中考专题复习 相似三角形(模型-辅助线)
相似三角形（模型-辅助线）
一、本章概述
相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。本章重点讲解相似的几个模型，如A字形，8字形，一线三等角等模型。
二、知识回顾
1、图形的相似
（1）相似图形：形状相同的图形叫做相似图形
（2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。相似多边形对应边的比为相似比。
2.相似三角形
（3）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
（4）相似三角形的判定
①预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。
②判定定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
③传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（5）相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例
②相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
3.位似
（6）多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（7）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
1.相似基本模型
一、本节概述
本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造方法，这两个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。
1.“A”字形相似
2. ”8”字形相似
二、典例精析
能力目标：
1.熟练掌握正A型相似和正8型相似模型：
2.借助平行线构造正A型相似和正8型相似模型解决相关问题。
【例1】已知：图下图，AD是的中线。
（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，则
（2）若E为AD上一点，且,射线CE交AB于F，则
思维探究：
方法一： 通过平行线构造相似
解：过A点作AP//BC交CF于点P,
“8”字模型APCD
方法二：过A作AH//CF交BC延长线于H，则 方法三：作DK//CF交AB于K,
则
方法四：作DM//AB交CF于M，
则AF=DM,
( 2 ) 构造平行线，通过线段比解决问题
作BP//AD交CF于点P,
大家可尝试过其他点作平行线，解答中用了A点和D点，其它的同学们自己尝试。
【例2】如图，BD、CE为△ABC的高，求证：∠AED=∠ACB. 思路分析：求证相等的两角，在如图所示的了两个三角形中，符合“斜A”相似模型，只要证明它们相似即可，且证明它们相似只能用边的比例关系，而边的比例关系可以通过另一对相似三角形得到。
思维探究：
通过相似求出比例关系
证明：
通过“斜”A相似证明等角。
方法总结：
通过相似证明等角是证明等角的一种常用方法，当发现“斜A”相似模型后，首先要想到利用相似证明等角。
【例3】已知：如图,在O中,CD过圆心O,且CD⊥AB,垂足为D,过点C任作一弦CF交O于F,交AB于E. 求证：CB2=CF⋅CE.
思路分析：求证的是一条线段的平方等于两条线段的积，结合它们的位置可以考虑构造“似”A相似模型。
思维探究：
连接FB构造“似A”相似模型，只要证明即可，需要找到一组等角。
证明：连接BF、AC, 通过垂经定理、圆周角定理转化条件
证明相似，进而得到结论。
方法总结：本题的关键是对平方关系转化，因此熟练掌握“似A”相似模型很有必要。
三、成果检测
1. 如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E,F,则的值是( )
A. B. C. D.
答案：
2. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB.
(1)求证：AB：AE=AC：AD；
(2)若AB⊥AC，AE:EC=1:2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形。 答案：
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E. F，连接BE、DF.
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若EF⊥AB,垂足为M,tan∠MBO=，求EM:MF的值。
答案：
4. 如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B. C重合)，连结AD.
问题引入：
(1)如图①,当点D是BC边上的中点时, = ;当点D是BC边上任意一点时, = (用图中已有线段表示).
探索研究：
(2)如图②,在△ABC中,O点是线段AD上一点(不与点A. D重合),连结BO、CO,试猜想与之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由。
拓展应用：
(3)如图③,O是线段AD上一点(不与点A. D重合),连结BO并延长交AC于点F,连结CO并延长交AB于点E,试猜想的值，并说明理由。 答案：
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D. 点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止。设运动时间为t秒。
(1)求线段CD的长；
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得=9:100?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。
(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形?
答案：
2.双垂线模型
一、本节概述
本节重点讲解“双垂线模型”的应用和构造方法，记住这个模型的一些常见结论，在解题中会起到很好的效果，
双垂线模型：如图中有两个直角标记，故称之为“双垂线模型”，会得到以下结论：
( 1 )角的关系：
( 2 )相似三角形：
( 3 )射影定理：
( 4 )等积变换：
请尝试证明上述结论
二、典例精析
能力目标：
1.熟练掌握双垂线模型； 2.识别利用、双垂线模型
【例1】如图,已知△ABC中,AD,BF为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC的延长线于H,求证：DE2=EG⋅EH.
思路分析：求证中涉及到的线段，其所在的三角形不能直接得到所求的结论，因此要进行转化，DE恰好在“双垂直”模型中，因此,所求转成
,只要证明它们所在的和相似即可。
思维探究：
通过双垂直模型转化DE。
证明：
利用相似三角形得到比例关系，进而转化为乘积关系。
方法总结：本题利用双垂线转化线段的平法关系，是解题的关键。
【例2】如图四边形ABCD是矩形，AB=2,,求EF与EG的数量关系。
思路分析：求EF与EG的数量关系，只要将它们放入方程中求出即可，由于AB=2,E是AC中点，因此可以考虑构造中位线，进而出现双垂直模型。
思维探究：
构造中位线。
解：取BC的中点H,连接EH,
四边形ABCD是矩形，
在中用勾股定理得到EF与EG的关系，
利用双垂线模型面积关系
整理方程得到关系，
方法总结：本题利用“双垂直”模型的面积关系，当然也可以利用相似关系解决这个问题，留给同学们自己思考。
3.一线三等角
一、本节概述
本节重点讲解“一线三等角”模型的应用和构造方法，这个模型的构造通常出现在综合性较强的压轴题中。
模型一：
如图，若，会得到以下结论：
（1）
（2）三角形相似
请尝试证明上述结论
模型二：
如图是一线三等角的另一种形式，有着类似的结论
我们会发现，其实前面学习的勾股弦图只是一线三等角的一种特殊情况。
二、典例精析
知识点1：一线三等角
能力目标：
1.熟练掌握一线三等角模型
2.识别、利用简单的一线三等角模型解决问题
【例1】如图，在等边三角形中，AB=4AD=4,点P在边BC(不与B、C点重合)上移动，且保持则AE的最小值是 。
思维探索：
求出相关量
解：
求AE的最小值等价于求CE的最大值，利用函数关系式求最值。
方法总结：本题是非常明显的“一线三等角”模型，直接利用即可。
【例2】在四边形ABCD中，,BC=4,
CD=6,则AC=
思维探究：
由于可尝试构造一线三等角
解：
方法总结：有两个等角时，可尝试构造“一线三等角”
中考数学专题复习全等三角形之辅助线倍长中线法
试卷第1页，共15页 中考数学专题复习全等三角形（辅助线倍长中线法）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．如图，己知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
2．在ABC中，5AC，中线7AD，则AB边的取值范围（ ）
A．212AB B．412AB C．919AB D．1019AB
3．如图，在四边形ABCD中，//ABCD，ABBD，5AB，4BD，3CD，点E是AC的中点，则BE的长为（ ）．
A．2 B．52 C．5 D．3
4．如图，在ABC中，D为BC的中点，若3,4ACAD．则AB的长不可能．．．是（ ）
试卷第2页，共15页 A．5 B．7 C．8 D．9
评卷人 得分
二、填空题
5．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，3AC，5AD，则AB的取值范围是________．
6．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，△FAD＝60°，AE平分△FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．
评卷人 得分
三、解答题
7．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1)求a，b的值；
(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
试卷第3页，共15页
8．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，△AOB+△COD＝180．
（1）若△BOE＝△BAO，AB＝22，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
相似三角形-备战2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)
考点14 相似三角形
【命题趋势】
相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。而且，在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视！
【中考考查重点】
一、比例线段
二、相似三角形的性质
三、相似三角形的判定
四、相似三角形的基本图形
考向一：比例线段
一．比例的性质
1.基本性质：bcaddcba::；
2.比例中项：bacbcca2::，此时，c为a、b的比例中项；
二．比例线段
1.比例线段：在四条线段dcba,,,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,,,叫做成比例线段简称比例线段；
2.黄金分割：把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC215≈0.618AB．
3.平行线分线段成比例的基本性质：
如图：AB∥CD∥EFDEBDCFAC
【同步练习】
1．已知＝，则的值为（ ）
A． B． C． D． 【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝2x，b＝5x，
∴＝＝．
故选：C．
2．线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（ ）
A．+1 B．2﹣ C．3﹣ D．﹣2
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，
∴AC＝AB＝×2＝﹣1，
或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故选：C．
3．如图，直线a，b，c截直线e和f，a∥b∥c，，则下列结论中，正确的是（ ）
中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)
专题05 一线三等角（K型图）模型（从全等到相似）
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K型图）模型（全等模型）
【模型解读】
在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
同侧型一线三等角（常见）：
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：ACEDB+ CE=DE
证明思路：,ABCBED+任一边相等BEDACE
异侧型一线三等角：
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：FACABDCED+ 任意一边相等
证明思路：,ABCBED+任一边相等BEDACE
1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC中，90BAC，ABAC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． (1)特例体验：如图①，若直线lBC∥，2ABAC，分别求出线段BD、CE和DE的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转045，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转4590，与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若3CE，1DE，求BFCS△．
【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2
中考数学难点突破与经典模型精讲练相似三角形中的“A”字型相似模型(解析版)
专题09 相似三角形中的“A”字型相似模型
【模型展示】
特点
结论 DE∥BC∥∥ADE∥∥ABC∥ADAB＝AEAC＝DEBC.
【模型证明】
解决方案
非平行A字型
∠AED＝∠B∠∠ADE∠∠ACB∠ADAC＝AEAB＝DEBC.
非平行A字型
∥ACD＝∥B∥∥ADC∥∥ACB∥ADAC＝ACAB＝CDBC.
【题型演练】
一、单选题
1．如图，已知,ADEABC若:1:3,ADABABC的面积为9，则ADE的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9 【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADEABCSS，代入求出即可．
【详解】解：∥∥ADE∥∥ABC，AD：AB＝1：3，
∥21=3ADEABCSS，
∥∥ABC的面积为9，
∥1=99ADES，
∥S∥ADE＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．
2．如图，在∥ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则∥ADE与∥ABC的面积之比为（ ）
A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理得到∥ADE∥∥ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：∥AE=2，EC=3，
∥AC=AE+EC=5，
∥DE∥BC，
∥∥ADE∥∥ABC，
∥2224525ADEABCSAESAC，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．如图，在∥ABC 中，∥C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将∥ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A．12 B．3 C．2 D．1
【答案】D
2023年中考数学常见几何模型之相似模型中的母子型与A(X)字型
专题06
相似模型-
母子型（共角共边模型）和A
（X
）字型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其
变化很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型．
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，
由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或
夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。
“ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形
斜射影结论：△ABD∽△ACB，AB2
＝AD·AC.
双垂直结论：
①△ABD∽△ACB，AB2
＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2
＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2
＝BD·BA.
1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABCV
中，D是AB边上的点，BACD=
，
:1:2ACAB=
，则ADCV
与
ACB△的周长比是（ ）
A
．
1:2 B．1:2
C．1:3 D．1:4
【答案】B
【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有1
2ACADCD
ABACBC===，则可得1
2ACADCD
ABACBC++
=
++，
问题得解．
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，∴ACADCD
ABACBC==
， ∵1
2AC
AB=，∴1
2ACADCD
ABACBC===
， ∴1
2ACADCDACADCD
ABACBCABACBC++
====
++，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关
键．
2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD是等腰直角ABCV
斜边AB的中线，以点D为
初三数学13 相似三角形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
专题13 相似三角形
一．选择题
1．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,ABCDACBD∥
相交于点E，1,2,3AEECDE
，则BD的长为
（ ）
A
．3
2B．4C
．9
2D．6
【答案】C
【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．
【详解】∵//ABCD ∴ABECDE∽
∴AEBE
ECDE
∵1,2,3AEECDE
，
∴3
2BE
∵
BDBEED
∴9
2BD
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．
2．（2022·广西贺州）如图，在ABC
中，25DEBCDEBC∥，，
，则:
ADEABCSS
的值是（ ）
A
．3
25B
．4
25C
．2
5D
．3
5
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADEABC
，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：25DEBCDEBC∥，，
∴ADEABC ，
∴22
24
525ADE
ABCSDE
SBC
，故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．（2022·广西梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD
的位似图形''''
ABCD
﹐已知
'1
3OA
OA
，若四
边形ABCD
的面积是2，则四边形''''
ABCD的面积是（ ）
A．4B．6C．16D．18
【答案】D
【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形ABCD
与四边形''''
ABCD相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：
''''22
'11
39ABCD
ABCDSOA
SOA
，
又四边形ABCD
的面积是2，∴四边形''''
ABCD的面积为18，故选：D．
【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．
中考总复习：“一线三角”相似模型(word)无答案
中考总复习：“一线三角”相似模型（word）无答案
1 / 13 “一线三角”型相似的重要应用
1. 矩形 ABCD 一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得点 B 落在
CD 边上的点 P 处．
（1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA ．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长．
（2）如图 2，在（1）的条件下，擦去 AO 和 OP，连接 BP．动
点 M 在线段 AP 上（不与点 P、A 重合），动点 N 在线段 AB
的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交 PB 于点 F，作 ME⊥BP
于点 E．试问动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度
是否发生变化？若不变，求出线段 EF 的长度；若变化，说
明理由．
D P C D P C
E
O M
F
A B A B N
图 1 图 2 中考总复习：“一线三角”相似模型（word）无答案
2 / 13 2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M、N 分别是边 BC、CD 上的
两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，始终保持 AM 和 MN 垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关
系式；当 M 点运动到什么位置时，梯形 ABCN 的面积最大，
并求出最大面积；
（3）当 M 点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？
A D
N
B M C
3. 如图 1，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD 的对
角线 BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点 A，另一条直角
边与 BC 相交于点 E．
（1）求证：PA=PE；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图 2），
且 AD=10，DC=8，求 AP：PE；
中考数学常见几何模型对角互补模型(从全等到相似)
专题04 对角互补模型（从全等到相似）
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.对角互补模型（全等模型）
【模型解读】
四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等.
【常见模型及结论】
1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.
则可得到如下几个结论：∠CD＝CE，∠OD＋OE＝OC，∠234CODCOESSOC.
2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.
则可以得到如下几个结论：∠CD＝CE，∠OD＋OE＝OC，∠212ODCEOCDCOESSSOC.
3）全等型—2和1802：如图3，已知∠AOB＝2，∠DCE＝1802，OC平分∠AOB.
则可以得到以下结论：∠CD＝CE，∠OD＋OE＝2OC·cos，∠2sincosOCDCOESSOC.
1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
（探究发现）（1）如图①，若∠BAD＝120，∠ABC＝∠ADC＝90．求证：AD＋AB＝AC；
（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD＝120，∠ABC＋∠ADC＝180．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；②253
【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝60o，然后根据直角三角形中30o是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE∠AD于E，CF∠AB于F，构造AAS证明∠CFB∠CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系；
(完整版)三角形全等添加辅助线口诀
三角形全等添加辅助线口诀
人说几何很困难， 难点就在辅助线，
辅助线，如何添加？把握定理和概念，
还要刻苦加钻研， 找出规律凭经验，
图中有角平分线， 可向两边引垂线，
也可将图对折看， 对称以后关系现，
角平分线平行线， 等腰三角形来添，
角平分线加垂线， 三线合一试试看，
线段垂直平分线， 常向两边把线连，
要证线段倍与半， 延长缩短可试验，
三角形中两中点， 连接则成中位线，
三角形中有中线， 延长中线等中线。
几何，不谈战术谈战略
学而思中考研究中心 施佳辰
作为和代数并列为初中数学两大知识点的几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。话虽如此，变形金刚也不是无敌的，最终仍旧是人类的智慧更胜一筹。实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型（变形金刚的原力所在）。对于几何，我们不仅仅要在战术上坚定执行，在战略层面上也要对几何在初中三年的整体学习有一个明确的了解。
得模型者得几何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同学们在大量的实战做题和不断总结方法中培养出来的。对于模型的理解和认识，分为很多层面，最浅的是基本的形似，看到图形相仿或相似的题目，能够
有意识的联想以前学过的题型并加以运用，套用，这是最简单的模型思想。高一些的是神似，看到一些关键点，关键线段或是题目所给条件的相似便能够联想到所学知识点，通过推理和演绎逐步取得正确的解法，记住的是一些具体模型，这，是第二种层次。最高的境界是，心中只有很少几种基本模型，这些模型就像种子，看到一道题目就会发芽，开花结果，随着对于题目的深入理解，不断地寻找适合的花朵，每一朵花上面都有着一种具体的模型，而每种模型之间，都会有树枝相连，相互间并不是孤立的，而是借由其他条件贯穿连接的。达到这样的理解才能算是包罗万象，驾轻就熟。
培优专题25 相似三角形的一线三等角模型-解析版
培优专题25 相似三角形的一线三等角模型
【专题讲解】
1.常见基本类型：
同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）
异侧型
2.模型构造
1.图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.
2.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.
3.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.
如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）
特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。
“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度
3.构造步骤：
找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；
特别地：当tanα=1/2、1/3等特定值时，α也可以是特殊角；
定线——通常以“水平线”或者“竖直线”为“一线三等角”中的“一线”；特殊角度时也可以是45°等倾斜直线；
构相似——通常以“特殊角”为“中间角”，过“中间角”的两边与“一线”的交点构造两个含特殊
角的Rt△；
例：
如右图，当∠ABP=45°时，
∵∠ABP在y轴上，
∴在y轴上分别构造两个等腰直角三角形△AOE，△PHG，
则在y轴上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，
∴△AEB∽△BGP
∴（常用）
GPBE
BGAE
4.模型特例——K型图（三垂定理）
应用：
1.当一个直角放在一条直线上时，通常要构造“K型图”解题
2.当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K型图”解题
3.由“K型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算
4.“K型图”常和“A字图”或“8字图”
类的平行相似结合在一起求长度性质：
1.普通”K型图”可得左右两个△相似，即△
1
∽△
2【当AB=BC时，△
1≌△
2】
2.中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，
即当BD=BE时，△
1∽△
2∽△
3
3.以上性质反之亦成立，即也可用于证明中
点或角相等或线垂直。“K型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂