最新北师大版九年级数学下册3.3垂径定理公开课优质教案 (2)
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
同时，我还注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象的思考问题，让学生在理解垂径定理的同时，能够灵活运用该定理解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性和综合性的小组合作任务，让学生在合作中思考、交流、探究，提高学生的学习效果。
2.组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题、分享思路、互相启发、互相学习，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.教师在小组讨论过程中给予及时的反馈和指导，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。
2.设计具有针对性和全面性的评价指标体系，对学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观进行全面评价。
3.利用自评、互评、师评等多种评价方式，给予学生客观、公正的评价，提高学生的自信心和积极性。
4.根据评价结果，调整教学策略和教学方法，为下一阶段的教学提供有益的参考。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级下册3.3垂径定理是圆的知识点中的一个重要定理，它揭示了圆中关于垂直于弦的直径的一系列性质。在本节课中，学生需要理解和掌握垂径定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
在进行本节课的教学设计时，我充分考虑了学生的年龄特点和学习需求，以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力为目标，力求通过丰富的教学活动和合理的教学设计，帮助学生理解和掌握垂径定理。
2.要求学生对自己的作业进行自我评价，培养学生的自我反思和自我调整能力。
北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
【最新北师大版精选】北师大初中数学九下《3.3垂径定理》word教案 (2).doc
垂径定理一、教学目标1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：1.垂径定理_____________________________________________________2.注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,⋂AC =______,⋂BD =________4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？1.，作一条平分AB于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例：4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,⋂AC =____⋂BD =____ (2)如果⋂AC =⋂BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂BD =____ （3）如果⋂AD =⋂BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，⋂AC =______ （三）典例讲解：1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？（四）巩固训练： 题组一1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。
新北师大版九年级数学下册《三章圆.3垂径定理》教案_2
第三章圆3、垂径定理（1）一、学生学情分析学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过圆的概念，对圆有一定的认识。
本章又学习了圆有关的概念，这些都为这一节课的学习做好了铺垫。
圆的垂径定理是这一节的关键，为圆有关的计算证明都起到重要的作用。
本期我担任两个班级，9（1、2）.学生基础水平较差，因此在备课方面就要班级学生的差异性进行备课，难度较大。
练习以及作业的布置方面也有所不同，总之为了上好本课时在各个方面都必须下足功夫。
二、教学任务分析垂径定理是初中最重要的定理之一，关系到圆有关的计算及证明。
教学目标：【知识与技能】1、进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2、理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明。
【过程与方法】经历探索垂径定理的过程，培养学生类比的思想及发展有条理的思考及其语言表达能力.【情感态度与价值观】①通过学习垂径定理定理，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。
②结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气.教学重、难点【重点】：垂径定理的理解及应用。
【难点】：理解垂径定理及其推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明。
【关键点】理解并应用垂径定理。
三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：情景引入——讲授新课——典例精析——课堂练习——课堂小结——布置作业第一环节情景引入问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？第二环节讲授新课垂径定理及其推论问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?通过分析归纳得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.第三环节典例精析例1、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= （）cm.分析：例2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.分析：第四环节课堂练习1、如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.2、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．3、已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.4、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计
2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版数学九年级下册第3.3节的内容，本节课主要介绍垂径定理及其应用。
垂径定理是指：圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径把这条弦平分。
这个定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、性质以及一些基本的运算。
但是，对于证明一个定理，他们可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、推理等方法，逐步理解并证明垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，并掌握其证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和推理能力。
四. 教学重难点1.教学重点：垂径定理的内容及其证明过程。
2.教学难点：如何引导学生通过观察、思考、推理等方法，证明垂径定理。
五. 教学方法1.引导法：通过提问、引导，激发学生的思考，帮助他们理解垂径定理。
2.推理法：引导学生通过观察、推理，证明垂径定理。
3.实例法：通过具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：包括垂径定理的定义、证明过程以及应用实例。
2.教学素材：一些与圆有关的问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.黑板：用于板书重要的概念和证明过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的与圆有关的问题，引导学生复习之前学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。
首先，让学生观察一些与圆有关的几何图形，引导他们发现其中的规律。
然后，通过推理和论证，得出垂径定理的结论。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试用垂径定理解决一些与圆有关的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的讨论结果，进行讲解和分析，巩固他们对垂径定理的理解。
同时，通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。
本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。
垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。
2.难点：垂径定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。
2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。
3.练习题：巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。
引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。
3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。
学生分组讨论，分享解题方法。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。
垂径定理公开课教案
垂径定理公开课优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）让学生掌握垂径定理的内容及应用；（2）培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、证明等环节，引导学生发现并证明垂径定理；（2）运用垂径定理解决一些相关的几何问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）垂径定理的内容及其应用；（2）运用垂径定理解决一些相关的几何问题。
2. 教学难点：（1）垂径定理的证明；（2）在实际问题中灵活运用垂径定理。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生发现并证明垂径定理；2. 运用几何画板软件，直观展示垂径定理的应用；3. 设计具有梯度的练习题，巩固学生对垂径定理的理解。
四、教学准备1. 教师准备：垂径定理的相关知识、课件、练习题；2. 学生准备：笔记本、几何画板软件。
五、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：圆的基本概念、圆的性质；（2）提问：如何判断一条直线是否垂直于一条弦？2. 探究与发现（1）学生分组讨论，尝试发现垂径定理；（2）各组汇报讨论成果，师生共同总结垂径定理；（3）教师利用几何画板软件，演示垂径定理的应用。
3. 证明垂径定理（1）学生根据已知的圆的性质，尝试证明垂径定理；（2）教师引导学生归纳总结，给出垂径定理的证明过程。
4. 应用垂径定理（1）设计一组练习题，让学生运用垂径定理解决问题；（2）学生独立解答，教师点评并指导。
5. 课堂小结（1）学生总结本节课所学内容；（2）教师补充，强调垂径定理在几何中的应用。
6. 作业布置（1）请学生运用垂径定理解决一些实际问题；（2）复习本节课所学知识，为下一节课做准备。
六、教学拓展1. 引导学生思考：垂径定理在实际生活中的应用有哪些？2. 举例说明：如在建筑设计中，如何利用垂径定理确定圆形的建筑物的垂直结构。
七、课堂互动1. 学生之间互相提问关于垂径定理的问题，加深对知识的理解；2. 教师参与互动，解答学生提出的问题，及时纠正学生的错误。
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垂径定理
一、教学目标
1．利用圆地轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．
二、教学重点和难点
重点：利用圆地轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理地证明，以及应用时如何添加辅助线
三、教学过程
（一）情境引入：
1．如图，AB是⊙O地一条弦，作直径
CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？
（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
（二）知识探究：
【探究一】通过上面地证明过程，我们可以得到：1.垂径定理____________________________________________ _________
2.注意：
①条件中地“弦”可以是直径；②结论中地“平分弧”指平分弦所对地劣弧、优弧。
③定理中地两个条件缺一不可——______________，______________．
3.给出几何语言
如图，已知在⊙O中，AB是弦，CD是直径，如果CD
⊥AB，垂足为E，那么
，
⋂
BD=________
4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
2
1.如图，AB 是⊙O 地弦（不是直径），作一条平分AB 地直径CD ，交AB 于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你地理由. 2.
垂
径
定
理
地
推
论
：
______________________________________________________________
3．辨析：“平分弦（不是直径）地直径垂直于弦，并且平分弦所对地两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成
反例：
4.如图，在⊙O 中，AB
，
CD 是直径，
（1）如果AE=BE 那么CD____AB ⋂
BD =____ (2)如果⋂
AC =⋂
BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂
BD =____
（3）如果
⋂
AD
=⋂
BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，
D
AC=______
（三）典例讲解：
1．例：如图，一条公路地转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD，点0是⌒
CD所在圆地圆心），其中CD=600m，E为⌒
CD上地一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路地半径．
2.如果圆地两条弦互相平行，那么这两条弦所夹地弧相等吗？为什么？
（四）巩固训练：
题组一
1.如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB于C，若AO=5，OC=3，求弦AB地长。
2.⊙O地弦AB为5cm，所对地圆心角为120°，求圆心O到这条弦AB地距离。
4
题组二
3.如图：将半径为2厘米地圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 地长为（ ）
4.如图，在⊙O 中，AB 为弦，C ，D 是AB 上两点，且AC=BD ，试判断OC 与OD 地数量关系， 并说明理由。
5.如图，在⊙O 中，直径CD
G ，∠
EOD=60°，OE=5，求EF 和DF 地长
6.圆内一弦与直径相交成30
1cm 和
5cm ，则圆心到这条弦地距离为 CM 题组三
7.已知⊙O 地半径为5，圆心O 3，
图2
图3
则⊙O上到弦AB所在直线地距离为2地点有
（）个。
A.1 B.2 C.3 D.4
8.过⊙O内一点M地最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（）
A．3cm B．6cm C．41 cm D．9cm 变式:①如图，P是半径为5地圆O内地一点，且OP=3，过点P且长度小于8地弦有（）
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
②如图， P是半径为5地圆O
，
过点P且长度
小于10且长度为整数地弦有______条.
8.已知⊙O地半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD地距离为
9.已知：⊙Ｏ地半径ＯＡ＝１，ＡＢ＝2，ＡＣ＝3，求∠ＢＡＣ地度数.
10.已知，如图，⊙O地直径AB与弦CD相交于点E，AE=1，BE=5，∠AEC=450，求CD地长。
6
11.如图，∠C=90°，⊙C 与AB
，
CB=12，则AD=_____
D。