高考总复习课标版数学：13 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(限时练习)

限时作业57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( )
A.10
B.15
C.20
D.25
解析:当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形有5×5＝25(种).
答案:D
2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( )
A.5种
B.6种
C.7种
D.8种
解析:由于本题种数不多,可用穷举法具体写出:3×60+2×70;4×60+2×70;5×60+2×70;6×60+2×70;3×60+3×70;4×60+3×70;3×60+4×70,共7种不同的选购方式.
答案:C
3.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元,某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全,至少要( )
A.3 360元
B.6 720元
C.4 320元
D.8 640元
解析:从01至10的三个连号的个数有8种;从11至20的两个连号的个数有9种;从21至30的单选号的个数有10种,从31至36的单选号的个数有6种,故总的选法有8×9×10×6＝4 320种,可得需要钱数为8 640元.
答案:D
4.如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数共有( )
A.240个
B.285个
C.231个
D.243个
解析:当十位数字是9时,百位数字有8种取法,个位数字有9种取法,此时取法种数为8×9;当十位数字是8时,百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为7×8,依此类推,直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为1×2,所以总的个数为1×2+2×3+3×4+…+8×9＝240.
答案:A
二、填空题
5.五名旅客在三家旅店投宿的方法有______________种.
解析:完成这件事,可分成五个步骤:第一步安排一名旅客,有3种投宿方法,同理第二步,第三步,第四步,第五步都各自有3种方法,根据分步计数原理,得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种).
答案:243
6.72的正约数(包括1和72)共有___________个.
解析:72＝23×32.∴2m·3n(0≤m≤3,0≤n≤2,m、n∈N)都是72的正约数.m的取法有4种,n的取法有3种,由分步计数原理共3×4(个).
答案:12
7.在所有两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有______________个.
解法一:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个,则共有1+2+3+4+…+7+8＝36(个).
解法二:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,则共有8+7+6+5+4+3+2+1＝36(个).
答案:36
8.计划展出6幅不同的画,其中1幅水彩画,2幅油画,3幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列法有___________种.
解析:先把每种品种的画看成一个整体,而水彩画只能放在中间,又油画与国画放在两端有2种放法,再考虑2幅油画本身排放有2种方法,3幅国画本身排放有3×2＝6(种)方法,故不同的陈列法有2×2×6＝24(种).
答案:24
9.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中确定一名幸运伙伴,有_____________种不同的结果.
解析:分两类:(1)幸运之星在甲箱中抽,先定幸运之星,再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果;(2)幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30＝11 400(种)结果,因此共有不同结果17 400+11 400＝28 800(种).
答案:28 800
三、解答题
10.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的系数,问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?
解:抛物线经过原点,得c ＝0,
当顶点在第一象限时,a ＜0,02>-
a b , 即⎩⎨⎧><,0,
0b a 则有3×4＝12(种);
当顶点在第三象限时,a ＞0,02<-a b
,
即a ＞0,b ＞0,则有4×3＝12(种);
共计有12+12＝24(种).
11.乘积(a 1+a 2+a 3)(b 1+b 2+b 3+b 4)(c 1+c 2+c 3+c 4+c 5)的展开式中,一共有多少项？
解:首先明确要完成的事件,即从三个括号中各自取一个字母相乘作为展开式中的一项,可以分成三步:(1)从第一个括号中选一个字母有3种方法;(2)从第二个括号中选一个字母有4种方法;(3)从第三个括号中选一个字母有5种方法.只有这三步都完成才能确定展开式中的一项.根据乘法原理可知共有N ＝3×4×5＝60(项).
12.4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成多少个不同的三位数？
解:分三个步骤:
第一步:百位可放8-1＝7个数;
第二步:十位可放6个数;
第三步:个位可放4个数.
根据分步计数原理,可以组成7×6×4＝168(个)数.。