高等代数学答案03

3.4
1. 例 3.3. a 2. 令 − 1 2 −1 2 a −1 2 a− = a3 − 3 −1 4 2
1 4
=1 (a − 1)(2a + 1)2 = 0 得 a = 1, − 1 . 4 2
−1 a −1 2 2 3. 否. 反例: α1 = (1, 0), α2 = (2, 0), β1 = (1, 1), β2 = (3, 3). 4. 否. 反例: α1 = (1, 0), α2 = (2, 0), β = (−1, 0). 5. 是. 6. 否. 反例: α = (1, 0), β = (0, 1), γ = (1, 1). 7. 例 3.7. 8. 例 3.10. 9. 例 3.12. 10. 例 3.8. 11. 例 3.11.
3.8
1. 从 {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} 到 {e1 , e2 , e3 , e4 } 的过渡矩阵为
−1 ′ ′ ′ ′ P = (e′ α. 1 e2 e3 e4 ), α 在新基下的坐标为 P 3 (1) (0, − 2 , −1 , 5 ); 2 2
8. 例 3.68. 9. 例 3.69. 10. 例 3.64. 11. 例 3.86 (1). 12. 例 3.88.
3.7
1. 参考例 3.44, 令 a = 1, 可得 α 在新基下的坐标为 A−1 (a1 , a2 , · · · , an )′ = (an , an−1 − an , · · · , a2 − a3 , a1 − a2 ). 2. 例 3.38. 3. 例 3.39. 4. 例 3.40. 5. 例 3.41.
4 (2) (−1, − 1 , 3, − 3 ). 2 2 2. (1) 参考例 3.43. (2) 例 3.43. 3. (1) (1, 0, 0, 1); (1, 0, 0, 0); (2) (−4, −2, 11, 6); (5, 0, −1, 0). 4. 例 3.45.
3.9
1. (1) 是; (2) 否; (3) 是; (4) 是; (5) 否. 2. (1) 2; (2) 2; (3) 2; (4) 1. 3. 取 V1 的一组基, 则它们线性无关, 由定理 3.5.3, 它们也是 V2 的一组基，从而 V1 = V2 . 4. 由它们两两线性无关但全体线性相关可得 ∃!a, b ̸= 0 使得 α3 = aα1 + bα2 . 若 v ∈ L(α1 , α2 ), 则 ∃!c, d 使得 v = cα1 + dα2 , 所以 v = (c −
3.5
1. 例 3.9. 2. 例 3.26. 3. 例 3.27. 4. 例 3.24 (2). 5. 只需证明 {αi }n i=1 线性无关即可. 若它们线性相关, 则它们中必有一个向量可以 表示为其它向量的线性组合, 则表示不唯一, 矛盾. 6. 例 3.28. 7. 例 3.29 (1). 8. 例 3.29 (2). 9. 例 3.31.
8 42. 例 3.93. 43. 例 3.81. 44. 例 3.82. 45. 例 3.83. 46. 例 3.84. 47. 3.3.1 训练题解答题 10. 48. 3.3.1 训练题解答题 11.
7 18. 3.3.1 训练题解答题 12. 19. 例 3.94. 20. 例 3.99. 21. 例 3.100. 22. 例 3.101. 23. 例 3.102. 24. 3.3.1 训练题解答题 15. 25. 例 3.55. 26. 例 3.78. 27. 例 3.80. 28. 例 3.85. 29. 3.3.1 训练题解答题 6. 30. 3.3.1 训练题解答题 7. 31. 例 3.66. 32. (例 3.65 注) 用归纳法. m = 2 时, 由习题 3.6.10 立得. 设 m 时结论成立, 对 m + 1, 令 Am Am+1 = B , 则 A1 A2 · · · B = A1 A2 · · · Am Am+1 , 再由 r(B ) ≥ r(Am ) + r(Am+1 ) − n 及归纳假设, 得 r(A1 ) + r(A2 ) + · · · + r(Am ) + r(Am+1 ) − n ≤r(A1 ) + r(A2 ) + · · · + r(B ) ≤r(A1 A2 · · · B ) + (m − 1)n. 从而 r(A1 ) + r(A2 ) + · · · + r(Am ) + r(Am+1 ) ≤ r(A1 A2 · · · Am Am+1 ) + mn. 33. 例 3.70. 34. 例 3.89. 35. 例 3.97. 36. 例 3.96. 37. 例 3.73. 38. 例 3.74. 39. 例 3.75. 40. 例 3.98. 41. 例 3.72.
复习题三
1. V1 = {(a, 0)|a ∈ R}, V2 = {(0, b)|b ∈ R}, V3 = {(a, a)|a ∈ R}. 2. 若 v ∈ V2 + V1 ∩ V3 , 则 ∃v2 ∈ V2 , v3 ∈ V1 ∩ V3 , 使得 v = v2 + v3 . 又 V1 ⊇ V2 , 故 v2 ∈ V1 , 因而 v ∈ V1 . 又 v2 ∈ V2 ,v3 ∈ V3 , 所以 v ∈ (V2 + V3 ). 故有 v ∈ V1 ∩ (V2 + V3 ). 若 v ∈ V1 ∩ (V2 + V3 ), 则 v ∈ V1 且 ∃v2 ∈ V2 , v3 ∈ V3 , 使得 v = v2 + v3 . 由 V1 ⊇ V2 有 v2 ∈ V1 , 故 v3 (= v − v2 ) ∈ V1 . 所以 v3 ∈ V1 ∩ V3 . 故有 v ∈ V2 + V1 ∩ V3 . 3. 例 3.51. 4. 例 3.48. 5. 例 3.37. 6. 例 3.49. 7. 例 3.57. 8. 例 3.14. 9. 例 3.17. 10. 例 3.18. 11. 例 3.19 (2). 12. 3.3.1 训练题解答题 5. 13. 例 3.13. 14. 例 3.47. 15. 3.3.1 训练题解答题 13. 16. 3.3.1 训练题解答题 14. 17. 例 3.90.
方程组的全部解为 k1 η1 + k2 η2 . 2. (1) 无解; (2) 方程组的基础解系为 −3 −1 γ = 7 , η = −1 . − 2 0 1 方程组的全部解为 γ + kη ; (3) 方程组的基础解系为 −1 0 2 0 3 0 γ = ,η = . 1 0 4 2 0 1 方程组的全部解为 . (γ + kη) 1 2 3. 是，因为 秩为 2. 1 −1 20 6
3.6
1. 3; 2; 4; 2.
3 2. (1) 2; (2) 3. 3. (1) 否; (2) 是; (3) 否. 4. {α1 , α2 }. (3) 例 3.62. (4) 例 3.63 6. 由习题 3.6.5(1) 立得.
n+1 7. V = Rn+1 , {αi }n i=1 和 {αi }i=2 不等价. 证明见例 3.20.
复旦大学高等代数教材第三章答案
部分习题答案引用自白皮书的例题或训练题．
3.1
1. (1) 不是, 对减法不封闭; (2) 是, 请读者自行验证; (3) 是, 请读者自行验证; (4) 不是, 对乘法不封闭. 2. 请读者自行验证. 3. 参考例 3.31.
3.2
1. (−2, 0, 0, 0); (0, −8, 0, 2). 2. (0, 1 , −2 ). 3 3
5
3.10
1. (1) 方程组的基础解系为 −9 11 −3 η1 = 2 , η2 = −5 . 0 1 0 4 1
方程组的全部解为 k1 η1 + k2 η2 ; (2) 方程组的基础解系为 247 − 10 − 3 3 124 −4 3 3 1 1 η1 = − 3 , η2 = − 3 . 1 0 0 1
6 4. 例 3.4. 5. 例 3.91. 6. 由题意得, A 是方阵. 若 Ax = 0 只有零解, 则 |A| ̸= 0, 故 |Ak | ̸= 0, 所以 Ak x = 0 只有零解. 若 Ax = 0 有非零解, 则 |A| = 0, 故 |Ak | = 0, 所以 Ak x = 0 有 非零解. 7. 例 3.92. 8. 例 3.79. 9. 例 3.76. 10. 例 3.77. 11. 例 3.95. 12. 例 3.103. 13. 例 3.104.
3.3
1. (1) 不是; (2) 是; (3) 是; (4) 是. 2. (1) −(−α) = (−1) · ((−1)α) = (−1 · (−1))α = α;
1
2 (2) −(k α) = (−1)(k α) = (−k )α = k (−1)α = k (−α); (3) k (α − β ) = k (α + (−1)β ) = k α + k (−1)β = k α − k β .
ad )α1 b
+d α . 反之, b 3
若 v ∈ L(α1 , α3 ), 则 ∃!c, d 使得 v = cα1 + dα3 , 所以 v = (c + ad)α1 + bdα2 . 所以 L(α1 , α2 ) = L(α1 , α3 ). 由对称性可知 L(α1 , α2 ) = L(α1 , α3 ) = L(α2 , α3 ). 5. 例 3.50. 6. 例 3.52. 7. 例 3.53. 8. 否, 反例见复习题三 1. 9. 例 3.46. 10. 例 3.32. 11. 例 3.54.