2007年全国高考数学(山东卷)试卷分析

2007年全国高考数学（山东卷）试卷分析

山东省高考数学阅卷点领导小组

一．试卷的整体评价

2007年是我省实施普通高中新课程后的首次普通高校全国统一招生考试，命题依据教育部《2007年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》和《2007年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明》（以下简称考试说明）的要求，遵循“有利于高等学校选拔新生、有利于中学推进素质教育和课程改革、有利于扩大高校办学自主权、有利于考试科学、公正、安全、规范”的命题原则．努力实现2007年度高考平稳过渡，在稳定的基础上有所创新，基本上延续了前两年我省高考数学自主命题的风格．

从试卷整体上看，试题侧重考查中学数学通性通法；突出文理科试题难度的差异及合理搭配；注意考查学生的创新意识和实践能力；重视在知识的交汇点处命题，加强对考生数学能力的综合考查；文理试卷难度设计比较恰当，较去年明显降低，具有较高的区分度、效度和信度．

1．实现平稳过渡，突出考查主干知识

试卷长度、题型比例配置保持不变，与《考试说明》一致．全卷共22题，其中选择题12个，共60分，占总分的40%；填空题4个，共16分，约占总分的10%；解答题6个，共74分，约占总分的50%，全卷合计150分．全卷重点考查中学数学主干知识和方法(见表1)；侧重于中学数学学科的基础知识和基本方法的考查；侧重于知识交汇点的考查．

表1：知识点分布表

2．全力支持课改，凸现新课标新要求

从表1不难发现，考试内容体现了新课标的要求．算法与框图、统计、函数的零点、条件概率和常用逻辑用语，以及文科的复数等课标新增内容在试卷中都有所体现（见表2）．这个调整变化反映了高考命题的取向，体现“高考支持课程改革”的命题思路，同时又照顾到试卷涵盖的各部分内容的平衡．并注意对这些新增内容的考查把握适当的难度，注意到这部分内容的应用．如利用统计中的直方图考查学生收集、分析和整理数据的能力以及应用数学的意识；利用程序框图简约地表示解决问题的算法过程等．

另外，根据《考试说明》的考试要求的变化，对相应内容的考试要求也进行了调整．如文科（20）立体几何题随着考试要求的改变发生了变化，缩减了考试范围，降低了考试要求；文科（21）题，利用导数研究函数的性质，已不再限于多项式函数，扩展到对数函数等．

表2：新课标新增部分内容课时数与在试卷中占分数比例对照表

命题注意到文理科学生在数学学习上的差异，对文理科学生提出不同的考查要求．在06年文科试题偏难、分数偏低的情况下，07年数学试卷保持相同题占有比例基本不变（见表3），增加了不同题、减少了姊妹题的个数和分数．如文（9）理（13）题都是解析几何中的抛物线问题，题干完全相同，但文科是选择题，而理科是填空题．由于选择题有选择支可作参考答案，显然文科较理科要求有所降低；理（16）文（14）都是考查基本不等式问题，但是理科题以对数函数图象恒过定点为条件，而文科题以指数函数图象恒过定点为条件，显然文科题要容易一些．另外在应用基本不等式时，理科题更具有技巧性；再如文科第（20）题和理科第（19）题都是立体几何题，虽然几何载体都相同，但是由于文理科考生的考试范围和要求不同，求解的问题和工具也不同，两者化简和运算的难度拉开了档次．不同题更是体现了文理科考生的不同考查要求，如文（21）和对应的理（22）都是利用导数研究函数的性质，但是给出的函数不相同，而且对分类与整合的能力要求也不一样，明显地提高了对理科学生数学能力的考查．这样处理符合新课标对文理科学生有不同学习要求的精神，符合当前中学数学教学以及学生的实际学习状况．

4．重视创新意识，保持应用题的考查

在数学学习和考试中怎样培养和考查学生的创新意识？怎样避免过多地考查学生死记硬背的内容？命题者在试题结构和解法设计上作了一些尝试，如今年文科立体几何第2小题是一个条件开放的探究性问题；文科15题和理科22题第3小题都需要构造一个函数来求解不等式问题；理（12）题的解法需要构造一个独立重复试验或网格图等，这些构造法要求考生的思维具有一定的灵活性和创新性，以往这种问题只是在数学竞赛中才会出现．

应用题是考查实践能力的一个很好的载体，通过设置应用题来考查学生在新的情景中实现知识迁移的能力，应用数学知识解决实际问题，可以体现考生的基本数学素养，更好地实现高考的选拔功能，真正考查出学生的学习潜力．可以更好的实现新课标中倡导的学生实践能力的培养，无疑会对中学数学教学改革起到良好的导向作用．

今年高考题文理科均出现一大一小两个应用题（见表4）．应用题的数量和分值与去年持平，难度变化不大．今年试卷中文理第（8）题是一个统计应用题．文（19）是一个线性规划的应用题：求解一个公司向两个电视台投放广告获取收益的问题．理（20）是一个正余弦定理的应用题，利用正余弦定理解三角形，求轮船的航速的实际问题．这些应用题涉及到的实际问题，背景公平，学生熟悉，解法灵活多样，难度适中．由此可以让学生平时多去关心周围的社会和生活的世界，培养学生的数学应用意识．

表4：应用题分布表

5．适度综合考查，提高试题的区分度

本次数学试卷的另一个特点是小综合的题目明显增多，很多题目是由多个知识点构成的（见表1打星号的题目）．如：理（9）是充要条件与集合运算、函数性质、不等式、函数的零点等知识的综合；文理（10）是程序框图与等差数列求和的综合；文（9）理（13）是抛物线与向量的综合；理（16）是指数函数、直线方程与基本不等式的综合；文（19）是线性规划在实际问题中的应用；文（17）是三角函数与平面向量的综合；文（21）理（22）是导数与函数的综合等．另外，理科第（9）题含有4个小题，是一个拼盘式的多选题，具有一定的覆盖面．通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高地要求，提高了试题的区分度，体现出高考的选拔功能．应该说这和当前课改的教学要求、中学的教

学实际以及学生学习的实际情况是吻合的．

6．突出学科特色，彰显数学学科特点数学试卷要突出数学学科特点，数学学科的主要特点是对数学语言的学习和应用．数学语言包括：符号语言、图形语言和文字语言，命题注意考查学生对数学语言的正确理解与规范使用的程度．如文理科第（6）题、第（7）题和理科第（9）题着重数学符号语言的考查；文理科第（3）题、第（8）题、第（10）题突出数学图形语言理解及应用；文科第（19）题和理科第（20）题强化数学语言之间的转化；文科（20）题和理科（19）题，立体几何的推理与证明是检验学生能否正确地运用数学语言的有效手段．重视考查学生掌握和使用数学语言的能力，体现了数学学科的特点．

二．试题分析

1．重视“双基”落实，侧重通性通法

今年数学试卷与往年相同的一个特点就是“大路题”仍占多数，没有怪题、偏题，学生比较容易上手，特别是选择题和填空题运算量小、整体难度不大．重点考查中学数学的“双基”和通性通法．

例1：（理（2）文（2））已知集合11

{1,1},{|24,Z}2

x M N x x +=-=<<∈，则

M N ?=

（A ）{1,1}- （B ） {1}- （C ）{0} （D ）{1,0}- 解析：本小题主要考查学生集合的概念及运算与指数函数单调性．化简集合N 得，{1,0}N =-．故答案为（B ）．

例2：（理（4））设1{1,1,,3}2

α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函

数的所有α值为

（A ）1，3 （B ）1-，1 （C ）1-，3 （D ）1-，1，3 解析：本小题主要考查幂函数的概念及性质．显然，答案为（A ）．

例3：（1）（理（1））若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是

（A ）

π6 （B ）π4 （C ） π3 （D ）π

解析：本小题主要考查复数的概念和乘法运算以及简单的三角变换．

因为222cos sin isin 2z θθθ=-+，观察选择支对照题设，可得答案为（D ）．

（2）（文（1））复数

43i

12i

++的实部是（A ）2- （B ）2 （C ） 3 （D ）4 解析：本小题主要考查复数的概念和复数的除法运算．

因为43i (43i)(12i)

2i 12i 5++-==-+，可得答案为（B ）．

例4：（理（5））函数ππ

sin(2)cos(2)63

y x x =+++的最小正周期和最大值分

别是

（A ）π,1 （B

）π （C ）2π,1 （D

）2π解析：本小题主要考查三角函数的基本公式、周期和最值的概念．

因为ππ11sin(2)cos(2)sin 2cos 2cos 2sin 2632222

y x x x x x x =+++=

++- cos2x =．

故答案为（A ）．

例5：（理（7）文（7））命题“对任意的32R,1x x x ∈-+0≤”的否定是（A ）不存在32R,1x x x ∈-+0≤ （B ）存在32R,1x x x ∈-+0≤ （C ）存在32R,1x x x ∈-+>0 （D ）对任意的32R,1x x x ∈-+>0 解析：本小题主要考查否定命题的概念．答案为（C ）．例6：（理（9））下列各小题中，p 是q 的充要条件的是

① p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点． ② p ：

()

1()

f x f x -=；q ：()y f x =是偶函数． ③p ：cos cos αβ=；q ：tan tan αβ=． ④p ：A B A ?=；q ：C C U U B A ?．

（A ） ①② （B ）②③ （C ） ③④ （D ）①④

解析：本小题主要考查充要条件、函数的零点与奇偶性、三角函数以及集合的运算等概念．题目难度不大，但是知识点的覆盖面比较广．答案为（D ）．

例7：（1）（文（5））已知向量a =(1，n )，b =(–1，n )，若2a –b 与b 垂直，则|a |=

（A ）1 （B ）

（C ） 2 （D ） 4

解析：本小题主要考查向量数量积运算的应用和运算求解能力．计算可得答案为（C ）．（2）（理（11））在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是

（A ） 2

AC AC AB =? （B ）2

BC BA BC =? （C ） 2AB AC CD =? （D ）2

()()

AC AB BA BC CD AB

???=

解析：本小题主要考查向量数量积的概念．根据向量数量积的概念，不难判断（A ）（B ）（D ）是正确的．故答案为（C ）．例8：（文（13））设函数1

122

123(),(),()f x x f x x f x x -===，则

123(((2007)))f f f = ．

解析：本小题主要考查复合函数的概念和分数指数的运算．

221123121(((2007)))((2007))(2007)2007f f f f f f --===．

2．渗透数学思想，重视数学能力

从表1可以看出，今年数学试卷的一个明显的特点是，“小综合”的题目比较多，突出考查学生综合运用知识的能力．同时，还侧重于考查学生正确地运用数学思想方法，分析问题和解决问题的能力，在保证多数考生得到基础分的同时，提高整张试卷的区分度．

2．1数形结合的思想例9：（理（3）文（3））下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

①正方体；②圆锥；③三棱台；④正四棱锥（图略）（A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 解析：本小题主要考查几何体三视图的基本概念，考查数形结合的数学思想．正方体的三个视图皆为正方形，因此可以否定A 、B 、C ．所以答案为（D ）．例10：（理（8）文（8））某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为

（A ） 0.9，35 （B ）0.9，45 （C ） 0.1，35 （D ）0.1，45 解析：本小题主要考查频率分布直方图的概念，考查学生的观察分析图形和数据处理能力．

如原图（图略）可知 (0.340.360.180.02)10.90x =+++?=， (0.360.34)15035y =+??=．故答案为（C ）．

例11：（理（10）文（10））阅读右边的程序框图（略），若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是

（A ） 2500，2500 （B ） 2550，2550 （C ） 2500，2550 （D ） 2550，2500 解析：本小题主要考查程序框图的有关概念和应用以及等差数列求和，考查数形结合的能力．

根据循环结构的特点知道，当输入n =100时，

1002

1009825025502

S +=+++=?=，

991

999715025002

T +=++

?=．故答案为（D ）

．例12：（文（11））设函数3y x =与21

()2

x y -=的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所

在的区间是

（A ）（0，1）（B ）（1，2）（C ）（2，3）（D ）（3，4）解析：本小题主要考查幂函数与指数函数的图象以及数形结合的数学思想方法．

作出两个函数图象不难发现其交点的横坐标0x 落在区间（1，2）内．故答案为（B ）．

例13：（理（14））设D 是不等式组210,

23,04,1x y x y x y +??+?

????

≤≥≤≤≥表示的平面区域，则D 中

的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值是．

解析：本小题主要考查线性规划的方法和点到直线的距离公式，考查数形结

合的数学思想．

画出平面区域D 后，可知直线23x y +=和1y

=的交点（1，1）到直线10x y +=的距离最大，且最大值是

例14：（理（15）文（16））与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是．

解析：本小题主要考查直线和圆的方程、直线与圆以及圆与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法．

作出已知直线

20x y +-=和圆

22(6)(6)

18x y -+

-=的图形，可以发现直线和圆相

离（如图）

．当所求圆圆心在已知圆向已知直线所引垂线上时，半径最小（或最大）

．最小半径是

R ==2，2）．

因此，半径最小的圆的标准方程是

22(2)(2)2x y -+-=．

2．2函数与方程的思想

例15：（1）（文（9））设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y

px p =>的焦点，

A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60?，则OA 为

（A ）

214

（B

（C

p （D ）1336p

解析：本小题主要考查抛物线的定义和向量的夹角与模的基本概念，考查函

数与方程的数学思想．

设A (,)2

a b +(0)a >，则由抛物线定义2a p p +=，得a p =．

所以3(

OA p ==．答案为（B ）．（2）（理（13））设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60?，则OA 为．解析：本小题与文（9）是姊妹题．题干相同，题型不同．文科由于有选择

支可以参照，进行答案修正，因此相对于理科填空题，文科略易．

例16：（文（15））当x ∈（1，2）时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是．解析：此题主要考查二次函数与二次不等式之间的关系，考查函数与方程以及数形结合的数学思想方法．

设 2()4f x x mx =++，由题设()0,(1,2)f x x <∈恒成立，则

(1)0,(2)0.f f ??

?≤≤ 即50,

420.m m +??+?≤≤ 解得5m -≤． 2．3分类与整合的思想

例17：（文（12））设集合{1,2},{1,2,3}A B ==，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上一个点(,)P a b ，记“点(,)P a b 落在直线x y n +=上”为事件(25,N)n C n n ∈≤≤，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为

（A ）3 （B ）4 （C ）2和5 （D ）3和4

解析：本小题主要考查古典概型和分类与整合的数学思想方法．由于11:

1,()0C x y P C +=∴=；

221

:2,(1,1),()6C x y P P C +=∴=；

3321:

3,(1,2),(2,1)()63

C x y P P P C +=∴=

=；

4421:4,(1,3),(2,2)()63

C x y P P P C +=∴==； 551

5,(2,3),()6

C x y P P C +=∴=

．故答案为（D ）． 2．4或然与必然的思想例18：（1）（理（12））位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1

．质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是（A ） 51()2

（B ） 2551C ()2 （C ）3351C ()2 （D ）235

551C C ()2

解析：本小题主要考查独立事件发生的概率，考查或然与必然的数学思想．

解法一：设事件A 为向上移动一个单位，事件B 为向右移动一个单位．则事件A 、

B 为相互独立事件，且其发生的概率皆为12．因此，质点P 移动五次后位于点（2，3）

的概率是

2232555111C ()(1)C ()222

P =-=．

解法二：本小题可以结合二项展开式系数性质（杨辉三角形）求解．如图质点P 按规则移动五次后到点P （2，3）的不同路线（基本事件数）为10，所有不同路线的总数

是（基本事件空间）32，因此，质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是

51051C ()32162

P ===．故答案为（B ）

． 2.5特殊与一般的思想

例19：（1）（理（16））函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则

m n

+的最小值为．

解析：（1）本小题主要考查基本不等式和特殊与一般的数学思想方法．首先可知定点A （2,1--），所以21m n +=．

因此，

12242448m n m n n m m n m n m n +++=+=++?≥，当且仅当4n m

m n

=?，即2n m =，也就是11

,42

m n ==时，取得最小值8．

（2）（文（14））函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线

10(0)mx ny mn +-=>上，则

m n

+的最小值为．

1 1 1 1 1

解析：（2）本小题和理（16）是姊妹题，主要考查基本不等式和特殊与一般的数学思想方法，解题技巧上要求比理科低一些．仍需要注意条件0mn >．

由题设可知定点A （1，1），所以1m n +=．

因此，1124m n m n n m

m n m n m n

+++=+=++≥．当且仅当n m m n =，即n m =，

也就是11

,22

m n ==时，取得最小值4．

2．6转化与化归的思想例20：（理（6）文（6））给出下列三个等式：

()()

()()(),()()(),()1()()

f x f y f xy f x f y f x y f x f y f x y f x f y +=++=+=

-．

下列函数中不满足其中任何一个等式的是

（A ）()3x f x = （B ）()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ）()tan f x x = 解析：本小题主要通过三种抽象函数的基本概念和性质，考查学生的转化与化归的数学思想和抽象概括能力．考查学生是否能把平时所学的基本函数的一般性质抽象概括出来，并转化加以应用．

因为对数函数满足（恒）等式（1）；指数函数满足（2）；正切函数满足（3），故答案为（B ）．

2．7体现六种数学能力

例21：（文（17））在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c

，tan C =．（Ⅰ）求cos C ；

（Ⅱ）若5

CB CA ?=

，且9a b +=，求c ．解析：此题主要考查同角三角函数的基本关系式，以及利用余弦定理解三角形的基本运算能力．

（Ⅰ）sin tan cos C

C C

=∴=

又22sin cos 1C C +=，

法一：解得1cos 8C =±．tan 0,C C >∴是锐角，1

cos 8

C ∴=．

法二：解得sin 8C =

．sin 1cos tan 8

C C C ∴=

==．（Ⅱ）55

,cos ,20.22

CB CA ab C ab ?=∴=∴=

22222cos ()22cos c a b ab C a b ab ab C ∴=+-=+--

9220220368

=-?-??=．

6c ∴=．

例22：（文（18））设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且1233,3,4a a a ++构成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）令31ln ,1,2,

,n n b a n +==求数列{}n b 的前n 项和n T ．

解析：本小题主要考查等差、等比数列的概念、等比数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式，考查学生运算求解和等价转化的能力．

（Ⅰ）由已知得12321327, 2.(3)(4)3.2a a a a a a a ++=??

?=?+++=??

设数列{}n a 的公比为q ，由，可得132

,2a a q q

=，所以2227q q ++=，解得121

2,2

q q ==.

由题设1,2q q >∴=，11a =. 故数列{}n a 的通项为 12n n a -=. （Ⅱ）由于331ln ln 23ln 2,n n n b a n +=== 因此 123(1)3(12)ln 2ln 22

n n n n

T b b b n +=++

+=++

. 例23：（理（17））设数列{}n a 满足21*123333,N .3

n n n

a a a a n -++++=∈

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n n

b a =

，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解析：本小题主要考查等比数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查学生数列“错项求和”的方法以及运算求解和等价转化的能力．

（Ⅰ）法一：21123333,3n n n

a a a a -++++=①

当2n ≥时，2212311

333,3

n n n a a a a ---++++=② ①-②得 111

3,33

n n n n a a -=∴=.

在①中令1n =，得13a =. 所以 13

n n a =. 法二：先归纳猜想，然后用数学归纳法证明．（略）（Ⅱ）3n n n

b n a =

=?， 23323333.n n S n ∴=+?+?++?③ 23413323333.n n S n +∴=+?+?+

+?④

④–③得1

3(13)23

(333)3

.13

n n n n n S n n ++-=?-+++=?-- 所以1(21)33

.44

n n n S +-=

+ 例24：（1）（理（18））设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）.

（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率.

解析：本小题主要考查古典概型、分布列、数学期望和条件概率的有关知识和方法，考查分类与整合的数学思想以及运算能力．

法一：（Ⅰ）用数组（b ，c ）表示基本事件：先后抛掷一枚骰子得到的点数．则基本事件总数为36，方程20x bx c ++=的判别式是24b c ?=-，所以对应b 、c

根据上述结论可知，方程20x bx c ++=有实根的概率是

17219

363636

P =

. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得ξ的分布列

所以ξ的数学期望E ξ=17217

0121363636

+?+?=. （Ⅲ）记“先后两次出现的点数有5”的事件为D ，“方程20x bx c ++=有实根”的事件为E ，事件D 所含基本事件数为：6+6–1=11，由（Ⅰ）可得

当5b =时，25

c ≤，1,2,

,6c ∴=；当5c =时，2

b ≤，5,6b ∴=.

事件D E ?所含基本事件数为：6+2–1=7，117

(),()3636

P D P D E ∴=

. ()7

()()11

P D E P E D P D ?∴=

法二：（几何概型）作出以b 、c 的取值为整点的坐标（b ，c ），观察抛物线

b 2=4

c 分得的区域内整点的个数即可.（略）

例25：（1）（理（19））如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知

122,,//.DC DD AD AB AD DC AB DC ===⊥

（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证1//D E 平面

1A BD ；

（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值. 解析：本小题主要考查空间线面和面面位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．

（Ⅰ）连结BE ，则四边形DABE 是正方形，

1111,////BE AD A D BE AD A D ∴==.

所以四边形11BED A 是平行四边形.

A 1

B 1

C 1

D 1

11//,D E A B ∴且1D E ?平面1A BD ，

1//D E ∴平面1A BD .

（Ⅱ）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设DA =1，则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C 1（0，2，2），A 1（1，0，2），

1(1,0,2),(1,1,0)DA DB ∴==，

设n =（x ，y ，z ）为平面A 1BD 的一个法向量，由1,n DA n DB ⊥⊥，得

20,

0.x z x y +=??

+=?

取z =1，得n =（2,2,1-）. 又1(0,2,2),(1,1,0)DC DB ==，

设m =（x ，y ，z ）为平面C 1BD 的一个法向量，

由1,m DC m DB ⊥⊥，得

220,

y z x y +=??

+=? 取z =1，得m =（1,1,1-）. 设m 、n 的夹角为α，二面角11A BD C --为θ，则θ为锐角

cos m n m n α?=

，cos 3θ∴=.

因此所求二面角11A BD C --

. （2）（文（20））如图，在直四棱柱

1111

ABCD A B C D -中，已知

122,,//.DC DD AD AB AD DC AB DC ===⊥

（Ⅰ）求证：11D C AC ⊥；

（Ⅱ）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1//D E 平面1A BD ，并说明理由．解析：本小题主要考查空间线面位置关系和空间想象能力以及推理论证能力．

A 1

B 1

C 1

D 1

（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，连结C 1D ，由题设知，四边形CDC 1D 1是正方形，所以11CD DC ⊥.

又DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥AD . 又AD ⊥DC ，

所以AD ⊥平面CDC 1D 1. 所以AD ⊥CD 1．

所以，CD 1⊥平面ADC 1. 因此，11D C AC ⊥.

（Ⅱ）如图所示，当1//D E A 1B 时，有1//D E 平面1A BD .此时可证E 是CD 的中点.（证明见理科（19）．）

例26：（理（20））如图，甲船以

每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105?方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船北偏西120?方向的B 2处，

此时两船相距海里．问乙船每小时航行多少海里？

解析：本小题主要考查正余弦定理及其应用，解决与测量和几何计算有关的实际问题，考查学生的阅读理解和应用能力．

法一：如图，连结A 1B 2

，由已知22A B =，

1220

A A ==. 又12218012060A A

B ∠=?-?=?，所以122A A B ?是等边三角形．

1212A B A A ∴==.

由题设1120A B =，1121056045B A B ∠=?-?=?，在121A B B ?中，由余弦定理，

22212111211122cos 45200B B A B A B A B A B =+-???=

，12B B ∴=

A 1

A 2

A 1

B 1

C 1

D 1

因此，乙船速度的大小为

6020

?=（海里/小时）.

答：乙船每小时航行海里．

法二：（向量法）由2

212111222()B B B A A A A B =++，（以下略）．

法三：（坐标法）以A 1为原点，A 1A 2所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．（以下略）．

法四：（构造直角三角形）．

法五：（求出顶角）延长12A A 、12B B 交于点C ，设11A CB α∠=，则

2260CB A α∠=?- ， 1175CB A α∠=?-，

由正弦定理，

22222sin sin CA A B CB A α=∠，11111sin sin CA A B

CB A α=∠，

2sin(60)1)sin CA ααα

∴=

??-=-

. 120

sin(75)sin CA ααα

∴=

??-=-.

又1220

60A A ==

，1212CA CA A A ∴-==

即α--1)α-=解得cot α=，30α∴=?. 2sin120CB ∴=

?=120

sin105sin 30CB ∴=

??=?

. 1212B B CB CB ∴=-=.

所以乙船速度的大小为6020

?=（海里/小时）．例27：（理（21）文（22））已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

A 1

A 2

B 1

B 2

解析：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查解析几何的思想方法以及学生运用解析法处理几何问题的能力，考查函数与方程的思想方法．

（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，

由题设得：3,1a c a c +=-=，解得，2,1a c ==.则2223b a c =-=.

所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +

=. （Ⅱ）设A （11,x y ）、B （22,x y ），

联立22,

1.4

3y kx m x y =+??

?+=?? 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，

则 122

122

8,344(3).34mk x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?

2222226416(34)(3)0340m k k m k m ?=-+->?+->.

因为以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D （2，0），

0AD BD ∴?=，即1122(2,)(2,)0x y x y --?--=，

化简得，1212122()40,y y x x x x +-++=①.

又222

121212122

3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，代入①

得222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k

--+++=+++.22

71640m mk k ∴++=. 解得：1222,7

m k m =-=-

，且满足22340k m ?=+->. 当12m k =-时，l 的方程是(2)y k x =-，直线过定点（2，0），与已知矛盾；

当227k m =-

时，l 的方程是2()7y k x =-，直线过定点（2

，0）. 所以直线l 过定点，定点坐标是（2

7，0）.

例28：（理（22））设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠.

（Ⅰ）当1

b >

时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；

（Ⅲ）证明对于任意的正整数n ，不等式23111

ln(1)n n n

+>-都成立．

解析：本小题主要考查用导数研究函数性质的方法，考查分类与整合的数学思想方法和运算求解与推理论证能力．

（Ⅰ）由题意知函数()f x 的定义域是(1,)-+∞.

112()2222'()2111x b b x x b f x x x x x ++-

++=+==+++， ∴当12b >时，'()0f x >.即当1

b >时，()f x 在定义域(1,)-+∞上单调递增．

（Ⅱ）①当1

b >时，由（Ⅰ）知()f x 在定义域(1,)-+∞上无极值点．

②当12b =时，2

12()2'()01

x f x x +==+有两个相同的解12x =-，且当11

(1,)(,)22x ∈--?-+∞时，有'()0f x >，

因此，当1

b =时， ()f x 在定义域(1,)-+∞上无极值点．

③当1

b <时，

222'()01

x x b

f x x ++==+有两个不同的解，

12x x =

=，当1

b <<

时，12111,122x x ---+=

>-=>-，此时，()f x 、'()f x 的符号随x 的变化情况如下表：

由上表可知，当1

b <<

时，()f x 有一个极大值点112x -=和一个

极小值点212

x -=

当0b <时，12111,122

x x ---=

<-=>-，此时，()f x 、'()f x 的符号随x 的变化情况如下表：

由上表可知，当0b <时，()f x 有惟一的极小值点2x =

综上所述，当0b <时，()f x 有惟一的极小值点212

x -=

；

当1

b <<

时，()f x 有一个极大值点112x -=和一个极小值点

2x =

；当1

b ≥时，()f x 无极值点．

（Ⅲ）取*1

,(N )x n n

=∈，则有23ln(1)x x x +>-.

令函数32()ln(1)h x x x x =-++，只须证明当[0,)x ∈+∞时，()0h x >即可．

13(1)'()320,(0)11

x x h x x x x x x +-=-+=>++≥，

()h x ∴在[0,)+∞上单调递增.又(0)0h =，所以()0h x >.

即32ln(1)0x x x -++>，也就是当[0,)x ∈+∞时，23ln(1)x x x +>-.

取*1,(N )x n n =∈，则有23111

ln(1)n n n

+>-.

因此，结论成立．例29：（文（19））某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所作的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和.0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解析：本小题主要考查不等式表示平面区域和简单的线性规划问题，考查学生的阅读理解能力和应用能力以及数学建模的思想．

设该公司在甲、乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为 z 元．由题意的

300,300,500200520,0,x y x y x y x y x y x y ++????+?+??????

≤≤≤90000,≤900,≥≥0.≥≥0. 目标函数为30002000z x y =+.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作出直线l ：3000x +2000y =0，即 3x +2y =0.

平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．

联立300,100,52900.200.x y x x y y +==?????

+==?? 所以点M 的坐标为（100，200）．

因此，max 30001002000200700000z =?+?=（元）．

答：该公司在甲、乙电视台分别作100分钟和200分钟广告，公司收益最大，

最大收益是70万元．

例30：（文（21））设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．

证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．解析：本小题主要考查学生利用导数研究函数性质和分类与整合的数学思想方法以及运算能力．

由题设知，函数()f x 的定义域是(0,)+∞．22'()2b ax b

f x ax x x

+=+=.

（1）当0ab >时，如果0,0a b >>，'()0f x >.()f x 在(0,)+∞上单调递增；

如果0,0a b <<，'()0f x <.()f x 在(0,)+∞上单调递减．所以，当0ab >时，函数()f x 没有极值点．

试论近三年高考数学试卷分析

HR Planning System Integration and Upgrading Research of A Suzhou Institution 近三年高考数学试卷分析陈夏明近三年的数学试卷强调了对基础知识的掌握、突出运用所学知识解决实际问题的能力.整套试卷遵照高考考试大纲的要求，从题型设置、考察知识的范围和运算量,书写量等方面保持相对稳定，体现了考查基础知识、基本运算方法和基本数学思想方法的特点.好多题都能在课本上找到影子，是课本题的变形和创新.这充分体现了高考数学试题“来源于课本”的命题原则，同时,也注重了知识之间内在的联系与综合，在知识的交汇点设计试题的原则。 2009年高考数学考试大纲与往年对比，总体保持平稳，个别做了修改,修改后更加适合中学实际和现代中学生的实际水平，从大纲来看，高考主干知识八大块：１．函数；２．数列；３．平面向量；４．不等式（解与证）；５．解析几何；６．立体几何；７．概率与统计。仍为考查的重点,其中函数是最核心的主干知识. 考试要求有变化：今年数学大纲总体保持平稳，并在平稳过渡中求试题创新，试题难度更加适合中学教学实际和现代中学生的实际水平；适当加大文理卷的差异，力求文理学生成绩平衡，文科试题“适当拉大试题难度的分布区间，试题难度的起点应降低，而试题难度终点应与理科相同”。试题难度没有太大变化，但思维量进一步加大，更加注重基础知识、基本技能的考查.注重通性通法,淡化特殊技巧，重视数学思想方法的考查.不回避重点知识的考查。函数、数列、概率（包括排列、组合）、立体几何、解析几何等知

识仍是考查的重点内容.保持高考改革的连续性、稳定性，严格遵循《考试大纲》命题. 针对高考变化教师应引导学生： 1．注重专题训练，找准薄弱环节 2．关注热点问题进行有针对性的训练 3．重视高考模拟试题的训练 4．回归课本，查缺补漏。 5．重视易错问题和常用结论的归纳总结 6．心理状态的调整与优化（1）审题与解题的关系：我建以审题与解题的关系要一慢一快：审题要慢，做题要快。（2）“会做”与“得分”的关系：解题要规范,俗话说：“不怕难题不得分,就怕每题都扣分”所以务必将解题过程写得层次分明,结构完整.这非常重要,在平时训练时要严格训练. （3）快与准的关系：在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果. （4）难题与容易题的关系：拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此不要在某个卡住的题上打“持久战”，特别不要“小题大做”那样既耗费时间又未心能拿分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，而且解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难。因此,我建议答题应遵循：三先三后： 1.先易后难 2.先高（分）后低（分） 3.先同后异。

2014年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（）

近五年高考数学全国1卷

一．选填题（每题5分） 1. （2017年，第6题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（） 2. （2017年，第16题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 3. （2016年，第7题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 4.（2016年，第11题）平面过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A,，，则m ，n 所成角的正弦值为（）（A ）（B ）（C ）（D ） 5.（2015年，第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有斛斛斛斛 6.（2015年，第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r = （A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 7.（2014年，第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

高考数学试卷分析及命题走向

2019年高考数学试卷分析及2019年命题走向一、2019年高考试卷分析 2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷i)继承2019年的改革方向。既保持了一定的稳定性，又有创新和发展；既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。 1考试内容体现了《考试大纲》的要求。 2试题结构与2019年大体相同。全卷共22小题，选择题12道，每题5分；填空题4道，每题4 分；解答题6道，前5道每题12分，最后1道14分。 3考试要求与考点分布。第1小题，(理)掌握复数代数形式的运算法则；(文)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念、符号，能够正确表示简单的集合。第2小题，掌握对数的运算性质。第3小题，掌握实数与向量的积，平面向量的几何意义及平移公式。第4小题，会求一些简单函数的反函数。第5小题，掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。第6小题，(理)了解空集和全集，属于、包含和相等关系的意义，掌握充要条件的意义；(文)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。第7小题，掌握椭圆的标准方程和简单几何性质，理解椭圆的参数方程。第8小题，掌握直线方程的点斜式，了解线性规划的意义，并会简单的应用。第9小题，掌握同角三角函数的基本关系式，了解正弦函数、余弦函数的图像和性质。第10小题，能够画出空间两条直线、直线和平面各

种位置关系的图形，根据图形想像它们的位置关系，了解三垂线定理及其逆定理。第11小题，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。第12小题，掌握简单方程的解法。第13 小题，掌握简单不等式的解法。第14小题，(理)掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程；(文)掌握等比数列的通项公式。第15小题，(理)了解递推公式是给出数列的一种方法；(文)直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。第16小题，掌握斜线在平面上的射影。第17小题，(理)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解周期函数与最小正周期的意义；(文)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式。第18小题，(理)了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列，并能根据其分布列求出期望值。(文)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解周期函数与最小正周期的意义。第19小题，( 理)掌握指数函数的概念、图像和性质；(文)会求多项式函数的导数，并会用导数求多项式函数的单调区间。第20小题，(理)掌握直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握二面角、二面角的平面角的概念；(文)会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。第21小题，(理)掌握双曲线的定义、标准方程和简单几何性质，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；(文)掌握直线和平面的距离的概念，掌握二面角、二面角的平面角的概念。第22小题，(理)了解数列通项公式

近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题

线性规划高考题 1.[2013.全国卷 2.T3]设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥??+-≥??≤? ，则23z x y =-的最小值是（） A.7- B.6- C.5- D.3- 2.[2014.全国卷2.T9]设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥??--≤??-+≥? ，则2z x y =+的最大值为（） A.8 B.7 C.2 D.1 3.[201 4.全国卷1.T11]设1，y 满足约束条件,1, x y a x y +≥??-≤-?且z x ay =+的最小值为7，则a =（） A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3 4. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（） A.(1－3，2) B.(0，2) C.(3－1，2) D.(0，1+3) 5.[2010.全国卷.T11]已知 Y ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 Y ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是（） A.（-14，16） B.（-14，20） C.（-12，18） D.（-12，20） 6. [2016.全国卷3.T13]设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??--≤??≤? 则z =2x +3y –5的最小值为 7．[2016.全国卷2.T14]若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥??+-≥??-≤? ，则z =x -2y 的最小值为 8.[2015.全国卷2.T14]若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤? ，则2z x y =+的最大值为

天津市高考数学试卷分析.doc

天津市高考十年数学试卷分折目录第一部分：选择题与填空题基本知识点分析知识点:复数的基本概念与运算（历年都考）。重点：复数的乘除运算。试题类型：选择题；位置：第一题；难度：容易试题规律：复数的基本运算为必考试题，一般是放在选择的第一题, 作为全卷的第一题非常容易，起到稳定军心的作用，但此题绝对不能出错。 2?知识点:四种命题及充要条件（历年都考）。重点：充要条件判断、命题的否定与否命题，考真假命题。试题类型：选择题；难度：容易或中等试题规律：都是与其它知识点结合，重点考查充要条件的判断。新课标有转向全称与特称命题的趋势。充要条件的判断根本的一点是“小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围”，而范围经常是用图形来表示的，所以要用数形结合的思想来求解。 3?知识点:分式与绝对值不等式及集合。重点：解二次和分式不等式、解绝对值不等式、集合间的子、交、并、补运算、用重耍不等式求最值。试题类型：选择题；位置：前7题；难度：容易试题规律：经常与集合结合，含绝对值不等式。 4?知识点:三角函数图象性质，止余弦定理解三角形（考图象性质, 考解三角形）重点：化一公式、图象变换、函数y = Asin（血+ 0）的性质、止余弦定理解题。试题类型：选择题；难度：容易或中等试题规律：常考查三角函数的单调

性、周期性及对称性；三角函数的图象变换。重点为y = Asin（祇+ 0）型的函数。 5?知识点:函数性质综合题（奇偶、单调、周期、对称等）、特别是结合分段函数是新课标的考查重点（每年都考）试题类型：选择题；位置：选择后3题；难度：较难试题规律：是必考题。重点考查函数的奇偶、单调、周期、对称等性质的综合。结合分段函数是新课标的考查重点 6?知识点:圆锥曲线定义及几何性质有关问题（椭圆双曲线准线不考）（抛物线定义、双曲线渐近线与抛物线相交）试题类型：选择题；位置：前五题；难度：容易试题规律：考三种圆锥曲线各自的独特性，椭圆的定义、双曲线的渐近线、抛物线的定义，直线与圆锥曲线 7?知识点:抽样统计小题是趋势试题类型：填空题；难度：中等或容易试题规律：抽样方法，概率与统计，重要不等式的应用，分层抽样应用题 &知识点:直线与圆（常与参数方程极坐标等结合，主要是直线与圆相切或相割）试题类型：选择题或填空题；位置：前六题；难度：容易试题规律：重点考查直线与圆的基本题型，直线和圆相切、直线被圆截得弦长问题、圆与圆内外切及相交问题等。每年必考。 9?知识点:平面向量基本运算（加法、减法、数乘和数量积，以数量积为主，近年常以三角形和平行四边形为载体）（每年必考）试题类型：选择题或填空题；位置：较靠前；难度：中档试题规律：注重向量的代数与几何特征的结合，基底的思想加强了考査，向量的几何特征进行考査，题目小巧而灵活。 10?知识点:排列与组合试题类型：选择题或填空；容易或中等试题规律：有两个限制条件的排数问题，球入盒问题，涂色问题，排列卡片问题，排数问题。总的看是以考查排列问题为主，考查的是基本的分类与分步思想。有成为选择或填空压轴题的趋势。

2005年高考理科数学试卷及答案(山东)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II ）第I 卷（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ?= 一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1） () () 2 2 1111i i i i -++ =+- （）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- （2）函数()10x y x -= ≠的反函数图像大致是（）（（3）已知函数sin cos 1212y x x ππ?? ? ?=- - ? ?? ?? ?，则下列判断正确的是（）（A ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π?? ??? （B ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π?? ??? （C ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π?? ??? （D ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π?? ??? （4）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（）

（A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x x f x a a -= +（D ）2()ln 2x f x x -=+ （5 ）如果3n x ?? ? 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31 x 的系数是（）（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21- （6）函数2 1sin(),10, (),0. x x x f x e x π-?-<（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ （C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+ （12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2 2 14 y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ?的面积为 1 2 的点P 的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

2014年高考数学全国卷1(理科)

绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ，－ ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为

近5年高考数学全国卷23试卷分析报告

2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。一、近五年高考数学考点分布统计表：

从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。具体

来说几个方面： 1．整体稳定，覆盖面广高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2．重视基础，难度适中试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。 4．全面考查新增内容，体现新课改理念如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6．注重数学的应用和创新

2016年高考数学试卷分析

2016年高考数学试卷分析随着2016年高考的结束，，作为一线教师，也应该是对今年的高考试题进行一番细致的研究了。陕西省是即课改后首次使用全国卷。2015年的陕西卷已经为下一年的平稳过度做好了铺垫。首先在题型设置上，与全国卷保持一致，这已给师生做好了思想工作，当2016年的高考数学进入人们眼帘的时候，似乎也不是很陌生，很有老朋友相见的感觉。今年的全国卷数学试题从试题结构与去年相比变化不大，严格遵守考试大纲说明，五偏题，怪题现象。试卷难度呈阶梯型分布，试题更灵活。入口容易出口难，有利于高校选拔新生。一、总体分析： 1,试题的稳定性: 从文理试卷整体来看，考查的内容注重基础考查，又在一定的程度上进行创新。知识覆盖全面且突出重点。高中知识“六大板块”依旧是考查的重点。无论大小体目90%均属于常规题型，难度适中。是学生训练时的常见题型。其中，5，15，18注重考查了数学在实际中的应用能力。这就提示我们数学的教学要来源实际，回归生活，既有基础与创新的结合，又能增

加学生的自信心，发挥自己的最佳水平。试题的变化：有些复课中的重点“二项式定理”，“线性规划”，“定积分”。“均值不等式”等知识点并没有被纳入，而“条件概率”则出现在大题中，这也对试题的难度进行区分。在难度方面，选择题的12题，填空题的16题，对学生造成较大困扰。这也有利于对人才的选拔。解答题中的20，21题第一问难度适中，第二问都提高了难度。这也体现了入口易，出口难，对人才的选拔非常有利。今年的高考数学试题更注重了试题的广度，而简化了试题的深度。而这对陕西高考使用全国卷的过度上起到了承上启下的作用。平稳过度已是事实。给学生，教师都增加了信心。试题的详细分析：选择题部分（1），考查复数，注重的是知识点的考查。对负数的运算量则降低要求，这要求我们不仅要求对运算过关，更强调知识点的全面性（2）集合的运算：集合的交并补三种运算应是同等对待。在平时的教学中，出现的交集运算比较多，。并集，补集易被忽略。（而

2005年高考理科数学山东卷

2005年高考理科数学山东卷第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 ()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 )(B A P ?=()(B P A P ? 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的（1） 22 11(1)(1)i i i i -++=+- （A ）i (B) i - (C) 1 (D) 1- （2）函数1(0)x y x x -= ≠的反函数的图象大致是（A ） (B) (C) (D) （3）已知函数sin()cos(),12 12 y x x π π =- - 则下列判断正确的是（A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12π (B) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π (C) 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)6π (D) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6 π （4）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()2x x f x a a -=+ (D) 2()2 x f x ln x -=+ （5）如果(3n x 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 31 x 的系数是（A ）7 (B) 7- (C) 21 (D)21-

（6）函数21 10, sin(),()0., x x x f x x e π--< (B) (1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ (C) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+--++<-++ (D) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+---+>--+ （12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2 2 14 y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ?的面积为 1 2 的点P 的个数为（A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 (13)2222lim (1) n n n n C C n -→∞+=+__________

2014年高考新课标全国2卷数学(文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）数学试题卷（文史类）注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则（A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件（4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3

近五年高考数学全国1卷

1. （2017年，第6题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（） 2. （2017年，第16题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 3. （2016年，第7题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 4.（2016年，第11题）平面α过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（）（A ） 3（B ）2（C ）3（D ）13 5.（2015年，第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有斛斛斛斛 6.（2015年，第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =

2014年四川高考数学试卷分析

2014年四川高考数学试卷分析今年四川数学高考的试卷结构、题目数量、分值分布、主干知识的考查都保持了去年的总体风格，10道选择、5道填空、6道解答题。相比与去年，很多考生考下来的第一反应是题目难度有所增加，下面就以下几方面对本试题实行分析。一、紧扣考纲，突出导向今年新发的考纲和2013年相比有一些变化，对数的运算和性质从B级提升到C级，在选择题第9题、填空题第15题级解答题第19题都有所体现。在今的考纲中新增了数列与函数的关系、增强了基本初等函数的导数公式，在解答题19题中体现出来了数列、函数、导数的综合应用。因为数列解答题和去年相比的大幅变化，加上本道题中对数及求导公式的应用，使得很多考生没有很大把握，这也算考生下来说试题难的一个重要原因。二、重视基础，突出主干全卷重视基础知识的全面考查，所涉及的知识点覆盖了整个高中数学的所有知识板块；试题突出主干知识的重点考查，对高中数学中的函数与导数、三角函数、概率统计、解析几何、立体几何、数列、向量、不等式等实行了重点考查。重视对基础知识和通性通法的考查，保证了试卷的内容效度，有利于引导高中数学教学在注重基础知识的同时突出核心和主干、回归数学本质。三、重视思想，突出水平数学全卷注重考查学生对数学基本概念、重要定理等的理解与应用，注意控制和减少繁琐的运算，体现了“多想少算”的命题理念。尤其是17题以一款击鼓游戏为背景设置问题情境，考查概率统计的基础知识，特别是第（Ⅲ）题要求使用概率统计知识分析并说明若干盘游戏后积分减少的原因，引导考生用数学的眼光审视游戏过程，通过概率和数学期望的计算，对游戏及其规则实行理性分析，真切体会“用数据说话”的统计思想方法。21题体现了数学学科的抽象性和科学性，解答时需要考生借助几何直观发现解题思路和结论，用严谨的逻辑推理实行证明，整个解答过程需经历“画图-观察-探究-发现-证明”的过程。总体来说，今年的高考题紧扣了教学大纲和考纲，体现了水平立意，具有很好的信度效度和区分度，对一线的数学教学具有很好的指导性。

2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析专题05 三角函数与解三角形(原卷版)

专题5 三角函数与解三角形 1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主. 2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合. 一、单选题 1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225?= （） A ．1 2 - B ．2 - C ． D ．1- 2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ?∈R ，0sin 10+