抛物线的几个常见结论及其用

抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），

且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2

124

p x x =，212y y p =-。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ， 求证：

11AF BF

+为定值。

结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，

则

22sin P

AB α

=

（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线

对称轴的弦）最短。

例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为。AB 倾斜角为3

π或

23

π

。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，

垂足为M 、N ，求证：以MN

与直线AB 相切。

结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。反之也成立。

结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为2

22x pt y pt =⎧⎨

=⎩，

，

设抛物线22x py =上动

点P 坐标为2

(22)pt pt ，

，O 为抛物线的顶点，显然2

22OP pt k t pt

==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率．

例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB

长为，求P 的值．

解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，

，，， 则11

2

A OA t k =

=，1

2B OA OB

t k k =

=-=-． A B ，的坐标分别为

(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，

．AB

∴=．2p =∴． 练习：

1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点， 若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p

q

+= 故114a p

q

+=】

2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴． 证明直线AC 经过原点O ．

【证明：抛物线焦点为02

p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

．设直线AB 的方程为2

p

x my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，， 则212y y p =-．

BC x ∵∥轴，且点C 在准线1

2CO p

k y =

； 又由2112y px =，得11

1

2AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】

3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．

【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义

得

=

．

整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．

抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．

设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】

1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．

解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．

设对称轴和准线的交点是M ，可以求得625

5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，

．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据

22444120x y xy x y ++--=，

即为所求抛物线的方程．

例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，

求线段AB 中点的轨迹方程．