人教版九年级上数学24.1.3弧、弦、圆心角练习题含答案
人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。
（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。
（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。
（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。
（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。
（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。
考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。
（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。
（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。
=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。
考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。
（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点4圆周角定理及其推论。
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。
①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。
①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。
关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。
①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。
24.1.3弧、弦、圆心角的关系
弧
弦
相等
相等
思考：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′ B′， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
A′
B′Leabharlann ·O· O′由∠AOB＝∠A′O ′ B′︵可得到：︵
AB A' B '.
AB A' B '.
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
圆心角 相等
（1）如果AB=CD，那么_A__B___=__C__D_，_____A_O_B_____C_O_D___．
（2）如果 AB = CD ，那么___A_B_=__C_D____，__A_O_B_____C_O__D_． （3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B___=___C_D__，___A_B_=__C_D_．
弧 相等
弦 相等
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
温馨提示：
由弦相等推出弧相等时， 这里弧一般要求 都是优弧或劣弧
探究二 在同圆中， ︵︵ （1）、如果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB ′， AB A' B '. 成立吗 ?
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？
为什么？ 答 ：OE﹦OF 证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
A
E
B
·O
D
∵ AB﹦CD ∴ AE﹦CF
F
∵ OA﹦OC ∴ RT△AOE≌RT △COF C
∴ OE﹦OF
人教版-数学-九年级上册--24.1圆 第三课时 课堂+课后+创新+方法策略
24.1.3 圆周角【回顾归纳】1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______，都等于________．2．半圆（或直径）所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是_______．【课堂测控】测试点1 圆周角的性质1．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（）A．100° B．80° C．50° D．40°2．如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？3．（体验探究题）如图，A、B、C、D在圆O上．（1）图中有哪些相等的角？（2）如果∠1=∠2，图中存在全等三角形吗？如果存在，请找出来并证明．测试点2 直径与直角4．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD=______度．(第4题) (第5题) (第6题)5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=50°，则∠A等于（）A．80° B．60° C．50° D．40°6．（体验过程题）补充下列解题过程，并总结解题规律．题目：如图，已知AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点（不与A、B重合），•连结BD 并延长到C，使BD=DC，连结AC，试判断△ABC的形状．【解答】连结AD，∵AB是直径，∴_______（），即AD⊥BC，又__________，∴_______（）．因此，△ABC为等腰三角形．总结：__________________【课后测深】1．（易错题）下列结论中，正确的有（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图24-1-36，D是AC的中点，与∠ABD相等的角的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．1(第2题) (第3题) (第4题)3．已知：如图，⊙O的两条弦AE，BC相交于点D，连结AC，BE，•AO，•BO，•若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（）A．∠AOB=60° B．∠ADB=60° C．∠AEB=60° D．∠AEB=30°(第5题) (第6题) (第7题)4．如图，已知弦AB的长等于⊙O•的半径，•点C•是AMB上一点，•则∠ACB=______．5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，则∠C+∠E+∠D=•___．6．如图，在⊙O中，∠AOB=100°，C为优弧AB的中点，则∠CAB=_______．7．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数．8．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B．9．如图，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF．求证：EF=BC．，BF与AD交于E，•10．已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BA AF求证：AE=BE．11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE为直径画圆，经过点B、C，求证：（1）∠BAE=∠CAD；（2）试说明：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边．12．已知：如图，∠AOB=90°，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、•OD•于点E、F．求证：AE=BF=CD．13．如图，△ABC内接于⊙O，弦CM⊥AB于M，CN是直径，F为AB的中点，求证：CF平分∠MCN．【拓广创新】14．如图，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD上一点（不与C、D重合）．求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系，请证明你的结论．15．如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E，求证：OE=12 AD．方法策略圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，即同圆或等圆中圆周角相等，可以得到圆心角相等，即可以得出弧相等，弦也相等，但要注意其前提条件是：在同圆或等圆中．答案: 回顾归纳1．相等 该弧所对的圆心角的一半 2．直角 直径 课堂测控1．D 2．让乙射门好，∵∠MBN>∠MAN ． 3．（1）有∠C=∠D ，∠DAC=∠CBD （2）有△ABD //△BAC ．证明：∵∠1=∠2，∠DAC=∠CBD ．∴∠DAB=∠CBA ．又∵BA=AB ，∴△ABD ≌△BAC ． 4．45 5．D6．∠ADB=90°，直径所对的圆周角为90°，BD=DC ，AB=AC ， 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等， 总结：（答案不惟一）如直径与直角密不可分． 课后测控1．A 2．B 3．C 4．30° 5．120° 6．65° 7．∠BOC=2∠A=80°，OB=OC ，则∠OBC=50°．8．∵AB 、CD 是⊙O 直径，∴∠AOD=∠COB ，∴AFD BEC =．又DF DE =， ∴DF=DE ，∴AFD DF BEC BE -=-．∴AF EC =．∴AF AC EC AC +=+． ∴FAC ACE =．∴∠D=∠B ．9．∵CA=CB ，∴∠B=∠A ．又∵∠DCA=∠A+∠B ，CF 平分∠DCA ．∴∠FCA=∠A ， ∴CF ∥AB ．又∵∠FCA=∠FEA ．∴∠FEA=∠B ，∴BC ∥EF ． ∴四边形CFEB•为平行四边形，•∴EF=BC ． 10．连结AC ．∵AB AF =，∴∠ABE=∠C ．∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAD+∠DAC=90°，•∵AD ⊥BC ，∴∠C+∠DAC=90°， ∴∠C=∠BAD ，∴∠ABE=∠BAD ．∴AE=BE ．11．（1）连BE ．∵AE 为圆的直径，∴∠ABE=90°．又AD ⊥BC ，∠ADC=90°．又AB =AB ，•∴∠ACD=∠AEB ．∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠AEB=∠BAE ．（2）如图，AB=AC ，AB 为圆O 直径，BC 交⊙O 于D 点，连结AD ．∵AB 为直径，∴∠ADB=•90°，∴AD ⊥BC ，∴△ADC ≌△ADB ．∴BD=CD ．12．连AC 、CD 、BD ，C 、D 为AB 三等分点，则AC=CD=DB ，再证AE=AC ，BD=BF ．13．证明：连接OF ，∵F 是AB 的中点，∴OF 平分AB ．∴OF ⊥AB ． 又∵CM ⊥AB ，•∴CM•∥OF ．∴∠MCF=∠OFC ．又∵OC=OF ，∴∠OCF=∠OFC ．∴∠MCF=∠OCF ．∴CF 平分∠MCN ． 14．（1）连结OD ，∵AB 是直径，∴AB ⊥CD ． ∵BC BD =，∴∠COB=∠DOB=12∠COD ．• 又∵∠CPD=12∠COD ，∴∠CPD=∠COB ． （2）∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=•180°．证明略． 15．作直径CF ，连接AF 、BF ．∵OE ⊥BC ，∴E 为BC 的中点． 又∵CF 为直径，O 为圆心，•∴OE=12BF ． ∵CF 为直径，∴∠CAF=90°．即FA ⊥AC ， 又AC ⊥BD ，∴FA•∥BD ．•∴∠FAB=•∠ABD ， ∴BF AD =，BF=AD ，∴OE=12AD ．。
2020年人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》同步练习 学生版
别交 BC，CD 于点 E，M，下列结论：①DM=CM；② AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
；③⊙O 的直径为 2；④
23．如图，在⊙O 中，AB=DC，∠AOB=50°，则∠COD= ．
24．如图，已知 AB、CD 是⊙O 中的两条直径，且∠AOC=50°，过点 A 作 AE∥CD 交⊙O 于点 E，则 的度数为 ．
B．BE=CD
C．AC=BD
D．BE=AD
12．如图，圆心角∠AOB=25°，将 AB 旋转 n°得到 CD，则∠COD 等于（ ）
A．25°
B．25°+n°
C．50°
D．50°+n°
13．如图，⊙O 的半径为 1，动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45°圆心角的速度逆时针匀速 运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示的位置，第 2 秒中 P 点位于点 C 的位置，……，则第 2018 秒点 P 所在位置的坐标为（ ）
下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④ = ，其中正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二．填空题
16．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，弦 CE∥AB，弧 CE 的度数为 40°，∠AOC 的度
数 ．
17．⊙O 的半径为 5，弦 AB 与弦 CD 相等，且 AB⊥CD 于 H，若 OH=3 ，则线段 BH 长 为 ． 18．如图，C 为弧 AB 的中点，CN⊥OB 于 N，CD⊥OA 于 M，CD=4cm，则 CN= cm．
A．40°
B．45°
C．55°
D．80°
4．如图，BC 为半圆 O 的直径，A、D 为半圆上的两点，若 A 为半圆弧 ADC=（ ）
zs24.1.3圆心角、弧、弦三者关系
⌒
⌒
A
O
·
C
2、如图,已知⊙O中,弦AB=CD 求证：AD=BC
A
O D
C
B
3、 如图，AB 是⊙O 的直径，BC = CD = DE ， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解： ∵ BC = CD = DE ∴ ∠BOC=∠COD=∠DOE =35°
∴ ∠AOE=180°-3×35°=75° E D C A · O B
圆的半径为 4 cm，求 AB 的长．
1 4、如图，在⊙O 中，弦 AB 所对的劣弧为圆的 ， 3
O A B
5、已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO和BO的中点， CM⊥AB，DN⊥AB，则弧AC和弧BD有什么关系？说明 理由
6、（漳州）下列命题是真命题的是（ （A）相等的圆心角所对的弧相等 （B）长度相等的两条弧是等弧 （C）等弦所对的圆心角相等 （D）等弧所对的弦相等
）
小结： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余 各组量也相等．
数学九年级上册
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、 两条弦之间的关系．
• 学习重点： 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系．
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心， 圆具有旋转不变性.
·
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转到ON’，得到 一个角：
N N′
n°
O
顶点在圆心的角 叫做这个圆的圆心角。 如∠NON′是 ⊙O 的一个圆心角。
下列各角中，是圆心角的是（
）
(A)
(B)
(C)
数学九年级上人教新课标24.1圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系试题
圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系根底练习1．以下说法中正确的选项是〔 〕．A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的弦所对的弦心距相等D ．弦心距相等，那么弦相等 2．在半径为5cm 为圆中，有一条长为6cm 的弦，那么圆心到此弦的距离为〔 〕．A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm3．在两个半径不同的圆中，分别有和，假设和的度数相等，那么下面结论中正确的选项是〔 〕．A ．＝B ．和所对的两个圆心角相等C ．所对的弦和所对的弦相等D ．和所对的弦的弦心距相等4．以下说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有〔 〕．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．如图7－33，以O 为圆心的两个同心圆，大圆的半径OA 、OB 分别和小圆相交于A ＇、B ＇，那么下面正确的选项是〔 〕．A ．弦AB 和弦A ′B ′相等 B ．的长度＝的长度C ．＝D ．的度数＝的度数图7－336．在⊙O 中，弦AB 把⊙O 分成度数的比为1∶5的两条弧，那么的度数是〔 〕．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为4cm ，那么弦AB 的长是〔 〕． A ．3cmB ．2cmC ．32cmD ．34cm8．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．以下结论：①AB ＝C ；②＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确的有〔 〕．A．1个B．2个C．3个D．4个图7－349．弦AB把⊙O分成1∶2两局部，AB＝8cm，那么弦AB的弦心距等于___________．10cm的弦，那么这条弦所对的圆心角的度数是10．直径为20cm的圆中，有一条长为3___________，这条弦的弦心距是___________．11．在⊙O中，AB是弦，∠OAB＝50°，那么弦AB所对的圆心角的度数是___________，弦AB所对的两条弧的度数是___________．12．在⊙O中，OC是半径，弦EF过OC的中点且垂直于OC，那么弦EF所对的圆心角的度数是___________，弦EF的弦心距和弦EF的长的比是___________．13．如图7－35，OA、OB是⊙O的两条半径，P是的中点，点C是OA的中点，点D是OB的中点，求证：PC＝PD．图7－35 14．如图7－36，AB、CD是⊙O的直径，弦AE∥CD，连结CE、BC，求证：BC＝CE．〔用两种方法加以证明〕图7－36 15．如图7－37，在□ABCD中，以A为圆心，AB为半径作圆，交AD、BC于F、G，延长BA交⊙A 于E，且∠B＝65°，求的度数．图7—37综合练习16．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4∶5，M为AB中点，那么∠AOM＝〔〕．A．50°B．80°C．100°D．160°17．在⊙O 中，AB 、CD 是弦，OE 、OF 是AB 、CD 的弦心距，假设AB ＜CD ，那么OE 、OF 的大小关系是〔 〕．A ．OE ＜OFB ．OE ＝OFC ．OE ＞OFD ．无法确定18．在⊙O 中，AB 和CD 是两条平行弦，且AB 、CD 所对的圆心角分别是120°、60°，⊙O 的半径为6cm ，那么AB 、CD 之问的距离是___________．19．如图7－38，在以O 为圆心的同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，AB ＝2CD ，弦AB 的弦心距OP ＝21CD ，小圆和大圆半径分别为r 、R ，那么Rr＝___________．图7－38 图7－3920．如图7－39，⊙O 的半径OP ＝10cm ，弦AB 过OP 中点Q ，且∠OQB ＝45°，那么弦AB 的弦心距是___________cm ，弦AB 的长为___________．21．如图7－40，AB 是⊙O 的直径，点E 、F 分别是OA 、OB 的中点，且EC ⊥AB ，FD ⊥AB ，EC 、FD 交⊙O 于C 、D 两点，求证：＝．图7－4022．如图7－41，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，且∠OPB ＝∠OPD ，求证：〔1〕＝；〔2〕PA ＝P C ．图7－41 23．如图7－42，⊙O 内接△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，并且BC ＝10cm ，求⊙O 的半径O A ．图7－4224．如图7－43，在⊙O 中，AB 、CD 是弦，点E 、F 是AB 、CD 的中点，并且＝，〔1〕求证：∠AEF ＝∠CFE ；〔2〕假设∠EOF ＝120°，OE ＝4cm ，求：EF 的长．图7－4325．如图7－44，AB 是⊙O 的直径，弦CD 和AB 相交于P ，且∠APC ＝45°，OQ 是弦CD 的弦心距，〔1〕求证：PC －PD ＝2OQ ；〔2〕假设⊙O 的半径为5cm ，求22PD PC 的值．图7－44拓展练习26．如图7－45，如果和是⊙O 的两条弧，并且＝2，那么AB 和2CD 有怎样的大小关系?请证明你的结论．图7－4527．如图7－46，⊙O 内接△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ，求⊙O 的半径．图7－4628．如图7－47，在⊙O中，弦AB＝CD，延长AB到点E，延长CD到F，使得BE＝DF，过O作OP ⊥EF，垂足为P，求证：PE＝PF．图7－47 29．如图7－48，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上两点，且AB＝4cm，AC＝CD＝1cm，求BD的长．图7－48参考答案1．B 2．B 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D 8．D 9．cm 334 10．120°，5cm 11．80°，80°或280°12．120°，1∶3213．略 14．略15．130° 16．B 17．D 18．333+或333-19．51020．cm 225，cm 145 21．提示：连结OC 、OD22．〔1〕提示：作OE ⊥AB ，OF ⊥CD 23．cm 3310 24．〔1〕略〔2〕cm 3 425．〔1〕提示：OQ ＝PQ ，CQ ＝DQ ，PC －PD ＝CQ ＋PQ －〔DQ －PQ 〕〔2〕250cm 〔提示：连结OC ，CQ ＝2PDPC +，加上〔1〕的结论可得出〕26．AB ＜2CD 〔提示：取的中点E ，连结AE 、BE 〕27．825cm 〔提示：作直径AD 交BC 于E ，连结OB 〕28．提示：作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，连结OE 、OF ，证△OEM ≌△OFN 29．27cm 〔提示：连结AD 、OC ，AD 和OC 相交于E ，设OE 为x ，由勾股定理可求x ＝47cm 〕。
人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件
的顺 的位序位置排置列关顺 关过，系序系点若，排，O列并并A作D，说说=O若明明BEC理理A，D由由=根A..BB据C于题，点意根E补据，全题交图意形补DC，全于探图点究形，AFB探, ，究 AB ，
C（D2的）位当置A关B 、系，CD并位说于明圆理心由O. 的异侧时，
连C交接D 的AOB位A于，置点关OB系G，，，并OC说，明理OD由..
D
F
C
∵ AD=BC ，
12
O
A
E
B
∴ 1 2 .
G
∴ 1 2，
解： AB交交∥∵AACBBDA于于D. =点点BGGC ，，，
证明：∵∵∵ ∴连OAA接E1DD==OBBAACC2B，，，，，OB ， OC ， OD ，
过点 O∴∴∴ ∵作O11E3OEA224BA，，，B，于点 E ，交交DDCC于于点点FF，, 交 AB 于点 G .
12
3 O4 E
G
B
∴
∴∴ ∴3DDDFFF4OOO，≌≌ CCCFFFOOO
， ， 90
，
已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
例3 已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
顺同 顺序侧序排的排两列同 列个，侧，点若的若，两AADD且个==点ABBCC，，，，且B根根，A据据，C题题，B意意，D作作四C图图，点，，在D探探圆四究究上点按在AABB逆圆，，时上CC针按DD逆时针
的顺 的CD位序位的置排置位列关顺 关C置D，系序系D关的若，排，3 系位列并并A，置D，说说4 =并关C若明明B说系C理理A明，，D由由=理根并..B由据说C∴∵题 .明，A意理根1B+补由据为全题 .2+图意O形∴ ∵ ∴补C的O，全直D探图113径+++究形1, 8，224A0++B探.，究CC3OOADDB，41,18800，,
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》说课稿1
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》这一节主要介绍了圆的基本概念，包括弧、弦、圆心角的关系。
这部分内容是整个圆的知识体系的基础，对于学生理解和掌握圆的相关知识具有重要意义。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现弧、弦、圆心角之间的关系，培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认识和理解有一定的基础。
但是，对于圆的相关概念和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生从实际问题中抽象出圆的性质，并通过实例让学生感受和理解弧、弦、圆心角之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握弧、弦、圆心角的概念，能够运用这些概念解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、归纳等过程，培养学生发现和探索几何规律的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.重点：弧、弦、圆心角的概念及其关系。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出圆的性质，并运用这些性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中出发，通过观察、思考、归纳等过程，发现和掌握弧、弦、圆心角之间的关系。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实例和几何图形的动态变化，帮助学生更好地理解和掌握弧、弦、圆心角的概念。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一个实际问题，引导学生思考和探索圆的相关性质。
2.新课导入：介绍弧、弦、圆心角的概念，并通过实例让学生感受和理解它们之间的关系。
3.知识讲解：通过多媒体课件，展示弧、弦、圆心角的动态变化，引导学生观察和思考，从而发现和归纳出它们之间的关系。
4.练习与讨论：设计一些练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题，同时引导学生进行分组讨论，分享解题方法和经验。
24.1.3 弧、弦、圆心角导学案(人教版)
图2 图3C图1 24.1.3 弧、弦、圆心角导学案一、自主学习：1.圆（填“是”或“不是”）中心对称图形，若是，它的对称中心在哪里？2.把圆绕圆心旋转角度后，仍与原来的圆重合．把圆的这个性质叫圆的旋转不变性.3. 的角叫做圆心角．若把圆的圆心角等分成360 份，则每一份的圆心角是，同时整个圆也被分成了360 份，每一份这样的弧叫做的弧。
由此可得圆心角的性质：圆心角的度数和它所对弧的度数.例如，图1中，若∠AOB=50°，则AB的度数为，BC的度数为4.如图2，①∠AOB所对的弧为，所对的弦为；②AB所对的圆心角为，所对的弦为；③弦AB所对的圆心角为，所对的弧为.5.阅读教材83—84页，思考：①教材中是如何证明“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”的？（1）如图3所示的⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（2）类比（1），当AB=A'B'时，能得到哪些等量关系？若AB=A'B'呢？②教材84页的三个定理表述上有什么不同？为什么不说“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等”呢？③为什么要强调“在同圆或等圆中”？你能画图说明吗？④如何用数学符号语言表示“弧、弦、圆心角之间的关系”？二、练习作业：1．如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且弧AD=弧BC，那么与∠AOE相等的角有，与∠AOC相等的角有_________．2．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．3．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____．4．如图，AB为圆O的直径，弧BD=弧BC，∠A=25°，则∠BOD=______．5．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM，AB=6，则CD=_______．6．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为_________．7．如图，已知C为弧AB的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA=r，ON=a，则CD=_ _ __．8．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对9．如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是（）A．AC=BC B．弧AN=弧BN C．弧AM=弧BM D．OC=CN10．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．1611. 在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°12.如图，在半径为2cm的⊙O内有长为23cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（）A．60°B．90°C．120°D．150°13．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．弧BD=弧BC14．如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，∠BOC=（）A．140°B．135°C．130°D．125°ONCA B第9题第12题OA BAEBOC D第13题OB第14题。
24.1 圆的有关性质 人教版九年级数学上册素养基础达标(含答案)
24.1圆的有关性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册圆的旋转定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示．圆的表示法以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.确定一个圆需要的“两要素”一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；圆的集合定义圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O )的距离等于定长(半径r )的点的集合．结论(1)圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长（半径r ）．(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．数学语言（1）∵点A 、B 在圆上∴OA =OB （2）∵OA =OB∴点A 、B 在圆上2.圆的有关概念定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径弦注意：1.弦和直径都是线段；2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径.直径是最长的弦定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”。
以A 、B 为端点的弧记作读作“圆弧AB ”或“弧AB ”.半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆劣弧小于半圆的弧叫做劣弧,如弧优弧大于半圆的弧叫做优弧，如等圆定义;能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧注意：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.3.垂直于弦的直径圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对轴.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理数学语言：∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，(条件)∴AP =BP ，(结论)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论数学语言：∵CD是⊙O的直径，AP=BP ，AB 不是直径(条件)∴CD ⊥AB ，(结论)弓形中的重要数量关系弦长a ，弦心距d （指圆心O 到弦的距离），弓形高h ，半径r 之间有以下关系：d +h =r ,4.圆心角、弧、弦圆是中心对称图形圆是旋转对称图形，具有旋转不变性圆心角定义顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB .在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．弧、弦与圆心角的关系定理数学语言：∵∠AOB =∠COD∴，AB =CD推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．数学语言：∵∴∠AOB =∠COD ，AB =CD 弧、弦与圆心角关系定理的推论推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．∵AB =CD∴∠AOB =∠COD ，（优弧或劣弧）注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.5.圆周角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即：圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.圆周角定理的推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补.∠A +∠C =180°，∠B +∠D =180°一．选择题（共10小题）1．如图，是半圆的直径，是的中点，若，则的度数是 A ．B ．C ．D ．2．如图，中，为优弧上一个动点（不与，两点重合），，垂足为，是的中点，连接．若的半径为4，则线段的最大值是 A ．4B ．C ．6D ．83．如图，中，，，则的度数为A．B．C．D．4．如图，中，弦，相交于点，若，，则等于 A．B．C．D．5．如图，点，，，是上的点，是的直径，若，则的度数为 A．B．C．D．6．如图，是半圆的直径，，在半圆上．若，则的度数为 A．B．C．D．7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：，则该铁球的直径为 A．B．C．D．8．如图，四边形内接于，对角线于点，若的长与的半径相等，则下列等式正确的是 A．B．C．D．9．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图放置，使得顶点在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于，两点．点，的度数是，，这样小明就能得到的度数，请你帮忙算算的度数是 A．B．C．D．10．如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是 A．或B．C．D．二．填空题（共8小题）11．如图，量角器外沿上有、两点，它们的读数分别是、，则的度数为 ．12．一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．13．如图，的弦垂直平分半径，若，则的半径为 ．14．如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为 ．15．如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是 ．16．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为 ．17．如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是 ．18．如图，已知是半圆的直径，弦，，，则的长为 ．三．解答题（共8小题）19．如图，中，弦与相交于点，，连接，．求证：（1）；（2）．20．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）21．如图，在中，弦、相交于点，，，求的度数．22．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．23．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．24．已知线段、为的弦，且，求证：．25．如图，点、、、、都在上，平分，且，求证：．26．如图，、、、在上，，，求的周长．24.1圆的有关性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册圆的旋转定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示．圆的表示法以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.确定一个圆需要的“两要素”一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；圆的集合定义圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O )的距离等于定长(半径r )的点的集合．结论(1)圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长（半径r ）．(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．数学语言（1）∵点A 、B 在圆上∴OA =OB（2）∵OA =OB ∴点A 、B 在圆上2.圆的有关概念定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
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24．1.3 弧、弦、圆心角
01 基础题
知识点1 圆心角的概念及其计算 1．下面图形中的角是圆心角的是(D)
A B C D
2．已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝60°. 知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系 3．下列说法正确的是(B)
A ．相等的圆心角所对的弧相等
B ．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C ．弦相等，圆心到弦的距离相等
D ．圆心到弦的距离相等，则弦相等
4．(兰州中考)如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵
的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝(A)
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
5．(教材P85练习T2变式)(贵港中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是(A)
A ．51°
B ．56°
C ．68°
D ．78°
6．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(D) ①AB ︵＝CD ︵；②BD ︵＝AC ︵
；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AOC.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为(C)
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．135°
8．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵
.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？
解：BE ＝CE.理由如下： ∵AB ，DE 是⊙O 的直径， ∴∠AOD ＝∠BOE. ∴AD ︵＝BE ︵.
∵AD ︵＝CE ︵，∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.
9．如图，M 为⊙O 上一点，OD ⊥AM 于点D ，OE ⊥BM 于点E.若OD ＝OE ，求证：AM ︵＝BM ︵
.
证明：连接OM. ∵OD ⊥AM ，OE ⊥BM ，
∴AD ＝MD ，ME ＝BE ，∠ODM ＝∠OEM ＝90°.
在Rt △DMO 和Rt △EMO 中，⎩
⎪⎨⎪⎧OD ＝OE ，
OM ＝OM ，
∴Rt △DMO ≌Rt △EMO(HL)． ∴DM ＝EM.∴AM ＝BM. ∴AM ︵＝BM ︵
.
易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错
10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B)
A ．AB>CD
B ．AB ＝CD
C ．AB<C
D D ．不能确定 02 中档题
11．如图，已知A ，B ，C 在圆O 上，D ，E ，F 是三边的中点．若AB ︵＝AC ︵
，则四边形AEDF 的形状是(B)
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．正方形
D ．矩形
12．已知⊙O 中，M 为AB ︵
的中点，则下列结论正确的是(C)
A ．A
B ＞2AM B ．AB ＝2AM
C ．AB ＜2AM
D ．AB 与2AM 的大小不能确定
13．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：
①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵
；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE. 正确的有①②③．
14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵
，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.
解：(1)△AOC 是等边三角形． 理由：∵AC ︵＝CD ︵， ∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，
∴△AOC 是等边三角形．
(2)证明：∵∠AOC ＝∠COD ＝60°， ∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°. ∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形． ∴∠ODB ＝60°.
∴∠ODB ＝∠COD ＝60°. ∴OC ∥BD.
15．(教材P84例3变式)如图，A ，B ，C 为圆O 上的三等分点． (1)求∠BOC 的度数；
(2)若AB ＝3，求圆O 的半径长及S △ABC .
解：(1)∵A ，B ，C 为圆O 上的三等分点，
∴AB ︵＝BC ︵＝AC ︵.
∴∠BOC ＝1
3×360°＝120°.
(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ， ∵A ，B ，C 为圆O 上的三等分点， ∴AB ＝AC ＝BC ＝3， 即△ABC 是等边三角形． ∴∠BAO ＝∠OBA ＝30°.
则AD ＝32，故DO ＝3
2，OA ＝3，即圆O 半径长为 3.
∴S △ABC ＝3×12×DO·AB ＝93
4.
03 综合题
16．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵
的三等分点，连接AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝BF ＝CD.
证明：连接AC ，BD. ∵C ，D 是AB ︵
的三等分点， ∴AC ︵＝CD ︵＝DB ︵. ∴AC ＝CD ＝DB. 又∠AOB ＝90°，
∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝13∠AOB ＝1
3×90°＝30°.
∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°. ∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. 在△AOC 中，OA ＝OC ，
∴∠ACO ＝180°－∠AOC 2＝180°－30°
2＝75°.
∴∠AEC ＝∠ACO.∴AE ＝AC. 同理BF ＝BD.
∴AE＝BF＝CD.。