基本不等式常考解题技巧

基本不等式

一、基础知识

1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+； （2）若R b a ∈,，则2

22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）． 2．（1）若00a ,b >>，则ab b a ≥+2

； （2）若00a ,b >>，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；

（3）若00a ,b >>，则22⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． 3．若0x >，则12x x

+

≥（当且仅当1x =时取“=”）； ！ 若0x <，则12x x

+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）； 若0x ≠，则12x x

+≥，即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 4．若0>ab ，则2≥+a

b b a （当且仅当b a =时取“=”）； 若0ab ≠，则2a b b a +≥，即2a b b a +≥或2a b b a

+≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 5．若R b a ∈,，则22222b a b a +≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛+（当且仅当b a =时取“=”）． 二、拓展

1．一个重要的不等式链：22

2

1122a b a b ab a b ++≤≤≤+． 2．函数()()0,0b f x ax a b x

=+

>>图象及性质 ￥ （1）函数()0)(>+=b a x

b

ax x f 、图象如右图所示： （2）函数()0)(>+

=b a x b

ax x f 、性质：

①值域：()22,ab ab,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣

； ②单调递增区间：,,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-

+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝

⎦⎣⎭；单调递减区间：0,,,0b b a a ⎛⎤⎡⎫- ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 注： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的 最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；

（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；

《

（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

三、基本类型

对称性：

“1”的代换：

四、利用基本不等式求最值常用技巧

技巧一：凑项

(

已知54x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值．

技巧二：凑系数

当04x <<时，求()82y x x =-的最大值．

}

技巧三： 分离

求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域．

技巧四：换元

，

已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab

的最小值．

技巧五：整体代换

已知0,0x y >>，且

191x y

+=，求x y +的最小值．

.

技巧六：取平方

已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值．

>

技巧七：构造

要求一个目标函数),(y x f 的最值，我们利用基本不等式构造一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得),(y x f 的最值．

已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为

技巧八：添加参数

若已知0,,>c b a ，则bc

ab c b a 22

22+++的最小值为 ．