需要具备精深的功底，同时也需要丰富的想象力作为基础。
在高中数学教学过程中，引导学生找出反例，其学习便会有拨云见日之感，对数学问题的认知感将迈向全新的境界。
然而，举反例也并非轻而易举的事，大多时候比论证命题为真命题更加具有难度。
所以理解与研究出构造反例的方法是十分必要的，只有全面了解构造反例的办法，才可以更好地培养高中生分析事物与解决问题的水平。
一、反例在高中数学教学中的作用举反例是中学数学教学中一项非常重要的能够激发学生思维方式的教学，一道数学真命题的证明通常需要具备十分缜密的确定。
但对数学假命题的证明，倘若利用反例进行解释，便会更加易于了解。
在中学数学教学的过程中常常会运用到一些基础性的概念，比如区间、集合等。
然而，如果对上述两种的概念仅仅依靠教材中所提供的进行理解，则并非是一件轻易的事情。
在教学过程，教师不仅仅需要应用到一些正面的例子来阐释言明概念中的内涵属性，还需要技巧性地通过反例加强学生对概念中关键词的了解，因此，我们非常有必要通过反例来进行对这些概念的教学。
比如教师在展开函数的教学使用中，部分学生通常会单纯地片面地以为：“某一变量伴随着另一变量的转换而转换，两者的关系便属于函数关系。
”对此，教师在教学时，为了纠正此错误的理解，则可进行反例证明：“非负数x的平方根y属于函数吗？”然后让学生自主讨论，最后可以得知尽管y和x存在一定关联，但是一旦自变量出现变化后，y并未有唯一确定的值和自变量x对应，因此，可以判定其不符合函数的定义标准。
反例的概念
反例的概念在数学中，我们经常听到“反例”的概念。
那么反例是什么呢？为什么它在数学中如此重要？本文将围绕这一问题进行阐述。
一、反例的定义反例是指通过举出一个不符合猜想或命题的特例，来反驳该猜想或命题的证明方式。
在数学中，反例被广泛应用于猜想或定理的验证与推翻。
二、反例的应用1. 验证猜想当我们面对一个没有直接证明的猜想时，可以通过构造反例来验证其正确性。
例如，当我们猜想“负数的平方根不存在”时，构造反例即可证明该猜想的正确性，如-1的平方根为虚数i。
2. 推翻命题当我们面对一个看似正确的命题时，我们也可以通过构造反例来推翻它。
例如，“所有正整数都能被3整除”这个命题显然是不正确的，构造出4这个反例即可推翻它。
3. 避免证明错误在证明一个定理时，如果我们不能确定该定理是否成立，就可以尝试构造反例。
如果我们构造的反例有效，就可以发现该定理不成立。
这可以避免我们在证明过程中犯错误。
三、反例的思维方式1. 通过尝试特殊情况当我们尝试证明一个猜想或定理时，可以通过特殊情况来构造反例。
例如，证明“所有正整数的和是正无穷大”，我们可以尝试找到一个序列，该序列前n项的和有一个上限，从而证明该猜想不成立。
2. 通过排除法当我们无法证明一个定理时，可以尝试排除一些可能性来构造反例。
例如，证明“所有大于等于2的偶数都是素数或能分解成两个素数的积”，我们可以通过排除一些偶数找到反例，如4、6、8等。
四、结语反例是数学中非常重要的概念，它不仅可以用来验证猜想和定理的正确性，还可以发现错误的证明。
因此，在学习数学时，我们要注重培养构造反例的能力。
当我们掌握了这一思维方法后，对我们的数学分析能力和逻辑思维能力都有很大的启发作用。
反例在数学教学中的作用与构造分析
ｌ ６・
江 西 教 育 学 院学 报 （ 合 ） 综
２ １年 ０１
证 明 ： 据 已知 条件 可 知 ：当 ∈Ｂ时 ，＝ ｉｘ 根 ｙｓ ｎ 是严 格 州 函数 ，现 分 别取 ｔ ∈Ａ，ｚ — ＝ ＝ １７ ３７ 一∈
Ａ￣ｌＸ ＥＡ， 有 ｙ ｓ ， ＝ ｉ Ｘ（ ２ 则 ｉ ＝ ｎ ｙ ｓ ｎ ， 然 ｙ＞ ２ 显 ・ ， ｙ
化 一 般 为特 殊 ， 化抽 象 为具 体 ， 整 体 为 局部 ， 化 化参
量 为常量 ， 较弱 条件 为较 强条 件等 等 。 化 例 ５ 试举 反 例说 明命 题 ： 当 ． ｔ … ， 及 ， ， Ｏ，
分 别 是 ／ ）ｇ ｘ 的 最 小 正 周 期 ， ，（） 则
例 ２ 试举 反例 证明命 题 ：数 域 Ｆ上全 体 ／阶 ７ ，
口逆 矩 阵 记为 Ｇ（ ， ）它 对矩 阵 的加法 构成 一 个群 『 ｎＦ ， 是似 命题 分析
个 群
矩 阵加 法 运 算 不是 其 本 身 的代 数 运算 ，
女 若将 “ 阵 的加 法 ” ｕ 改成 “ 阵 的 乘法 ” 则构 成一 矩 ，
的最 小 正周期 是 ， 的最 小公倍 数 为假 命题 。 证明 ： 由于 函数 的周期 性有 明显 的几 何特 征 ， 我
们 可 以令 － ）ｇ 的 周期 分 别 为 ７＝ ， ＝ ， 可 厂 ，（） （ １ ２ ２ 故
借 助直 观 图进行 构造 ， 如下 图 ：
进 而 ¨知 当 ∈Ａ时 ，＝ ｉ ｙ ｓ ｘ不是 严格 调 函数 。 冈 ｎ 此 知道 ： 的集 合表 示 与 Ｂ的 ｌ 表示 并 不 是 完全 Ａ ＂ Ｈ Ｉ 等同的， 陔命 题 是似命 题 、
反 ｎ［：： 一， 由上 冈可知 ，＿（ ，（）的最小 正周 期 都为 ２， 例荇矢＝ ］［ １ ， ． Ｂ Ａ Ｂ ＩＥ ＡＧ 厂 ｇ ） 但 然 （）Ａ＝ （）构一群 ＿ 小公倍 数 ， 小正 周期 却为 １。很 显。 ｌ不是 ２的 ２， ＋［ Ｇ，则成个。 ／ ） （ 的最 以这个 命题 是假 命题 ，ｆ Ｂ １ ２， ＦＨ ： Ｆ 最 ） 所
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目录中文摘要 (1)ABSTRACT (1)一引言 (1)二反例在数学分析概念课中的作用 (2)1 反例帮助对概念的深入理解 (2)2 反例揭示概念的内涵 (3)3 运用反例可以准确把握概念间的关系 (5)三反例在数学分析命题课中的作用 (6)1 反例有助于正确掌握基本定理 (6)2 反例揭示定理的条件和结论的正确性 (8)3 彻底理解定理条件的充分性及必要性 (8)四反例在数学分析习题课中的作用 (9)1 注重用反例阐明数学方法的局限性 (9)2 运用反例可以培养学生的逆向思维能力 (10)五构造反例的途径 (10)1 利用特例来构造反例 (11)2 利用性质来构造反例 (11)3 利用类比的方法来构造反例 (12)参考文献 (14)致谢 (14)反例在数学分析教学中的作用摘要：学习过程中重视和恰当地使用反例，对于研究分析数学问题可以起到一般证明过程所无法比拟的重要作用。
本文论述了反例在数学研究中的重要作用；通过具体实例来说明反例在数学分析中的作用。
关键词：反例；思维；内涵；数学分析；数学研究Counter-examples in mathematical analysis of the role of teachingAbstract:The learning process attention and proper use of the counterexample, to study math problems can rise to general proof process could comprehend. This paper discusses the important role in math study counter-example the important role; Through the concrete examples to illustrate counterexample in the mathematical analysis in the role.Keywords: counterexample; thinking; content; mathematical analysis; Mathematics一引言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。
用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。
当一个数学问题被提出来后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象判断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证，从而否定这个命题。
后者即为通常所说的反例。
可以说，数学是在归纳、发现、推广中发展的。
反例在数学的发展中功不可没。
反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，作为后人，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例。
因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。
举反例是一种重要的反证手段。
重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。
学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。
反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。
至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。
数学中的反例，是指某数学命题不成立的例子。
它是相对于数学命题而言的具体实例，是反驳与纠正错误的一种方法。
《数学分析》是数学专业的一门重要基础课程，该课程的内容包含一套抽象而且形式化的严谨的理论体系，这使刚跨入高等学校数学专业的学生一开始就遇到了学习上的困难，具体表现在学生不能准确理解概念的本质，无法正确运用数学分析中的有关定理解决问题。
因此，在数学分析的教学中恰当地使用反例来帮助学生修正理解知识时的错误，走出误区，不仅是一种有效的方法，也是一种必要的手段。
二 反例在数学分析概念课中的作用 1反例帮助对概念的深入理解数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真由此及彼、由表及里的改造、制作、深化过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。
通过列举或构造反 例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，从而严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质，从而达到准确把握某一概念的效果。
命题1 若{}εε<->>∃>∀A x x N n N n n 中有无穷多项满足时，，当0,0，是否A x n n =∞→lim ?该命题是错误的． 我们可设()εε<=->∀-+=-000,1121k n n x x ，有对，但因为0lim ,2lim 212==∞→+∞→k k k k x x ，该数列显然无极限．用这个小小的反例就可以简洁的驳斥这种错误的认识，因为虽有无穷多项满足ε<-A x n ，但也有无穷多项不满足ε<-A x n ，而极限的定义要求当n>N 时，所有的n x 都满足ε<-A x n ，即不满足ε<-A x n 的项至多有N x x x ,,,21 有限项.通过这一反例的判断和分析，我们自然对N -ε定义的本质有了进一步的认识，对定义的要求也有了更明确的理解。
简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。
若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。
若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,,n a a a，简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。
2反例揭示概念的内涵数学分析中许多重要的概念都是用抽象的数学语言给予形式化的描述，学生难以凭直观去思考、理解其含义，在学习过程中死记硬背，致使学生在应用概念时含糊不清，错引滥用．如在研究函数性质时，函数的定义域及值域有时用区间表示，时又用集合表示，此时学生易产生这样一种错误的理解，即数集的区间表示与集合表示是等同的．其实不然，时可构造下面的反例予以澄清．设Z k k k B Z k k x k x A k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<=,22,2,,222|ππππππ，对函数A .49s i n 3s i n 49,3s i n ,s i n 究其原因是由于集合时，函数。
事实上，当不再是严格单调则。
但若时，是严格单调增函数来说ππππ>∈=∈==∈∈=A x A x x y A x B x x y k 表示k 取遍所有整数的符合约束条件的x 全体,而区间k B 则表示k 每取一个确定的值时的一个确定区间．因而数集的区间表示与集合表示不完全等同．例1由于周期 函数概念本身的复杂性在很长一段时间内 ，人们一直认为“ 周期函数自然有最小正周期” ．狄里克雷对上述结论给出了反例 ,他构造了著名的狄里克雷函数：)x D =⎨⎧为无理数为有理数x x ,0,1，何有理数T （T ≠0）都是此函数的周期，但没有最小的正周期。
这个反例的提 出，不仅纠正了以往关于周期函数理论中的偏差 ，也使人们对周期函数概念的内涵有了更清楚的认识．例 2 数列极限的定义是所有极限的基础 ．也是数学分析教学中的重点和难点，要真正理解数列极限定义的实质，除认真分析定义中各语句的实质意义外 ．还应从与它表面相似而实质却根本不同的反例情形来进行 区别和判断 ．从而真正掌握概念的实质．判断以下两个叙述是否与极限的定义等价 ：()()().,201εεεεεε<-<->>a a a a a N n N n n n 使，有无限多个对任意整数；时，有，当，存在，对每一个有无穷多个我们仔细分析上述两个叙述与极限a a n n =∞→lim 定义的区别：叙述( 1 )忽视了ε的最本质的属性“任意小的正数” ．例如数列{}n a ，()nn a 11-+=，尽管有无穷多个ε>0(如ε=3，4，5)，可以使=-a a n()()()()还要小。
比任意小的正数，但却不能使，，如小于每一个或这里可以是εεεa a a a nn n--+=-⋅⋅⋅=--+115431011()成立，但它忽视了对使虽然有无穷多个对任意的叙述εε<->a a a n n ,02每一个ε>0, 都必须存在某个自然数N,即数列的某一项N a ，从N a 以后的所有项都落在点a 的ε领域内),(ξξ+-a a ，例如数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，，，，，，，，，na n 11411311211，对任意的正数ε都有无穷多个(){}n n a n n a 内，但在，领域的，在只要εεεε+-⎪⎭⎫⎝⎛<=00.11中不论从哪一项开始，其后总有不含在()εε+-0,0内的项。
因此，()1和()2两个叙述都与数列的定义不等价．通过这两个反例 ，从反面进一步深刻了解数列极限定义中ε和N 在定义中所起的作用 、意义 、和要求，从而理解和掌握定义的实质．3运用反例可以准确把握概念间的关系例1：为确定连续 、可导 、连续导数三个概念间的关系，现举出以下四个问题：()1()x f 在0x x=处可导，则()x f 在0x x =是否连续?()2()x f 在0x x =处连续，则()x f 在0x x =处是否可导? ()3()x f 在0x x =处可导 ，则()x f 在0x x =处是否有连续导数? ()4()x f 在0x x=处可导， 则()x f 在0x x =的邻域是否连续?对问题()1的回答是肯定的 ，且比较容易作出证明．对于问题()2、()3()4 ，回答是否定的 ，要说明原因，只需对每一问题举 出“ 反例” 即可．对问题()2可考虑反例：()x x f =在x=0处，易验证连续但不可导．对问题()3可考虑反例：()处，，在00,00,1sin 22=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 易验证可导但导数不连续。
对问题()4可考虑反例：()⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,0,2，易验证()x f 在0=x 处处可导但在0点的任何邻域内 ，除0点外都不连续．例 2：无穷大量与无界量的关系 ：根据定义可知无穷大量必为无界量；但对无界量不一定是无穷 大量,却不好解释．为此,可举以下反例 ：()+∞→⋅=x x x x f ，当cos 时为无界量.事实上,对无论多大的G ，总存在()()()。