傅里叶变换

傅里叶变换及滤波器的设计

图像经过傅里叶变换之后得到的是图像的频域，也就是频率成分。这个频率成分表示的意义是相邻像素之间的变化，也就是说图像在空间中变化越大，他对应在频域上的数值越大。图像经过傅里叶变换，可以提取图像的轮廓或者是边界。 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图。

图像傅里叶变换的物理意义

将图像的灰度的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率函数变换为灰度分布函数。

傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

图像的傅里叶变换的过程

令),(y x f 表示一副图像大小为N M ⨯的图像，其中1.3,2,1,0-=M x ， 1.3,2,1,0-=N y ，),(y x f 的二维离散傅里叶变换可用下式表示：

)//(2101

0),(),(N vy M ux j M x N y e y x f v u F +--=-=∑∑=π ),(v u R 为),(v u F 的实部，),(v u I 为其虚部。

定义).(),(22v u I v u R P +=为傅里叶变换之后的功率谱。)).(),((22v u I v u R sqrt F +=为傅里叶变换的频率谱。)

,(),(arctan

v u R v u I =φ为傅里叶变换的相角。

从上式中可以得出： 1）若),(y x f 是实数则其傅里叶变换是关于原点共轭对称),(),(v u F v u F --=（直接带入原式可以得到该结论），同样傅里叶频谱也是关于原点对称),(),(v u F v u F --=。

),(),(v u F v M u F =+，

),(),(v u F N v u F =+，

),(),(v u F N v M u F =++

),(v u F 关于（M/2,N/2）的两条垂直的轴是对称的。直接带入计算可得证。如直接证明),4/3(),4/(v M u F v M u F +=+？？？？

直接带入计算即可以得到。

2）),(v u F 四个紧邻的周期在变换后的傅里叶图像的中点汇合。

通过在二维傅里叶变换之前将),(y x f 乘以y x +-)1(可以使原点的变换值移动到频率矩形的中心位置。即使得原来的最大值移动到（M/2,N/2）处，移动半个周期。 证明如下：

傅里叶变换示例

1）matlab代码（三通道图像），分为两个文件，其中fyfft为调用的自己写的主函数：

A=imread('J:\2.jpg');

figure,imshow(A);

title('original');

B1=A(:,:,1);

B2=A(:,:,2);

B3=A(:,:,3);

G1=fyfft(B1);

G2=fyfft(B2);

G3=fyfft(B3);

s=cat(3,G1,G2,G3);

figure,imshow(s);

title('result');

imwrite(s,'J:\result2.jpg');

变换函数

function ft=fyfft(I)

figure,subplot(1,2,1),imshow(I);

title('figureB1');

J=fft2(I); %二维离散傅立叶变换

shift_J=fftshift(J); %频谱重排将直流分量移动到图像中心处

RR1=real(shift_J);

II1=imag(shift_J);

ft=sqrt(RR1.^2+II1.^2); %求傅立叶变换后的频谱，即变换后的幅值

%下面的两个操作只是为了将傅里叶变换后的频率用一副图像表示出来，在实际%的傅里叶滤波过程中并不需要

ft=((ft-min(min(ft)))/(max(max(ft))-min(min(ft))))*255;%图像的归一化，

%归一化到0-255之间ft=log(ft); %图像取对数增强

subplot(1,2,2);

imshow(ft);

title('figureB1fft');

示例1：

示例2

’

频域滤波器的设计

1）频率域的基本性质 从二维离散傅里叶变换的定义式可以看出，每个),(v u F 项包含了被指数修正的),(y x f 的所有值，因此除了特殊情况，一般不可能建立图像特定分量和其变换之间的直接联系。然而一般文献都有关于傅里叶变换的频率分量和图像特征空间的直接联系。例如：既然频率与变化率直接相关，直观上要将傅里叶变换的频率与图像中强度变化模式联系起来并不困难。变化最缓慢的频率成分（u=0，v=0）对应一副图像的平均灰度级，从原点移开时，低频对应着图像中变化缓慢的部分，较高的频率对应着图像中变化越来越快的灰度级，这些是物体的边缘有灰度级的突发改变（如噪声）标志的图像成分（它的高频与低频与原图满足这样的对应，但是它并不是像素上一一对应，并不是频率高的像素点对应在图像上就是边缘或噪声点，这点很重要）。

2）在频率域中滤波的基础

● 用)()1(y x +-乘以输入图像来进行中心变换

●

由1式计算图像的DFT ，即F(u,v) ●

用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v) ●

计算3中结果的反DFT ● 得到4中结果的实部（之所以用实部，是因为一般反变换回来之后，虚部的值远远小于实部的值，几乎可以忽略，所以为了简化计算我们只取反变换图像的实部作为图像像素值）

● 用)()1(y x +-乘以5中结果

),(v u H 被称为滤波器的原因是它在变换中抑制某些频率但其他频率部受影响。其输出为),(),(),(v u F v u H v u G =，),(v u H 与),(v u F 中元素对应相乘，若),(v u H 中每一个元素为实数，则H 中每一个分量乘以F 中相应分量的实部和虚部，不会改变),(v u F 的相位，这种滤波器被成为零相移滤波器。