在△ABC 中，由正弦定理得 sin A cos B ＋cos B sin A ＝sin 2C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，
又sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin C ＝1， ∴C ＝π2，故B ＝π6
.
解法2：接解法1中，A ＝π
3，在△ABC 中，由余弦定理得
a ·a 2＋c 2－
b 22a
c ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc
＝c sin C ，
∴2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6
. 4．已知点B (2，0)，点O 为坐标原点且点A 在圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上，则OA →与OB →
夹角θ的最大值与最小值分别是( )
A.π4，0
B.5π12，π4
C.5π12，π12
D.π2，5π12
[答案] C
[解析] 如图，当直线OA 与圆C 相切时，OA →与OB →
夹角最小或最大；由于C (2，2)
∴∠BOC ＝π
4
又由于|OC |＝2，r ＝1.
∴∠AOC ＝π6；因此OA →与OB →夹角的最大、小值分别为5π12，π
12，故选C.
5．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－1或2 [答案] D
[解析] k 1＝－m
2，向量(1－m,1)所在直线的斜率k ＝11－m ，由题意得
－m
2＝11－m
. 解得m ＝2或－1.
6．(2011·湖北理，8)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )
A ．[－2,2]
B ．[－2,3]
C ．[－3,2]
D ．[－3,3]
[答案] D [解析]
本题考查向量垂直的充要条件及线性规划问题的求解． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即(x ＋z,3)·(2，y －z )＝0，∴z ＝2x ＋3y 不等式|x |＋|y |≤1表示如图所示平面区域．
作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0过点A (0,1)时z 取最大值3.平移l 0过点C (0，－1)时，z 取最小值－3，∴z ∈[－3,3]．
二、填空题
7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2
＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且
PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→|·|PF 2→|的值等于________．
[答案] 2 [解析] |PF 1→|·|PF 2→
|
＝12
[|PF 1→|2＋|PF 2→|2
－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝1
2
[|F 1F 2|2－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝1
2
[(2c )2－(2a )2]＝2b 2＝2. 8．(2012·金华十校联考)已知△ABO 三顶点的坐标为A (1，0)，
B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →
≥0，则OP →·AB →的最小值为________．
[答案] 3
[解析] 由已知得AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且BP →·OB →
＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以 OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.
三、解答题
9．已知a ，b 是非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直．试求a 与b 的夹角．
[分析] 要求a ，b 的夹角θ，就需要利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ，因此我们利用题设中的垂直条件，用|a |，|b |等来表示a ·b ，这样就可以将它代入公式，即可求出θ的值．
[解析] 解法一：由条件知 ⎩⎨
⎧
(a ＋3b )·
(7a －5b )＝0(a －4b )·
(7a －2b )＝0
所以⎩⎨
⎧
7a 2＋16a ·
b －15b 2＝0 ①
7a 2－30a ·
b ＋8b 2＝0 ②
由①－②得46a ·b －23b 2＝0，所以b 2＝2a ·b . 将它代入②得a 2＝2a ·b .所以|a |＝|b |. 所以由b 2＝2a ·b 可知|b |2＝2|a ||b |cos θ，
