最短路径问题专项练习题
中考数学复习《勾股定理求最短路径》专项检测卷-附带答案
中考数学复习《勾股定理求最短路径》专项检测卷-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A．2900m B．1200m C．1300m D．1700m2．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为9cm，点M离盒底的距离为3cm，cm，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点M爬行到点N，则该蚂蚁爬行的最底面半径为8π短路程为（）cm．A．6B．10C．2√73D．6+16π3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm4．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=7，BC=4，BF=6点M在棱AB上，且AM=1，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）A．10B．4√5C．6√2D．2√135．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB=CD=20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）m．（π取3）A．30B．28C．25D．226．如图，在等腰直角△ABC中AB=BC=4，点D在边BC上且CD=1，点E，F分别为边AB，AC上的动点，连接DE，EF，DF得到△DEF，则△DEF周长的最小值为（）A．5√2B．2√13C．3√7D．√6+2√27．如图，在RtΔABC中∠ACB=90°，AC=10，BC=12点D是ΔABC内的一点，连接AD，CD，BD满足∠ADC=90°，则BD的最小值是（）A．5B．6C．8D．13S矩形ABCD则点P 8．如图，在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3．动点P满足S△PAB＝13到A B两点的距离之和P A+PB的最小值为（）A．√29B．√34C．√41D．√529．已知圆锥底面半径为1 母线长为4 地面圆周上有一点A一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线P A中点B则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．πB．√5πC．2√5D．2π10．如图△ABC为边长3的等边三角形AD△BC于点D点E在AB边上且AE=1 P为线段AD上的一个动点则PB+PE的最小值是（）√3 A．3B．√7C．√3D．3211．如图在一个长为9m宽为6m的长方形草地上放着一根长方体木块它较长的边和草地的宽AD平行且长大于AD木块从正面看是边长为1m的正方形一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（）A．12m B．√157m C．6√5m D．13m12．如图矩形ABCD中AB=4BC=6以A为圆心2为半径画圆A E是圆A 上一动点P是BC上一动点则PE+PD最小值是（）A．4√2B．2√10C．8D．1213．如图正方形ABCD中AB=4点E F分别在边AB BC上点P在对角线AC上EF∥AC PE+PF=m．下列结论错误．．的是（）A．若BE=2则m的最小值为4B．若m的最小值为4 则BE=2C．若BE=0.5则m的最小值为5D．若m的最小值为5 则BE=0.5 14．数形结合是数学的重要思想和解题方法如：“当0<x<12时求代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值” 其中√x2+4可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长√(12−x)2+9可看作两直角边分别是12−x和3的Rt△BDP的斜边长．于是将问题转化为求AP+BP的最小值如图所示当AP与BP共线时AP+BP为最小．请你解决问题：当0<x<4时则代数式√x2+1+√(4−x)2+4的最小值是（）A．4B．5C．6D．715．如图有一条直角弯道河流河宽为2 A B两地到河岸边的距离均为1 AH= BF=1AD=7BE=9现欲在河道上架两座桥MN PQ使AM+MN+NP+PQ+QB最小则最小值为()A．√130B．√145+2C．14D．1216．如图平行四边形ABCD中AB=12AD=10∠A=60°E是边AD上一点且AE=6F是边AB上的一个动点将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到EN连接BN CN则BN+CN的最小值是（）A．3√21B．4√14C．14D．4√1317．如图在平面直角坐标系xoy中点A C分别在坐标轴上且四边形OABC是边长(x>0)的图像与BC，AB边分别交于E，D两点△DOE 为3的正方形反比例函数y=kx的面积为4 点P为y轴上一点则PD+PE的最小值为（）A．3B．2√5C．3√2D．518．如图在平面直角坐标系中点A(3,a)是直线y=2x与直线y=x+b的交点点B 是直线y=x+b与y轴的交点点P是x轴上的一个动点连接P A PB则PA+PB 的最小值是（）A．6B．3√5C．9D．3√1019．如图已知正方形ABCD的边长是4 点E是AB边上一动点连接CE过点B 作BG△CE于点G点P是AB边上另一动点则PD+PG的最小值是（）A．2√10−2B．4√3−2C．2√13−2D．2√14−220．如图① 在正方形ABCD中点E是AB的中点点P是对角线AC上一动点设PC=x PE+PB=y图②是y关于x的函数图象且图象上最低点Q的坐标为(m,2√5)则正方形ABCD的边长为（）A ．2√2B ．2√5C ．4D ．5参考答案1．解：如图 由题意得：DB ⊥CD AC ⊥CD A ′C =AC =500m BD =700m CD =500m作A 点关于河岸的对称点A ′ 连接BA ′交河岸与P 则PB ＋P A ＝PB ＋P A ′＝BA ′时最短 过点A ′ 作A ′B ′⊥BD 交BD 延长线于点B ′△四边形A ′B ′DC 是矩形△A ′B ′=CD =500m DB ′=A ′C =500m△BB ′＝BD ＋DB ′＝1200m在Rt △A ′B ′B 中 BA ′=√BB ′2+A ′B ′2=√12002+500=1300m ．故选：C2．解：把圆柱侧面展开 展开图如图所示 点M N 的最短距离为线段MN 的长 △AM ＝9﹣3＝6（cm ） AN 为底面半圆弧长 AN ＝2×12•8π•π＝8（cm ）在Rt△AMN 中MN ＝√AM 2+AN 2=√62+82=10（cm ）．故选：B ．3．解：三级台阶平面展开图为长方形长为20dm 宽为（2+3）×3dm则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252解得x=25．故选：A．4．解：如图1中把面ABFE与面EFGH沿EF展开∵AM=1,AB=7,BC=4,BF=6,点N是FG的中点∴MB=6,FN=2,BN=BF+FN=8,∴MN=√MB2+BN2=10,如图2 把面ABFE与面BCGF沿BF展开同理可得：MP=8,PN=BF=6,∴MN=√MP2+PN2=10,如图3 把面ABCD与面BCGF沿BC展开同理：MF=MB+BF=12,FN=2,∴MN=√122+22=√148=2√37,∵10=√100<√148=2√37,所以一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N它需要爬行的最短路程为10.故选：A.5．解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F连接DF△中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆△BC=πR=2.5π=7.5cm AB=CD=20cm△CF=2BC=15cm在R t△CDF中DF=√CF2+CD2=√152+202=25cm故他滑行的最短距离约为25cm．故选C．6．解：如图作点D关于AB的对称点G作点D关于AC的对称点H连接BG CH DH FH GH∵∠ABC=90°点D与点G关于AB对称∴∠GBE=∠ABC=90°∴G B D C在同一条直线上△在等腰直角△ABC中AB=BC△∠A=∠ACB=45°△BC=4CD=1△由对称性可知：GB=DB=3CH=CD=1∠FCH=∠FCD=45°FH=FD EG=ED∴∠HCG=90°GC=GB+BD+DC=3+3+1=7∴GH=√GC2+CH2=√72+12=5√2∴DE+EF+FD=GE+EF+FH⩾GH=5√2∴△DEF的周长的最小值5√2．故选：A．7．解：如图取AC中点O连接DO．∵∠ADC=90°∴点D在以点O为圆心AC长为直径的圆周上运动且DO=12AC=12×10=5当O D B在同一直线上时OB最短此时BD=OB−OD=OB−5为最短．在RtΔOCB中OC=5BC=12则OB=√122+52=13∴BD=OB−OD=OB−5=13−5=8即BD的最小值是8．故选：C．8．解：设ΔABP中AB边上的高是ℎ．∵SΔPAB=13S矩形ABCD∴12AB⋅ℎ=13AB⋅AD∴ℎ=23AD=2∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上如图作A关于直线l的对称点E连接AE连接BE则BE的长就是所求的最短距离．在RtΔABE中∵AB=5AE=2+2=4∴BE=√AB2+AE2=√52+42=√41即PA+PB的最小值为√41．故选：C．9．解：根据题意将该圆锥展开如下图所示的扇形则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．△点B是母线P A的中点PA=4△PB=2△圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长又△圆锥底面半径为1△扇形的弧长=圆锥底面周长即l=2πr=2π扇形的半径=圆锥的母线=P A=4由弧长公式可得：l=nπR180=nπ×4180=2π△扇形的圆心角n=90°在Rt△APB中由勾股定理可得：AB=√PA2+PB2=√42+22=2√5所以蚂蚁爬行的最短路程为2√5故选：C．10．解：作E关于AD的对称点E′连接BE′交AD于P则此时PE + PB有最小值PE+ PB的最小值=BE′△AE′= AE= 1△ CE'=3-1=2作E'F△BC于F△△ABC为等边三角形△C= 60°△∠CE′F=30°△CF=12CE′=1 E′F=√CE′2−CF2=√22−12=√3△AC= BC= 3△BF=3-1= 2BE′=√BF2+E′F2=√22+(√3)2=√7△PE+ PB的最小值=√7故选：B11．解：由题意可知将木块展开如图长相当于是AB+2个正方形的宽△长为9+2×1＝11(m)；宽为6 m．于是最短路径为：√62+112=√157(m)．故选B．12．解：如图作点D关于直线BC的对称点F连接AF交BC于点P交⊙A于点E此时PE+PD最小等于AF−AE△四边形ABCD是矩形AB=4BC=6△AB=CD=4AD=BC=6△DF=8∠ADF=90°△AF=√AD2+DF2=√62+82=10△AE+EF=10△EF=10−2=8△PE+PD的最小值为8故选C．13．解：如图根据正方形的对称性在AD上取点E关于AC的对称点G连接FG交AC 于点P则PE=PG△PE+PF=PG+PF=FG为m的最小值△AG=AE=4−BE∠BAD=90°△EG2=AE2+AG2=2AE2=2(4−BE)2△EF∥AC△∠BEF=∠BAC=45°∠BFE=∠BCA=45°△BF=BE△EF2=BE2+BF2=2BE2△FG⊥AC△EG⊥EF△∠FEG=90°△FG=√EF2+EG2=2√(BE−2)2+4当BE=2时FG=2√(2−2)2+4=4△A正确；当FG=4时2√(BE−2)2+4=4△√(BE−2)2+4=2△(BE−2)2+4=4△(BE−2)2=0△BE=2△B正确；当BE=0.5时FG=2√(0.5−2)2+4=5△C正确；当FG=2√(BE−2)2+4=5时(BE−2)2+4=254△(BE−2)2=94△BE−2=±32△BE=0.5,或BE=3.5△D不正确．故选：D．14．解：如图所示√x2+1可看作两直角边分别为x和1的Rt△ACP的斜边长√(4−x)2+4可看作两直角边分别是4−x和2的Rt△BDP的斜边长．△求√x2+1+√(4−x)2+4的最小值即求AP+BP的最小值当AP与BP共线时AP+BP为最小即AB的长．连接AB△∠E=90°AE=AC+CE=AC+DB=3△AB=√AC2+BE2=5△代数式√x2+1+√(4−x)2+4的最小值是5．故选：B．15．解：延长AH到J使得AJ=MN=2延长BF到K使得BK=PQ=2连接JK交河道于点N′P′得到两座桥N′M′P′Q′此时AM′+M′N′+N′P′+P′Q′+BQ′的值最小．△四边形AJN′M′是平行四边形△AM′=JN′同理：BQ′=P′K延长AH交BK的延长线于点W．△WH=BE=9WF=AD=7△WJ=WH+AH−AJ=9+1−2=8WK=AD+BF−BK=7+1−2=6在Rt△JWK中JK=√KW2+WJ2=√62+82=10∴AM′+M′N′+N′P′+P′Q′+BQ′=HN′+2+N′P′+2+P′K=4+JK=14∴AM+MN+NP+PQ+QB的最小值为14．故选：C．16．解：取AB的中点G连接CE EG．由已知得AG=AE=6∠A=60°△△AEG是等边三角形△∠AGE=∠AEG=60°．△∠AEF+∠GEF=∠GEF+NEG=60°△∠AEF=∠NEG．△AE=EG NE=FE△△AEF△△GEN△∠A=∠NGE=60°△∠BGN=60°．△BG=EG∠BGN=∠NGE NG=NG△△BNG△△ENG△BN=EN．要求BN+CN最小就是求CN+NE最小即BN+CN=NE+CN≥CE．作EH⊥CD交延长线于点H△AB∥CD△∠EDH=∠A=60°．在Rt△DEH中DE=4∠DEH=30°△DH=2EH=2√3△CH=CD+DH=12+2=14．在Rt△CEH中CE=√CH2+EH2=√142+(2√3)2=4√13．所以BN+CN的最小值是4√13．故选：D．17．解：∵正方形OABC的边长是3∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3∴D(3,k3)E(k33)∴BE=3−k3BD=3−k3∵△ODE的面积为4∴3×3−12×3×k3−12×3×k3−12×(3−k3)2=4∴k=3或−3（舍去）∴D(3,1)E(1,3)作E关于y轴的对称点E′连接DE′交y轴于P则DE′的长=PD+PE的最小值∵CE=CE′=1=AD∴BE′=4BD=2∴DE′=√BE′2+BD2=√42+22=2√5即PD+PE的最小值为2√5故选：B．18．解：作点A关于x轴的对称点A′连接A′B如图所示：则P A+PB的最小值即为A′B的长将点A（3 a）代入y=2x得a=2×3=6△点A坐标为（3 6）将点A（3 6）代入y=x+b得3+b=6解得b=3△点B坐标为（0 3）根据轴对称的性质可得点A'坐标为（3 -6）△A′B=√32+(−6−3)2=3√10△P A+PB的最小值为3√10．故选：D．19．解：如图：取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P交半圆O于点G连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知BG△EC于G．PD+PG=PD′+PG=D′G由两点之间线段最短可知当点D′ G O三点共线时PD+PG最小．△D′C′=4 OC′=6△D′O=√42+62=2√13△D′G=2√13−2△PD+PG的最小值为2√13−2故选C.20．解：如图点D是点B关于直线AC的对称点连接DE交AC于点P根据点的对称性PB=PD则y=PE+PB=PD+PE=DE为最小故ED=2√5设正方形的边长为a则AE=12a在Rt△ADE中由勾股定理得：DE2=AD2+AE2即a2+(12a)2=(2√5)2解得：a=4（负值已舍去）故选：C．。
(完整版)最短路径习题
13.4课题学习最短路径问题1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。
BA②如右图是一个长方体木块，已知AB=3，BC=4，CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
DCA B2．①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
李庄张村②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
BAL③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
3．如图是一个长方体木块，已知AB=5，BC=3，CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
4．现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
5．如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
6．正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。
7．在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
张村李庄ABCDABAB图(2)8．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。
13.4轴对称最短路径问题专题练习人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称最短路径问题专题练习人教版2024—2025学年八年级上册题型一、两定点一动点作图问题1.如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使P A+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（）A．B．C．D．2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．3.如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（）A．B．C．D．4.为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．5.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点B．B点C．C点D．D点题型二、两定点一动点求线段和最小值1.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD⊥BC于D点，AB＝12，．若点E、F分别是线段AD、线段AB上的动点，则BE+EF的最小值是（）A．6B．12C．D．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．6D．3.53.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是（）A．6B．5C．4.8D．44.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值（）A．2.4B．4C．5D．4.85.如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（）A．8B．9C．10D．126.如图，已知等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，AE＝2BD．以DE为边向右作等边△DEF，则AF+BF的最小值为（）A．4B．4C．4D．47.数形结合是重要的数学思想，借助图形，求解的最小值为．8.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．9.如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝6千米，BD＝14千米，且CD＝15千米，现要在河边建一自来水厂，同时向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？题型三、两定点一动点求周长最小值1.如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB＝7，AC＝4，BC＝5，则△APC周长的最小值是（）A．12B．11C．9D．72.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．8B．3C．6D．43.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．65.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC 外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若BC＝5，∠CAB＝30°，点P是直线DE 上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．206.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），P A⊥x轴，PB⊥y轴，C是OA的中点，D是OB上的一点，当△PCD的周长最小时，点D的坐标是（）A．（0，1）B．C．D．（0，2）7．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为______8.如图，点A（1，﹣1），B（2，﹣3）（1）点A关于x轴的对称点的坐标为．（2）若点P为坐标轴上一点，当△APB的周长最小时，点P的坐标为．三、一定点二动点线段或周长问题1.如图，在五边形中，∠BAE＝140°，∠B＝∠E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当△AMN的周长最小时，求∠AMN+∠ANM的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°2.如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为．3.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为．四、一定点二动点角度问题1.如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D ＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．100°B．90°C．70°D．80°2，如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A 为OM上一点，B为ON上一点，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°3.如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB的度数是（）A．55°B．50°C．40°D．45°4.已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当△P AB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．五、二定点二动点1.如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°2.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，BC＝3，DC＝4，点E在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE的周长的最小值为．3.如图，锐角∠MON内有一定点A，连结AO，点B、C分别为OM、ON边上的动点，连结AB、BC、CA，设∠MON＝α（0°＜α＜90°），当AB+BC+CA取得最小值时，则∠BAC＝．（用含α的代数式表示）4.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）5.已知B，C是平面直角坐标系中与x轴平行且距离x轴1个单位长度的直线上的两个动点（点B在点C左侧），且BC＝2，若有点A（0，5）和点D（3，3），则当AB+BC+CD的值最小时，点C的坐标为．6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°8.如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（）A．5αB．6αC．90°﹣αD．180°﹣α9.如图，直线l 1，l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，应该选择路线（ ）A ．B ．C ．D ．10.如图，直线l 1、l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）方案一：①将点A 向上平移d 得到A '；②连接A 'B 交l 1于点M ；③过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ，MN 即桥的位置．方案二：①连接AB 交l 1于点M ；②过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ．MN 即桥的位置．A ．唯方案一可行B ．唯方案二可行C ．方案一、二均可行D ．方案一、二均不可行六、线段差的最大值1.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2B．3C．D．2.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．七、多条线段和的最小值1.如图所示，已知A、B、C、D，请在图中找出一点P，使P A+PB+PC+PD最小．2.如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE 的值最小时，E点坐标为；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为．。
专题—最短路径问题(含解答)
专题—最短路径问题一．选择题（共7小题）1．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（）A．“两点之间，线段最短”B．“轴对称的性质”C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D．以上答案都不正确解：∵四边形OABC为正方形，∴A、C两点关于直线OB对称（轴对称的性质），∴连接CD，则CD即为PD+PA和的最小值（两点之间，线段最短），∴用到的数理依据是“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”．故选：C．2．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP•OQ=（）A．5B．4C．3D．2解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，∵点B是矩形ACPD的中心，∴点P即为AB延长线上的点，此时P（3，0）即OP=3；作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，∵A′（﹣1，2），B（2，1），设过A′B的直线为：y=kx+b，则，解得，∴Q（0，），即OQ=，∴OP•OQ=3×=5．故选：A．3．已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，∴∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，∴∠OP′P″=∠OP″P′=（180°﹣80°）÷2=50°，又∵∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°．故选：B．4．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF 分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选：C．5．如图，点P是∠AOB内的一点，且OP=5，且∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．5B．6C．8D．10解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=5．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5，故选：A．6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B 的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短就行，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．故选：D．二．填空题（共9小题）7．如图所示，点A在直线a外，点B在直线a上，在直线a上找一点P，使AP+BP 最小的点P有1个，其位置是B点．解：由题意得使AP+BP最小的点P有1个，其位置是B点，故答案为：1，B点．8．如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN最小，∠PMO=45°．解：∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．9．四边形ABCD中，∠BAD=136°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为88度．解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD 分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=136°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=44°∴∠AMN+∠ANM=2×44°=88°．故答案为：8810．如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是2．解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA 交于点Q，与OB交于点R，此时△PQR的周长最小．从图上可看出△PQR的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30°，∴∠P1OP2=60°．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2．∴△PQR周长的最小值是2．即PQ+QR+RP的最小值是2故答案为：2．11．已知：在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是CD和BC上的点．求作：点M、N，使△AMN的周长最小．作法：如图2，（1）延长AD，在AD的延长线上截取DA´=DA；（2）延长AB，在AB的延长线上截取BA″=BA；（3）连接A′A″，分别交CD、BC于点M、N．则点M、N即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短．解：根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短作图；故答案为：①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短12．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°，∠D=∠B=90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为100°．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠130°=50°，由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．故答案为：100°13．如图，△ABC中，∠A=15°，AB是定长．点D，E分别在AB，AC上运动，连结BE，ED．若BE+ED的最小值是2，则AB的长是4．解；作点B关于AC的对称点B'，过B作BF⊥AB'，∵点B关于AC的对称点B'，∴∠B'AE=∠CAB=15°，∵BF⊥AB'，∵BF即为BE+ED的最小值，即BF=2，∴AB=4，故答案为：414．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是12解：设∠PO A=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=12，即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．故答案为：12三．解答题（共9小题）15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB=1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B两村供水．若铺设水管的工程费用为每千米1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．解：连接AB，作AF⊥BD于点F，则BF=BD﹣AE=0.5km，∴AF=1.2，作A关于直线L的对称点A′，连接A′B到L交于点C，则C点为水厂所在地，如图，过B作BD⊥L于D，作A′G⊥BD于点G，∵BG=BD+DG=3.5，A′G=AF=1.2，CD=2÷3.5×1.2=，EC=1.2﹣=，∴AC+BC=A′C+BC=A′B=3.7km，∴总费用为3.7×1.8=6.66万元．16．如图，一个人从C点骑马出发到D点，但他必须先到河岸边l1的P1点去让马饮水，然后再到河岸边l2的P2点去，再次让马饮水，最后骑马到D点，他应如何选择饮水点P1，P2．才能使所走的路程CP1+P1P2+P2D最短？解：如图，作点C关于l1的对称点C′，点D关于l2的对称点D′，连接C′D′，交于l1，l2于点P1，点P2，连接CP1，P1P2，P2D，所以路程CP1+P1P2+P2D最短．17．八（二）班举行元旦文艺晚会，桌子摆成两条直线（如图中所示的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的小花先拿桔子再拿糖果，然后送给D处的小红，最后回到C处．请你帮助她设计一条行走路线，使其所走的总路程最短（尺规作图，并写出作法，不需说明理由）解：如图所示，小花所走的行走路线为：CM﹣MN﹣ND，所走的总路程最短．18．尺规作图：（1）如图①，江边A，B两个村庄准备集资建造一个自来水厂，请你确定一个厂址，使得从自来水厂到A，B两村所用的水管最短．（2）如图②，P是∠A0B内部一点，试在角的两边上各找一个点E，F，使△PEF 的周长最小．解：（1）如图①，过A点关于江边的对称点C，再连接CB，BC与江边的交点Q 即为自来水厂厂址；（2）如图②，作点P关于OA对称的点M，作点P关于OB对称的点N，连接MN，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．19．如图，为了做好2013年沈阳全运会起降的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到B 地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？【解答】解：如图所示，交警小队沿A→C→D→B走才能使总路程最短．20．如图所示，A、B为公路l同旁的两个村庄，在l上找一点P．（1）当P到A、B等距离时，P在何处？（2）当P到两村距离之和最小时，P在何处？解：（1）因为点P到两个村庄A，B的距离相等，所以P应建在AB的垂直平分线和l的交点处，理由是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，如图1：，（2）作点A关于直线l的对称点，连接A′B交直线于点P，点P就是设置的点，如图2：21．如图，A、B两城市之间有一条国道，国道的宽为a，现要在国道上修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A、B两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据．解：如图，过点B作BC垂直国道，且使BC等于国道宽a，连接AC交国道边缘与M，作MN∥BC即可．理由：两点之间线段最短．22．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？在下图中画出路径，不写画法但要说明理由．（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）解：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于M，作MN⊥GH，则MN∥BB′且MN=BB′，于是MNBB′为平行四边形，故NB=MB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．故桥建立在MN处符合题意．23．如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；（2）若直线a、m表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与岸垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．解：（1）如图1所示，（2）如图2，作AA'垂直于河岸a，使AA′等于河宽，连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线a，则MN∥AA′且MN=AA′，于是MNAA′为平行四边形，故MA′=NA．根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．故桥建立在M、N处符合题意．。
最短路径练习题
最短路径练习题一、选择题：1. 在图论中，最短路径问题是指在加权图中找到两个顶点之间的最短路径，以下哪个算法不是用于解决最短路径问题的？A. Dijkstra算法B. Bellman-Ford算法C. Prim算法D. A*搜索算法2. 以下哪个选项不是Dijkstra算法的前提条件？A. 图必须是有向图B. 所有边的权重必须非负C. 图中不能有负权重边D. 图可以是无向图3. 以下哪个算法可以处理包含负权重边的图？A. Dijkstra算法B. Bellman-Ford算法C. Floyd-Warshall算法D. A*搜索算法4. Floyd-Warshall算法的时间复杂度是：A. O(n^2)B. O(n^3)C. O(nlogn)D. O(n)5. 以下哪个选项是Dijkstra算法的步骤之一？A. 从起点开始，不断扩展最短路径树B. 从终点开始，不断扩展最短路径树C. 从每个顶点开始，计算到其他顶点的最短路径D. 从每个顶点开始，不断扩展最短路径树二、填空题：1. 在Dijkstra算法中，初始时，除了起点的最短路径为0外，其他所有顶点的最短路径都设为________。
2. Dijkstra算法中，当所有顶点都被访问过之后，算法结束，此时得到的距离数组中存储的是从起点到每个顶点的________。
3. Bellman-Ford算法可以处理图中的负权重边，但该算法不能处理图中的________。
4. Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，它可以在O(n^3)的时间复杂度内计算出图中所有顶点对之间的最短路径。
5. A*搜索算法是一种启发式搜索算法，它通过________和实际代价的和来估计从当前顶点到目标顶点的代价。
三、简答题：1. 描述Dijkstra算法的基本思想，并说明其在处理有向图中的最短路径问题时的优势。
2. 说明Bellman-Ford算法如何检测图中是否存在负权重环，并解释其在处理负权重边时的适用性。
最短路径经典练习题
最短路径经典练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。
2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它适用于哪些类型的图？3. 请解释A搜索算法中启发式函数的作用。
4. 如何判断一个图中是否存在负权环？5. 简述弗洛伊德（Floyd）算法的基本步骤。
二、单选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 初始化距离表B. 选择当前距离最小的顶点C. 更新相邻顶点的距离D. 重复步骤B和C，直到所有顶点都被访问A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 启发式函数B. 起始节点C. 目标节点D. 图的规模三、多选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 深度优先搜索算法D. 广度优先搜索算法A. 初始化距离矩阵B. 更新距离矩阵C. 查找负权环D. 输出最短路径A. 图的存储结构B. 顶点的数量C. 边的数量D. 起始顶点四、计算题A (3)>B (2)> D\ | ^ \ | | \(2)\ | (1)/C \|(4)A (1)>B (2)> D\ ^ |\(2)\ | (3)/C \ |(1)A (2)>B (3)> D\ | ^\(3)\ | (1)/C \ |(2)五、应用题1. 假设你是一名地图软件的开发者，请简述如何利用最短路径算法为用户提供导航服务。
2. 在一个网络游戏中，玩家需要从起点到达终点，途中会遇到各种障碍。
请设计一种算法，帮助玩家找到最佳路径。
六、判断题1. 迪杰斯特拉算法只能用于无向图的最短路径问题。
（）2. 贝尔曼福特算法可以检测图中是否存在负权环。
（）3. 在A搜索算法中，如果启发式函数h(n)始终为0，则算法退化为Dijkstra算法。
（）4. 弗洛伊德算法的时间复杂度与图中顶点的数量无关。
（）七、填空题1. 迪杰斯特拉算法中，用来存储顶点到源点最短距离的数组称为______。
最短路径练习题
最短路径练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。
2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它与迪杰斯特拉算法有什么区别？3. 请解释弗洛伊德（Floyd）算法的核心思想。
4. A算法是如何工作的？它相较于其他最短路径算法有什么优势？5. 请列举几种常见的最短路径问题应用场景。
二、单项选择题A. 初始化距离表，将起点到其他点的距离设置为无穷大B. 每次从距离表中找出未确定最短路径的点中距离最小的点C. 更新距离表时，可以出现负权边D. 确定起点到所有点的最短路径后，算法结束A. 图中存在负权边B. 图中存在负权环C. 图中不存在负权环D. 图中存在多条边3. 在弗洛伊德算法中，path[i][j]表示的是？A. 从点i到点j的最短路径长度B. 从点i到点j的最短路径C. 从点j到点i的最短路径长度D. 从点j到点i的最短路径A. 当前点到终点的直线距离B. 当前点到终点的实际路径长度C. 当前点的邻接点数量D. 当前点的父节点三、填空题1. 在迪杰斯特拉算法中，用来存储起点到各点最短距离的数据结构是______。
2. 贝尔曼福特算法的时间复杂度为______。
3. 弗洛伊德算法的核心三重循环分别对应三个变量：______、______和______。
4. A算法的启发式函数f(n) = g(n) + h(n)，其中g(n)表示______，h(n)表示______。
四、应用题A 6 B| \ |1 2 3| \ |D 4 CA >B (2)^ || vC <D (1)A >B (4)^ || vC >D (2)4. 请简述如何使用A算法解决迷宫问题，并给出一个示例。
五、编程题1. 编写一个迪杰斯特拉算法的实现，输入为一个带权无向图和起点，输出为起点到其他各顶点的最短路径长度。
2. 编写一个贝尔曼福特算法的实现，输入为一个带权有向图和起点，输出为起点到其他各顶点的最短路径长度及是否存在负权环。
中考最短路径问题专题训练(将军饮马-胡不归-瓜豆原理-辅助圆-费马点)
最短路径问题专题训练一、将军饮马问题特征：定直线上找一动点到两定点距离之和最小. 解法:做不动点对称点 如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？例1.（一动点两定点）如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．例2.（一定点两动点）如图，点P 是△AOB 内任意一点，△AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．例3.（一定点两动点）已知P 为△AOB 内部一定点，在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
二、费马点问题若点P 满足∠PAB =∠BPC =∠CPA =120°，则PA +PB +PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点． 在∠ABC 内找一点P ，使得PA +PB +PC 最小．PBAP OBAMNP'M NAPOOPBMABCDMN例1.如图，在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．例2.如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．三、胡不归问题从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V 的值最小．ABCPCABCDME2驿道2MM【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin △DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH △AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD 的最小值是_______．例2. 如图，平行四边形ABCD 中，△DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则PB 的最小值等于________．总结：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．四、瓜豆原理引例：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，ABCDEABCDP任意时刻，均有△AMQ △△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2． 【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩．例1 如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．例2 如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．五、辅助圆（轨迹圆/隐圆） 定直线对定角/四点共圆例1 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，△APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．例2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，△A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．O yxA BCM POABCDEF例3 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =42 ，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为__________．例4 如图，∠A O B =45°，边O A 、OB 上分别有两个动点C 、D ，连接C D ,以CD 为直角边作等腰Rt △CDE ，且CD =CE ，当CD 长保持不变且等于2cm 时，OE 最大值为__________．综合练习1. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，△A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为__________．2. 如图，在Rt △ABC 中，△C =90°，AB =17，AC =8，D 为AB 边上的一动点，E 、F 分别为AC 、BC 上两点，且DE △DF ，则EF 的最小值为__________．3. 如图，△MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________．4. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 2 +6,则正方形的边长 .5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =2，BC =5，若AC =AD 且△ACD =60°，则当对角线BD 取得最大值时，对角线AC 的长是_________．lPO CBA A'NMABCD6. 在等边△ABC 中，AB =4，点D 是BC 的中点，连接AD ，P 为AD 上一动点，则CP +12BP 最小值为____．7. 如图，在等腰直角△ABC 中，BC =8，D 为BC 中点，E 为DC 中点，P 为AD 上一动点，则2PE +2AP 的最小值________．8. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10，tan △A =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值为________．9.如图，已知正方形ABCD 的边长为4.点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．10. 如图，AC 为边长为4的菱形ABCD 的对角线，∠ABC =60°，点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．11. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF .连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．。
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AB最短路径问题专项练习共13页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化）1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】 如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB 的垂直平分线，与EF 的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A (或B )点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点，与EF 的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ，B的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l 于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－C B.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．B C DABLCD三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食第2题张村李庄张村李庄ABB 第1题第3题图(2)E B D AC P 图(3)D B AO CP 物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。
第4题 第5题 第6题 第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
6、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为____ ___。
7、AB 是⊙O 的直径，AB=2，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在AC 上，AD = 2CD ，点P 是半径OC 上的一个动点，则AP+PD 的最小值为____ ___。
（二）8、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为________。
9、已知，如图DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长为__________。
10、已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8，△ABE 的周长为14，则AB 的长 。
11、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．12、在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n = 时，AC + BC 的值最小．CD A BE FP第11题 第14题 第15题⌒ ⌒ ⌒13、△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于 F ，E 、F 是垂足，则EF 的最小值等于 ．14、如图，菱形ABCD 中，AB=2, ∠BAD=60°，点E 、F 、P 分别是AB 、BC 、AC 上的动点，则PE+PF 的最小值为___________.15、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？16、一次函数y=kx+b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．（三）16、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。