数理物理方法考试试题11
数学物理方法试题(卷)
数理方法概论试题及参考答案一、简答题（每小题5分，共20分）1. 写出高斯定理⎰⎰⋅∇=⋅SVdV d A S A2. 在斯托克斯定理()⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLd A d S l A中, L 是式中那个量的边界线? 3. 定解问题包含那两部分?在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题. 4. 边界条件有那几类?1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.()()t ,z ,y ,x f t ,z ,y ,x u S 000=2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.()t ,z ,y ,x f nu S000=∂∂3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.()t ,z ,y ,x f n u H u S 000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.二、证明题（每小题20分，共40分）1. 证明 ϕϕ2∇≡∇⋅∇ 证: 2222222x y z x y z x y z ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=++⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=++≡∇ ⎪∂∂∂⎝⎭xy z x y z e e e e e e 2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间()11+-,上正交.()()()l k dx x P x P lk≠=⎰+-011证明：设本征函数k P 和l P 分别满足勒让德方程()()()()01101122=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l l k k P l l dx dP x dx d P k k dx dP x dx d前一式乘以l P ，后一式乘以k P ，然后相减得()()()()[]0111122=+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l k l k k lP P l l k k dx dP x dx d P dx dP x dx d P 从1-到1+积分得()()()()11221101111k l l k k l dP dP d d P x P x dx k k l l P Pdx dx dx dx dx ++--⎧⎫⎡⎤⎡⎤=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ()()()()1122111111k l l k k l dP dP d x P x P dx k k l l P Pdx dx dx dx ++--⎧⎫=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰()()()()()()()()222211111111111111k l k l l k l k x x k l k l dP dP dP dP x P x P x P x P dx dx dx dx k k l l P Pdxk k l l P Pdx==-+-+-⎡⎤⎡⎤=-------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+⎡⎤⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰当l k ≠时即有：()110k lP Pdx k l +-=≠⎰三、计算题（每小题20分，共40分）1. 研究矩形波(见图1)1(0,)(2,(21))()1(,0)((21),2)m m f x m m ππππππ++⎧=⎨---⎩于以及于以及的频谱.解:根据()01cos sin k k k k x k x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑及()1cosln ln n a f d l lπξξξδ-=⎰ ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰这里l π=可以求得:x()()000111(1)10222111cos (cos )cos 0n a f d d d a f n d n d n d ππππππππξξξξπππξξξξξξξπππ----==-+===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[][]00122sin sin cos 22cos 1(1)1n nb f n d n d n n n n n ππππξξξξξξππππππ-===-⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎰⎰当 220k n kb == 当 21421(21)k n k b k π+=+=+因此得到该函数的展开式为:04sin(21)()21k k xf x k π∞=+=+∑ 需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有sin 项而没有cos .如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有cos 项而没有sin 项.2. 求0=+''y y λ (0=+''ΦλΦ)满足自然周期条件()()x y x y =+π2 [()()φΦπφΦ=+2]的解.解：方程的系数()()λ==x q ,x p 0在指定的展开中心00=x ，单值函数(),x p 00=和()λ=0x q 是有限的，它们必然是有限的，它们必然在00=x 为解析的.因此，点00=x 是方程的常点.可设() +++++=k k x a x a x a a x y 2210从而()() ++++++='+k k x a k x a x a a x y 123211321()()() +++++⋅+⋅+⋅=''+k k x a k k x a x a a x y 2243212342312把以上的级数代入微分方程.至于()()λ==x q ,x p 0都是只有常数项的泰勒级数，无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下令上表各个幂次合并后的系数分别为零，得一系列方程01202=+⋅a a λ 02313=+⋅a a λ03424=+⋅a a λ 04534=+⋅a a λ............... ...............()()0122=++++kk a a k k λ最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从kx 项的系数k a 可以推算出2+k x 项的系数2+k a ，因而叫做系数的递推公式.按照递推公式具体进行系数的递推.()()()()()()20312242053122120021112!3!434!545!11112!2!21!kk kkkkkkk k a a a a a a a a a a a a a a a k k k λλλλλλλλ++=-=-=-=+=-=+⋅⋅-=-=-=-=+这样，我们得到方程的解()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=+ 125312420!1211!51!31!211!41!211k k k kxk x x x a x k x x a x y λλλλλλλλ还需要确定这个级数的收敛半径.其实，上面两个[ ]正是cos θ和sin θ，其收敛半径为无穷大.于是()0y x a =既然1a 是任意常数，λ1a 当然还是任意常数，将λ1a 写成B ，0a 写成A ，则有()y x A B =+这个常微分方程和它的解实际早已知道，这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件()()x y x y =+π2则m =λ， 3210,,,m =.所以有解()cos sin y x A mx B mx =+。
数理方法期末试卷
03级数理方法期末卷 任课老师：王均益（历年重复率：15%）
一、（20分）半无限长弦的初试位移和速度都是0，端点作小振动0|sin x U a t ω==，试求解弦的振动
二、（20分）两块无限大导体平板垂直相交，将空间划分为四个区域，置其中四个区域分别位于四个象限，试在第一象限内研究电势的空间变化规律，设导体板上电势为0V
三、（20分）试以级数解法求解下列方程：
2
(1)0n m m y y x +==
四、（20分）一端固定在匀角速ω转动竖自轴上的轻质软绳，其横振动满足下列方程：
2
22'[()]0l U U a l x x x ∂∂--=∂∂ 2
2()2a ω= 0|0|x x l
U U ===⎧⎨=⎩有限
五、（20分）氘核的基态波函数=ψf(r)r
满足下列薛定谔方程： 2/222()0r a d f E Ae f dr μ-++=
0|0|0
r r f f =→∞=⎧⎨=⎩ 试求f 与E （提示：作代换/2r a y e -=）
六、（10分，附加题）试研究地表上空的自由落体问题的量子解，方程为：
22
2
()02d mgx E m dx ψψ+-=- 设粒子在地面上的反射是完全弹性的。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数理方法考试题型及答案
数理方法考试题型及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( y = x^2 \)D. \( y = \ln(x) \)答案：A2. 积分 \(\int_0^1 x^2 dx\) 的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = x \)B. \( f(x) = \sin(x) \)C. \( f(x) = e^x \)D. \( f(x) = \ln(x) \)答案：B4. 函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的极值点是？A. \( x = 1 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 3 \)D. \( x = 0 \)答案：A5. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 正弦函数和余弦函数D. 指数函数答案：C6. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒级数展开的前三项是？A. \( 0 + 0x + x^2 \)B. \( 0 + 2x + x^2 \)C. \( 0 + 0x + 2x^2 \)D. \( 0 + 0x + x^3 \)答案：A7. 以下哪个选项是线性方程组解的存在性条件？A. 系数矩阵可逆B. 系数矩阵不可逆C. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩答案：C8. 以下哪个选项是二阶偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \)B. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial x^2} \)D. \( \frac{\partial f}{\partial x \partial y^2} \)答案：A9. 以下哪个选项是拉普拉斯变换的性质？A. 线性B. 微分C. 积分D. 所有选项都是答案：D10. 以下哪个选项是数值分析中常用的插值方法？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 斯普莱特插值D. 所有选项都是答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 \) 的不定积分是 \( \frac{1}{4}x^4 + C \)。
数学物理方法综合试题及答案
复变函数与积分变换综合试题(一)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设，则( ）A． B． C． D．2．复数的三角表示式为（）A． B．C． D．3．设C为正向圆周｜z｜=1，则积分等于（）A．0 B．2πi C．2π D．－2π4．设函数,则等于( )A． B． C． D．解答:5．是函数的（）A．3阶极点B．4阶极点C．5阶极点D．6阶极点6．下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部｜w｜<1的为（)A．B． C．D．7。
线性变换 ( ）A。
将上半平面>0映射为上半平面Imω>0B。
将上半平面〉0映射为单位圆｜ω|〈1C.将单位圆｜z｜〈1映射为上半平面Imω>0D.将单位圆｜z|<1映射为单位圆|ω｜<18。
若在Z平面上解析，，则=（）A。
) B。
C. D.9。
在的罗朗展开式是（）A。
B.C。
D。
10。
=（）A。
sin9 B.cos9 C.cos9 D。
sin9二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．方程的解为_________________________.12．幂极数的收敛半径为________________________.13．设，则Imz＝______________________。
14．设C为正向圆周|z｜=1,则=___________________________。
15．设C为正向圆周，，其中,则=___________________.16．函数在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题(本大题共8小题，共52分）17. 计算积分的值，其中C为正向圆周｜z—1|=3.18。
函数 (n为正整数)在何处求导？并求其导数19。
数学物理方法
《 数学物理方法 》试题（A 卷）说明：本试题共3页四大题，30小题。
1．z 为复数，则（ ）。
A ln z 没有意义；B ln z 为周期函数；C Ln z 为周期函数；D ln()ln z z -=-。
2．下列积分不为零的是（ ）。
A 0.51z dz z π=+⎰； B 20.51z dz z π=-⎰； C10.5z dzz π=+⎰； D211z dz z π=-⎰。
3．下列方程是波动方程的是（ ）。
A 2tt xx u a u f =+； B 2t xx u a u f =+；C 2t xx u a u =； D2tt x u a u =。
4．泛定方程2tt x u a u =要构成定解问题，则应有的初始条件个数为（ ）。
A 1个；B 2个；C 3个；D 4个。
5．二维拉普拉斯方程的定解问题是（ ）。
A 哥西问题； B 狄拉克问题； C 混合问题； D 狄里克雷问题。
6．一函数序列的序参量n趋于某值a时有()(,)()()n ax f n x dx x f x dx ϕϕ→−−−→⎰⎰则我们称（ ）。
A (,)f n x 收敛于()f x ；B (,)f n x 绝对收敛于()f x ；C (,)f n x 弱收敛于()f x ；D (,)f n x 条件收敛于()f x 。
7．傅里叶变换在物理学和信息学中能实现（ ）。
A 脉冲信号的高斯展宽；B 高斯信号压缩成脉冲信号；C 实空间信号的频谱分析；D 复频信号的单频滤波。
8．用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（ ）。
A 分离变量 解单变量本征值问题 得单变量解得分离变量解； B 分离变量 得单变量解 解单变量本征值问题 得分离变量解； C 解单变量本征值问题 得单变量解 分离变量 得分离变量解； D 解单变量本征值问题 分离变量 得单变量解 得分离变量解。
9．下列表述中不正确的是（ ）。
A 3sin zz 在0z =处是二阶极点；B 某复变函数在开复平面内有有限个奇点，所有这些奇点的残数之和为零；C 残数定理表明，解析函数的围线积分为复数；D 某复变函数在某处为m 阶极点，则其倒函数在该奇点处为m 阶零点。
数理方法习题参考答案(1)
x
P0
(x)dx
=
1 xdx = 1
0
2
∫ ∫ c2n
=
4n +1 2
1 −1
x P2n (x)dx
= (4n +1)
1 0
xP2n
(x
)dx
∫ ( ) =
(4n +1) 22n (2n)!
1
x
0
d 2n dx 2n
x 2 − 1 2n dx
( ) ∫ ( ) ( ( )) ( ( )) =
4n 22n
+ c3
1 2
5x3
− 3x
=
5c3 2
x3
+
3c2 2
x2
+
⎜⎛ ⎝
c1
−
3c3 2
⎟⎞ ⎠
x
+
c0
5c3 2
= 1，3c2 2
= 0，c1
− 3c3 2
= 0，c0
=0
c0 = 0,
c1
=
3, 5
c2
= 0,
c3
=2 5
∴ x3
=
3 5
P1(x) +
2 5
P3 (x)
待定系数法只能适用于 f (x) 为 xn 多项式或者可以展开 xn 多项式的情况。
1 x2
−1
d l−1 dx l−1
x 2 − 1 l dx
∫ ( ) ( ) =
−
3
2l + 1 2l+1 l!
1 x2d
−1
d l−2 dx l−2
x2 −1 l
( ) ∫ ( ) ( ) ( ) =
数学物理方法期中考试题及答案
( 3) 设F ( z ) =
∫
∞
0
cos mx 2 π − 22 mb iπ /4 i 3π /4 ⎡ ⎤ = − + = Im res res cos dx F be F be e mb. π ( ) ( ) 4 4 3 ⎣ ⎦ 2b 2 x +b
( 4 ) 设F ( z ) =
∞
eiz , 则有 z (1 + z 2 )
sin x 1 −1 ⎣π iresF ( 0 ) + 2π iresF ( i ) ⎤ ⎦ = 2π −πe . ∫−∞ x (1 + x 2 ) dx = Im ⎡
数学物理方法试卷 第 5 页（共 2 页）
( 4) z = −1是 m 阶极点，故其留数为 resf ( −1) =
1 d m−1 2m z ( m − 1)! dzm−1
z =−1
= ( −1)
m+1
m−1 C2 m .
( 5) z = π 为该函数的可去奇点，因而其留数为零。
5. 解：
数学物理方法试卷 第 4 页（共 2 页）
(1) ∫0
2 z
（从“非孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点”中选取正确答案填在空白处）
二、计算题（共 70 分） 1. 已知解析函数 w = f ( z ) 的实部为 u = x − y ，且 f ( i ) = −1 ，求该解析函数及其导
2 2
函数。(12 分) 2. 计算下列围线积分。 （每小题 5 分，选作 3 道，共 15 分）
(1) 0 <
z − 1 < 2;
( 2) 0 <
z < ∞.
物理数学方法试题及答案
物理数学方法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项不是傅里叶变换的性质？A. 线性B. 可逆性C. 尺度变换D. 能量守恒答案：D2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 左半平面B. 右半平面C. 全平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪项是线性微分方程的特征？A. 可解性B. 唯一性C. 线性叠加原理D. 非线性答案：C4. 在复数域中，以下哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. z*zD. z/|z|答案：A5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 傅里叶级数展开中，周期函数的系数可以通过______计算得到。
答案：傅里叶系数2. 拉普拉斯变换中，s = σ + jω代表的是______。
答案：复频域3. 线性微分方程的解可以表示为______的线性组合。
答案：特解4. 复数z = a + bi的共轭复数是______。
答案：a - bi5. 波动方程的一般解可以表示为______和______的函数。
答案：空间变量；时间变量三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别。
答案：傅里叶变换主要用于处理周期信号，将时间域信号转换到频域；而拉普拉斯变换适用于非周期信号，将时间域信号转换到复频域。
2. 什么是波动方程？请给出其一般形式。
答案：波动方程是描述波动现象的偏微分方程，一般形式为∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u是波函数，c是波速。
3. 请解释什么是特征值和特征向量，并给出一个例子。
答案：特征值是线性变换中，使得变换后的向量与原向量方向相同（或相反）的标量。
特征向量则是对应的非零向量。
例如，对于矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ是A的特征值，v是对应的特征向量。
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。
7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。
8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。
## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。
10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。
假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。
## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。
请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课程试卷库测试试题（编号：11）
一、填空题：(共5题,每小题5分,共25分) 1、复数1i +的三角式和指数式的表达式为
4
2(),244
i
Cos
Sin e π
π
π
+
2、在复变函数中，sinz 、cos z 的周期为 2π
3、柯希一黎曼方程在直角坐标下的形式为
,u v u v
x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂，在极坐标下的形式为
11,u v u v
ρρϕρϕρ
∂∂∂∂==-
∂∂∂∂ 4、函数
31
(1)
Z Z +在0Z =的留数为Re (0)1sf =
5、常微分方程()0y x y λ''+=与边界条件(0)0y '=，()0y '= 构成本征值问题，其
本征值为222
,(0,1,2......)n n πλ==
，本征函数为()n y x ACos x π= 二、选择题：(共5题,每小题5分,共25分)
1、关于复变函数
2
(1)(2)
Z
Z Z --的奇点和留数，正确的说法是（（1）） （1）一个单极点1，留数为1，一个二阶极点2，留数为—1。
（2）一个单极点—1，留数为1，一个二阶极点2，留数为—1。
（3）一个单极点1，留数为—1，一个二阶极点2，留数为1。
（4）一个单极点1，留数为1，二个二阶极点2，留数为1。
2、函数n st
t e
的拉普拉斯变换为（（4））
（1）
1!n n p + ， （2）11()n p s +-， （3）1!()n n p s ++， （4）1
!()
n n p s +-。
3、边界条件000()(,,)S u
u H
f x y z t n
∂+=∂属于（(4）） （1）第一类齐次边界条件； （2）第二类齐次边界条件； （3）第三类齐次边界条件； （4）第三类非齐次边界条件；
4、00x =是二阶常微分方程0y xy ''-=（（1)）
（1） 常点；（2）正则奇点；（3）即不是常点，也不是正则奇点； （4）以上结果都不对。
5、常微分方程222()0x y xy x y ν'''++-=为(（3）） （1 阶勒让德方程。
（2）球贝塞尔方程。
（3）贝塞尔方程。
（4）亥姆霍兹方程。
三、计算题：(共2题,每题15分,共30分)
（1）计算积分22
cos mx
dx x a ∞
+⎰
，(0)a > 1、解：利用公式
(){()}imz
F x Cosmxdx i F z e π∞
=⎰在上半平面所有奇点的留数之和，本题 22
1()imz imz
F z e e z a =
+有两个单极点ai ±，其中ai 在上半平面，而函数
22
1imz
e
z a +在ai 的留数为
22lim ()2imz ma z ia e e z ai z a ai -→⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦
∴ 220
2ma
Cosmx dx e x a a π∞
-=+⎰。
（2）求函数t e sin t λω-的拉普拉斯变换函数。
2、解：已知22
[]Sinwt p ω
ω=
+
又根据位移定理可得： 22
[]()t e Sinwt p λω
λω
-=
++。
四、综合题(20分)
在点电荷04q πε的电场中放置接地导体球，球的半径为a ，球心与点电荷相距1r 1()r a >，求解这个静电场。
解：设这个系统的静电势为
22
1
1
(,)(.)2q u r v r r rrCos r θθθ=
+-+
其中为(.)v r θ为球面上的感应电荷所产生的势，且满足
0v =
22
1
1
2r a q v r raCos a θ==-
-+
l i m
0r v →∞
= 令1
1(,)
()()r u r A r B p Cos r
θθ∞
+==+∑
利用条件（3）我们有：
1
1(,)()r v r B Cos r
θθ∞
+==∑
利用条件（2）我们有：
1
2
2
1
1
1()2q B
p Cos r
r raCos a θθ∞
+==-
-+∑
10
()i a q B p Cos r θ∞
+==-∑
比较两边系数可得
21
1
i
a B q r ++=-
最后有：
2111220
111
(,)()()2i q
a u r q p Cos r r r r rCos r θθθ+∞
++==+--+∑。