求两个正整数的最大公约数的辗转相除法算理
求两个正整数的最大公约数的辗转相除法算理
如何求两个正整数的最大公约数？这是高中数学必修三算法一章中的内容。用算法求解此问题时，教材中介绍了一种古老而有效的算法——辗转相除法。对于辗转相除法以及同节中的更相减损术的算法易理解，但其中的算理，不少学生甚至老师都有一些疑惑，为了解决这个疑问，笔者进行了思考。
一、被除数与除数的公约数集与除数与余数的公约数集相等吗
“用辗转相除法求 8151 与 6105 的最大公约数，我们可以考虑用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：
8251=6105×1+2146
由此可得，6105 与 2146 的公约数也是 8251 与 6105 的公约数，反过来 8251 与 6105 的公约数也是 6105 与 2146 的公约数，所以它们的最大的公约数相等。”
从以上例子中不难看出，运用了“被除数与除数的公约数集与除数与余数的公约数集相等”这一结论。下面对这一结论予以证明。
设 a=b×q+r，其中 a 为被除数，b 为除数，q 为商，r 为余数．
§1.2 最大公约数与辗转相除法
§2 最大公约数与辗转相除法 一、有关概念 1、定义：123,,,...,n a a a a 的公因数， ()123,,,...,n a a a a 及()123,,,...,1n a a a a = 2、说明：1公因数不可能是0；1是必然的公因数； 2 0与非零数b 的公因数就是b 的因数； 3两两互质与互质的关系； 4 (,)(,)a b b a = 5(0,)b b = ； (1,)1b = 6若(,)a b b =，则b ∣a 7若12(,)1a a =，则()123,,,...,1n a a a a = 3、定理：123,,,...,n a a a a 与123,,,...,n a a a a 相同的公因数。 ? ()123,,,...,n a a a a =123(,,,...,)n a a a a 4、求最大公因数的方法： 1观察法； 2短除法；3辗转相除法。
二、辗转相除法 定理1：设,,a b c 是不全为0的整数，且a bq c =+，q 为整数 则（1）,a b 与,b c 有相同的公因数； （2）()(),,a b b c = 定理2：设,a b 为正整数，则(),n a b r = 推论：,a b 的公因数与(),a b 的因数相同。 例1 证明:当n N +∈时， 143 214 n n ++为既约的真分数。 例2 求()1859,1573-及()169,121 例3 某数除193余4，除1087余7，求符合要求的最大整数。 例4 某数除300，262，205余数相同，求这个数。 三、最大公因数的性质 1、()(),,am bm a b m m =为正整数 2、() ,,a b a b δδδδ?? = ??? 为,a b 的公因数 3、()(),1,,a b a b a b ??= ? ??? 4、设()122,a a d =， ()233,d a d =，()1,n n n d a d -= 则()123,,,n n a a a a d = 例5 设(),1a b = ，求(),a b a b +-
乘除法巧算技巧
乘除法巧算技巧
乘除法巧算技巧 1、两位数（三位数）×11 方法：两头一拉，中间相加。注意在相加时，哪一位满10要向前一位进一。 例：23×11=253 78×11=858 358×11=3938 2、两位数×99 方法：将与99相乘的两位数减1写在前边，后边写上这个乘数的补数。 例：63×99=6237 3、二十以内的两位数乘法。 方法：尾乘尾（有进位的要向前一位进）；所得的的数写在个位。 尾加尾（在计算中个位有进上来的数要一并加上，本位有进位 再向前一位进）所得的的数写在十位 头乘头（有前一位进上来的数要加上）所得的数写在百位 例：16×14=224 4、个位都是1的两位数乘法。 方法：尾乘尾，所得的的数写在个位 头加头（有进位的要向前一位进）所得的的数写在十位 头乘头（有前一位进上来的数要加上）所得的数写在百位
例：71×81=5751 5、任意两位数×101，三位数×1001 方法：将这个两位数（三位数）直接排两遍写在结果上。例：26×101=2626 368×1001=368368 6、个位数互为补数，十位数相同的两位数乘法。 方法：个位乘个位，所得的数写在结果的后边（不足两位的在十位上补“0”） 十位其中一个数加1后十位乘十位，结果写在前边 例：62×68=4216 7、个位数相同十位数互为补数的两位数乘法。 方法：个位乘个位，所得的数写在结果的后边（不足两位的在十位上补“0”） 十位数相乘的积再加上一个个位数，结果写在前边。 例：26×86=2236 8、两位数乘两位数，其中一组数为相同数，另一组数互为补 数。 方法：同6. 例：66×37=2442
顺应学生学习心理 理解算理掌握算法
顺应学生学习心理理解算理掌握算法 北京市通州区教师研修中心刘东旭《数学课程标准》（2011版）中指出：数学课程“要符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知识与技能的数学结果时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”。无论是儿童的认知规律、心理特征，还是学生已有的生活经验，都要以读懂学生为前提。只有真正的以“学生”为立足点和出发点,处处体现“以生为本”的新课程教学理念,才能让数学课堂更有实效性。 《9加几》一课是北京版课改实验教材一年级第一册中的内容。这部分知识是学生正式学习进位加法的第一课，可以说不仅是低年级计算教学的重点，而且在整个小学计算教学中都起着非常重要的作用。我在上课前进行了如下的设计。首先从生活情境的引入搜集数学信息提出数学问题，列出9+5这个算式；其次是9+5的算法交给学生来汇报，预设为凑十法即把9凑十或把5凑十，数数法，假设法即把9假设成10和把5假设成10，汇报的过程中理解每种算法的道理，针对凑十法用小棒让学生操作活动中理解；接着是针对出现的算法同学们根据自己的感觉进行比较说说哪种方法好，对算法进行优化突出凑十的方法；最后是用凑十法解决相关问题。 当我准备上课前的几天，我反复推敲着教案，想着学生现在的种种表现，我想还是再做做前测，看看我的预设和孩子的现状是不是真的吻合。我给43名同学出了9+6这道题，通过口头的方式逐一访谈：你是怎么算出这道题的？前测的结果让我真是惊讶。43名同学除了2名同学需要一点时间算这道题之外，其余41名同学都马上说出了结果15，快速计算的正确率为95%，而且这43名同学中，除了3名同学用的是假设法把9看成了10来计算外，其他同学不管是凑大数还是凑小数都是用的凑十法，用凑十法的百分比是93%，但是追问凑十的道理很少有人能讲的清楚。对于数数的方法根本就没有人用。看着测试的结果，我陷入了思考：学生的原有知识经验比我预想的要高，他们在幼儿园学习了计算，或是上课幼小衔接的先行班，对于这个计算他们不陌生，结果他们都能正确算出来，他们所不知道的是这其中的道理，这也正是这节课我应该讲的。根据前测的结果我调整了设计好的教案，为了避免孩子操作的无目的性，更集中精力思考问题，我
乘除法中的速算与巧算
乘除法中的速算与巧算 知识储备 整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整” 。要达到“凑整”的目的, 就要将一些数分解、 变形，再运用乘法的交换律、 结合律、分配律以及四则运算中的一些规 则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简便化。 1、 乘法的运算定律 乘法交换律：a>b=b 冶 乘法结合律：(a >b) >c=a >(b >C) 乘法分配律：(a + b) >C=ac + bc 2、 除法的运算性质 (1) a -b=a >C 说b > c) (c 工 0) (2) a — b=(a 十 c)十(b 十 c 芳(0) (3) a — b — c=a —(t )) (4) a — (b — c)=a -> 3、 乘除分配性质 (1) (a + b ) X c=a X c + b c (2) (a — b ) X c=a X c — b X c (3) (a + b ) —c=a —+ b — c (4) (a — b ) —c=a —— b — c 注意: 除数不能为零。 4、 两数之和乘以这两数之差的积等于这两个数的平方差。 2 . 2 (a + b) > (a — b)= a — b 5、 乘法凑整法：这是利用特殊数的乘积特性进行速算， 如5> 2 = 10, 25 X 4 = 100, 125 > 8 = 1000, 625X 8= 5000 , 625X 16= 10000等等。大家要记住这些结果。 思维引导 例1、计算: (1) 999+ 999X 999 (2) 1111X 9999 (3) 125X 25X 32 (4) 576X 422 + 576 + 577 X 576 跟踪练习：计算：(1) 9999 + 9999 X 9999 (2) 140X 299 (3) 808X 125 (4) 461 + 5 X 4610 + 461 X 49 例 2、计算：34X 172— 17X 71 X 2— 34
如何帮助学生理解算理和掌握算法
如何帮助学生理解算理和掌握算法 发表时间：2018-03-22T10:56:41.597Z 来源：《教育学文摘》2018年3月总第258期作者：崔文清 [导读] 在计算教学中，算理与算法是两个不可或缺的关键，算理是对算法的解释，是理解算法的基础，算法是对算理的总结与提炼。——《两位数除以一位数的笔算》教学案例与反思 ◆崔文清山东省平度市李园街道西关小学266700 摘要：在计算教学中，算理与算法是两个不可或缺的关键，算理是对算法的解释，是理解算法的基础，算法是对算理的总结与提炼，它们是相互联系、有机统一的整体，教学中教师要善于引导学生通过系列数学活动理解算理抽象算法，体验由直观到抽象的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实掌握。 关键词：算理算法运算能力 运算能力是修订稿新加入的核心概念，运算能力在2011版《数学新课程标准》里的界定是：运算能力主要是指能够根据法则和运算定律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 在计算教学中，算理与算法是两个不可或缺的关键，算理是对算法的解释，是理解算法的基础，算法是对算理的总结与提炼，它们是相互联系、有机统一的整体，透彻理解算理和熟练掌握算法是提高学生计算能力的重要保证，计算教学既要让学生在直观中理解算理，又要让学生理解抽象的算法，还要让学生体验由直观到抽象的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实掌握。 下面我就青岛版小学数学三年级上册《风筝厂见闻——两位数除以一位数的笔算》谈谈我是如何帮助学生理解算理和掌握算法的。 一、准确把握教材意图，科学设计教学过程 本节课是两三位数除以一位数的信息窗2， 教材呈现的是借助学具帮助学生理解竖式的算理，小棒是一捆一捆的，一捆就是一个十，学生习惯上先分6捆，也就是先把6个十来分，再分3根，正好与竖式先从十位除起相对应。新教材呈现的分小棒的过程是横着摆，而我在借助课件演示的时候，采用竖着分，我认为这样更有利于让学生借助分小棒来理解竖式的计算过程。 二、借助学具帮助学生理解算理和掌握算法 1.重视摆学具说分法的过程 用学具将63根小棒平均分成3份，学生很容易分出来，但分的过程对我们理解竖式的算理至关重要，因此我在分之前，先提醒学生：“先商议一下，先分什么，再分什么，然后动手分一分。”因为是6捆加上3根，学生习惯上会先分6捆，再分3根，但也有一部分学生是先分3根后分6捆，第二种分法虽然正确，但对于我们这节课来说，容易对学生用竖式表示分小棒的过程产生障碍，所以我重点让学生展示第一种分法，并且让学生多次叙述是怎样分的，即：把63根小棒平均分成3份，先把6捆小棒平均分成3份，每份是2捆，也就是20根，再把剩下的三根平均分成3份，每份是1根，20+1＝21根。对学生的第二种分法一带而过，不予详评。 2.借助课件演示，巧妙地将算理与算法相结合 当学生用学具分完以后，我让学生计算63÷3=，学生根据摆小棒的过程，很容易口算出60÷3=20,3÷3=1 ，20+1=21，我实时引导学生：“你能用竖式把刚才摆小棒的过程表示出来吗？”让学生自己试做，学生做出了两种方法。
除法中的巧算(含答案)-
除法中的巧算 （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=?÷? 或 ()() ()=÷÷÷≠a n b n n 0 如：()()123122322464÷=?÷?=÷= 或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷= 例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）82525÷ （2）47700900÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）82525÷ ()() =?÷?=÷=8254254330010033 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。 （2）47700900÷ ()() =÷÷÷=÷=47700100900100477953 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。 在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷
如：()126212262639+÷=÷+÷=+= ()126212262633-÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例2. 用简便方法计算。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ 分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ =÷+÷=+=25051655 503383 =÷-÷-÷=--=7023213341432347113825 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223÷÷=÷÷ （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。 一般有：a b c a c b ?÷=÷? 或=÷?b c a 如：1262122636?÷=÷?= 或：1262621236?÷=÷?= 例3. 计算下面各题。 （1）52575÷÷
计算教学中,如何处理算理与计算方法的关系
1.计算教学中，如何处理算理与计算方法的关系？ 计算的算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。计算的算法是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。 算理和算法既有联系，又有区别。算理是客观存在的规律，主要回答“为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题。算理是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和规则，它是算理的具体体现。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。 处理好算理与算法的关系对于突出计算教学核心，抓住计算教学关键具有重要的作用。当前，计算教学中“走极端”的现象实质上是没有正确处理好算理与算法之间关系的结果。一些教师受传统教学思想、教学方法的支配，计算教学只注重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导，教学方式“以练代想”，学生“知其然，不知其所以然”，导致教学偏向“重算法、轻算理”的极端。 与此相反，一些教师片面理解了新课程理念和新教材，他们把过多的时间用在形式化的情境创设、动手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生理解算理过繁，掌握算法过软，形成技能过难，教学走向“重算理、轻算法”的另一极端。 如何正确处理算理与算法的关系，防止“走极端”的现象，广大数学教师在教学实践中进行了有益的探索，取得了许多成功经验。比如，“计算教学要寻求算理与算法的平衡，使计算教学‘既重算理，又重算法”“把算理与算法有机融合，避免算理与算法的‘硬性对接’”“引导学生在理解算理的基础上自主地生成算法，在算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理”“计算教学要让学生探究并领悟算理，及时抽象并掌握算法，力求形成技能并学会运用”等等，这些观点对于计算教学少走弯路、提高计算教学质量具有重要作用。 处理计算教学中算理与算法的关系还应注意以下五点：一是算理与算法是计算教学中有机统一的整体，形式上可分，实质上不可分，重算法必须重算理，重算理也要重算法；二是计算教学的问题情境既为引出新知服务，体现“学以致用”，也为理解算理、提炼算法服务，教学要注意在“学用结合”的基础上，以理解算理，掌握算法，形成技能为主；三是算理教学需借助直观，引导学生经历自主探索、充分感悟的过程，但要把握好算法提炼的时机和教学的“度”，为算法形成与巩固提供必要的练习保证；四是算法形成不能依赖形式上的模仿，而要依靠算理的透彻理解，只有在真正理解算理的基础上掌握算法、形成计算技能，才能算是找到了算理与算法的平衡点；五是要防止算理与算法之间出现断痕或硬性对接，要充分利用例题或“试一试”中的“可以怎样算？”“在小组里说一说，计算时要注意什么？”等问题，指导学生提炼算法，为算理与算法的有效衔接服务。
除法中的巧算
除法中的巧算 （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：()() a b a n b n ÷=?÷? 或 ()() () =÷÷÷≠a n b n n 0 如：()()123122322464 ÷=?÷?=÷= 或 ()()12612262632 ÷=÷÷÷=÷= 例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）（2）82525÷47700900 ÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）82525 ÷ ()() =?÷?=÷=8254254330010033 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。 （2）47700900 ÷ ()() =÷÷÷=÷=47700100900100477953 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。 在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷ 如：()126212262639 +÷=÷+÷=+= ()126212262633 -÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例2. 用简便方法计算。 （1）()2501655 +÷
（2）()7022134143 --÷ 分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。 （1）（2）()2501655+÷()7022134143 --÷ =÷+÷=+=25051655503383=÷-÷-÷=--=7023213341432347113825 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223 ÷÷=÷÷ （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。 一般有：a b c a c b ?÷=÷? 或=÷?b c a 如：1262122636?÷=÷?= 或：1262621236?÷=÷?= 例3. 计算下面各题。 （1）52575÷÷ （2）12858 ?÷ 分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。 （1）（2）52575÷÷12858 ?÷ =÷÷=÷=52557105715 =÷?=?=1288516580 在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质： 1. 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。 一般公式：()a b c a b c ÷?=÷÷ 如：()126212621 ÷?=÷÷= 例5. 简便计算下面各题。 （1）()75679÷?
如何处理算理和算法的关系
如何处理算理和算法的关系 算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的，算理与算法，贵在合谐，而寻求算理与算法的平衡点是计算教学理性回归需要解决的主要问题。算法多样化，算理要让学生掌握数学思想方法。 怎样处理好算理与算法教学统一，使学生既理解算理，又能牢固掌握算法、提高计算的速度和正确率呢？下面就以两位数乘一位数为例，说说如何实现理算理与算法的的教学统一。 1、引导研究，理解算理 学生只有理解了计算的道理，才能“创造”出计算的方法，才能理解和掌握计算方法，才能正确迅速地计算，所以计算教学必须从算理开始。教学中要引导学生对计算的道理进行深入的研究，帮助学生应用已有的知识领悟计算的道理。首先引导学生思考：为什么可以用14×2计算？使学生明白14×2表示求2个14是多少；其次，让学生思考：你打算怎么计算14×2？使学生明白14是由1个十和4个一组成的，可以把14×2转化成已经学过的乘法计算：先算2个10 是多少，再算2个4是多少，最后把两次算的得数合并，计算的过程有三个算式：4×2＝8，10×2＝20，20＋8＝28。通过这样的研究学生就理解两位数乘一位数计算的道理，学生就能应用这样的道理解决其他两位数乘一位数的计算问题。 2、及时练习，巩固内化 通过上面的计算研究，学生虽然理解了两位数乘一位数的道理，但是此时学生对算理的理解还处于似懂非懂的状态，学生是否真正掌握了算理还要经过实际计算才能得到检验和巩固，此时及时组织学生进行相应的练习是很有必要的，只有在练习中才能把算理内化为自己的理解，才能使学生理解和掌握算理。所以在学生初步理解了算理后，应当及时组织学生用三个算式进行两位数乘一位数的练习，使学生在练习中加深对算理的理解，在练习中牢固掌握算理，为后面的抽象、概括计算方法奠定坚实的基础。 3、应用算理，进行创造。算理是计算的思维本质，如果都这样思考着算理进行计算，不但思维强度太大，而且计算的速度很慢算。为了提高计算的速度，使计算更方便、快捷，就必须寻找到计算的普遍规律，抽象、概括出计算法则。计算法则是算理的外在表达形式，是避开了复杂思维过程的程式化的操作步骤，它使计算变得简便易行，它不但提高了计算的速度，还大大提高计算的正确率。所以当学生理解和掌握了算理之后，应引导学生对计算过程进行反思，启发学生再思考：计算14×2要写出三个算式，你的感觉怎样？可以简化一下吗？怎么简化？学生通过独立思考、同伴交流创造方便、快捷的计算方法：可以像计算加减法那样用竖式计算，根据算理：先算4×2＝8，在个位上写上8，再算10×2＝20，在十位上写2、个位上写0，最后再把8和20加起来等于28，得出算理竖式。接着再启发学生思考：还能再简化吗？通过师生共同研究，最终得出：加号可以省略，还可以把8个一与2 个十直接合并，优化成简化竖式。 4、观察比较，归纳方法
(完整word版)三年级奥数乘除法中的巧算
第二讲速算与巧算（二） 一、乘法中的巧算 1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特 殊的等式： 5×2=10 25×4=100 125×8=1000 例1计算①123×4×25 ② 125×2×8×25× 5×4 解：=123×（4×25） =（125×8）×（25×4） ×（5×2） =123×100＝12300 =1000×100× 10=1000000 2.分解因数，凑整先乘。 例2计算①24×25②56×125 ③ 125×5×32×5 =6×（4×25） =7×8×125=7×（8×125） =125 ×5×4×8×5 =6×100 =7×1000 = （125×8）×（5×5×4） =600 =7000 =1000×100=100000
3.应用乘法分配律。 例3计算① 175×34＋175×66 ②67×12+67×35＋67×52+6 解： =175×（34+66） =67×（12＋35＋52＋1） =175×100 ＝ 67×100 =17500 ＝6700 例4计算① 123×101 ② 123×99 解： =123×（100＋1）=123×100＋123 =123×（100-1） ＝12300＋123 =12300-123 =12423 =12177 4.几种特殊因数的巧算。 例5一个数×10，数后添0； 一个数×100，数后添00； 一个数×1000，数后添000； 以此类推。 如：15×10=150 15×100=1500 15×1000＝15000 例6一个数×9，数后添0，再减此数； 一个数×99，数后添00，再减此数；
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数及其c语言实现
又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。 在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i 和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相减法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 ×12；105 = 21 × 5）；因为252 ? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 ×105 + (?2) × 252。这个重要的等式叫做贝祖等式。 简单的想法 设两数为a、b(a>b)，b最大公约数(a，b)的步骤如下： 用b除a，得a=bq......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b； 若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q......r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1， 若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为(a，b)。
设两数为a、b(b 教育随笔：在学习中不断领悟 教育随笔：在学习中不断领悟今天，我们年段小课题的老师又聚集在一起，进行了“如何处理好算理与算法之间的关系？”的话题探讨。在实际教学中，我们发现一些教师受传统教学思想、教学方法的支配，计算教学只注重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导，教学方式“以练代想”，学生“知其然，不知其所以然”，导致教学偏向“重算法、轻算理”的极端。与此相反，一些教师片面理解了新课程理念和新教材，他们把过多的时间用在形式化的情境创设、动手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生理解算理过繁，多种算法却一种也没掌握的局面，走向了“重算理、轻算法”的另一极端。因此我们进行“如何处理好算理与算法之间的关系？”的话题探讨就显得十分必要。通过对相关理论文章的学习，我们进一步明确了什么是算理，什么是算法。知道算理和算法既有联系，又有区别。算理是客观存在的规律，主要回答“为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题。算理是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和规则，它是算理的具体体现。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。通过课题组成员对“如何正确处理算理与算法的关系？”的激烈探讨，得到了这样的结论：计算教学要寻求算理与算法的平衡，使计算教学“既重算理，又重算法”；把算理与算法有机融合，避免算理与算法的“硬性对接”；引导学生在理解算理的基础上自主地生成算法，在算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理；计算教学要让学生探究并领悟算理，及时抽象并掌握算法，力求形成技能并学会运用。同时在教学中所创设的问题情境要较好地为理解算理、掌握算法服务；要把握好算法提炼的时机，让算理与算法有效衔接。每一次的学习、探讨，我们都有着一定的收获。今天的话题探讨同样为我们提供了一次很好的学习机会，让我们在探讨中不断领悟，在领悟中不断提升。 《辗转相除法》教学设计 一．教材分析 本节课是人教版必修三第一章《算法初步》第三节《算法案例》的第一课时，作为案例课，在整章中既是算法的总结，又是一个提升。教材突出了数学的人文价值，又为学生提供了探索算法的平台。二．学情分析 本节课的教授对象是高一学生，他们已经具备一定的数学基础和编程能力，已经掌握了用短除法求最大公约数的方法。现在学习辗转相除法，学生能够掌握辗转相除法的步骤，但是在具体做法的理解上并不到位，需要合作探究。 三．教学目标 1. 知识与技能目标： （1）理解辗转相除法的原理，能用辗转相除法求两正整数的最大公约数； （2）能读懂辗转相除法的程序框图，并能写出对应的程序语句。 2. 过程与方法目标：在学习辗转相除法的过程中，对比短除法，体会辗转相除法的优势，及其体现的化归思想。 3. 情感态度价值观： （1）通过辗转相除法的应用，提升计算能力，提高运算准确性。（2）通过程序的实际操作来体会算法的实用性、便捷性和高效性。四．教学重点和难点 1. 重点：辗转相除法的步骤及算法的理解。 2. 难点：辗转相除法的原理的理解，及辗转相除法的算法的理解。 五．预设问题：如何理解辗转相除法的原理。 六．预习反馈：1.为什么除数与余数的公约数也是被除数与除数的公约数？（1、2、6、8、9组） 2.为什么最后一步的除数为最大公约数？（1、3、6、8组） 3.怎样理解辗转相除法的算法？（3、5、11组） 七．教学课时：1课时 八．教学方法：依据“大三步”教学模式，以问题及问题链为主线，调动学生的学习积极性，使学生真正参与到课堂中，通过小组合作探究，充分的展示自己。 九．教学手段：利用多媒体辅助教学，可以降低学生的学习难度、增加课堂容量。 十．教学过程 （一）创设情景，引入课题 1.首先提出问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与24的公约数吗？ 2.进一步提出问题，如果用短除法求6757 与8729的最大公约数，可不可以行，方不方便？如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？ （二）展示反馈问题 1.为什么除数与余数的公约数也是被除数与除数的公约数？ 小学数学计算课理解算理和掌握算法之浅谈计算是学生最基本的数学素养。小学数学教学内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大板块。数与代数包括整数、小数、分数、百分数加减乘除四则运算，运用运算定律进行简算，等式与方程等计算内容；图形与几何包括平面图形的周长与面积、立体图形的表面积与体积等计算内容；统计与概率包括求平均数、众数、中位数等计算内容；综合与实践以问题为载体，学生综合应用计算内容和方法解决简单的生活实际问题。可以说计算贯穿小学数学教学的始终。从思维角度看，计算是依据数和运算的意义以及运算的定律进行逻辑推理的过程。就计算的种类来讲可以分为口算、笔算、估算三大类。比较简单的计算通过心算可以得出结果就是我们所说的口算；当数字较大不能很快算出得数，需要把计算过程书写下来，就是我们所说的笔算；估算就是大致推算，可以推算最大值、最小值或大约是多少。2011年新课程标准把发展学生的运算能力当做十大核心概念之一，可见计算在小学课程中的重要性。无论哪种类型的计算都离不开学生对算理的理解，算法的掌握与应用。下面结合自己的教学实践谈谈对理解算理和掌握算法的几点体会。 一、算理与算法的关系 算理是客观存在的规律，是计算过程中的道理，是指计算过程的思维方式，解决为什么这样算的问题。算法是计算的方法，主要是指计算的法则，就是简化了复杂的思维过程，添加了认为规定的程序化的操作步骤，解决如何算的方便、准确的问题。如:计算312+56时，根据数的组成进行计算312是由3个百、1个十、2个一组成的，56是由5个十、6个一组成的。先把2个一与6个一相加是8个一，然后1个十与5个十相加是6个十，最后把3个百、6个十、8个一合并的368，这就是算理。当学生进行一定量的练习后，发现了这样的计算规律：个位只能与个位相加，十位只能与十位相加，百位只能与百位相加，也就是相同数位上的数才能直接相加，再把几个得数合并起来，这个过程就是学生感悟算理的过程。最后优化计算过程，写成竖式，概括出计算法则：相同数位对齐，从个位加起，满十向前一位进一，这就是算法。 由以上分析可以看出：算理是算法的理论依据，为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合法性和正确性；算法是算理的提炼、概括和总结，为计算提供了便捷的操作方法，从而提高计算的速度和准确率。算理和算法是相辅相成有机统一的。 二、教学流程中如何感悟算理、掌握算法 小学数学计算课大致分为：检查预习，确定起点——创设情境，感知算理 奥数专题——除法中的巧算 （一）学习方法指导 我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=?÷? 或 ()() ()=÷÷÷≠a n b n n 0 如：()()123122322464÷=?÷?=÷= 或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷= 例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）82525÷ （2）47700900÷ 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）82525÷ ()() =?÷?=÷=8254254330010033 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。 （2）47700900÷ ()() =÷÷÷=÷=47700100900100477953 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。 在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷ 如：()126212262639+÷=÷+÷=+= ()126212262633-÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例2. 用简便方法计算。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ 分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。 （1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷ =÷+÷=+=25051655 503383 =÷-÷-÷=--=7023213341432347113825 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223÷÷=÷÷ （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。 一般有：a b c a c b ?÷=÷? 或=÷?b c a 如：1262122636?÷=÷?= 或：1262621236?÷=÷?= 例3. 计算下面各题。 （1）52575÷÷ （2）12858?÷ 分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。 （1）52575÷÷ （2）12858?÷ 除数是一位数的笔算除法》的算理和算法教学 本文主要针对官渡区六甲小学教研活动中执教李老师的一堂三年级下《除数是一位数的笔算除法》课程进行分析。课中李老师引导学生回忆口算除法和表内除法竖式的笔算，为学习新课做了铺垫。讲授新课环节李老师一改以往的教学方式，基于学生是“数学学习的主人”这一教学理念，从学生的认知发展水平和已有知识经验，组织探究笔算方法的活动。一个好的老师不一定是教出的学生各个考高分，但一定是教出的学生学习的兴趣、积极性高。 1算理和算法的含义 何为算理？顾名思义，算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，是解决为什么这样算的问题。如《除数是一位数的笔算除法》这节课中，李老师紧扣教学目标，根据学生提出的问题，列出式子：42?？。学生已有一定的口算基础，领着学生一起回忆口算的过程，42是由4个十，2个一组成，4个十除以2就是2个十，2个一除以2得到1个一，2个十和1 个一合并是21，这即是算理。 算法是计算的方法。42?？的竖式计算就是这节课所要学习的算法。如 2算理与算法的关系 被除数的十位上的4表示4个十，4个十除以2商2个十， 要在商的十位上写2。个位上还有2，2除以2得1，要在商的个位 （跟被除数的个位对齐。）上写1，这是学生在感悟算理的过程。当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律：笔算除法的计算顺序和口算一样，要从被除数的高位除起，42?？中除数2去乘2个十，积是4个十，表示从被除数中已经分掉的数，写在42 十位的下面。4 减4 得0，表示十位上的数已分完了，个位上还有2，要带下来继续除。2除以2得1，用除数2去乘1，积是2，表示从被除数中又分掉的数，写在落下来的被除数的个位上的2 的下面。2 减2 得0，在余数的位置上写0，表示个位上的数也分完了，过程结束，这是学生总结算法的过程。 从上面的分析可以看出算理与算法有这些关系：算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法; 算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度; 算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，算法必须以算理为前提，算理必须经过算法实现优化，它们是相辅相成的。 3如何实现算理和算法的统一怎样处理好算理与算法教学统一，使学生既理解算理，又能牢固掌握算法、提高计算的速度和正确率呢？下面就以李老师执教的人教版数学三年级下册除数是一位数的笔算除法这节课为例。 3.1引导研究，理解算理 学生只有理解了计算的道理，才能“创造”出计算的方法，才能理解和掌握计算方法，才能正确迅速地计算，所以计算教学必须从算理 算法案例——辗转相除法 育才中学潘敏 一、教材分析 选自苏教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第4节。 1、地位作用： 与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，从日常生活的电子邮件发送到繁忙的交通管理，从与人们生产、生活息息相关的天气预报到没有硝烟的战争模拟等等都离不开计算机算法。算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程，求解方程的步骤，以及将要学习的数列求和等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法思想。 本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法，巩固算法三种描述性语言（自然语言、流程图和伪代码），提高学生分析和解决问题的能力。 2、教学目标： （1）知识目标： ①理解辗转相除法原理； ②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法； ③能应用迭代算法思想。 （2）能力目标： ①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力； ②培养学生自主探索和合作学习的能力。 （3）情感目标： ①使学生进一步了解从具体到抽象，抽象到具体的辨证思想方法，对学生进行辨证唯物主义教育； ②创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学生在活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。 3、教学重点与难点： （1）教学重点： ①理解辗转相除法原理； ②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法。 （2）教学难点： ①理解和区分两种循环结构表达辗转相除法； ②能应用迭代算法思想。 二、教法学法 1、教法：以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，从而突出教学重点，并采用多媒体教学，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开。 2、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。 乘除法巧算 一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不久，三个徒弟摘完桃子高高兴兴回来。唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子? 八戒说：我们每人摘的一样多。我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数。数到最后还剩1个。 沙僧说：我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。 悟空说：我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。 你知道他们每人摘了多少个桃子吗? 同加减法速算一样，乘除法速算大部分也是通过“化零为整”的思想来实现的。但更多地，乘除法速算是利用对数的拼、拆及改变运算顺序与符号等方法，使得某些数成为整十、整百、整千……的数。 为了更好地“凑整”，同学们要牢记这样几个性质： 乘法的性质： 1．乘法交换律：两个或几个数相乘，任意改变乘数的位置，其积不变。 用字母表示为：a × b ×c = b × a × c = a × c × b = c × b × a。 2．乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。 用字母表示为：a × b × c =（a × b）× c = a ×（b × c）。 3．乘法分配律：两个数之和（或差）与一数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这两个积相加（或减）。 用字母表示为：（a + b）× c = a × c + b × c；（a–b）× c = a ×c–b × c。 除法的性质： 1．商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变。 用字母表示为：a ÷ b =（a × c）÷（b × n）（n ≠ 0）；a ÷ b =（a ÷ m）÷（b ÷ m）（m ≠ 0）。 2．两数之和（或差）除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和（或差）。 用字母表示为：（a ± b）÷ c = a ÷ c ± b ÷ c。 注意，此性质可以推广到多个数之和（或差）的情形。 乘、除法混合运算的性质： 1．在乘、除法混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如：a × b ÷ c = a ÷ c × b = b ÷ c × a。 2．在乘、除法混合运算中，去括号时，当括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变，即a ×（b × c） = a × b × c，a ×（b ÷ c）= a × b ÷ c。当括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”，即a ÷（b × c）= a ÷ b ÷ c，a ÷（b ÷ c）= a ÷ b × c。 添加括号时，当括号前添“×”时，原符号不变；当括号前添“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”，即“a × b × c = a ×（b × c），a × b ÷ c = a ×（b ÷ c）；a ÷ b ÷ c = a ÷（b × c），a ÷ b × c = a÷（b ÷ c）。 3．两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即（a × b）÷（c × d） = （a ÷ c）×（b ÷ d） =（a ÷ d）×（b ÷ c）。 此外，还有一些乘除算式有一些特殊的计算方法，这就需要同学们平时注意观察积累。教育随笔：在学习中不断领悟
辗转相除法教学设计
小学数学计算课理解算理和掌握算法之浅谈
7除法中的巧算(含答案)-
《除数是一位数的笔算除法》的算理和算法教学-精品教育文档
算法案例——辗转相除法
新三第14讲 乘除法巧算