自主招生物理12讲02-1 第二讲 运动和力

第二讲 运动和力
【知识揽要】
1、牛顿运动定律 整体法的牛顿定律
2211a m a m F +=合
2、运动的合成与分解 拉船模型、渡船问题
3、抛体运动
斜抛运动运动的多样化分解
4、万有引力定律 2r
Mm G F = 适用条件：两个质点之间。

5、天体运动
正圆运动，有 r v m r
Mm G 2
2=； 椭圆运动，做离心运动时，有 r v m r Mm G 22>；做向心运动时，有 r v m r
Mm G 2
2<。

【例题习题】
一、方法的应用
【例1-1】（2011华约题）水流以和水平方向成角度α冲入到水平放置的水槽中，则从左面流出的水量和从右边流出的水量的比值可能为（ ）
A ．α2sin 21+
B ．α2
cos 21+
C ．α2tan 21+
D ．α22cot 1+
【例1-2】（2010清华等5校题）如图所示，某同学设计
了一个测定平抛运动初速度的实验装置，O 点是小球抛出
点，在O 点有一个频闪的点光源，闪光频率为30Hz ，在抛
出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，在小球抛出后的运动
过程中当光源闪光时，在毛玻璃上有一个小球的投影点，在
毛玻璃右边用照相机多次曝光的方法，拍摄小球在毛玻璃上
的投影照片。

已知图中O 点与毛玻璃水平距离L =1.2m ，两
个相邻的小球投影点之间的距离为Δh =5cm ，则小球在毛玻
璃上的投影点做 运动，小球平抛运动的初速度是 m/s 。

【例1-3】（2012华约题）利用光电计时器测量重力加速度
的实验装置如图。

所给器材有：固定在底座上带有刻度的竖直钢
管，钢球吸附器（固定在钢管顶端，可使钢球在被吸附一段时间
后由静止开始自由下落），两个光电门（用于测量钢球从第一光
电门到第二光电门所用的时间间隔），接钢球用的小网。

实验时，
将第一光电门固定在靠近钢球开始下落的位置。

测量并求出钢球
下落不同路程的平均速度，通过作图得到重力加速度的数值。

（1） 写出实验原理；
（2） 写出实验步骤，并指明需测量的物理量。

解析：（1）原理1：gt v i =，原理2：t h v =
， 原理3：2
i v v =，得 221gt h =。

（2）①确定第二光电门位置，用刻度尺量出第一光电门到第二光电门之间的距离h 1。

②放下钢球，记录钢球通过两个光电门之间的时间间隔t 1。

③增大第二光电门位置，用刻度尺量出第一光电门到第二光电门之间的距离h i ，共改变四次。

④放下钢球，记录钢球通过两个光电门之间相应的时间间隔t i 。

⑤t 2为横坐标、h 为纵坐标建立坐标系，描点作图、连线。

⑥计算出图线的斜率k ，得重力加速度的数值k g 2=。

【例1-4】（2010南大强化班题）在一根长为h 的细线上端固定于O 点，下端悬挂着一个质点小球。

现给小球一个水平初速度v 0，大小为
27gh ，如图所示。

（1）小球转过多大角度时开始不做圆周运动？
（2）证明小球能回到初始点。

二、运动的合成与分解
【例2-1】(2009同济题)距河岸（看成直线）500m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =1r/min 转动。

当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速率为( )
A ．52.3m/s
B ．69.8m/s
C ．3.14×103m/s
D ．4.18×103m/s
【例2-2】（2011华约题）如图所示，AB 杆以恒定角速度绕A 点转
动，并带动套在水平杆OC 上的小环M 运动。

运动开始时，AB 杆在竖
直位置，则小环M 的加速度将（ ）
A ．逐渐增大
B ．先减小后增大
C ．先增加后减小
D ．逐渐减小
【例2-3】（2006交大题）每逢佳节的夜晚一串串烟火凌空爆发，展现出一幅幅色彩艳丽的图象，燃放烟花时往往先看到一个光球迅速“膨胀”，而后“膨胀”渐缓并慢慢散落下来。

为什么爆发的烟花呈现球状呢？请对此现象作出分析。

解析：烟花爆发后，向四面八方各个方向的速度大小可以认为是相等的，同时由于有重力的作用都有向下的重力加速度，故在以向下加速度为g 的参照系中看（短时间内下落距离很小，背景又暗）烟火向各个方向匀速运动，所以在短时间内看到一个光球迅速“膨胀”，一段时间后回到地面参照系中看必然又会慢慢散落下来。

三、牛顿第二定律
【例3-1】（2010清华等5校联考题）在光滑的水平面上有一质量为M 、倾角为θ的光滑斜面，其上有一质量为m 的物块，如图所示。

物块在下滑的过程中对斜面压力的大小为
( )
A ．
θθθcos sin cos m M Mmg + B ．θ
θθcos sin cos m M Mmg - C ．θθ2sin cos m M Mmg + D ．θθ2sin cos m M Mmg - 【例3-2】（2008同济题）一条轻绳跨过一轻滑轮,滑轮和轴的摩擦可忽略。

在绳的一端挂一质量为m 1的物体，在另一侧有一质量为m 2的环（如图），求当
环相对于绳以恒定的加速度a 2沿绳向下滑动时，物体和环相对地面的加速度各
是多少？环与绳间的摩擦力多大？
四、万有引力
【例4-1】设地球质量分布均匀、地球半径为R ，则一个物体下降到距离地球表面深度h 为 时，其重力加速度为地面上重力加速度的25%。

【例4-2】如图，在一个半径为R 、质量为M 的均匀球体中，
紧贴球的边缘挖去一个半径为R /2的球形空穴后，对于球心和空
穴中心连线上、与球心相距L 的质点m 的引力大小
是 。

假如一个小质点m 0从空穴中心处释放，不考
虑质点m 对它的运动的影响，它在空穴内做的运动是 。

【例4-3】（2014北约第9题）如图所示，在真空中，质量为m 1与
m 2的两个小球，它们质量相等，均为m ，它们之间只受到万有引力的作
用。

初始两球相距L 0。

开始时m 1的速度为v 0，方向指向m 2。

m 2的初速
度也为v 0，方向垂直于两球球心的连线。

当v 0满足什么关系时，两个小
球的间距可以为无穷远？
【例4-4】(2009交大题）俄罗斯科学家根据同步卫星在地球同步轨道上的飞行原理首先提出了“太空电梯”的构想，以方便向太空实验室运送人员或补充物资。

英国科幻作家阿瑟·克拉克在他1978年出版的小说《天堂喷泉》中使这一构想广为人知。

太空电梯的主体是一个永久性连接太空站（同步卫星）和地球基站的缆绳，通过太阳能驱动的“爬行器”沿着缆绳可爬上太空。

试分析说明：
（1）该太空站（同步卫星）与通常意义的地球同步卫星相比，离地面的高度哪个更大？
（2）按照“太空电梯”的构想，“太空电梯”的地面基站能否设在中国境内？
【例4-6】（2014华约第二题）已知地球半径为R ，地面附近的重力加速度为g ，一天时间记为T ，卫星质量为m 。

已知万有引力势能公式r
Mm G E P -=，其中M 为地球质量，r 为卫星到地心距离。

（1）求同步轨道卫星环绕地球的飞行速度v 。

（2）求从地球表面发射同步轨道卫星时的初速度v 0至少为多少。

【例4-7】（2010清华等五校联考题）卫星携带一探测器在半径为3R(R 为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。

在a 点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出(设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略)。

若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b 距地心的距离为nR(n 略小于3)，求卫星与探测器的质量比。

(质量分别为M 、m 的两个质点相距为r 时的引力势能为r GMm /-，式中G 为引力常量)
【练4-1】已知地面处的重力加速度是在矿井底部k 倍（k >1）。

设地球的半径为R 。

假定地球的密度均匀。

已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井的深度h 为 。

【练4-2】如图，质量为M 、半径为R 的细圆环的轴线上距离环心为
R 处有一质量为m 的质点，细环与质点间的万有引力大小为____________。

【练4-3】（2012华约题）小球从台阶上以一定初速度水平抛出，恰落到第一级台阶边缘，反弹后再次落下经0.3s 恰落至第3 级台阶边界，已知每级台阶宽度及高度均为18cm ，取g=10m/s 2,且小球反弹时水平速度不变，竖直速度反向，但变为原速度的1/4。

（1）求小球抛出时的高度及距第一级台阶边缘的水平距离。

（2）问小球是否会落到第5 级台阶上？说明理由。