又由0>++c b a ，则0>-=+a c b
∴0)(<++=++bc c b a ca bc ab ，与题设矛盾
又若0=a ，则与0>abc 矛盾，∴必有0>a . 同理可证：
0,0>>c b
设计意图：通过三种证明方法案例的展示，引导学生观察、比较、辨析、思考三种证明方法的形式、特点，为归纳、抽象、概括三种证明方法提供感性认识，也为理解不同证明方法的表述形式打下基础．引例1、2的方法是本课要学习的重点内容，引例3的方法（反证法）是下一课的学习任务，在此给出引例3有两方面的作用，一方面，让学生对不同方法有一个整体认识与了解，另一方面，为下一课的学习作好铺垫．
对三个引例，引导学生分两个层次比较、归纳．第一层次的比较，是否直接针对结论进行证明？得出直接证明与间接证明；第二层次的比较，是引例1、2之间，证明的起点及逻辑推理形式，由此可引导学生归纳、概括出本课重点学习的两种方法：综合法与分析法．
2、归纳探索的一个教学片断
问题情境：（河内塔游戏）传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.
①每次只能移动1个圆环；
②较大的圆环不能放在较小的圆环上面.
如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.
请你推测：把64个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
启发性思考：首先，你是否理解了这个问题？是否理解清楚了圆环的移动规则？是否明白了问题要求什么？然后，你打算怎样考虑这个问题？能否把问题化简单、化容易一些？怎样的情况会更简单、更容易呢？（为归纳作准备，逐步形成归纳意识）
【评析】这一系列的启发性思考问题，在于引导学生在面对一个新问题或较难的问题时，首先要准确理解好问题，然后学会寻找问题的切入点．
生成预设：片数较少的情况会更简单、更容易，先考虑片数较少的情况，看看1片、2片、3片、…，等情况，再找找方法规律或联系，考虑解决更难、更一般的情况.
操作实验：（1）可先让学生进行适当的思想实验，想明白1片、2片、3片时的情况，并引进符号n a 表示n 片圆环的移动次数；
（2）再用课前备好的四个大小不一的圆环，让两位学生对2个、3个、4个圆环的情况分别进行实际操作试验，其他学生注意观察并思考规律．
生成预设：（1）表面的试验观察结果可能只是
,15,7,3,14321====a a a a ，
进而发现规律
1234121,321,721,1521=-=-=-=-，…，猜想646421a =-．
（2）更进一步的试验、观察可能发现：
,8421,421,21,14321+++=++=+==a a a a ．
即：对于两个圆环，底下一个只要移动1次，上面一个则要移动2次；对于3个圆环，由下到上，第1个只要移动1次，第2个需要移动2次，第3个则要移动4次；对于4个圆环的情况可作同样解释．
进而猜想1222216463264-=++++= a ．
（3）更深入的试验、观察、思考可能发现更本质的移动规律，在理性的层面上解决问题：移动n 个圆环时，只要化归为移动1-n 个圆环即可，第一步，先把上面的1-n 个圆环按要求移到2号针上，需移1-n a 次；第二步，把最底下的第n 个圆环移到3号针上，需要移1次；第三步，再把2号针的1-n 个圆环移到3号针，需要再移1-n a 次，从而得121+=-n n a a ，这样就可依次求得各种圆环数的移动次数，或转化为等比数列)1(211+=+-n n a a ，结合11=a ，求得通项1221-⋅=+n n a ，即12-=n n a ．
【评析】移动3个、4个圆环的情况，学生可能会有一些困难．要根据学生的实际情况，给予适当的点拨、提示，或质疑启发．
（1）缺乏思维指导的学生可能只是盲目地、孤立地试验各种情况，这样，要试验求出3a 、4a 就更困难，而求出3a 、4a 对于归纳猜想又是关键所在．
（2）预设（2）体现了更进步的观察、归纳，是注意到试验中每个圆环的移动次数规律性，从这样的角度，可能更有利于得出3a 、4a ．
（3）预设（3）则体现了更深的理性思考，这要从联系与转化的角度进行观察、思考．
让学生进行实际的试验操作，给学生以感性体验，并通过动手操作，促进思维领悟，这也体现了一种思维训练，在这过程中，也能体现学生不同的思维层次与多种思维品质，对激发学生的探究兴趣也可能有积极的作用．另外，从省时的角度，也可考虑运用多媒体课件进行移动圆环的演示实验，并引导学生进行观察、思考，这种技术手段同样能产生较好的直观效果，也有利于学生的观察发现，但这种观察有一定的被动性．
在教学中，如何挖掘不同层次的学生思维潜能，让学生感受不同角度、不同层次的观察、思考，归纳、概括，是值得我们教师下功夫的地方，相信这对学生的思维训练是大有好处的．
3、案例
案例1：头上戴的帽子的颜色（华罗庚的例子）
有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明．他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色．3
