广州大学2017-2018常微分方程试卷A答案

广州大学2017-2018学年第一学期考试卷参考答案及评分标准课程 常微分方程 考试形式（闭卷，考试）学院 系 专业 班级 学号 姓名_特别提醒：2017年11月1日起，凡考试作弊而被给予记过（含记过）以上处分的，一律不授予学士学位。

一、 填空（5*3分=15分）1. 方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为恰当微分方程的充要条件是x Ny M ∂∂=∂∂. 2. 若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐次线性方程1111()()()0n n n n n n d x d xdxa t a t a t x dt dtdt---++++=的基本解组，则该齐次线性方程的所有解可表为112212()()()(),,,,n n n x t c x t c x t c x t c c c =+++为任意常数。

3. 设n 阶常系数齐次线性方程11110n n n n n n d x d xdxa a a x dt dtdt---++++=的特征方程有一对k 重共轭复根i λαβ=±，则它们对应的方程的实值解是11cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,,sin t t k t t t k t e t te t t e t e t te t t e t ααααααββββββ--。

4. 常系数方程组()x Ax f t '=+的通解为0()()(),t tA t s A t x t e c e f s ds -=+⎰ 其中c 为任意常数列向量。

5. 定义微分算子dD dt=。

设()P D 是关于D 的一个n 次多项式，它的逆算子记为1()P D 。

则1()()t e v t P D λ= 1()()t e v t P D λλ+ 。

二、解下列方程（3*10分=30分） 1.1dy dx x y=+ 解：令x y u +=，则原方程化为 1du udx u+=分离变量，得(1)1udu dx u u=≠-+ 积分，得ln |1|u u x c -+=+ … … … （6分） 变量还原，得原方程的通解ln |1|y x y c =+++,c 为任意常数。

… … … （9分） 当1u =-时，显然1x y +=- 也是方程的解。

… … … （10分）2. 232212()03xy x y y dx x y dy ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭解：232212,3M xy x y y N x y =++=+， 222,2M N x x y x y x ∂∂=++=∂∂，所以，方程不是恰当方程。

… … … （2分）由于1M Ny xN∂∂-∂∂=，故方程有只与x 有关的积分因子： 1()dxx x e e μ⎰== … … … （6分）方程两边乘以xe ，得232212()03xx e xy x y y dx e x y dy ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即23103x x d x ye y e ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

所以，方程的通解 231()3x e x y y c +=，c 为任意常数。

… … … （10分）3. 232320dy d y d y dx dx dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解：若'0,''0y y ≠≠，原方程可以写成''''''''y y y y = … … … （2分） 即 (ln |''|ln |'|)'0y y -=。

积分，得1'''y c y = … … … （5分） 再次积分，得 12'c xy c e = … … … （7分） 继续积分，得原方程的通解 1231c xc y e c c =+ … … … （9分） 其中，123,,c c c 为任意常数，10c ≠ 。

若''0y =，则12y c x c =+(12,c c 为任意常数)也是原方程的解。

若'0y =，则原方程有解y c =，它包含在解12y c x c =+之中。

… … … （10分）三、（12分）求三阶常系数非齐次线性方程32332584t d x d x dxx e dt dt dt-+-=的实通解。

解：原方程等价于3()t P D x e =其中 322()584(1)(2)P D D D D D D =-+-=--。

特征多项式2()(1)(2)P λλλ=--有两个特征根121,2λλ==（二重根） … … … （2分）所以对应的齐次方程 ()0P D x =的通解为22123()t t tx t c e c e c te =++。

… … … （5分）下面求原方程的一个特解。

由3()tP D x e =，得特解 333111()()(3)2t t tx t e e e P D P === … … … （10分）所以，原方程的通解2231231()+2ttttx t c e c e c te e =++ … … … （12分）其中，123,,c c c 为任意常数。

四、（第一小题10分，第二小题5分，共15分）（1）设1()a t 和2()a t 是[,]αβ上的连续函数，1()x t 是二阶齐次线性方程2122()()0d x dxa t a t x dt dt++= 的一个非零解，证明：该方程的通解为1()121211()()()a t dt x t x t c c edt x t -⎛⎫⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ . (2）验证1()sin x t t t= 是方程2220d x dx x dt t dt ++=的解，并求该方程的通解。

解：（1）设()x t 是方程的任意解，则1()x t 和()x t 的Wronski 行列式 1111()()()=()()()()()()x t x t W t x t x t x t x t x t x t ''=-'' … … … （2分）满足一阶线性方程 1'()()()W t a t W t =-。

积分，得1()1()a t dtW t c e -⎰=即 1()111()()()()a t dtx t x t x t x t c e -⎰''-= … … … （7分）这是关于()x t 一阶非齐次线性方程，故可得通解1()121211()()()a t dt x t x t c c edt x t -⎛⎫⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ … … … （10分） （2）将1()sin x t t t=直接代入方程2220d x dx x dt t dt ++=可知它是方程的一个非零解。

由（1）中的结论，得方程的通解22212121()sin sin 1(cos sin )dt t t x t t c c e dt t t c t c t t-⎛⎫⎰=+ ⎪⎝⎭=-+⎰ … … … （5分）其中，12,c c 为任意常数。

五、（14分）求常系数线性方程组95dx x y dt =-，-+5dy y z dt =，-5dzy z dt=+的通解。

解：系数矩阵9-500-150-15A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

由det()(4)(9)0I A λλλλ-=--=，得到三个特征单根123=0=4=9λλλ，，。

… … （3分） 设1=0λ对应的特征向量为123=(,,)Tu u u u 。

解代数方程1123-950()01-5001-5u I A u u u λ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥-== ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得25,5,19Tu ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

设2=4λ对应的特征向量为123=(,,)Tv v v v 。

解代数方程1223-550()05-5001-1v I A v v v λ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥-== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得()1,1,1Tv =。

设3=9λ对应的特征向量为123=(,,)Tw w w w 。

解代数方程1323050()010-50015v I A v v v λ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥-== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得()1,0,0Tw = … … … （9分） 所以，基解矩阵为3124944259()(,,)5010t t t t tt t e e X t ue ve we e e λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦… … … （12分）因此通解为4912325()119()510()110t tx t y t c c e c e z t ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭… … … （14分）其中，123,,c c c 为任意常数。

六、（第一、第二小题各3分，第三小题8分，共14分） （1）叙述Picard 存在唯一性定理； （2）叙述Peano 存在性定理；(3) 利用Picard 存在唯一性定理求定义在矩形区域2{(,):||1,||1}t x R t x Ω=∈≤≤上的方程2dxx t dt=- 过点(0,0) 的解的存在区间，并求出第三次近似解。

解：(1) Picard 存在唯一性定理:如果(,)f t x 在区域R ：00,t t a x x b -≤-≤上连续且关于x 满足利普希兹条件，则初值问题00(,)()dxf t x dtx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 在区间0t t h -≤上的解存在且唯一。

其中),min(Mba h =，(,)max (,)t x R M f t x ∈=。

… … (3分）(2）Peano 存在性定理：如果(,)f t x 在区域R ：00,t t a x x b -≤-≤上连续，则初值问题00(,)()dxf t x dtx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 在区间0t t h -≤上至少有一个解，其中),min(Mba h =，(,)max (,)t x R M f t x ∈=。

… … （3分）(3）显然，函数2(,)f t x x t =-在区域2{(,):||1,||1}t x R t x Ω=∈≤≤上连续。

由于22fx x∂=≤∂，(,)f t x 在Ω上关于x 满足李普希兹条件，李普希兹常数可取为2L =。

由于(,)max |(,)|2t x M f t x Ω∈==，所以，11min{1,}22h ==。

由Picard 存在唯一性定理，方程通过（0,0）的解的存在区间为11[,]22--。

… … … （4分）下面计算第三次近似解3()t ϕ。

0()0t ϕ=，221001()(())2tt d t ϕξϕξξ=-+=-⎰，22521011()(-())220t t d t t ϕξϕξξ=+=-+⎰，2258113201111()(())2201604400t t d t t t t ϕξϕξξ=-+=-+-+⎰。