高中数学：4 24 利用投影法巧解数量积 教案
高中数学下学期 24平面向量的数量积教案 新人教A版必修4 教案
【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
四、变式演练,深化提高
练习1:四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
练习2:已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求.
五、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?
布置作业
课本P108习题2.4A组第1,2,3题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)力F所做的功W=Fs cosθ.
(2)W(功)是标量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量.
(3)W=F·s.
二、信息交流,揭示规律
1.数量积的概念
|a|·|b|cosθa·b
问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量.
问题3:数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘。
高中数学投影的应用教案
高中数学投影的应用教案
教学目标：
1. 了解投影的概念及其在实际生活中的应用。
2. 掌握投影的计算方法。
3. 能够运用投影的知识解决实际问题。
教学重点：
1. 投影的概念和定义。
2. 投影在几何中的应用。
3. 投影的计算方法。
教学难点：
1. 投影的概念理解和应用。
2. 投影的计算方法的运用。
教学准备：
1. 投影的相关教学资源。
2. 投影的应用实例。
3. 投影的练习题目。
教学步骤：
1. 导入：通过展示一些实际生活中的投影应用场景，引导学生了解投影的概念，并探讨投
影在生活中的意义。
2. 讲解：介绍投影的定义和基本概念，讲解投影在几何中的应用，并演示投影的计算方法。
3. 实例分析：给学生展示一些实际问题，并指导学生如何运用投影的知识来解决问题。
4. 练习：让学生进行一些投影的计算练习，加深他们的理解和应用能力。
5. 总结：总结本节课学习的内容，强调投影在数学中的重要性和应用价值。
教学延伸：
1. 拓展学生对投影的应用场景，让他们自行寻找更多实际问题并解决。
2. 鼓励学生进行更深入的探究，了解投影在其他学科中的应用。
教学反思：
1. 检查学生对投影概念的理解程度和计算方法的掌握情况。
2. 分析学生在解决实际问题时的思维逻辑和计算步骤，发现不足之处并及时进行指导和纠正。
高中数学投影教案人教版
高中数学投影教案人教版
教学内容：投影
教学目标：
1. 了解投影的定义和性质；
2. 掌握投影在几何问题中的应用；
3. 提高学生的空间想象能力。
教学重点和难点：
1. 投影的定义和性质；
2. 投影在几何问题中的应用。
教学准备：
1. 教材：《高中数学》人教版；
2. 教具：黑板、粉笔、幻灯片等。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 利用幻灯片或板书展示一些实际生活中的投影问题，引起学生的兴趣；
2. 引导学生思考：在日常生活中，我们经常会遇到什么样的投影现象？
二、学习投影的定义和性质（15分钟）
1. 引入投影的概念：投影是指一个物体在某一平面上的投影，通常用于描述物体在某一方向上的影子；
2. 讲解投影的性质：投影不改变物体的形状和大小，但可以改变其位置和方向。
三、学习投影在几何问题中的应用（20分钟）
1. 讲解简单的投影问题，如平行投影、落差投影等；
2. 引导学生运用投影的知识解决几何问题，提高空间想象能力。
四、练习与巩固（15分钟）
1. 给学生布置一些练习题，让他们巩固所学知识；
2. 教师及时纠正学生答案，解决学生的疑惑。
五、课堂总结（5分钟）
1. 总结今天的学习内容，强调投影在几何问题中的应用；
2. 鼓励学生积极思考，勇于提出问题。
教学反思：
本节课通过引导学生思考生活中的投影现象，引入投影的概念和性质，让学生初步了解投影的基本知识。
通过练习和讨论，让学生能够掌握投影在几何问题中的应用，提高其空间想象能力。
在后续教学中，可以通过更多案例和实例，进一步加深学生对投影的理解和运用能力。
人教版高中选修4-24.投影变换教学设计 (2)
人教版高中选修4-24．投影变换教学设计教学目标1.了解静态投影变换和动态投影变换的基本概念。
2.掌握平移、旋转、缩放、错切和翻转等静态投影变换的数学表达式。
3.能通过对投影变换过程的分析，有效理解图像内容。
4.熟练掌握在平面直角坐标系中对图形进行平移、旋转、缩放、错切和翻转等静态投影变换及其性质。
5.能够灵活运用静态投影变换的知识，以图形的变化审美，丰富自己的艺术气息。
教学重点1.静态投影变换的基本概念。
2.平移、旋转、缩放、错切和翻转等静态投影变换的数学表达式。
3.在平面直角坐标系中对图形进行静态投影变换及其性质。
教学难点1.通过对投影变换过程的分析，有效理解图像内容。
2.灵活运用静态投影变换的知识，以图形的变化审美，丰富自己的艺术气息。
教具准备1.投影变换的相关课件2.画板、画笔等艺术工具3.电脑及播放器设备教学过程第一步：引入1.调用课件，让学生了解投影变换的基本概念，并简单介绍一下该章节的教学目标，引起学生的兴趣。
2.引导学生思考，当我们拍摄一张照片时，照片中的图像是否和原图像一模一样，如果不是，为什么？引导学生意识到静态投影变换的存在。
第二步：讲解1.让学生了解平移、旋转、缩放、错切和翻转等静态投影的概念及其常用的数学表达式。
2.通过对图像的变化进行分析，让学生理解投影变换的具体过程。
3.让学生探究投影变换的性质，并设计相关的教学练习。
第三步：练习1.让学生在平面直角坐标系中进行图形的平移、旋转、缩放、错切和翻转等静态投影变化操作，并让学生发现这些操作对图形的影响。
2.通过对学生练习的展示，让学生发现可以通过静态变化实现美丽的图像。
第四步：延伸1.引导学生探究投影变换与艺术的关系，并指导他们理解投影变换的审美效果及艺术表现形式。
2.让学生通过艺术创作来应用所学知识。
小结通过本节课的学习，学生不仅了解了投影变换的基本概念及其数学表达式，还深刻认识到平移、旋转、缩放、错切和翻转等静态投影变换操作对图形的影响，进一步强化了他们的绘画技能，并培养了其欣赏艺术的能力。
高中数学向量数量积与向量投影解题方法
高中数学向量数量积与向量投影解题方法在高中数学中，向量数量积与向量投影是重要的概念和解题方法。
掌握这些知识和技巧，对于解决几何和代数问题非常有帮助。
本文将详细介绍向量数量积与向量投影的概念、性质以及解题方法，并通过具体的例题进行说明，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、向量数量积的概念与性质向量数量积，也称为内积或点积，是两个向量的乘积与夹角的余弦值的乘积。
设有向量a和向量b，它们的数量积表示为a·b。
根据定义，向量a·b的值可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
向量数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为0的条件：a·b = 0，当且仅当向量a与向量b垂直或其中一个向量为零向量。
二、向量数量积的应用向量数量积在几何和代数问题中有广泛的应用。
下面通过几个具体的例题来说明。
例题1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, -1)，求向量a与向量b的数量积。
解析：根据向量数量积的定义，可以计算出向量a和向量b的数量积：a·b = |a| |b| cosθ = (2^2 + 3^2) (4^2 + (-1)^2) cosθ = 29因此，向量a与向量b的数量积为29。
例题2：已知向量a = (1, 2, -1)和向量b = (3, -1, 2)，求向量a与向量b的夹角。
解析：根据向量数量积的定义，可以计算出向量a和向量b的数量积：a·b = |a| |b| cosθ = (1^2 + 2^2 + (-1)^2) (3^2 + (-1)^2 + 2^2) cosθ = 16cosθ又因为a·b = |a| |b| cosθ，所以16cosθ = 1*3 + 2*(-1) + (-1)*2 = -1解方程可得cosθ = -1/16，从而θ = arccos(-1/16) ≈ 95.83°因此，向量a与向量b的夹角约为95.83°。
高中数学 24平面向量的数量积教案 新人教A版必修4 教案
§一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分)(外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的X 围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； ︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b “·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出Cb =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为-|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒a ⊥b ⇔a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a b a ⋅5︒ |a⋅b| ≤ |a||b|三、讲解X例：例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b.例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a|=3， |b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其X 围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |=. a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b =.a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______.7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为-|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒a ⊥b ⇔a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅b = b ⋅aC证：设a，b夹角为θ，则a⋅b = |a||b|cosθ，b⋅a = |b||a|cosθ∴a⋅b = b⋅a2．数乘结合律：(λa)⋅b =λ(a⋅b) = a⋅(λb)证：若λ> 0，(λa)⋅b =λ|a||b|cosθ，λ(a⋅b) =λ|a||b|cosθ，a⋅(λb) =λ|a||b|cosθ，若λ< 0，(λa)⋅b =|λa||b|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ，λ(a⋅b) =λ|a||b|cosθ，a⋅(λb) =|a||λb|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ.3．分配律：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c||a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2，∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解X例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a- 5b垂直，a- 4b与7a- 2b垂直，求a与b 的夹角.解：由(a + 3b)(7a- 5b) = 0 ⇒7a2 + 16a⋅b-15b2 = 0 ①(a- 4b)(7a- 2b) = 0 ⇒7a2-30a⋅b + 8b2 = 0 ②两式相减：2a⋅b = b2代入①或②得：a 2 = b 2 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =21222==⋅||||||b b b a b a ∴θ = 60︒ 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =AD AB +∴|AC |2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而BD =AD AB -，∴|BD |2=AD AB AD AB AD AB ⋅-+=-2||222 ∴|AC |2+ |BD |2= 2222AD AB += 2222||||||||AD DC BC AB +++ 例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２ 即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C3.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B34.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝. 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |=. 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒a ⊥b ⇔a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||C4︒cos θ =||||b a ba ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ⋅b = b ⋅a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x 三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=四、 讲解X 例：五、 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x . 解：设x = (t ， s )，由⎩⎨⎧-=+=-⇒-=⋅=⋅429349s t s t b x a x ⎩⎨⎧-==⇒32s t ∴x = (2， -3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的X 围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的X 围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2+ y 2-5x - 2y = 0又∵|OB | = |AB | ∴x 2+ y 2= (x -5)2+ (y -2)2即：10x + 4y = 29由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)23,27(-例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23-当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133± 六、 课堂练习：a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ）A.23 B .57 CA (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 Ba =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(-- C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )=.A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x =. A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为.七、小结（略）八、课后作业（略）九、板书设计（略）十、课后记：。
高中数学投影教案设计
高中数学投影教案设计
目标：学生能够理解和应用投影的概念，掌握投影的计算方法
教学目标：
1. 了解什么是投影，掌握投影的基本概念
2. 掌握正交投影和斜投影的计算方法
3. 能够应用投影的知识解决实际问题
教学准备：
1. 教材：高中数学教材相关章节
2. 教具：投影仪、黑板、彩色粉笔、学生尺、投影板
3. 辅助资料：相关练习题、例题
教学步骤：
1. 引入：通过展示真实物体的投影效果，引导学生探讨投影的概念和应用意义。
2. 讲解：介绍投影的定义、类型，重点讲解正交投影和斜投影的计算方法。
3. 练习：学生根据教师提供的练习题，自行计算各种图形的投影。
4. 实践：设计实际问题，让学生应用投影知识解决问题，培养学生的实际运用能力。
5. 检查：教师批改学生完成的练习，并针对性地进行讲解和指导。
6. 总结：让学生总结本节课学到的内容，巩固知识。
延伸拓展：
1. 鼓励学生自行设计和制作立体图形，通过投影展示图形的特点。
2. 引导学生利用投影的知识解决实际生活中的问题，锻炼学生的实际应用能力。
教学反思：
1. 学生是否理解了投影的基本概念和计算方法？
2. 学生在应用投影知识解决问题时是否能够灵活运用？
3. 学生对于立体几何的投影知识是否有较好的掌握能力？
教学设计说明：通过引入、讲解、练习、实践等多种教学方法，帮助学生全面理解和掌握投影的概念和计算方法，培养其解决实际问题的能力。
同时，通过延伸拓展和反思，促进学生对知识的深入理解和应用。
高中数学：巧用投影，妙解向量数量积
⾼中数学：巧⽤投影，妙解向量数量积（许兴华数学/选编）巧⽤投影，妙解向量数量积——向量数量积⼏何意义的应⽤江西省新建⼆中曾蓉处理向量数量积问题，常⽤的⽅法有：定义法、坐标法，基向量法以及⼏何意义法（即投影法）。
⽽许多同学对数量积的⼏何意义不熟悉，并且对其应⽤环境感到陌⽣，从⽽导致了解决问题时应⽤意识淡薄。
下⾯我们就对数量积的⼏何意义再⼀次地进⾏剖析。
【反思】本题由于图形常规⽤基底分解思想及坐标法⽐较⽅便的得出结果。
⽽⽤数量积的定义则难度较⼤，其中⼀个向量在变，两向量的夹⾓则在变，但当我们进⼀步思考，发现两个向量分别是⼀定⼀动，动向量在定向量⽅向上的投影则把两个不定的量（其中⼀个向量的模及两个向量的夹⾓）全部包括在内，根据数量积⼏何意义，只要判断出动点在哪投影会取得最⼤及最⼩即可（注意：投影不是距离）。
【分析】由于三⾓形不特殊，外⼼O的位置不明了，各个向量的夹⾓也不清楚，⽽且条件当中根本就没有出现两个向量的数量积，因此建⽴直⾓坐标系和数量积定义法显然不适⽤了。
且看下列思路分析：【反思】可以得出，坐标系法已经不太适合了，虽然基底分解的思想也可以解决，但明显思维性强，计算量⼤。
⽽在这⾥根据已知条件构造两个向量数量积，并且利⽤它的⼏何意义，发现向量AO在AB,AC⽅向上的投影是⼀个定值，问题则可以迎刃⽽解了。
【分析】根据条件，⽆论是定义法、坐标法及基底分解都不是处理此题的最佳⽅法。
那么，“投影法”会不会给我们带来“惊喜”呢？固然，数量积的处理有多种⽅法，⽽对于某些向量问题，若采⽤“投影法”，即通过数量积的⼏何意义优先考虑与恰当表征，将思维引⼊到⼀个令⼈⽿⽬⼀新的奇妙世界，简约了问题解决的思维长度，使得运算更简便、步骤更“轻盈”、⽅法更“犀利”。
平常教学中只要我们树⽴意识，⼤胆尝试，独具魅⼒的“投影法”将会给我们带来更多意想不到的“惊喜”。
【来源】邹⽣书数学。
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利用投影法巧解数量积 片断教案
（ 人教版 第二章 第四节）
广东实验中学
该片断的教学目的、内容分析：
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它既有大小又有方向，是“数”与“形”的统一体，是沟通代数与几何的工具。
数量积是向量这一章的重要内容，它把形转化为数。
同时它也是高考的热点内容。
考题的设置由求定向量的数量积向动向量数量积的最值或范围转化，难度越来越大。
考题多以小题出现，我们希望不仅做对还要做的快，因此，方法的选择是关键。
对于数量积的计算，课本重点介绍了（1）利用定义,cos θ=⋅（2）建立适当的在直角坐标系后利用2121y y x x +=⋅去转化。
解题时，前者需要知道向量的长度和夹角，有时不能直接用，后者需要知道坐标和准确的运算，而这些往往是命题者设置障碍的关键点。
事实上，数量积具有几何意义，b a ⋅a b 在θ的乘积。
利
用几何意义解题，θ看成一个整体，θ两个未知量的信息用一个未知量“投影”代替，实现了降元的目的，简化运算。
这是把数→形的过程，可以揭示变化图形中数量积不变性的本质，形象直观。
可惜，课本和其他资料上对这一部分的介绍篇幅不长，一带而过。
学生对这一方法的认识也多数停留在投影的概念和数量积几何意义形式本身，应用投影法解题不多。
纵观近几年高考题，如果能合理利用几何意义（投影法）求解数量积，会大大简化运算，提高速度！ 本片段教学的核心，是介绍求数量积还有一个重要方法——投影法。
希望学生能理解它的原理并会运用。
特别是在处理动向量的数量积时，无论定值还是最值借助投影去转化，形象直观又简化运算。
教学中我们先通过一个例题入手，对比三种方法（定义法，坐标法，投影法）求数量积。
再由特殊到一般，解决动变量模长变化，夹角θ也变化的条件下求数量积最值的问题，应用投影法更体现其的优越性。
最后小结：1投影法的本质；2投影法适用的题型；3选择哪个向量向哪个向量作投影；4注意：投影有正负。
该片断教学的重点和难点：
重点：理解及掌握投影法解数量积，体会此方法的优越性。
难点：掌握投影法适用的题型，把数量积的最值转化成投影的最值。
2
2
1
120
cos
:
a
a
a
AF
AB
D
-
=
⋅
⋅
=
⋅
所以，选A .
5 3
..
..
A A
B A
C B AB AD
C AB AE
D AB AF
⋅⋅
⋅⋅
u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r
(1)引导同学们关注这两种办法运算量
都偏大，是否还有更快捷的方法？
(2)引导学生观察四个选项，有共同的
AB,回到定义上，就含有相同的AB,
因此，比较数量积的大小转化为比较
另一个向量的长度和夹角余弦的乘积
大小即可。
引出投影。
(3）幻灯片播放:
投影:
数量积的几何意义:
板书：当θ,b未知时，把θ
cos
b看
成一个整体去处理。
即把二元→一元，实现了降元。
（2）复习投
影、数量积的
几何意义，理
解投影法的
本质。
6 １3投影法：教师用幻灯片同步展示过程
分别过B,C,D,EF点向AB所在直线作
垂线，如图。
可知：
显然，
1
AC最大．所以，选A .
师：请同学们对比一下三个方法，体
会投影法的优势。
（1）用投影
法再做一次。
（2）优势：
数形结合，直
观明了，不需
要计算。
7 3 变式：如上图，M是正六
边形ABCDEF内的一动点，
则M在什么位置时，
AM
AB⋅取最值？
从特殊到一般，从定向量到动向量拓
展。
（1）引导学生关注在M运动的过程
中哪些量改变，哪些没变。
（2）当,
AMθ
u u u u r
都未知时，怎样处
理？
观察本题，回
答AB
u u u r
的长
度不变，
,
AMθ
u u u u r
变化
时，把
，
上的投影为
在
1
AC
B
A
AC
，
上的投影为
在AB
B
D A
A
，
上的投影为
在0
B
E A
A
.
AF
B
F
1
-
上的投影为
在A
A
方向上的投影
在
称为
把a
b
bθ
cos
⋅
的乘积
投影
方向上的
在
与
的长度
等于
θ
cos
b
a
b
a
a
b
a⋅
此时数量积最大。
为投影最大点时，运动到当的投影
方向上在.,cos 1AC C M AB AM AB BAM
AM AB AM
AB ⋅=∠=⋅（一定一动两个向量数量积的最值）
（3）板书：把数量积的最值转化为投影的最值。
播放幻灯片展示AM 在⋅AB 方向的投影，同时提醒注意正负的问题。
板书学生★答案★
cos AM θ
u u u u r
看成一个整体处理。
共同总结：当一个向量模长已知，数量积取最值时即为另一个向量在此向量方向上投影取最值时。
给出本题★答案★
8 1
小 结
（1）数量积把形→数，而投影法又把数→形，数形结合，形象直观。
（2）当夹角未知，至少一个向量模长未知时可以用投影法；
（3）投影法的本质：从定义出发把
θcos b 看成一个整体用“投影”代
替，降元，简化运算.
师生共同完成
结束语：数缺形时少直观，形缺数时难入微！
------华罗庚
数数形形，形形数数，乃数学本质也！。