高中数学《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》教案1

1.3.1函数的单调性与导数（一）

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.

三、教学过程

（一）复习引入

1．增函数、减函数的定义

一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．

2．函数的单调性

如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间．

在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．

例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．

解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值

f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差

＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形

当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号

∴y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减．判断

当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，

∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。

能否利用导数的符号来判断函数单调性？

一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，

如果f (x )'＞0，则f (x )为增函数； 如果f (x )'＜0，则f (x )为减函数． 例2．教材P24面的例1。

例3．确定函数f(x)＝x 2

－2x ＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解： f(x)'＝2x －2． 令2x －2＞0，解得x ＞1．

因此，当x ∈(1, +∞)时，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1．

因此，当x ∈(－∞, 1)时，f (x )是减函数．

例4．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解：f (x )'＝6x 2

－12x ．

令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．

因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，

当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数．

令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．

因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；

(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．

练习1：教材P24面的例2

利用导数的符号来判断函数单调性: 设函数y ＝f (x )在某个区间内可导

(1)如果f '(x )＞0 ，则f (x )为严格增函数； (2)如果f '(x )＜0 ，则f (x )为严格减函数． 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？

若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的充分而非必要条件．

例如 f (x )＝x 3

，当x =0，f '(x )=0，x ≠0时，f '(x )>0，函数 f (x )＝x 3

在(－∞,＋

∞)上是增函数．

（2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？

若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为常数函数．

练习2. 教科书P.26练习(1)

（三）课堂小结

1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. （四）作业《习案》作业七