(完整版)初中常见定理证明

初中常有定理的证明
一、三角形
1、运用你所学过的三角形全等的知识去证明定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．（用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依照）
2、证明定理：等腰三角形的两个底角相等．（画出图形、写出已知、求证并证明）
3、表达并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程
4、我们知道，证明三角形内角和定理的一种思路是力求将三角形的三个内角转变到同一个极点的三个相邻的角，从而利用平角定义来得到结论，你能想出多少种不同样的方法呢？同学之间可相互交流．
5、三角形中位线定理，是我们特别熟悉的定理．
① 请你在下面的横线上，完满地表达出这个定理：
② 依照这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．
6、定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题
是，这个命题正确吗？若正确，请你证明这个命题，若不正确请说明原由．
7、用所学定理、定义证明命题证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8、同学们，这学期我们学过很多定理，你还记得“在直角三角形中，
若是一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请你写出它的抗命题，并证明它的真假．解：原命题的抗命题为：
在直角三角形中，若是一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 30°．
9、利用图（ 1）或图（ 2 ）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数
学中一个十分出名的定理，这个定理称
为是
，该定理的结论其数学表达式．
10、利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分出名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“ 总统” 证法．这个定理称
为，该定理的结论其数学表达式
是．
11 、 [ 定理表述 ]
请你根据图 1 中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[ 试一试证明 ]
以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、 b 为底，以 a+b 为高的直角梯形（如图 2），请你利用图 2，验证勾股定理．
定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
ab c2
证明：∵ S 四边形ABCD =S△ABE +S△AED +S△CDE= 2
2 2
12 、如图，△ ABC 中，① AB=AC，② ∠ BAD=∠ CAD，③ BD=CD，④AD⊥BC．请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“ 三线合一” 性质定理．
13、课本指出：公认的真命题称为公义，除了公义外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要经过推理的方法证实．（ 1）表达三角形全等的判断方法中的推论 AAS；
（ 2）证明推论 AAS．
要求：表达推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依照．
14 、在数学课外活动中，某学习小组在谈论“导学案”上的一个作业题：已知：如图， OA均分∠ BAC，∠1=∠2．
求证： AO⊥ BC．
同学甲说：要作辅助线；
同学乙说：要应用角均分线性质定理来解决：
同学丙说：要应用等腰三角形“ 三线合一” 的性质定理来解决．若是你是这个学习小组的成员，请你结合同学们的谈论写出证明过程．
15、证明：勾股定理逆定理
已知：在 ABC中， AB=c,AC=b,BC=a ,若 c2 =a 2 + b 2
求证：∠ C = 90 度
证明：作 RT DEF，使∠ E=RT∠， DE=b ,EF=a
在 RT
2 2 2
= a
2 2 DEF中， DF = ED + EF +b
因为 c2 =a 2 + b 2
所以 DF =c
所以 DF=AB，DE=AC，EF=BC
所以 RT DFE≌Δ ABC(SSS)
所以∠ C=∠E = RT∠
二、四边形
（一）梯形
1、定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等” ．
2、用两种方法证明等腰梯形判判定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（要求：画出图形，写出已知、求证、证明）．
3、在梯形 ABCD中，如图所示， AD∥ BC，
点 E、 F 分别是 AB、 CD的中点，连接 EF，
EF 叫做梯形的中位线．观察 EF 的地址，
联想三角形的中位线定理，请你猜想： EF 与 AD、 BC 有怎样的地址和数量关系并证明你的猜想．
4、采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM（图中EF， FN， EM 为折痕），使得点 A 与 B、 C 与 D 分别重合于一点．请问，线段 EF 的位置如何确定；经过这种图形变化，你能看出哪些定理或公
式（至少三个）？证明你的所有结论．
解：可以看出梯形的中位线定理、面积公式、平行线的性质定理等．
（二）平行四边形
1、定理证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2、定理求证：对角线互相均分的四边形是平行四边形．
3、我们在几何的学习中能发现，很多图形的性质定理与判判定理之间有着一定的联系．例如：菱形的性质定理“ 菱形的对角线互相垂直” 和菱形的判判定理“ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 就是这样．但是课本中对菱形的别的一个性质“ 菱形的对角线平分一组对角” 却没有给出近似的判判定理，请你利用如图所示图形研究一下这个问题．要求：若是有近似的判判定理，请写出已知、求证并证明．若是没有，请举出反例．
（三）圆
证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

这必然理叫做圆周角定理。

（圆周角与圆心角的关系）
已知在⊙O 中，∠ BOC与圆周角∠ BAC同对弧 BC，求证：∠ BOC=2∠BAC. 证明：
情况 1：
如图 1，当圆心 O在∠ BAC的一边上时，即 A、O、 B 在同素来
线上时：
图1∵OA、 OC是半
径解：∴ OA=OC
∴∠ BAC=∠ACO（等边同等角）
∵∠ BOC是△ AOC的外角
∴∠ BOC=∠BAC+∠ACO=2∠B AC
情况 2：
如图 2, ，当圆心 O在∠ BAC的内部时：
连接 AO，并延长 AO交⊙O于 D
图2∵OA、 OB、OC是半径
解：∴ OA=OB=OC
∴∠ BAD=∠ABO，∠ CAD=∠ACO（等边同等角）
∵∠ BOD、∠ COD分别是△ AOB、△ AOC的外角
∴∠ BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠ BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况 3：
如图 3，当圆心 O在∠ BAC的外面时：
图3 连接 AO，并延长 AO交⊙O于 D 连接
OA,OB。

解：∵ OA、 OB、 OC、是半径
∴∠ BAD=∠ABO（等边同等角） , ∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠ DOB、∠ DOC分别是△ AOB、△ AOC的外角
∴∠ DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠ BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD- ∠BAD)=2∠BAC。