§1.2 最大公约数与辗转相除法

§2 最大公约数与辗转相除法 一、有关概念
1、定义：123,,,...,n a a a a 的公因数，
()123,,,...,n a a a a 及()123,,,...,1n a a a a =
2、说明：1公因数不可能是0；1是必然的公因数； 2 0与非零数b 的公因数就是b 的因数； 3两两互质与互质的关系； 4
(,)(,)a b b a =
5(0,)b b = ； (1,)1b = 6若(,)a b b =，则b ∣a
7若12(,)1a a =，则()123,,,...,1n a a a a = 3、定理：123,,,...,n a a a a
与123,,,...,n a a a a 相同的公因数。

⇒
()123,,,...,n a a a a =123(,,,...,)n a a a a
4、求最大公因数的方法：
1观察法； 2短除法；3辗转相除法。

二、辗转相除法
定理1：设,,a b c 是不全为0的整数，且a bq c =+，q 为整数 则（1）,a b 与,b c 有相同的公因数； （2）()(),,a b b c = 定理2：设,a b 为正整数，则(),n a b r = 推论：,a b 的公因数与(),a b 的因数相同。

例1 证明:当n N +∈时，
143
214
n n ++为既约的真分数。

例2 求()1859,1573-及()169,121 例3 某数除193余4，除1087余7，求符合要求的最大整数。

例4 某数除300，262，205余数相同，求这个数。

三、最大公因数的性质
1、()(),,am bm a b m m =为正整数
2、()
,,a b a b
δδδδ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
为,a b 的公因数
3、()(),1,,a b a b a b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
4、设()122,a a d =， ()233,d a d =，()1,n n n d a d -= 则()123,,,n n a a a a d =
例5 设(),1a b = ，求(),a b a b +-
例6设,a b 为正整数，且a b ≤，50a b +=，(),5a b = 求,a b
练习：某商场两年销售额分别是36963元和59570元，单价是相同的整数元，求各年销售商品各多少件？
§3 整除的进一步性质与最小公倍数
,a b 为任意的正整数，则
1
(1)1,2,,k k k
k Q a Pb r k n --=-= 其中，11211,k k k k P P q P P q P --===+ 1210,11,2,,k k k k Q Q Q Q q Q k n --===+= 推论：设,a b 为任意两个不全为0的整数，则存在两个整数,s t 使得
(,)as bt a b += 成立，反之不成立。

例如 4,6a b == 有3(1)6(,)a b a b ⨯+⨯-== 定理： (,)1a b =⇔存在整数,s t 使得
1as bt +=
例 求整数,s t 使()169121169,121s t += 推论1：设,,a b c 为整数，且(,)1a c =，则 （1）,ab c 与,b c 有相同的公因数； （2）(,)(,)ab c b c =
推论2：若(,)1a c =，且,c ab 则c b
推论3：若12,,,;n a a a 12,,,m b b b 是两组任意的整数，且
(,)1i j a b =，
1,2,,1,2,,i n
j m
==
则（12,n a a a 12m b b b ）=1 二、最小公倍数
1、定义：[,]a b 123[,,,,]n a a a a
2、说明：1 0i a ≠；
2 [,][,]a b a b =；
3 关系：公倍数与最小公倍数的关系；
最小公倍数与最大公因数的关系； 例如 ○1当(,)1a b =时，则[,]a b ab = ○2若,a b 都是正整数，且[](,),a b a b =，则a b = ○3一个数除以36和48都余5，则这个数是 。

○4[][,],n
n n a b a b =，n R +∈
○5若(,)1a b =，则[][,],a bc b a c = 3、多个整数的最小公倍数的求法如何？ []122,a a d =， []233,m a m =，[]1,n n n m a m -= 则[]123,,,n n a a a a m =
§4 质数及算术基本定理
一、质数 1、定义：
2、说明：1范围；2数1；最小的质数是2
3、性质：1、a 是大于1的整数，其大于1的最小的正因数q 必为质数；
2、若a 为合数，则q 满足：q ≤
3、质数p 与整数a 的关系：(,)1p a =或p a
4若12n p a a a ，则,1,2,,k n p a k a = 二、算术的基本定理
112n a p p p =，
其中，12n p p p ≤≤≤，12,,,n p p p 为质数
并且12m a q q q =，其中，12m q q q ≤≤≤，12,,,m q q q 为质数 则n m =，1,2,,i i p q i n ==
推论1：若1a >，则a 能唯一地表示为：
1
2
12k
k a p p p ααα=----叫标准分解式 其中，11,2,,i i k α≥=
12,,,k p p p 为质数，且12k p p p <<< 推论2：：设1212k
k a p p p ααα= 1212k
k b p p p βββ=
则(,)a b =
[,]a b =
2、筛选法：（造质数表）
3、结论：质数的个数有无穷多个。

§5 函数[]{},x x 及其在数论中的应用 1、定义：[]{},x x 2、性质：（1）[]{}x x x =+ （2）[][]1x x x ≤<+ （3）[][]n x n x +=+ （4）[]x +[]y []x y ≤+
（5）[],[][]1,x x x x x -⎧-=⎨
--⎩为整数非整数 （6）[]{}a a a b b b b =+，0{}1,0a
b b b b
≤≤->
（7）若,a b 都是正整数，则不大于a 而为b 的
倍数的正整数的个数是[]a
b
2、结论：（1）在!n 的标准分解式中质因数p ()p n ≤的指数：
231[][][][
]r r n n n
n
h p p p
p
∞
==+++
=∑ （2）1
[]
!r n
p p n
n p
∞
=≤∑=∏
例 数100!的末位有几个零？
3、结论：贾宪数!
!()!
k n n C k n k =
-是整数；
4、结论：若()f x 是一个n 次整系数多项式，()()k f x 是()f x 的k 阶
导数， 则()()
!k f x k 是一个()n k -次的整系数多项式。

例 分数100100!
6
约简后的分母为 。

例 使1011021039991000
7
k
⨯⨯⨯⨯⨯为整数的最大正整数k = 。