2016年八年级数学下册 1.4 角平分线(第1课时)课件 (新版)北师大版
1.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角平分线的判定定理：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上.
3.用尺规作角平分线.
【证明】∵PD⊥OA，PE⊥OB， D ∴∠PDO=∠PEO=90°， 1 在Rt△ODP和Rt△OEP中， O P C 2 OP=OP，PD=PE， E B ∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
A
【结论】
判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距
离相等的点在这个角的平分线上.
4 角平分线 第1课时
1．能够证明和灵活运用角平分线性质定理和判定 定理. 2．能够用尺规作已知角的平分线.
还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你 是怎样得到的? 与小组同学交流. 角平分线上的点到角两边的距离相等.
证明：角平分线上的点到角两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
1
D O
2
A
P C
E B
【结论】定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∠FBD,∴BD是∠ABC的平分线；C项由∠ABD＝∠CBD可
得BD是∠ABC的平分线；D项由角平分线的判定定理可
知BD是∠ABC的平分线；B项条件不足，不能判定BD是
∠ABC的平分线.
1.（河源·中考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝
60°，AC＝2．按以下步骤作图： ①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于 点E ，D ； ②分别以D，E为圆心，以大于
A．5cm Ｂ.4cm
)
Ｄ.2cm
Ｃ.3cm
【解析】选C.
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°,
∴点D到AB的距离DE＝CD＝3cm.
你能用什么办法平分一个已知角呢？ 1．可以用量角器．
2．使用三角尺，也可以平分一个已知角．
3．用直尺和圆规平分一个已知角．
4. 用折纸的办法也可以平分一个已知角．
【例题】用尺规作角的平分线.
1
D O
2
A
垂足分别是D,E(已知)， ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边的距离相等).
P C
E
B
你能写出下面这个定理的逆命题吗?
性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如果有一个点到角的两边距离相等，那么这个点必在这 个角的平分线上． 这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是，请举 出反例．
∴∠CAF＝30°.
答案：（1）4 （2）30
2.如图，已知：AD⊥OB于D， BC⊥OA于C，AD，BC相交于E， 且EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线.
【证明】∵AD⊥OB,BC⊥OA, ∴∠BDE＝∠ACE＝90°, 又∵∠BED＝∠AEC,EB＝EA, ∴△BDE≌△ACE. ∴DE=CE. ∴EO为∠AOB的平分线.
【跟踪训练】
下列作法中，不能得到∠ABC的平分线的是（ ）
A.在∠ABC的边AB，BC上各取一段BE＝BF,连接EF的中
点D和顶点B
B.在∠ABC内找一点D,满足点D到BC的距离等于BD
C.在∠ABC内找一点D,使∠ABD＝∠CBD
D.在∠ABC内找一点D,使D到BC,BA的距离相等
【解析】选B.A项由“SSS”得△BDE≌△BDF,∴∠EBD＝
【例2】已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:1.在OA和OB上分别截取 OE,OD,使OE=OD. 2.分别以点D和E为圆心,以大 于 ∠AOB内交于点C. 3.作射线OC.
DE 2
A C
O
B
长为半径作弧,两弧在
你能说明射线OC为 什么是∠AOB的平分 线吗？
则射线OC就是∠AOB的平分线.
1 DE 长为半径画弧，两弧 2
相交于点P；
③连接AP交BC于点F． 那么：(1)AB的长等于______ (直接填写答案). (2)∠CAF＝______°(直接填写答案)．
P
B D
F
C
E
A
【解析】（1）∵∠C＝90°，∠BAC＝60°, ∴∠B＝90°－∠BAC＝30°, ∴AB＝2AC＝4, （2）∵AF平分∠BAC，
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D, E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个 角的内部,且到角的两边距离相等的 点在这个角的平分线上)
O
1
D
2训练】
（柳州·中考）如图，Rt△ABC中，∠C=
90°， ∠ABC的平分线交AC于D，若CD=
3cm，则点D到AB的距离DE是(
不是真命题，是假命题．在角的外部，也存在到角两边
距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内
部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线
上． 它是真命题吗? 如果是，请你证明它．
【例题】
【例1】已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，求证：点P在 ∠AOB的平分线上．
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1.4.1角平分线1北师大版数学八年级下册第1章三角形的证明
随堂练习1
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外
角平分线,它们有什么位置关系? C
D A F
E
B
2017.2
随堂练习2
2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路
与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺
1:20 000)。
A区
2017.2
你能用什么办法平分一个已知角呢？
2017.2
定理：角平分线上的点到这个 角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
2017.2
你能写出这个定理的逆命题吗? 性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在 这个角的平分线上．
这是真命题吗？如果是，请
《数学》( 北师大版 八年级 下册 )
第四节
2017.2
回顾
思考
M P
1.垂直平分线性质定理 ： 线段垂直平分线上的点到这条线段
A N C B
两个端点距离相等。
2.垂直平分线判断定理：
到一条线段两个端点距离相等的
点,在这条线段的垂直平分线上。
2017.2
回顾
思考
还记得角平分线上的点有什么性质吗?
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E
B
联系拓广3
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,作AB的垂直 平分线,交AB于点D,交AC于点E，连接BE，则BE平分 ∠ABC.请证明这一结论。你有几种证明方法？
2017.2
联系拓广4 2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边 的距离相等.
北师大版八年级数学下册1.4.1角平分线的性质课件
3．
6.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，
DE＝4，则△ABD的面积为 14．
7.已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°,点D在 BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
A
E
F
பைடு நூலகம்
B
D
C
8. 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 于E，且EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线
求证：PD＝PE.
新课讲解
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
新课讲解
典例分析
例 如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10， DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求 DE的长.
是什么？ 怎样用尺规作出已知角的角平
∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图：∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1,则OF=
3.怎样用尺规作出已知角的角平 角平分线的性质定理的逆定理
怎样用尺规作出已知角的角平 ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
如何证明？ ∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7， (2)点在该平分线上； 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 一个锐角等于30°.
2.角平分线的性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理
那么它所对的直角边等于斜 DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交
6.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，
DE＝4，则△ABD的面积为 14．
7.已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°,点D在 BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
A
E
F
பைடு நூலகம்
B
D
C
8. 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 于E，且EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线
求证：PD＝PE.
新课讲解
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
新课讲解
典例分析
例 如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10， DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求 DE的长.
是什么？ 怎样用尺规作出已知角的角平
∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图：∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1,则OF=
3.怎样用尺规作出已知角的角平 角平分线的性质定理的逆定理
怎样用尺规作出已知角的角平 ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
如何证明？ ∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7， (2)点在该平分线上； 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 一个锐角等于30°.
2.角平分线的性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理
那么它所对的直角边等于斜 DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交
数学北师大版八年级下册角平分线(1)
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角
的平分线上. 如果是，请你证明它.
探究新知
PE⊥OB, 垂足分别是D,E.
探究性质定理逆定理
A
已知: 如图所示, PD=PE, PD⊥OA,
O
D P
任务： E 1.独立完成证明； 2.独立完成后，小组内交流有几种证明方法； 3.展示小组成果.
求证: 相等、角相等及角
的倍分关系.
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上
，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且
DE=DF，求DE的长.
A
解： ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F
且DE=DF F
E B D
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两 C 边距离相等的点在这个角的平分线上）
O
探究性质定理
A
D 1 2 E B P
C
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
疑惑解决
如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等， 离公路与铁路交叉处500 m.在图上标出它的位 置（比例尺1∶20000）.
探究新知
定理
探究性质定理逆定理
你能写出它 的逆命题吗？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 逆命题 它是真命题吗?
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》
1.4
角平分线（1）
郑州市惠济区第六中学
杨艳霞
出谋划策
引入
如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等， 离公路与铁路交叉处500 m.在图上标出它的位 置（比例尺1∶20000）.
学习目标
1.通过小组合作，能用多种方法证明角平分线的
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
北师大版数学八年级下册1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件(共17张)
∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
C E
A
D
B
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建
一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在 ( C )
A
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A
＝40°，则∠BOC 的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即
三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
B
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
OP
1 OM ( AB BC OM )
2
1 4 32 64.
A
2
DM C
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一
∴ DE = CD = 4 cm.
E
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. C D
B
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
8年级 数学北师大版 下册课件第1章《4 角平分线》
线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
A
(2)求证:AB=AC+CD.
E
C
D
B
典例精讲
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
A
∴ ∠B=45°
∴ ∠BDE=45°
E
∴ BE=DE=4
在等腰RT△BDE中，由勾股定理得
利用以上两个性质可得线段相等
作业布置
1.必做题：课本P31随堂练习、P32 习题1-3题
2.选做题：
如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
F在AC上，BD＝DF，
A
（1）证明：CF＝EB．
（2）证明：AB＝AF+2EB．
F E
C
D
B
随堂练习
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？
∵点 P 在∠AOB 的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
PD⊥OA ， PE⊥OB。
PD=PE
，
∴ PE=PD
∴OP 平分 ∠AOB 。
探究新知
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休 息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么 地方？
A
B
C
探究新知
活动1 分别作出△ABC的三条角平分线
同理 PE=PF ∴PD=PE=PF
D
NN
PP
MM F
又∵PF⊥AC，PD⊥AB
B B
∴点P在∠A的平分线上。
第1课时 角平分线PPT课件(北师大版)
解：在△BDF和△CDE中，∠BFD＝∠CED＝90°，∠FDB＝∠EDC， BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，又∵DF⊥AB，DE⊥AC ，∴AD平分∠BAC
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
北师大版八年级下册数学练习课件-第1章 4 第1课时角平分线的性质和判定
8
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
7
▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
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▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
八年级数学下册 1.4 角平分线 如何利用角平分线判定定理证明角平分线素材 (新版)北师大版
如何利用角平分线判定定理证明角平分线？
难易度：★★★★
关键词：角平分线 -证明角平分线
答案：
利用角平分线的性质定理和判定定理，找到所需的关系，再结合其它知识证明角平分线。
【举一反三】
典例：如图，F，G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG=MN，△PFG的面积和△PMN的面积相等.求证：OP平分∠AOB.
思路导引：当条件和面积有关时，作三角形的高是解决问题的重要思路。
要证明OP平分∠AOB，根据条件不能直接证明∠AOP=∠BOP.而FG=MN，△PFG的面积和△PMN的面积相等，可根据三角形的面积作△FPG和△MPN的高，通过证明高相等，从而得到P到∠AOB两边的距离相等，得到OP平分∠AOB.
标准答案：
证明：过P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
∵S△PFG= FG·PD，S△PMN= MN·PE
又∵S△PFG=S△PMN，
∴FG·PD=MN·PE，
又∵FG=MN，
∴PD=PE，
∴OP平分∠AOB〔角的平分线的判定〕.
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北师大版八年级数学下册课件：1
本课件详细讲解了北师大版八年级数学下册第一章中的角平分线内容。首先，通过设定学习目标，引导学生通过探索与发现活动深入理解角平分线的性质，并发展推理能力。接着，复习回顾了角平分线上点的性质，为新知识的学习做铺垫助学生全面掌握角平分线的相关知识。定理的归纳总结部分，清晰明了地呈现了角平分线的性质定理和判定定理，便于学生记忆和理解。学以致用环节，设计了针对性的练习题目，旨在帮助学生运用所学知识解决实际问题，巩固和提升对角平分线内容的理解。最后，课堂小结部分再次强调了本课的重点知识，确保学生能够准确把握学习要点。